2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——統(tǒng)計(jì)學(xué)在投資分析中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.簡(jiǎn)述在投資分析中，衡量單一資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的主要統(tǒng)計(jì)指標(biāo)有哪些？并說明它們各自的含義和優(yōu)缺點(diǎn)。2.解釋相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差在投資組合分析中的作用區(qū)別。為什么協(xié)方差矩陣在構(gòu)建投資組合時(shí)至關(guān)重要？3.在使用線性回歸模型分析股票收益率與宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)（如GDP增長(zhǎng)率）之間的關(guān)系時(shí)，請(qǐng)說明回歸系數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義，以及進(jìn)行回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)的必要性。二、4.假設(shè)某投資者考慮構(gòu)建一個(gè)包含兩種資產(chǎn)的投資組合。資產(chǎn)A的預(yù)期收益率為12%，標(biāo)準(zhǔn)差為20%，資產(chǎn)B的預(yù)期收益率為8%，標(biāo)準(zhǔn)差為15%。兩種資產(chǎn)之間的相關(guān)系數(shù)為0.3。請(qǐng)計(jì)算該投資組合在80%置信水平下的最小預(yù)期收益率區(qū)間（假設(shè)收益服從正態(tài)分布）。5.解釋什么是有效前沿？在均值-方差框架下，投資者如何找到最優(yōu)投資組合？6.假設(shè)你使用AR(1)模型來擬合某股票的日收益率序列，得到的模型參數(shù)為：α=0.95。請(qǐng)解釋該參數(shù)的含義，并說明該模型的平穩(wěn)性條件是什么？三、7.在進(jìn)行資產(chǎn)定價(jià)時(shí)，CAPM模型和APT模型有何主要區(qū)別？請(qǐng)簡(jiǎn)述APT模型包含哪些因素。8.什么是時(shí)間序列數(shù)據(jù)的自相關(guān)性？自相關(guān)性對(duì)使用普通最小二乘法（OLS）估計(jì)回歸模型參數(shù)會(huì)產(chǎn)生什么影響？9.假設(shè)你檢驗(yàn)一只股票的收益率是否顯著高于市場(chǎng)平均水平（市場(chǎng)收益率為10%，股票收益率的樣本均值為12%，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為18%，樣本量為100）。請(qǐng)寫出相應(yīng)的原假設(shè)和備擇假設(shè)，并說明應(yīng)選擇哪種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法，簡(jiǎn)要說明理由。四、10.某投資者關(guān)注兩只基金在過去一年的表現(xiàn)。基金甲的年收益率均值為15%，標(biāo)準(zhǔn)差為10%；基金乙的年收益率均值為14%，標(biāo)準(zhǔn)差為8%。假設(shè)兩只基金的收益率分布均近似正態(tài)分布，且已知其收益率的標(biāo)準(zhǔn)差相等。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方案，判斷這兩只基金的平均年收益率是否存在顯著差異（α=0.05）。請(qǐng)寫出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并說明如何根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果做出決策。11.簡(jiǎn)述VaR（風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值）的基本原理及其局限性。在投資實(shí)踐中，如何改進(jìn)VaR的局限性？12.假設(shè)某資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布，其月均收益率為1%，月收益率的標(biāo)準(zhǔn)差為5%。請(qǐng)計(jì)算該資產(chǎn)在95%置信水平下的10天VaR（假設(shè)月收益率與月收益率獨(dú)立同分布）。試卷答案一、1.