2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在生產(chǎn)計劃中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共18分。請將正確選項的字母填在括號內(nèi)。）1.某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，需要消耗兩種資源C和D。已知生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需要消耗3單位C和2單位D，生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需要消耗2單位C和1單位D。工廠每周可獲取60單位C和40單位D。若每件A產(chǎn)品的利潤為5元，每件B產(chǎn)品的利潤為4元，則該工廠每周的最大利潤是多少元？(A)180(B)190(C)200(D)2102.在運輸問題中，若某物資的供應(yīng)地有兩個，需求地有三個，且供應(yīng)量分別為40和60，需求量分別為30、50和20。則該運輸問題的解是否存在？(A)存在(B)不存在(C)可能存在(D)無法判斷3.某公司需要決定是否投資一個新項目。若投資成功，可獲得100萬元的收益；若投資失敗，將損失20萬元。已知投資成功的概率為0.7。則該公司投資該項目的期望收益是多少萬元？(A)70(B)80(C)90(D)1004.某排隊系統(tǒng)，顧客到達服從泊松分布，服務(wù)時間服從負指數(shù)分布，平均到達率為每小時10人，平均服務(wù)率為每小時12人。則該排隊系統(tǒng)的平均等待時間是多少分鐘？(A)5(B)10(C)15(D)205.某倉庫每年需要訂購某種物資1000件，每次訂購費用為50元，每件物資的年保管費用為10元。已知該物資的消耗是均勻的。則該倉庫的最優(yōu)訂購批量是多少件？(A)100(B)200(C)300(D)4006.已知某線性規(guī)劃問題的約束條件為：2x1+x2≤10，x1+2x2≤8，x1,x2≥0。則該問題的可行域是幾邊形？(A)三(B)四(C)五(D)六二、填空題（每小題4分，共20分。請將答案填在橫線上。）1.在運輸問題中，若某物資的供應(yīng)量為40，需求量為30，則該物資的平衡情況是__________。2.某排隊系統(tǒng)，平均到達率為每小時15人，平均服務(wù)率為每小時20人。則該排隊系統(tǒng)的交通強度（ρ）是__________。3.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為1000元，每件產(chǎn)品的可變成本為5元，售價為10元。則該公司生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時可以保本？(提示：保本點是指總收入等于總成本的經(jīng)營狀態(tài))4.在整數(shù)規(guī)劃中，若某個變量的取值必須是整數(shù)，則稱該變量為__________變量。5.某庫存問題的需求是隨機性的，其均值為每周10件，標(biāo)準(zhǔn)差為每周2件。若采用（Q，r）策略進行庫存控制，其中r為訂貨點，Q為訂貨批量。已知安全庫存為10件，則訂貨點r是多少件？(假設(shè)需求服從正態(tài)分布)三、計算題（每小題10分，共40分。請寫出詳細的計算過程。）1.某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，需要消耗兩種資源C和D。已知生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需要消耗3單位C和2單位D，生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需要消耗2單位C和1單位D。工廠每周可獲取60單位C和40單位D。若每件A產(chǎn)品的利潤為5元，每件B產(chǎn)品的利潤為4元。工廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)計劃，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少元？2.某物資從兩個供應(yīng)地S1和S2運往三個需求地D1、D2和D3。供應(yīng)地S1的供應(yīng)量為70，S2的供應(yīng)量為30。需求地D1的需求量為50，D2的需求量為20，D3的需求量為40。從S1到D1、D2、D3的單位運價分別為3元、2元、4元；從S2到D1、D2、D3的單位運價分別為1元、5元、2元。請計算該物資的最小運輸總費用。3.某公司需要決定是否投資兩個項目P1和P2。若投資P1成功，可獲得80萬元的收益；若投資P1失敗，將損失10萬元。投資P1成功的概率為0.6。若投資P2成功，可獲得60萬元的收益；若投資P2失敗，將損失20萬元。投資P2成功的概率為0.7。若該公司只能選擇投資其中一個項目，則該公司應(yīng)選擇投資哪個項目？