專題27.3位似

典例體系（本專題共57題33頁）

一、知識點

1.如果兩個圖形不僅是相似圖形,而旦每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一點，那么這樣的兩個圖形叫做

位似圄形；這個點叫做位似空心：這時的相似比又稱為位似比.

2.位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比.

◎3.位似變換：

①變換后的圖形，不僅與原圖相似,而且對應(yīng)頂點的連線相交于?點，并且對應(yīng)點到這?交點的距離成比

例.像這種特殊的相似變換叫做位似變換.這個交點叫做位似空心.

②一個圖形經(jīng)過位似變換后得到另一個圖形,這兩個圖形就叫做位似形.

③利用位似的方法，可以把一個圖形放大或縮小.

二、考點點撥與訓(xùn)練

考點1：位似圖形的識別

典例：（2020?全國初三課時練習(xí)）指出下列各圖中的兩個圖形是否是位似圖形如果是位似圖形，請指出其位似

中心.

【答案】題圖1和3中的兩個圖形都是位似圖形，位似中心分別是題圖1中的點P和題圖3中的點題

圖2中的兩個圖形不是位似圖形.

【解析】題圖1和3中的兩個圖形都是位似圖形，位似中心分別是題圖1中的點P和題圖3中的點。；題

圖2中對應(yīng)頂點的連線不交于一點，故題圖2中的兩個圖形不是位似圖形.

方法或規(guī)律點撥

本題考查了位似圖形的概念，解題的關(guān)鍵是掌握基本的概念.

鞏固練習(xí)

1.（2017?山東濟(jì)寧?中考模擬）小敏的圓規(guī)擺放如圖所示，則幾個和小明的圓規(guī)形狀一樣的圓規(guī)中，與小明擺

放的位似的是（）

o

A.B.C.D.：

【答案】D

【解析】???位似是相似的特殊形式，

???位似圖形的對應(yīng)邊平行且對應(yīng)頂點的連線交于一點.

據(jù)此判斷，只有D選項符合題意，

故選D.

2.（2020.全國初三專題練習(xí)）1.下列說法不正確的是（）

A.位似圖形一定是相似圖形

B.相似圖形不一定是位似圖形

C.位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比

D.位似圖形中每組對應(yīng)點所在的直線必相互平行

【答案】D

【解析】如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點所在的宜線都經(jīng)過同一個點，對應(yīng)邊互相平行（或共

線），那么這樣的兩個圖形叫位似圖形，這個點叫做位似中心，因而A,B,C正確，D錯誤.

解：根據(jù)位似圖形的定義可知，B，C正確，似圖形中每組對應(yīng)點所在的直線相交于一點，D錯誤.

故選D.

3.（2020.重慶渝中.初三二模）下列圖形中不是位似圖形的為（）

A.B.

【答案】B

【解析】解：對應(yīng)頂點的連線相交于一點的兩個相似多邊形叫位似圖形.

根據(jù)位似圖形的概念，A三個圖形中的兩個圖形是位似圖形：故A不符合題意，

B中的兩個圖形不符合位似圖形的概念，對應(yīng)邊不平行，故不是位似圖形.故B符合題意,

根據(jù)位似圖形的概念，C三個圖形中的兩個圖形是位似圖形；故C不符合題意，

根據(jù)位似圖形的概念，D三個圖形中的兩個圖形是位似圖形；故D不符合題意，

故選:B.

A

故選：A

N

【答案】A

【解析】由題目可知，本題圖形位似中心為點O,

VOD=AD,

???AO:DO=2:1,

???△ABC與aDEF位似比為2:1,

故答案為A選項.

6.（2020?江西九江?初三零模）將鐵絲圍成的aABC鐵框平行地面（水平）放置，并在燈泡的垂直照射下，在地

面上的影子是那么aABC與△ABC，之間是屬于（）

A.對稱變換B.平移變換C.位似變換D.旋轉(zhuǎn)變換

D.A

【答案】D

【解析】對應(yīng)頂點的連線相交于一點的兩個相似多邊形叫位似圖形.