衡量單一資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的主要統(tǒng)計(jì)指標(biāo)包括：*標(biāo)準(zhǔn)差（StandardDeviation）：衡量收益率圍繞其均值的波動(dòng)程度。優(yōu)點(diǎn)是直觀、被廣泛理解；缺點(diǎn)是未考慮投資收益的絕對(duì)大小和投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好。*偏度（Skewness）：衡量收益率分布的對(duì)稱性。用于識(shí)別是否存在“肥尾”風(fēng)險(xiǎn)（極端收益的可能性）。*峰度（Kurtosis）：衡量收益率分布的尖銳程度或“尾部厚度”。與偏度結(jié)合，更全面地描述分布形態(tài)和風(fēng)險(xiǎn)。*VaR（ValueatRisk）：在給定置信水平下，投資組合在未來特定持有期內(nèi)可能遭受的最大損失。缺點(diǎn)：VaR不能反映超過VaR的尾部損失大小。2.相關(guān)系數(shù)衡量的是兩個(gè)資產(chǎn)收益率變動(dòng)的線性關(guān)系強(qiáng)度和方向（-1到+1之間），其數(shù)值不受各資產(chǎn)預(yù)期收益率或波動(dòng)率大小的影響。協(xié)方差則衡量的是兩個(gè)資產(chǎn)收益率變動(dòng)的共同規(guī)模，其數(shù)值的大小與兩個(gè)資產(chǎn)的波動(dòng)率（標(biāo)準(zhǔn)差）成正比。在投資組合分析中，協(xié)方差（構(gòu)成協(xié)方差矩陣）是計(jì)算投資組合方差的直接依據(jù)，而方差和協(xié)方差共同決定了投資組合的整體風(fēng)險(xiǎn)（波動(dòng)性）以及資產(chǎn)間的風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)。協(xié)方差矩陣能夠精確描述投資組合中所有資產(chǎn)兩兩之間的風(fēng)險(xiǎn)關(guān)聯(lián)，是構(gòu)建有效前沿和確定最優(yōu)投資組合的基礎(chǔ)。3.回歸系數(shù)表示當(dāng)自變量（如GDP增長(zhǎng)率）每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，因變量（股票收益率）平均變動(dòng)的幅度和方向。進(jìn)行回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)（如t檢驗(yàn)）是為了判斷觀察到的回歸關(guān)系是否具有統(tǒng)計(jì)上的顯著性，即是否存在真實(shí)的、非零的關(guān)聯(lián)性，而非僅僅是由于抽樣誤差造成的偶然現(xiàn)象。這有助于投資者判斷宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)是否真的對(duì)股票收益率有預(yù)測(cè)能力或解釋能力。二、4.計(jì)算投資組合預(yù)期收益率E(Rp)=wA*E(RA)+wB*E(RB)。其中wA和wB分別是資產(chǎn)A和資產(chǎn)B在投資組合中的權(quán)重。組合方差σp2=wA2*σA2+wB2*σB2+2*wA*wB*σA*σB*ρAB。由于未給出權(quán)重，無法計(jì)算確切的預(yù)期收益率和方差。假設(shè)權(quán)重為wA和wB，則E(Rp)=12wA+8wB。投資組合標(biāo)準(zhǔn)差σp=√[wA2*202+wB2*152+2*wA*wB*20*15*0.3]。最小預(yù)期收益率通常指在特定風(fēng)險(xiǎn)水平下的收益下限。若假設(shè)組合標(biāo)準(zhǔn)差即為σp，則需根據(jù)正態(tài)分布表查找80%置信水平對(duì)應(yīng)的z值（約1.282），計(jì)算收益率的下限：E(Rp)-z*σp。但題目要求計(jì)算“最小預(yù)期收益率區(qū)間”，這通常指VaR，即最大損失金額。這里可能存在歧義，更標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算是給定置信水平下的收益下限。若理解為計(jì)算特定權(quán)重下的組合標(biāo)準(zhǔn)差，則需給出權(quán)重。若理解為計(jì)算基于σp的VaR，則VaR=-z*σp。但題目要求“區(qū)間”，標(biāo)準(zhǔn)VaR只給一個(gè)數(shù)值。此題條件不完整，無法給出具體數(shù)值解。解析思路：明確組合收益與權(quán)重的關(guān)系，組合方差與權(quán)重、資產(chǎn)方差、相關(guān)系數(shù)的關(guān)系。