有理數(shù)運(yùn)算中的新定義型及規(guī)律探究問題

(4大題型)

目錄

A題型建模?專項(xiàng)突破

題型一、有理數(shù)運(yùn)算中的程序問題.................................................................1

題型二、古代中的有理數(shù)運(yùn)算問題.................................................................3

題型三、有理數(shù)運(yùn)算中的新定義型問題.............................................................4

題型四、有理數(shù)運(yùn)算中的規(guī)律探究問題.............................................................8

B綜合攻堅(jiān)?能力躍升

A題型建模?專項(xiàng)突破

題型一、有理數(shù)運(yùn)算中的程序問題

1.按如圖所示的程序計(jì)算，若開始輸入的數(shù)為o,則最后輸出的結(jié)果為

2.如圖所示的是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值運(yùn)算程序.當(dāng)輸入x的值為4時(shí)，輸出的值為—

/tnjAx/—>[>?(-96)|—丑(一0.25)1義+f|一(—1)，輸出/

3.按照如圖所示的一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換程序，若輸入〃?的值是-2,則輸出的結(jié)果是一

輸入〃7m2—?-5—?+3—?義（-2）—?輸出

4.小明同學(xué)編寫了一個(gè)加密數(shù)據(jù)的代碼，如圖是這個(gè)加密代碼的運(yùn)算程序，按照這個(gè)運(yùn)算程序，當(dāng)原始數(shù)

據(jù)1=8時(shí)，加密后的數(shù)據(jù)是253；當(dāng)原始數(shù)據(jù)x=40時(shí)，加密后的數(shù)據(jù)是235.如果輸入的原始數(shù)據(jù)X是正

整數(shù)，加密后的數(shù)據(jù)是217,那么原始數(shù)據(jù)x的值可以是

題型二、古代中的有理數(shù)運(yùn)算問題

5.如圖是中國(guó)古代“洛書”的一部分，洛書中用實(shí)心點(diǎn)或空心點(diǎn)的個(gè)數(shù)表示數(shù)字，縱、橫、斜三條線上的三

個(gè)數(shù)字，其和皆相等，則右下角代表的數(shù)是—.

海書

6.我國(guó)古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)如圖，

一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)，如圖1,孩子出生

后的天數(shù)=3x72+1x71+6=147+7+6=160（天），請(qǐng)根據(jù)圖2,計(jì)算孩子自出生后的天數(shù)是天.

7.第十四屈國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-14）會(huì)徽的主題圖案有著豐富的數(shù)學(xué)元素?，展現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)

的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國(guó)古代的計(jì)數(shù)符號(hào)寫出的八進(jìn)制數(shù)3745.八進(jìn)制是以8作為進(jìn)位基數(shù)

的數(shù)字系統(tǒng)，有。?7共8個(gè)基本數(shù)字.八進(jìn)制數(shù)3745換算成?卜進(jìn)制數(shù)是3x8'+7x8?+4x81+5x8°=2021,

表示ICME-14的舉辦年份.則十進(jìn)制數(shù)2025換算成八進(jìn)制數(shù)是.（注：8°=1）

8.我國(guó)古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)一位書

生堅(jiān)持每天五更起床讀書，為了勉勵(lì)自己，他用“結(jié)繩記數(shù)''的方法來記錄自己讀書的天數(shù)，如圖1是他從右

到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿六進(jìn)一，表示的天數(shù)為51天（1x62+2x6+3=51）,按同樣的方法，圖2表

示的天數(shù)是.

圖1圖2

題型三、有理數(shù)運(yùn)算中的新定義型問題

9.對(duì)于有理數(shù)a,b,定義運(yùn)算：a?b=-a2+ab，如2額=-2?+2x1=-2.

⑴計(jì)算(-5)83的值；

(2)計(jì)算口包(一3)]③(一2)的值.