據(jù)此可得A.B.C.三個圖形中的兩個圖形都不是位似圖形；

而D.的對應(yīng)頂點的連線能相交于?點，故是位似圖形

故選D.

10.（2020?貴州貴陽?初三期末）視力表用來測試一個人的視力，如圖是視力表的一部分，圖中的“E”均是相似

圖形，其中是位似圖形的是（）

m①

U②1③5

mE

@⑤

A.①和④B.②和③C.①和②D.②和④

【答案】A

【解析】A.兩個圖形相似，且對應(yīng)點的連線都經(jīng)過同一個點，本應(yīng)邊互相平行，故是位似圖形；

B.兩個圖形相似，但是對應(yīng)點的連線不在同一個點，故不是位似圖形；

C兩個圖形相似，但是對應(yīng)點的連線不在同一個點，故不是位似圖形；

D.兩個圖形相似，但是對應(yīng)點的連線不在同一個點，故不是位似圖形；

故選：A.

11.（2020?安徽初三期中）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O,M、N分別是邊AB、AD

的中點，連接OM、ON、MN,貝J下列敘述不正確的是（）

A.ZiAMO與以

B.aAMN與ABCD位似

C.必股與aACD位似

D.aAMN與aABD位似

【答案】B

【解析】A.AAMO與AABC是以A點為位似中心的位似圖形，故A正確；

B.AAMN與ABCD對應(yīng)線段不平行，不是位似圖形，故B錯誤；

C.AANO與AACD是以A點為位似中心的位似圖形，故C正確；

D.AAMN與aABD是以A點為位似中心的位似圖形，故D正確；

故選B.

考點2：確定位似中心

典例：（2020.北京密云?初三期末）如圖所示，在邊長為I的小正方形網(wǎng)格中，兩個三角形是位似圖形，則它

【解析】解：位似圖形的位似中心位于對應(yīng)點連線所在的直線上，點M、N為對應(yīng)點，所以位似中心（如圖）

在M、N所在的宜線上，點P在直線MN上，所以點P為位似中心.

故選：B.

方法或規(guī)律點撥

此題主要考查了位似變換的性質(zhì)，利用位似圖形的位似中心位于對應(yīng)點連線所在的直線上，點M、N為對

應(yīng)點，得出位似中心在M、N所在的直線上是解題關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

I.（2020?河北邯鄲?初三其他）圖中的兩個三角形是位似圖形，它們的位似中心是（）

A.點PB.點D

C.點MD.點N

【答案】A

【解析】解：???位似圖形的位似中心位于對應(yīng)點連線所在的直線上，點M、N為對應(yīng)點，所以位似中心在

M、N所在的直線上，

因為點P在直線MN上，

所以點P為位似中心.

故選A.

2.（2020?吉林長春外國語學(xué)校初三月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、2的坐標(biāo)分別為（4,4）、（0,

4）,點C、。的坐標(biāo)分別為（0,1）、（2,1）.若線段和CO是位似圖形，且位似中心在y軸上，則位似

中心的坐標(biāo)為（）

【答案】B

【解析】解：如圖所示：連接AD,交y軸于點E,

???點A、B的坐標(biāo)分別為（4,4）、（0,4）,點C、D的坐標(biāo)分別為（0,1）、（2,1）；

AAB=4,CD=2,BC=3,AB〃DC,

.,.△ABE^ADCE,

解得：EC=1,

則E點坐標(biāo)為：（0,2）,

故位似中心的坐標(biāo)為：（0,2）.

故選：B.

3.（2019?河南平輿?初三期中）用作位似圖形的辦法，可以將一個圖形放大或縮小，位似中心位置可選在（）

A.原圖形的外部B.原圖形的內(nèi)部C.原圖形的邊上D.任意位置

【答案】D

【解析】畫一個圖形的位似圖形時，位似中心的選取是任意的.故選D.

4.（2020?山東萊州?初二期末）如圖，兩個三角形是以點P為位似中心的為似圖形，則點P的坐標(biāo)是（）.

【答案】A

【解析】如圖，過圖中三角形的兩對對應(yīng)點作直線，從圖中看出，兩條直線的交點為(3,2).

