專題17整式的乘法（重難點(diǎn)題型專訓(xùn)）【知識考點(diǎn)整式的乘法】【解題知識必備】1.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘（1）法則：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘作為積的因式，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.（2）注意：①系數(shù)：積的系數(shù)等于系數(shù)的積；②相同字母：相同字母的冪相乘；③單獨(dú)字母：連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘（1）法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.（2）用式子表示：p(a+b+c)=pa+pb+pc（3）注意：①依據(jù)是乘法分配律；②積的項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；③在做乘法運(yùn)算時(shí)，一定要注意單項(xiàng)式和多項(xiàng)式中每一項(xiàng)的符號，不要乘錯。3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘（1）法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.（2）用式子表示：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn（3）注意：①不要漏乘；②符號問題；③最后結(jié)果應(yīng)化成最簡形式(是同類項(xiàng)的要合并).4.同底數(shù)冪的除法（1）法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．（2）用式子表示：am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n都是正整數(shù)，m＞n）．（3）同底數(shù)冪的除法性質(zhì)的推廣：三個(gè)及以上的的同底數(shù)冪相除，即am÷an÷ap＝amnp（a≠0，m，n，p都是正整數(shù)，并且m＞n+p）．（4）同底數(shù)冪除法性質(zhì)的逆用：am﹣n＝am÷an（m，n是正整數(shù)）．（5）注意：①底數(shù)a≠0，因?yàn)?不能做除數(shù)；②單獨(dú)的一個(gè)字母，其指數(shù)是1，而不是0；③應(yīng)用同底數(shù)冪除法的法則時(shí)，底數(shù)a可是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，但必須明確底數(shù)是什么，指數(shù)是什么．5.零指數(shù)冪的意義（1）性質(zhì)：任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.即：a0=1(a≠0).（2）注意：①只有當(dāng)?shù)讛?shù)不為零時(shí)，它的零次冪才等于1.②底數(shù)a可是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，但不能為0.6.單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式（1）法則：單項(xiàng)式相除,把系數(shù)與同底數(shù)的冪分別相除作為商的因式；對于在被除式里含有的字母，則連它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.（2）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式分為三個(gè)步驟：①把系數(shù)相除，所得結(jié)果做為商的系數(shù)；②把同底數(shù)冪分別相除，所得結(jié)果作為商的因式；③把只在被除式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.7.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式（1）法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．（2）用式子表示：(am+an)÷m=am÷m+bm÷n=a+b．（3）注意：①應(yīng)用法則就是把多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式．②計(jì)算時(shí)要注意符號問題，多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都包含它前面的符號，同時(shí)還要注意單項(xiàng)式的符號.③計(jì)算時(shí)不要漏項(xiàng)，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與被除式的項(xiàng)數(shù)相同．【重難點(diǎn)?？