10.定義一種新運(yùn)算"△”：心b=hb，例如：1R-2)=(-2/-1X(_2)=4+2=6.計(jì)算:

(1)(-3)A(-5)；

1

⑵63

11.對(duì)于任意有理數(shù)mb,我們定義一種新運(yùn)算“※力規(guī)定：a^b=a2-ab+b2,如:

(-2)^3=(-2)2-(-2)X3+32=19.

⑴求(-8)※(-5)的值；

⑵求(-5僻(3派2)的值.

題型四、有理數(shù)運(yùn)算中的規(guī)律探究問題

3觀察下列等式：—=l-p

2x3233x434

把以上三個(gè)等式兩邊分別相加得:——=1

這種求和的方法稱為裂項(xiàng)求和法：裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些

項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.規(guī)律應(yīng)用：

計(jì)算：-+—+—++——的值.

1x22x33x499x100

14.【觀察思考】觀察下列等式

1,1111111

1x222x3233x434

將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：

【探索規(guī)律】

⑴猜想并寫出：就if一-

(2)宜接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：

1111

切+詬+市+……+2023x2024-

【遷移運(yùn)用】

2222

(3)----F----1-----1------------.

1x33x55x72023x2025

15.在有些情況下，不需要計(jì)算出結(jié)果也能把絕對(duì)值符號(hào)去掉.

例如：|6+7|=6+7,|6-7|=7-6,|7-6|=7-6,|-6-7|=6+7.

【初步體驗(yàn)】

（1）根據(jù)上面的規(guī)律，把下列各式寫成去掉絕對(duì)值符號(hào)的形式（不需計(jì)算出結(jié)果）:

①|(zhì)7-21|=；

77

（3）------=；

1718------

【拓廣應(yīng)用】

（2）計(jì)算:

八115015011

①------

-5557557~2~~2

1111111111

+

32435420232022+2024~2023

16.在學(xué)習(xí)完“有理數(shù)的加法”后，小米同學(xué)對(duì)運(yùn)算產(chǎn)生了濃厚的興趣.借助有理數(shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，自主探

究新定義運(yùn)算.

小米設(shè)計(jì)一種新運(yùn)算“十”，即對(duì)任意有理數(shù)/),滿足如下規(guī)律：。十稱此種運(yùn)算為“絕佳”運(yùn)算.

例如，5十(-2)=|5+(-2)|=3；(2)(-2)十4=|(-2)+4|=2.

【探究一：兩個(gè)數(shù)“絕佳”運(yùn)算】

(1)填空：①3十(-4)=；②(-4)十3=；

通過上面的計(jì)算結(jié)果，請(qǐng)你歸納出“絕佳”運(yùn)算是否滿足交換律？若不滿足，請(qǐng)舉出反例(舉一個(gè)反例即可);

(2)①若3十x=7,則工=；②若(-3)十x=則x=；

【探究二：三個(gè)數(shù)“絕佳”運(yùn)算】

(3)小米同學(xué)想類比有理數(shù)的加法結(jié)合律，判斷“絕佳”運(yùn)算是否滿足結(jié)合律.

請(qǐng)你幫助她驗(yàn)證等式[6十(-7)]十(-8)=6十[(-7)十(-8)]是否成立，并歸納出“絕佳”運(yùn)算是否滿足結(jié)合律.

B綜合攻堅(jiān)?能力躍升

一、單選題

1.現(xiàn)定義新運(yùn)算“※”，對(duì)任意有理數(shù)。、b,規(guī)定?！?/—副，則_1※2024的值（）

A.-2025B.-2024C.2024D.2025

2.定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任何有理數(shù)。和力，規(guī)定：a※方二"+乩如隰2=1x2+22=6,則（-4忤2的值

為（）

A.—4B.8C.4D.—8

3.樂樂在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到了神奇的“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)"，按如圖所示的程序運(yùn)算，如果輸入1,則輸出的結(jié)果是

（）

4.定義一種對(duì)正整數(shù)〃的“戶”運(yùn)算：①當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，/（〃）=3〃+1；②當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，（其