期望收益是多少萬元？4.某倉庫每年需要訂購某種物資1000件，每次訂購費用為50元，每件物資的年保管費用為10元。已知該物資的消耗是均勻的。若不允許缺貨，請計算該倉庫的最優(yōu)訂購批量及每年訂購次數(shù)。若允許缺貨，且單位缺貨損失為2元，則最優(yōu)訂購批量及每年訂購次數(shù)又是多少？四、綜合應(yīng)用題（共22分。請根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，并進行分析求解。）某公司計劃生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，需要進行市場調(diào)研和產(chǎn)品開發(fā)。市場調(diào)研需要投入10萬元，產(chǎn)品開發(fā)需要投入20萬元。若市場調(diào)研成功，則產(chǎn)品開發(fā)的成功的概率為0.8；若市場調(diào)研失敗，則產(chǎn)品開發(fā)成功的概率為0.2。若產(chǎn)品開發(fā)成功，則生產(chǎn)該產(chǎn)品的成本為每件50元，售價為每件100元；若產(chǎn)品開發(fā)失敗，則公司將損失50萬元。該公司預(yù)計每年可以銷售該新產(chǎn)品1000件。請建立合適的數(shù)學(xué)模型（可以選用線性規(guī)劃、決策分析或其他合適的模型），分析該公司應(yīng)如何決策才能獲得最大期望收益。試卷答案一、選擇題1.(C)2.(A)3.(A)4.(B)5.(B)6.(B)二、填空題1.供過于求(或10>30)2.0.753.2004.整數(shù)5.20三、計算題1.解：設(shè)每周生產(chǎn)A產(chǎn)品x1件，生產(chǎn)B產(chǎn)品x2件。目標(biāo)函數(shù)：MaxZ=5x1+4x2約束條件：3x1+2x2≤60x1+x2≤40x1,x2≥0用圖解法求解：可行域頂點為(0,0),(0,20),(20,0),(15,25)。計算各頂點目標(biāo)函數(shù)值：Z(0,0)=0Z(0,20)=80Z(20,0)=100Z(15,25)=175最大值為175，此時x1=15,x2=25。最大利潤為175元。2.解：設(shè)從S1到D1、D2、D3的運輸量分別為x11、x12、x13，從S2到D1、D2、D3的運輸量分別為x21、x22、x23。目標(biāo)函數(shù)：MinZ=3x11+2x12+4x13+x21+5x22+2x23約束條件：x11+x12+x13=70x21+x22+x23=30x11+x21=50x12+x22=20x13+x23=40xij≥0(i=1,2;j=1,2,3)用表上作業(yè)法求解（此處省略表格過程），得最優(yōu)解：x11=50,x12=20,x13=0,x21=0,x22=0,x23=30。最小運輸總費用為3*50+2*20+0+0+0+2*30=220元。3.解：設(shè)選擇投資P1為方案A，選擇投資P2為方案B。構(gòu)造決策矩陣：|方案|自然狀態(tài)|收益（萬元）||----------|------------|------------||A|P1成功|80|||P1失敗|-10||B|P2成功|60|||P2失敗|-20|計算期望收益：E(A)=0.6*80+0.4*(-10)=48-4=44E(B)=0.7*60+0.3*(-20)=42-6=36因為E(A)>E(B)，所以該公司應(yīng)選擇投資P1。期望收益為44萬元。4.解：(1)不允許缺貨：Q=sqrt((2DS)/H)=sqrt((2*1000*50)/10)=sqrt(10000)=100N=D/Q=1000/100=10最優(yōu)訂購批量為100件，每年訂購次數(shù)為10次。(2)允許缺貨：Q*=sqrt((2DS(H+P))/PH)=sqrt((2*1000*50*(10+2))/10*2)=sqrt(120000)=346.41N*=D/Q*=1000/346.41=2.88T*=Q*/D=346.41/1000=0.346最優(yōu)訂購批量為346件（取整），每年訂購次數(shù)為3次，最大允許缺貨量為Q*(H/P)=346.41*(10/2)=1732件（取整為1732件）。（注意：此處計算結(jié)果可能因取整略有偏差，但思路正確）四、綜合應(yīng)用題解：設(shè)選擇進行市場調(diào)研為方案A，選擇不進行市場調(diào)研為方案B；選擇進行產(chǎn)品開發(fā)為方案C，選擇不進行產(chǎn)品開發(fā)為方案D。構(gòu)造決策樹：root/\AB/\/\CDCD////80-100-50概率：A->C0.8,A->D0.2;B->C0.2,B->D0.8計算期望收益：E(C|A)=0.8*80+0.2*(-10)-10-20=64-2-30=32E(D|A)=0.8*0+0.2*(-50)-10=-10-10=-20E(C|B)=0.2*80+0.8*0-50=16-50=-34E(D|B)=0.2*0+