專題03概率的進一步認識（2知識&5題型）【清單01】利用樹狀圖或表格求概率1.樹狀圖法：當(dāng)一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖.樹狀圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.注意：樹狀圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；2.表格法：當(dāng)一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用表格法.表格法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.注意：（1）表格法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；（2）表格法適用于涉及兩步試驗的隨機事件發(fā)生的概率.（3）在用表格法或樹狀圖法求可能事件的概率時，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同.【清單02】用頻率估計概率當(dāng)試驗的可能結(jié)果不是有限個，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般用統(tǒng)計頻率的方法來估計概率.注意：用試驗去估計隨機事件發(fā)生的概率應(yīng)盡可能多地增加試驗次數(shù)，當(dāng)試驗次數(shù)很大時，結(jié)果將較為精確.【題型一】用列表法或畫樹狀圖法求概率【例11】（2425九年級上·北京海淀·期中）不透明的袋子中裝有一個紅色小球和一個白色小球，除顏色外兩個小球無其他差別．從中隨機取出一個小球后，放回并搖勻，再從中隨機取出一個小球，則兩次都取到紅色小球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：依題意，畫樹狀圖如下：由圖知，共有4種等可能的結(jié)果，其中兩次都取到紅色小球的結(jié)果有1種，兩次都取到紅色小球的概率為．故選：D．A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：列表如下：11，1，11，，1，，故選：B.【例13】（2425九年級上·貴州貴陽·期中）互聯(lián)網(wǎng)的進步，改變著人們的生活方式，購物支付也有著巨大變化．在一次購物中，小紅和小星都想從微信、支付寶、現(xiàn)金三種支付方式中隨機任選一種進行支付．(1)小紅在支付中，選用微信支付的概率是______；(2)利用畫樹狀圖或列表的方法求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率．【詳解】（1）由題意知，共有3種等可能的結(jié)果，其中選用微信支付的結(jié)果有1種，∴小紅在支付中，選用微信支付的概率是．故答案為：．（2）將微信、支付寶、現(xiàn)金三種支付方式分別記為A，B，C，列表如下：ABCABC【例14】（2425九年級上·浙江紹興·期中）把大小和形狀完全相同的6張卡片分成兩組，每組3張，分別都標(biāo)上數(shù)字1，2，3，將這兩組卡片分別放入兩個不透明的盒子中攪勻，再從中各隨機抽取一張．(1)請用畫樹狀圖或列表的方法求取出的兩張卡片上的數(shù)字都為奇數(shù)的概率；(2)若取出的兩張卡片上的數(shù)字和為奇數(shù)，則甲勝；取出的兩張卡片上的數(shù)字和為偶數(shù)，則乙勝；試分析這個游戲是否公平？請說明理由．【詳解】（1）解：畫樹狀圖得：由上圖可知，所有等可能結(jié)果共有9種，其中兩張卡片數(shù)字都為奇數(shù)的結(jié)果有4種，則取出的兩張卡片上的數(shù)字都為奇數(shù)的概率是；（2）不公平；理由：取出的兩張卡片上的數(shù)字和為奇數(shù)的有4種，數(shù)字和為偶數(shù)的有5種，則取出的兩張卡片上的數(shù)字數(shù)字和為奇數(shù)的概率是，和為偶數(shù)的概率是，因此，這個游戲不公平．【變式11】（2425九年級上·福建·期中）如圖，三角形①，②，③，④是四個完全相同的三角形，從這四個三角形中任選兩個三角形，則這兩個三角形只有一個公共頂點的概率是．【答案】【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中兩個三角形只有一個公共頂點的結(jié)果為：①③，②④，③①，④②，共有4種，故答案為：．【變式12】（2425九年級上·河南焦作·期中）小穎有紅、黃、藍三支彩筆，這三支彩筆的筆桿與筆帽的顏色一致，完成繪畫后她隨機將三個筆帽蓋在筆桿上，每個筆帽與筆桿的顏色都不匹配的概率為．【答案】【詳解】解：由題意可得，共有種結(jié)果：紅紅，黃黃，藍藍；紅紅，藍黃，黃藍；黃紅，紅黃，藍藍；黃紅，藍黃，紅藍；藍紅，紅黃，黃藍；藍紅，黃黃，紅藍；其中每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的有種結(jié)果，故答案為：．【變式13】（2425九年級上·陜西榆林·期中）消防教育進校園，消防安全記心間．