中左是使/（〃）為奇數(shù)的正整數(shù)），兩種運(yùn)算交替進(jìn)行，例如，取〃=12,則有

竺1]-^不丁1〃，,按此規(guī)律繼續(xù)計(jì)算，則第2025次“產(chǎn)”運(yùn)算的結(jié)果是（）

----第I次1----1第2次1----1冊(cè)3次1-----

A.18.3C.4D.5

5.如圖1,八卦圖是中國(guó)古代傳下來的圖形，八卦各有三爻（用。），“乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌”

分立八方，分別代表“天、地、雷、風(fēng)、水、火、山、澤”八種性質(zhì)與自然現(xiàn)象，世間萬物皆可分類歸至八卦

之中，它亦是二進(jìn)制與電子計(jì)算機(jī)的古老始祖.易經(jīng)八卦中陰爻川中斷線表示或數(shù)字“0”表示，陽爻用

連線，，一，，表示或數(shù)字“I”表示.十進(jìn)制的有理數(shù)“3”可以用圖2中八卦符號(hào)表示的是（）

D.

二、填空題

6.對(duì)非零有理數(shù)a,〃定義一種運(yùn)算合,其規(guī)則是；a?h=-^-t貝l」(—3)會(huì)(-2)三______.

ba

7.如圖是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)，當(dāng)輸入的數(shù)字〃=-3時(shí)，按照?qǐng)D中的程序計(jì)算，輸出的答案為

輸入n一+(-3)2—+(-2)一輸出答案

8.我國(guó)古代典籍《莊子?天下篇》中有這樣一句話：“一尺之框，日取其半，萬世不竭現(xiàn)有一根長(zhǎng)為1尺

的木桿，第1次截取其長(zhǎng)度的一半，第2次截取其第1次剩卜.長(zhǎng)度的一半，第3次截取其第2次剩下長(zhǎng)度

的一半，如此反復(fù)，則第99次截取后，此木桿剩下的長(zhǎng)度為.

w'-mn(m>n),,

9.定義一種運(yùn)算符號(hào)“※"：〃※口=<:.例如：4※(-2)=4?-4x(-2)=24,根據(jù)定義的運(yùn)算

mn-n~(w<〃)，

法則，解決下列問題：

(1)(-4)^2=；

(2)[(-3)※(—2)]※(—3)=—.

10.用二維碼可以進(jìn)行身份識(shí)別，某校建立了一個(gè)身份識(shí)別系統(tǒng)，圖1是某個(gè)學(xué)生的識(shí)別圖案，黑色小正

方形表示1,白色小正方形表示0,將每一行數(shù)字從左到右依次汜為a,b,c,d,其序號(hào)為

"23+6x2?+cx2+d.例如第一行數(shù)字從左往右依次是0,1,1,0,則表示的序號(hào)為0x23+1x22+1x2+0=6,

以此規(guī)律，第二行序號(hào)表示2,第三行序號(hào)表示2,第四行序號(hào)表示9,該生為6年級(jí)2班29號(hào)，圖2學(xué)生

識(shí)別為五年級(jí)，則要在()涂黑.

圖1圖2

三、解答題

11.我們定義一種新運(yùn)算：a?b=a+b-ab.

⑴求38(-2)的值；

(2)求(-4)M1⑥(-5)］的值.

12.現(xiàn)定義一種新的運(yùn)算，規(guī)定：a^b=a2+ab-\,其中06均為有理數(shù)，例如:

1X2=12+1x2-1=2.求：

⑴13)※(-2)的值;

⑵2※(--［(-5怦2］的值.

13.根據(jù)下圖所示的程序回答問題：

色且)叵回=恒十＞＜^是正跡＞邑建承

取絕時(shí)值卜

(1)當(dāng)小明輸入-1和-2這兩個(gè)數(shù)時(shí)，輸出的結(jié)果是多少？

(2)當(dāng)小明輸入-1和這兩個(gè)數(shù)時(shí)，輸出的結(jié)果是4.求被墨水污染的數(shù).