碱}型梳理】【題型01】單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的有關(guān)運(yùn)算【題型02】單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的有關(guān)運(yùn)算【題型03】多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的有關(guān)運(yùn)算【題型04】同底數(shù)冪除法的有關(guān)運(yùn)算及逆用【題型05】零指數(shù)冪法則的有關(guān)運(yùn)算【題型06】單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的有關(guān)運(yùn)算【題型07】多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的有關(guān)運(yùn)算【題型08】多項(xiàng)式乘積中不含某項(xiàng)的求值問題【題型09】整式乘法中的規(guī)律問題【題型10】整式乘法中的化簡求值【題型11】整式乘法的實(shí)際應(yīng)用【題型12】整式的混合運(yùn)算【特訓(xùn)13】綜合強(qiáng)化提升【特訓(xùn)14】直通中考真題【題型01】單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的有關(guān)運(yùn)算【例1】（20252026八年級上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算：A．12 B．9 C．6 D．3【變式13】（20242025八年級上·湖北宜昌·階段練習(xí)）計(jì)算：-2a【題型02】單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的有關(guān)運(yùn)算A．3 B．2 C．1 D．0【變式22】（20242025七年級下·四川成都·期末）若規(guī)定符號abcd的意義是：abcd=ad-bc【變式23】（20242025八年級·黑龍江綏化·期中）計(jì)算：【題型03】多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的有關(guān)運(yùn)算【變式31】（20242025八年級上·河南周口·期末）若122x+1x+4=x【變式32】（20242025七年級下·四川成都·期末）小明在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課后，設(shè)計(jì)了以下運(yùn)算xymn=xn-ym,‖x,y‖=3(x-y)．若M=a-2b??2a-ba+2b??-a-2b【變式33】（20252026八年級上·全國·隨堂練習(xí)）計(jì)算：【題型04】同底數(shù)冪除法的有關(guān)運(yùn)算及逆用A． B． C． D．【變式42】（20242025七年級下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知10x=50,10y=12，則x-y【變式43】（20242025八年級上·安徽阜陽·階段練習(xí)）已知3a=4，3b(1)求3a+b(2)求32a【題型05】零指數(shù)冪法則的有關(guān)運(yùn)算A．0 B．1 C．－1 D．不能計(jì)算【變式53】（20242025八年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）計(jì)算：【題型06】單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的有關(guān)運(yùn)算【例6】（20242025八年級上·青海海北·期末）已知-5am+1b2n-1÷a3A．m=3，n=-1 B．m=1，n=4C．m=3，n=8 D．m=3，n=2【變式61】（20242025八年級上·河南周口·階段練習(xí)）已知2m3na2【變式63】（20242025八年級上·廣東東莞·期末）某科技館中“數(shù)理世界”展廳的WiFi密碼被設(shè)計(jì)成如圖所示的數(shù)學(xué)問題．小東在參觀時(shí)認(rèn)真觀察，輸入密碼后順利地連接到網(wǎng)絡(luò)，則“？”處的數(shù)字是．賬號：shulishijie密碼：前四位：SLSJ后四位：？xxx【題型07】多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的有關(guān)運(yùn)算【例7】（20252026八年級上·全國·課前預(yù)習(xí)）計(jì)算：【變式71】（20242025七年級下·河南鄭州·階段練習(xí)）已知xn+a+xn+b÷xn+1=A．-1 B．0 C．1 D．-1或1【變式73】（20242025八年級上·吉林通化·階段練習(xí)）【題型08】多項(xiàng)式乘積中不含某項(xiàng)的求值問題【題型09】整式乘法中的規(guī)律問題(2)根據(jù)你的猜想，計(jì)算：【變式92】（20252026八年級上·山西長治·階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動探究日歷中的數(shù)學(xué)規(guī)律．．．．．．(1)分別寫出等比數(shù)列1，2，4，8的“2級等比數(shù)列”和“3級等比數(shù)列”；(2)若等比數(shù)列：，，，，．①求該等比數(shù)列的所有數(shù)之和．【題型10】整式乘法中的化簡求值【例10】（20242025八年級上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期中）先化簡再求值：(x+2y)(2x+y)-(3x-y)(x+2y)，其中【變式101】（20242025七年級下·湖南婁底·期末）若a2+7a=5，則2a+1a+3-A．17 B．-1 C．5 D．11【題型11】整式乘法的實(shí)際應(yīng)用【例11】（20242025八年級上·四川綿陽·期末）如圖是在一片長方形空地上設(shè)計(jì)一個(gè)長方形花圃的設(shè)計(jì)方案，已知空地的長比寬的2倍少1米，周邊的道路是等寬的．(1)設(shè)空地的寬是米，周邊道路的寬度是米，請表示出花圃的面積；(2)在（1）的條件下，若要求花圃的寬是米，請用表示出花圃的面積．