為切實提升廣大師生的自護自救能力，陽光中學(xué)組織全體師生開展了消防演練．在實際演練之前，學(xué)校提前制定好了活動方案，為了保證廣大師生的安全，防止踩踏事件的發(fā)生，在各樓層的通道處安排了疏散引導(dǎo)員．該校決定在九年級的甲，乙，丙，丁4位老師中隨機選取2位作為疏散引導(dǎo)員，其中甲、乙是男老師，丙，丁是女老師．(1)若從中先選取1名疏散引導(dǎo)員，這名疏散引導(dǎo)員是女老師的概率是______；(2)請用畫樹狀圖法或列表法，求被選到的2位老師是一男一女的概率．【詳解】（1）解：由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中這名疏散引導(dǎo)員是女老師的結(jié)果有2種，故答案為：；（2）解：列表如下：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，?。┍ū?，甲）（丙，乙）（丙，?。┒。ǘ?，甲）（丁，乙）（丁，丙）共有12種等可能的結(jié)果，其中被選到的2位老師是一男一女的結(jié)果有8種，【變式14】（2425九年級上·云南昆明·期中）某學(xué)校舉辦了“創(chuàng)建全國文明城市，爭做文明學(xué)生”的演講比賽，每個班只有一個參賽名額．某班為了從兩位優(yōu)秀演講者小云、小南中選出一位參加比賽，他們決定采用摸球的辦法確定誰去，規(guī)則如下：在一個不透明的盒子中裝有三個分別標(biāo)有1、2、3的小球（小球除了數(shù)字不同，其余都相同），充分搖勻后從盒子里摸出一個小球記下標(biāo)號后放回搖勻，再從中隨機摸出一個小球記下標(biāo)號．如果兩個數(shù)字之積為偶數(shù)則小云去，反之則小南去．(1)請你用列表法或樹狀圖法表示出兩次摸球數(shù)字積的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；(2)你認為這個規(guī)則公平嗎?請說明理由．【詳解】（1）解：兩次摸球數(shù)字積的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果列表如下：（2）這個規(guī)則不公平，由表知，共有9種等可能結(jié)果，其中兩個數(shù)字之積為偶數(shù)的有5種結(jié)果，兩個數(shù)字之積為奇數(shù)的有4種結(jié)果，所以小云去的概率為，小南去的概率為∴這個規(guī)則不公平．【變式15】（2425九年級上·甘肅蘭州·期中）小明看到路邊有人設(shè)攤玩“有獎擲幣”游戲，規(guī)則是：交二元錢就可以玩一次游戲．每次同時擲三枚硬幣，如果出現(xiàn)三枚硬幣均正面或均反面朝上獎金5元；如果是其他情況，沒有獎金(硬幣落地只有正面朝上和反面朝上兩種情況)．小明拿不定主意去玩還是不玩，請你幫助他解決下列問題：(1)請用“畫樹狀圖”或“列表”的方法求出中獎的概率；(2)如果有100個人，每人玩一次這種游戲，則約有人中獎，獎金共元，設(shè)攤者獲利元．【詳解】（1）解：畫樹狀圖如下：共有：正正正、正正反、正反正、正正反、反正正、反正反、反反正、反反反，8種情況，其中正正正、反反反，共2種情況，故答案為：25，125，75．【題型二】用頻率估計概率【例21】（2425九年級上·福建·期中）農(nóng)科院某研究所在相同條件下做某種農(nóng)作物的發(fā)芽率試驗，結(jié)果如下表所示：種子個數(shù)2005007008009001000發(fā)芽種子個數(shù)187435624718814901種子發(fā)芽率0.9350.8700.8910.8980.9040.901下面有四個判斷，其中合理的是（

）A．試驗種子的個數(shù)最少的那次試驗得到的種子發(fā)芽的頻率一定是種子發(fā)芽的概率B．試驗種子的個數(shù)最多的那次試驗得到的種子發(fā)芽的頻率一定是種子發(fā)芽的概率D．隨著參加試驗的種子數(shù)量增加，種子發(fā)芽的頻率在0.9附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計種子發(fā)芽的概率約為0.9【答案】D【詳解】解：根據(jù)大量試驗得到的發(fā)芽率即為概率，故說法正確的是D選項，故選：D．【例22】（2425九年級上·陜西商洛·期中）一個不透明的盒子中裝有紅、黃兩種顏色的小球共個，它們除顏色外都相同．小明將盒子中的小球攪拌均勻，從中隨機摸出一個小球記下它的顏色后放回盒中，重復(fù)這一過程，試驗發(fā)現(xiàn)摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定在左右，由此估計盒子中紅色小球有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A故選：A．【例23】（2425九年級上·浙江嘉興·期中）在一只不透明的口袋里，裝有若干個除了顏色外均相同的小球，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)．