14.按圖中程序計(jì)算，并根據(jù)要求求出輸出的結(jié)果.

(1)當(dāng)輸入的數(shù)為3時(shí)，直接寫出輸出結(jié)果為

(2)設(shè)輸入的數(shù)記作x,且國(guó)=5,求出輸出的結(jié)果.

15.觀察卜列等式:

11?

第一個(gè)等式：說一詬

112

第2個(gè)等式：=

2x33x42x3x4

|12

第3個(gè)等式：……

3x44x53x4x5

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

(1)請(qǐng)直接寫出第4個(gè)等式：

(2)利用規(guī)律計(jì)算：丁\+一：+一］的值；

1x2x32x3x43x4x5

⑶直接寫出「工+…+的值?

4x5x68x9x10

16.概念感知：第十四屈國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（/CME-14）會(huì)徽（如圖1）的主題圖案有著豐富的數(shù)學(xué)元素,

展現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國(guó)古代的計(jì)數(shù)符號(hào)寫出的八進(jìn)制數(shù)3745.八進(jìn)制

是以8作為進(jìn)位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有0?7共8個(gè)基本數(shù)字，八進(jìn)制數(shù)3745換算成十進(jìn)制數(shù)是

3x83+7x82+4x81+5x8°=202b表示/CME-14的舉辦年份.（注：除0以外的數(shù)的0次方都是1）

（I）請(qǐng)把八進(jìn)制數(shù)2163換算成十進(jìn)制數(shù)；

（2）應(yīng)用拓展：我國(guó)古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，如圖2,一位

婦女在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)來記錄采集到的野果數(shù)星，滿六進(jìn)一，她一共采集到的野果數(shù)量為

多少個(gè)？

17.定義新運(yùn)算：（右邊的運(yùn)算為平常的加、減、乘、除）.

abab

若=則稱有理數(shù)a,6為“隔一數(shù)對(duì)”.

例如：2?3=-i-=l2*3=1-1=12每3=2*3,所以2,3就是一對(duì)“隔一?數(shù)對(duì)”,

2x36236

(I)下列各組數(shù)是“隔一數(shù)對(duì)”的是(請(qǐng)?zhí)钚蛱?hào)).

4\

①。=1,b=2=――?b=-y(3)a=-1,b=I

(2)計(jì)算:(-3)*4-(-3)04+(-2024)*(-2024).

18.學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在開展探究活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，“三角形數(shù)”1、3、6、10…，與“正方形數(shù)”1、4.9.16...

之間有一定的聯(lián)系，他們將“正方形數(shù)”4、9、16…分別用如圖圖形表示.

⑴數(shù)學(xué)九章興趣小組從圖中觀察發(fā)現(xiàn)，“正方形數(shù)"4=1+3,9=3+6,16=6+10,得出：任何一個(gè)大于1

的“止方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰"三角形數(shù)''之和.25可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和，25=+

(2)數(shù)學(xué)勾股興趣小組觀察圖形并結(jié)合“正方形數(shù)”特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：4=22=1+2+1=1+3;

9=3?=1+2+3+2+1=3+6;16=42=1+2+3+4+3+2+1=6+10;…仿照上述規(guī)律，36=6=+

(3)結(jié)合兩個(gè)興趣小組發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，將“正方形數(shù)寫成兩個(gè)相鄰，，三角形數(shù)，，之和，〃2=+

19.【概念學(xué)習(xí)】定義：求若干個(gè)相同的有理數(shù)(均不等于0)的除法運(yùn)算叫做除方，如2+2+2、

(一3)+(-3)+(-3)+(-3)等.類比有理數(shù)的乘方，我們把2+2+2記作23,讀作“2的下3次方”,

(一3)+(-3"(—3)子(—3)記作(一3)「讀作“一3的下4次方”一般地，把”……(。工0)記作，讀作

Z的下n次方”.

(1)直接寫出計(jì)算結(jié)果：23=,.

【深入探究】我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加汰運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)

的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？

1I1/1\2

例如：2a=