理解置信水平與正態(tài)分布分位數(shù)（z值）的聯(lián)系。區(qū)分“預(yù)期收益率區(qū)間”與“VaR”的概念。認(rèn)識(shí)到缺少權(quán)重?zé)o法完成計(jì)算。5.有效前沿（EfficientFrontier）是指在一定風(fēng)險(xiǎn)水平下，能夠提供最高預(yù)期收益率的所有投資組合的集合；或者在一定預(yù)期收益率水平下，能夠承受最低風(fēng)險(xiǎn)（標(biāo)準(zhǔn)差）的所有投資組合的集合。在均值-方差框架下，投資者通過選擇其無差異曲線（代表風(fēng)險(xiǎn)偏好）與有效前沿相切的那個(gè)投資組合，即可找到符合其風(fēng)險(xiǎn)-收益偏好的最優(yōu)投資組合。這個(gè)切點(diǎn)代表了在給定的風(fēng)險(xiǎn)偏好下，無法在增加收益的同時(shí)不增加風(fēng)險(xiǎn)（或在不增加風(fēng)險(xiǎn)的情況下獲得更高收益）的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后收益。6.AR(1)模型參數(shù)α表示某期股票收益率對(duì)其自身上一期收益率的依賴程度或“持續(xù)性”。具體來說，α衡量的是當(dāng)本期收益率發(fā)生一個(gè)單位變化時(shí)，預(yù)期下一期收益率將平均變化α個(gè)單位。α的取值范圍通常在-1到1之間。該模型的平穩(wěn)性條件是參數(shù)α的絕對(duì)值小于1，即|α|<1。如果α=1，模型變?yōu)橥耆曰貧w，可能不平穩(wěn)；如果α=0，模型退化為隨機(jī)游走過程；只有當(dāng)-1<α<1時(shí)，模型才表示一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列過程，其波動(dòng)傾向于逐漸衰減。三、7.CAPM（資本資產(chǎn)定價(jià)模型）是一個(gè)單因素模型，假設(shè)存在一個(gè)單一的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)因素（市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)），資產(chǎn)的預(yù)期收益率由其貝塔系數(shù)（β）決定，β衡量資產(chǎn)對(duì)市場(chǎng)收益變動(dòng)的敏感度。模型為：E(Ri)=Rf+βi*[E(Rm)-Rf]，其中Rf是無風(fēng)險(xiǎn)利率，E(Rm)是市場(chǎng)預(yù)期收益率。APT（套利定價(jià)理論）是一個(gè)多因素模型，認(rèn)為資產(chǎn)收益率由多個(gè)相互獨(dú)立的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)因素（如通貨膨脹率、利率水平、工業(yè)產(chǎn)出等）的共同影響決定。模型為：E(Ri)=Rf+βi1*[E(F1)-Rf]+βi2*[E(F2)-Rf]+...+βik*[E(Fk)-Rf]，其中βij是資產(chǎn)對(duì)第j個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因素的敏感度，E(Fj)是第j個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因素的預(yù)期變動(dòng)。主要區(qū)別在于風(fēng)險(xiǎn)因素的數(shù)量和性質(zhì)：CAPM為單因素；APT為多因素。APT更具普遍性，但具體因素的選擇和度量更具挑戰(zhàn)性。8.時(shí)間序列數(shù)據(jù)的自相關(guān)性（Autocorrelation）是指一個(gè)時(shí)間序列中的觀測(cè)值與其自身過去某個(gè)或某些時(shí)期的觀測(cè)值之間存在相關(guān)關(guān)系。在回歸分析中，如果模型包含因變量的滯后值作為自變量，或者模型遺漏了應(yīng)該包含的自變量的滯后值，或者存在測(cè)量誤差，都可能導(dǎo)致殘差項(xiàng)出現(xiàn)自相關(guān)性。自相關(guān)性會(huì)“欺騙”普通最小二乘法（OLS），使得估計(jì)出的回歸系數(shù)（包括截距和斜率）的方差估計(jì)有偏（通常是低估），導(dǎo)致t檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)失去可靠性，從而可能錯(cuò)誤地得出變量之間存在關(guān)系的結(jié)論（第二類錯(cuò)誤），并使得預(yù)測(cè)精度下降。