【變式111】（20242025七年級下·浙江衢州·期末）如圖，將邊長分別為2，3，5的正方形GBIR，AFNE，CJQH放置在長方形ABCD內(nèi)，陰影部分的面積分別為S1，S2，若【變式112】（20242025七年級下·河北石家莊·期末）如圖，某小區(qū)為改善業(yè)主的居住環(huán)境，準(zhǔn)備在一個(gè)長為3a+2b米，寬為2a+b米的長方形草坪上修建兩條寬為b米的小路．(1)求這兩條小路的總面積；（要求化成最簡形式）(2)若a=4,b=2，求這兩條小路的總面積．的遮陽簾水平向左拉伸時(shí)，恰好與在同一直線上（即點(diǎn)G、H、P在同一直線上）．【題型12】整式的混合運(yùn)算【例12】（20242025八年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）計(jì)算：【變式121】（20242025七年級下·遼寧沈陽·期中）計(jì)算：(1)1(2)4a【變式122】（20242025七年級下·陜西寶雞·階段練習(xí)）已知A，B均為整式，A=xy+1xy-1-2x2y2-xy+1小馬在計(jì)算(1)求A÷B的正確結(jié)果；(2)當(dāng)xy=2時(shí)，求A÷B的值．【變式123】（20252026八年級上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算：(1)-3(2)-4a(3)x-(4)-4a【特訓(xùn)13】綜合強(qiáng)化提升1.（20242025七年級下·陜西西安·期中）若2x-3ymx-ny=9y2-4A．-25 B．-1 C．1 D．252.（20242025七年級下·浙江寧波·期末）如圖，正方形ABCD和長方形EFGH的面積相等，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，F(xiàn)G過點(diǎn)D，連接DH，△DGH的面積為1．若記AE長為x，CF長為y，當(dāng)x，y的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是（

）A．x+y B．xy C．x2+3.（20242025七年級下·重慶·期中）若a2-3a-2=0，則a4.（20242025七年級下·江蘇蘇州·期中）聰聰計(jì)算一道整式乘法的題：x+m5x-4，由于聰聰將第一個(gè)多項(xiàng)式中的“+m”抄成“-m”，得到的結(jié)果為5x25.（20242025七年級下·河南鄭州·期中）小鄭用6個(gè)長為m，寬為n的小長方形按如圖方式不重疊放在長方形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個(gè)長方形）用陰影表示，其面積分別表示為S1，S2，且S=S1-S26.（20242025七年級下·江蘇蘇州·期中）若等式x-s3x+t=3x2+mx-n恒成立，無論t7.（20242025七年級下·四川成都·期中）已知代數(shù)式mx2+2x與x2+3nx+2積是一個(gè)關(guān)于x的三次多項(xiàng)式，且化簡后含8.（20242025八年級·全國·假期作業(yè)）已知單項(xiàng)式-2x3m-1y2n-3和7x(1)求的值．12.（20242025七年級下·山東菏澤·期末）已知關(guān)于x的代數(shù)式x+2mx2-x+1(1)求m，(2)求代數(shù)式m202513.（20242025八年級上·甘肅平?jīng)觥て谀┘?、乙兩人共同?jì)算一道整式：x+a2x+b，由于甲抄錯了a的符號，得到的結(jié)果是2x2-7x+3(1)求-2a+b(2)請計(jì)算這道題的正確結(jié)果．14.（20242025七年級下·遼寧本溪·期末）已知x-2x2+mx+1(1)求m的值；(2)在（1）的條件下，求m+1m(3)計(jì)算100-110015．（20242025七年級下·江蘇無錫·階段練習(xí)）先閱讀材料，再解答問題：例：已知x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，試比較解：設(shè)123456788=a，則x=(a+1)(a-2)=a∵x-問題：已知x=20242024×20242028-20242025×20242027，16.（20242025七年級·湖南長沙·期中）【概念學(xué)習(xí)】我們規(guī)定兩數(shù)a、b之間的一種運(yùn)算，記作a,b：如果ac=b，那么a,b=c；例如2【初步探究】（1）根據(jù)以上規(guī)定求出：4,64=；2024,1=【深入思考】對于相同底數(shù)的冪的乘法運(yùn)算，我們有ax例如24（2）小明發(fā)現(xiàn)5,3+設(shè)：5,3=x,5,4因?yàn)?x?5y=根據(jù)以上證明，請計(jì)算2024,6+（3）猜想4,14-17．（20242025八年級上·福建泉州·期末）某學(xué)習(xí)小組在綜合實(shí)踐課上，學(xué)習(xí)了“面積與代數(shù)恒等式”，知道很多代數(shù)恒等式可以用硬紙片拼成的圖形面積來解釋．(2)小組成員發(fā)現(xiàn)可利用（1）的結(jié)論解答下列問題：18.（20242025八年級上·吉林·期中）我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”（如圖所示）就是一例．這個(gè)三角形的構(gòu)造法則為：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和．事實(shí)上，這個(gè)三角形給出了(a+b)n（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)(a+b)2=(1)計(jì)算：(a+b)0=(2)若(a+b)4=a4+m