下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到白球的次數(shù)m5896b295480601摸到白球的頻率a0.640.590.590.600.601(1)上表中的=；(2)“摸到白球”的概率的估計值是（精確到0.1）；(3)如果袋中有15個白球，那么袋中除了白球外，還有多少個其它顏色的球．故答案為：．（2）解：由表格的數(shù)據(jù)可得，“摸到白球的”的概率的估計值是．故答案為：．答：除白球外，還有大約10個其它顏色的小球．【答案】C【詳解】解：∵點落在白色區(qū)域的頻率穩(wěn)定在0.4左右，∴點落在白色區(qū)域的概率在0.4左右，故選：C．【變式22】（2425九年級上·甘肅蘭州·期中）在一個不透明的袋子中有除顏色外均相同的9個白球和若干黑球，通過多次摸球試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率約為0.3，估計袋中黑球有個．【答案】【詳解】解：∵通過多次摸球試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率約為0.3，∴摸到白球的概率約為0.3，故答案為：．【變式23】（2425九年級上·陜西西安·期中）在一個不透明的盒子里裝有只有顏色不同的黃、白兩種顏色的乒乓球共40個，某數(shù)學(xué)興趣小組做摸球試驗，將乒乓球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1001502003005008001000摸到黃色乒乓球的次數(shù)69102143213353560701摸到黃色乒乓球的頻率0.690.680.715a0.7060.70b(1)①上表中的_____，_____；②根據(jù)上表估計，當(dāng)n很大時，摸到黃色乒乓球的概率約是_____；（精確到0.1）(2)試估計盒子中黃色乒乓球的個數(shù)．故答案為：0.71，0.701；②由表格中的數(shù)據(jù)可知，摸到黃色乒乓球的頻率在0.7附近，當(dāng)很大時，摸到黃色乒乓球的概率約是0.7，故答案為：0.7；（2）解：由（1）可知，摸到黃色乒乓球的概率約是0.7，答：盒子中黃色乒乓球的個數(shù)大約是28個．【變式24】（2425九年級上·北京·期中）某商場有一個可以自由轉(zhuǎn)動的圓形轉(zhuǎn)盤（如圖）．規(guī)定：顧客購物100元以上可以獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在哪一個區(qū)域就獲得相應(yīng)的獎品（指針指向兩個扇形的交線時，當(dāng)作指向右邊的扇形）．表格是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)1001502005008001000落在“鉛筆”的次數(shù)68111136345546701落在“鉛筆”的頻率（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）0.680.740.680.690.680.70(1)轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，獲得鉛筆的概率約為_________；（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）(2)鉛筆每只0.5元，飲料每瓶3元，經(jīng)統(tǒng)計該商場每天約有4000名顧客參加抽獎活動，請計算該商場每天需要支出的獎品費用．【詳解】（1）轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次,獲得鉛筆的概率約為，故答案為：；所以該商場每天大致需要支出的獎品費用為5000元．【題型三】概率與統(tǒng)計圖綜合(1)這個班級有名學(xué)生．(2)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是，中位數(shù)是．(3)班級準(zhǔn)備從獲得滿分10分的同學(xué)中選拔一男一女兩名同學(xué)參加學(xué)校舉行的田徑運動會，體育老師發(fā)現(xiàn)獲得滿分的男女生人數(shù)相同，且甲男生和丙女生都在其中，求甲和丙同時被選中的概率．故答案為：40；得分為8分的有12人，該班立定跳遠成績的眾數(shù)是9分，將成績按從小到大排列后，第20個和21個成績分別為8分和9分，故答案為：9，；（3）解：由（2）知獲得滿分10分的同學(xué)有4名，其中兩男兩女，畫樹狀圖如圖所示，共有12種等可能結(jié)果，其中甲和丙同時被選中的有2種，【例32】（2425九年級上·遼寧阜新·期中）2024年8月8日是中國第16個“全民健身日”為提高學(xué)生身體素質(zhì)，積極倡導(dǎo)全民健身，某校開展了一分鐘跳繩比賽．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組隨機抽取了部分學(xué)生成績，并對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計整理，以下是不完整的統(tǒng)計圖表．