【答案】C

【解析】解：連接CiC,BiB,AiA并延長，交點P即為所求，由圖可知：位似中心的坐標(biāo)是：(0,-1),

【答案】A

【解析】???直線AD、CF、BE交于0點

???位似中心為。點

故迎A.

考點3：位似圖形的有關(guān)計算

【答案】10

【解析】解：???△ABC與aDEF是位似圖形,

AAABC^ADEF,

VOA=AD,

???位似比是OB：OE=1：2,

VAB=5,

/.DE=IO.

方法或規(guī)律點撥

本題考查了位似的相關(guān)知識，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對應(yīng)的面積比等于相似比的

平方.

鞏固練習(xí)

A.8B.9C.10D.10.5

【答案】D

???圖中三個陰影三角形面枳之和為:

故選D.

A.2B.4C.6D.3

【答案】D

故選D.

C.21D.49

【答案】D

【解析】解：TABC與4DEF是位似圖形，位似中心為O,AD=3：4,

AOA：OD=3：7,

**?SAABC：SADEF=9：49?

VSAABC=9,

??.△DEF的面積為:49.

故選:D.

4.（2020?揭陽市實驗中學(xué)初三期中）如圖，以點。為位似中心，將五邊形A3CQE放大后得到五邊形47TCQE,

已知O人一10<7〃，0V—20c則五邊形人的周長與五邊形A*C7）E的周長比是（）

C.1：3D.3：1

【答案】A

【解析】???以點。為位似中心，將五邊形八AC/九放大后得到五邊形OA=Wcm,OA'=20cm,

???五邊形A8COE的周長與五邊形AbCOE的位似比為：10：20=1：2,

???五邊形A8CQE的周長與五邊形AbCOE的周長比是：1：2.

故選：A.

【答案】A

【解析】???△A4TC的周長是AABC的周長一半,

???△ABC與/ABC的相似比為1：2,

???△ARC與4ABC的面積比為1：4,

SAABC=4SAABe-=32(cm2)，

C.9D.12

【答案】C

???兩位似圖形的位似比為2：3,

所以兩位似圖形的面積比為4：9,

又S~\BC=4,

故選：C

7.(2019?漳州外國語學(xué)校初三一模)如圖，以點O為位似中心，將AABC縮小得到△ABC,若AA，=2OAT

KUABC與△ABC的周長比為.

B

【答案】3：1

【解析】由題意可知△ABCs/XABC,

VAAr=20A\

.*.0A=30A\

故答案為3：1.

8.（2017.山西全國.初三課時練習(xí)）如圖，五邊形ABCDE與五邊形ABCDE是位似圖形，且位似比為J.若

五邊形ABCDE的，面積為20cmI那么五邊形ABOE，的面積為cm2.

E

【答案】5.

【解析】???五邊形ABCDE與五邊形ABCDE是位似圖形，且位似比為,

2

???五邊形AP'CDE的面積與五邊形ABCDE的面積比為：1：4,

?/五邊形ABCDE的面積為20cm*

???五邊形AB,CDE的面積為:5.

9.（202。?浙江海寧?初三學(xué)業(yè)考試）如圖，已知口48。。，以B為位似中心，作M8CQ的位似圖形口￡8/七，位

2

似圖形與原圖形的位似比為一，連結(jié)AG,DG.若的面積為24,則△AOG的面積為____.

3

【解析】作BH_LCD與CD交于點H,與GF交于點I

,:四邊形ABCD是平行四邊形，位似圖形與原圖形的位似比為三

3

?:uABCD的面積為24

故答案為:4.

DH'

T7L

AEB

【解析】(1)如圖所示:

考點4：平面直角坐標(biāo)系中的位似計算

典例：(2020.黑龍江鐵鋒.初三期末)如圖，已知A(-4,0),8(0,4),現(xiàn)以A點為位似中心,相似比為9：4,

將OB向右側(cè)放大，B點的對應(yīng)點為C.

(1)求C點坐標(biāo)及直線BC的解析式:

(2)點。從點A開始以每秒2個單位長度的速度勻速沿著x軸向右運動，若運動時間用/秒表示.A3CP的

面積用5表示，請你直接寫出S與，的函數(shù)關(guān)系.