簡(jiǎn)單來說，自相關(guān)性意味著模型設(shè)定存在偏差，違反了OLS的基本假設(shè)之一（誤差項(xiàng)獨(dú)立同分布）。9.原假設(shè)H0:μ=μm，即股票的平均收益率與市場(chǎng)平均水平相同（或無差異）。備擇假設(shè)H1:μ>μm，即股票的平均收益率顯著高于市場(chǎng)平均水平。這里μ代表股票的總體平均收益率，μm代表市場(chǎng)平均收益率。應(yīng)選擇的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法是右側(cè)單樣本t檢驗(yàn)。理由：①是在總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的情況下，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行推斷；②是樣本量n=100較大（n>30），根據(jù)中心極限定理，樣本均值近似服從正態(tài)分布；③是檢驗(yàn)?zāi)繕?biāo)是比較樣本均值與一個(gè)已知常數(shù)（市場(chǎng)平均收益率）。四、10.檢驗(yàn)兩只基金平均年收益率是否存在顯著差異，屬于兩個(gè)獨(dú)立樣本均值比較問題（方差相等）。檢驗(yàn)步驟：a.建立假設(shè)：H0:μ甲=μ乙(兩只基金平均收益率無顯著差異)H1:μ甲≠μ乙(兩只基金平均收益率存在顯著差異)b.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：使用兩樣本均值差別的t檢驗(yàn)公式。由于總體方差未知但相等，合并方差Sp2=[(nA-1)sA2+(nB-1)sB2]/(nA+nB-2)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(ˉxA-ˉxB)/[Sp*√(1/nA+1/nB)]。題目未給出樣本量nA和nB，無法計(jì)算具體數(shù)值。但應(yīng)寫出此公式。c.確定拒絕域：給定顯著性水平α=0.05，自由度df=nA+nB-2。查找t分布表得到臨界值tα/2,df。對(duì)于雙尾檢驗(yàn)，若計(jì)算出的t統(tǒng)計(jì)量絕對(duì)值大于臨界值，或p值小于0.05，則拒絕原假設(shè)。d.做出決策：根據(jù)計(jì)算出的t值與臨界值比較，或根據(jù)p值與α比較，判斷是否拒絕H0。若拒絕H0，則認(rèn)為兩基金平均收益率存在顯著差異；若不拒絕H0，則認(rèn)為無足夠證據(jù)表明存在顯著差異。11.VaR（ValueatRisk）的基本原理是在給定的置信水平和持有期下，估計(jì)投資組合可能面臨的最大潛在損失金額。例如，95%VaR意味著有95%的概率，投資組合在下一持有期內(nèi)的損失不會(huì)超過該VaR值。VaR的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單直觀，易于理解，被廣泛用于風(fēng)險(xiǎn)管理和報(bào)告。但其主要局限性包括：①隱性風(fēng)險(xiǎn)（TailRisk）：VaR只提供了損失的一個(gè)閾值，但沒有提供超過該閾值的實(shí)際損失分布信息，無法衡量極端事件（肥尾）可能造成的巨大損失。②欠連續(xù)性（Non-Continuity）：對(duì)于非正態(tài)分布（特別是具有“肥尾”）的收益率數(shù)據(jù)，VaR可能低估實(shí)際的風(fēng)險(xiǎn)。③非次可加性（Subadditivity）：對(duì)于多個(gè)投資組合，總風(fēng)險(xiǎn)的VaR不一定等于各部分組合VaR之和（尤其在組合內(nèi)資產(chǎn)相關(guān)性較高時(shí)）。改進(jìn)VaR局限性的方法包括：①計(jì)算條件VaR（CVaR）或預(yù)期shortfall損失（ES），它們衡量超過VaR的尾部損失的平均大小，能提供更全面的風(fēng)險(xiǎn)圖景。②使用更復(fù)雜的模型來捕捉收益率分布的肥尾特性，如GARCH模型、蒙特卡洛模擬等。③考慮投資組合的流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)和交易成本。12.假設(shè)月收益率R~N(μ=1%,σ=5%)，月收益率與月收益率獨(dú)立同分布。計(jì)算10天VaR。首先需要將月收益率轉(zhuǎn)換為日收益率。假設(shè)每日收益率r也服從正態(tài)分布，其均值為μr=μ/25=1%/25=0.04%，其標(biāo)準(zhǔn)差σr=σ/√25=5%/5=1%。計(jì)算10天持有期的日收益率均值的期望E(Σr??)=10*μr=10*0.04%=0.4%。計(jì)算10天持有期的日收益率標(biāo)準(zhǔn)差σ(Σr