16-

14

12-

8^

【解析】(1)過。點向x軸作垂線，垂足為。.

14-

12-

由位似圖形性質(zhì)司.知：△ABOsRACD,

由已知4-4,0),B(0,4),

可知：AO=BO=4,

：,AD=CD=9,

???C點坐標(biāo)為(5,9).

設(shè)直線4C的解析式為y=kx+b,

???直線BC的解析是為：尸戶4；

方法或規(guī)律點撥

本題把一次函數(shù)與位似圖形相結(jié)合，考查了同學(xué)們綜合運用所學(xué)知識的能力，是一道綜合性較好的題目.

鞏固練習(xí)

c.4D.2

【答案】A

【解析】解::△ABC和△ABC位似，位似中心為原點0,點A(l,2)、點A'(2,4),

???△ABC和aABC的相似比為：|1|：|2|=1：2,

VAABC的面積為4,

???△ABC的面積是：16.

C.4D.275

【答案】D

【解析】解：???以原點為位似中心，在原點的同側(cè)畫aDEF,使aDEF與AABC成位似圖形,且相似比為2：

1,

而A(l,2),C(3,1),

AD(2,4),F(6,2),

故選：D.

A.1：3B.3：1C.6：1D.9：1

【答案】B

AAi(3,3)，Bi(l2,3),Ci(6,9),

故選擇:B.

4.(2020?聊城市在平區(qū)振興街道中學(xué)初三月考)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點E(-4,2),-2,-2),以

原點O為位似中心，相似比為0.5,把AEFO縮小，則點E的對應(yīng)點E的坐標(biāo)是()

A.(-2,1)B.(-8,4)C.(-2,1)或(2,?1)D.(-8,4)或(8,

【答案】C

【解析】解：???相似比是0.5,

故選:C.

5.[2020.河北邯鄲.初三其他)如圖，AABE和aCOE是以點石為位似中心的位似圖形，已知點42,2)、8(3,

1)、。(5,2),則點A的對應(yīng)點C的坐標(biāo)是()

4)C.(3,3)D.(3,4)

【答案】D

【解析】設(shè)點。的坐標(biāo)為(K,y),

???\ABE和ACQE是以點E為位似中心的位似圖形,

解得，x=3,y=4,

則點C的坐標(biāo)為(3,4),

故選:D.

【答案】D

故選：D.

A.2B.2或2

D.二3或士3

22

【答案】D

【解析】解：以原點O為位似中心，把線段AB縮短為原來的一半,

???點B的橫坐標(biāo)為3

故選：D.

8.(2020?重慶巴蜀中學(xué)初三期末)如圖，線段BC的兩端點的坐標(biāo)分別為B(3,8),C(6,3),以點A(l,0)

為位似中心，將線段BC縮小為原來的;后得到線段DE,則端點D的坐標(biāo)為()

3

A.(1,4)B.(2,4)C.(-,4)D.(2,2)

2

【答案】B

【解析】解：???將線段BC縮小為原來的!后得到線段DE,

2

???△ADES/XABC,

ADDE1

??■_-_-_--_--_-_-_---_--_-，

ABBC2

???點D是線段AB的中點，

VA(1,0),B(3,8),

???點D的坐標(biāo)為(2,4),

故選：B.

9.(2020?廣東揭西?初三月考)如圖，線段AB兩個端點的坐標(biāo)分別為A(2,2)、B(3,1),以原點O為位似中

心，在第一象限內(nèi)將線段AB擴(kuò)大為原來的2倍后得到線段CD,則端點C的坐標(biāo)分別為()

A.(4,4)B.(3,3)C.(3,1)D.(4,1)

【答案】A

【解析】???以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段48擴(kuò)大為原來的2倍后得到線段CZ),

??/點與C點是對應(yīng)點，

???C點的對應(yīng)點A的坐標(biāo)為(2,2),位似比為1：2,

???點C的坐標(biāo)為：(4,4)

故選A.

10.(2020.渠縣崇德實驗學(xué)校初三期中)如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點O為位似中心,

相似比為I:V2，點A的坐標(biāo)為(1,0),則點E的坐標(biāo)為()

【解析】由正方形的性質(zhì)得，OA=OC=1,

因為正方形OABC與正方形ODEF的相似比為I：0,

所以DE=EF=V2，

故選B.

11.(2020?安徽蜀山?合肥市五十中學(xué)西校月考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點O在坐標(biāo)原

點，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA，B，C與矩形OABC關(guān)于點O位似，且矩形OA，B，C的面

積等于矩形。ABC面積叫那么點B的坐標(biāo)題)

B.(1,2)C.(2,1)或(2,1)D.(1,2)或(1,2)

【解析】解：???矩形OA，BC的面積等于斑形OABC面枳的

4

???兩矩形面積的相似比為：1：2,

???B的坐標(biāo)是(4,2),

工點B，的坐標(biāo)是：(2,1)或(2,1).

故選：C.

12.(2020?長春市第四十七中學(xué)初三月考)如圖，已知線段A4兩個端點的坐標(biāo)分別為4(4,6),仇8,4),以

原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段縮小為原來的一半后得到線段C7Z則端點。坐標(biāo)為.

【答案】(4,2)

【解析】???以原點。為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段A8縮小為原來的一半后得到線段CZ),8(8,4),J

端點。坐標(biāo)為(8x-,4x-),即［4,2).

22

故答案為：(4,2).

15.(2020?山東招遠(yuǎn)?初二期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點。(0,0),46,0),8(0,8),以某點為

位似中心，作出AAOB的位似ACDE,則位似中心的坐標(biāo)為

【解析】如圖所示，點P即為位似中點，其坐標(biāo)為(2,2),

故答案為(2,2).

16.(2020?山東煙臺?初三其他)如圖，已知矩形A6CD和矩形6EFG是位似圖形，點O是位似中心，若點、D

的坐標(biāo)為(1,2),點尸的坐標(biāo)為(4,4),則點G的坐標(biāo)是

【答案】(2,4)

【解析】???矩形ABCO,點。的絲標(biāo)為(1,2),

：.AD=BC=2,

??,矩形BEFG,點尸的坐標(biāo)為(4,4),

；.EF=BG=4,

：.OB=2,

故點G的坐標(biāo)是（2,4）.

故答案為：（2,4）.

考點5：位似圖形的有關(guān)作圖

圖①圖②圖③

【答案】（1）作圖見解析，6；（2）見解析；（3）見解析

【解析】（1）如圖所示，4D即為所求，

方法或規(guī)律點撥

本題主要考查了作圖位似變換，三角形中位線的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌

握位似變換的定義和性質(zhì)及平行四邊形的判定和性質(zhì).

鞏固練習(xí)

1.（2020.內(nèi)蒙古呼和浩特.初一月考）畫一畫

（1）按指定對稱軸/畫出圖形A的另一半，使它成為一個軸對稱圖形.

（2）畫出把圖形4向右平移6格，再向上平移I格后的圖形.

⑶畫出把圖形C繞。點逆時針旋轉(zhuǎn)90。后的圖形.

(4)畫出把圖形D按2：1的比放大后的圖形.

(2)圖形B的平移圖形如圖所示:

(3)圖形C的旋轉(zhuǎn)圖形C如圖所示:

(4)圖形D的放大圖形D，如圖所示.

2.(2020.河南周口?初三期中)已知AABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三個頂點的坐標(biāo)分別為40,3),4(4,5),

3.(2020.銀川唐彳來回民中學(xué)初三二模)如圖，4ABC在方格紙中

(1)諳在方格紙上建立平面直角坐標(biāo)系，使A(2,3),C(6,2),并求出B點坐標(biāo)；

(2)以原點O為位似中心，位似比為2,在第一象限內(nèi)將AABC放大，畫出放大后的圖形△ABC1

(3)求的周長.

【答案】(1)(2,1)(2)見解析(3)4+447

【解析】解：(1)如圖所示，即為所求的直角坐標(biāo)系;B(2,l)；

⑶在旋轉(zhuǎn)過程中，點&所經(jīng)過的路徑長度是個單位.(結(jié)果