一分鐘跳繩成績統(tǒng)計表成績等級一分鐘跳繩次數(shù)頻數(shù)AnB75C69D36請根據(jù)以上信息，完成下列問題，(1)隨機抽取的學(xué)生人數(shù)為_________人，統(tǒng)計表中的_________，統(tǒng)計圖中B等級對應(yīng)扇形的圓心角為_________度；(2)該校共有800人參加比賽，請你估計該校成績達到B等級及以上的有多少人(3)該比賽服務(wù)組有一名男生和兩名女生，現(xiàn)從中隨機挑選兩名同學(xué)負責(zé)跳繩發(fā)放工作，請用樹狀圖法或列表法求出恰好選中都是女生的概率．答：該校成績達到等級及以上的有人；（3）解：列表如下，男女1女2男女1，男女2，男女1男，女1女2，女1女2男，女2女1，女2由表可知，共有種情況，每種情況出現(xiàn)的機會均等，其中是都是女生的情況共有2種，答：恰好選中“都是女生”的概率為．【例33】（2425九年級上·重慶黔江·期中）為了提高中學(xué)生身體素質(zhì)，學(xué)校開設(shè)了A：籃球、B：足球、C：跳繩、D：羽毛球四種體育活動，為了解學(xué)生對這四種體育活動的喜歡情況，在全校隨機抽取若干名學(xué)生進行問卷調(diào)查（每個被調(diào)查的對象必須選擇而且只能在四種體育活動中選擇一種），將數(shù)據(jù)進行整理并繪制成以下兩幅統(tǒng)計圖（未畫完整）．(1)這次調(diào)查中，一共調(diào)查了名學(xué)生；圖1中B類所占百分比為；(2)請補全條形統(tǒng)計圖；(3)若有3名喜歡跳繩的學(xué)生，1名喜歡足球的學(xué)生組隊外出參加一次聯(lián)誼活動，欲從這四名學(xué)生中選出2人擔(dān)任組長（不分正副），請用列表或是畫樹狀圖的方法求出一人是喜歡跳繩、一人是喜歡足球的學(xué)生的概率．補全條形統(tǒng)計圖如圖（3）解：分別用A，B，C表示3名喜歡跳繩的學(xué)生，D表示1名喜歡足球的學(xué)生；畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結(jié)果，一人是喜歡跳繩、一人是喜歡足球的學(xué)生的有6種情況，【例34】（2425九年級上·遼寧沈陽·期中）某校為了解九年級學(xué)生對消防安全知識掌握的情況，隨機抽取該校20名九年級學(xué)生進行測試（測試滿分為10分），并將這20名學(xué)生分成甲、乙兩組，每組各10人．對測試成績進行收集、整理、描述和分析，并制成了如下統(tǒng)計圖表：平均數(shù)/分中位數(shù)/分眾數(shù)/分甲組88乙組8.3根據(jù)以上信息，回答下列問題．(1)填空：________，________，_________；(2)該校九年級共有360名學(xué)生，若全年級學(xué)生都參加本次測試，請估計測試成績達到9分及以上的人數(shù)；(3)現(xiàn)在準(zhǔn)備從甲、乙兩組滿分為10分的學(xué)生中隨機抽取兩名學(xué)生參加市級競賽，請用列表法或畫樹狀圖法求所抽取的兩名學(xué)生恰好一人來自甲組，另一人來自乙組的概率．【詳解】（1）解：從折線統(tǒng)計圖中可以看出，甲組中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人，從條形統(tǒng)計圖中可以看出，乙組中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人，乙組中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是，乙組的眾數(shù)為，故答案為，，；答：估計測試成績達到9分及以上的人數(shù)有144名；（3）將甲組滿分為10分的一名學(xué)生記為A，乙組滿分為10分的兩名學(xué)生分別記為B，C，列表如下：ABCABC共有6種等可能的結(jié)果，其中所抽取的兩名學(xué)生恰好一人來自甲組，另一人來自乙組的結(jié)果有共4種，年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀等級所占百分比七年級84.684a八年級84.6b98(1)____________，____________．(2)根據(jù)以上樣本數(shù)據(jù)，估計該學(xué)校哪個年級學(xué)生的環(huán)保知識競賽成績更好．請說明理由．（寫出一條理由即可）(3)學(xué)校計劃從七年級成績優(yōu)秀的4名學(xué)生（分別記為甲，乙，丙，?。┲须S機選取甲，乙兩人進社區(qū)宣傳環(huán)保知識，請用列表法或畫樹狀圖法求恰好選中甲?乙的概率．∴出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)為，∵八年級學(xué)生成績良好等級中所有數(shù)據(jù)為，，，，，，，∴個八年級學(xué)生成績從小到大排列，第個和第個數(shù)據(jù)是和，（2）八年級．理由：兩個年級學(xué)生的環(huán)保知識競賽成績的平均數(shù)相同，而八年級學(xué)生環(huán)保知識競賽成績的眾數(shù)及優(yōu)秀率均高于七年級∴八年級學(xué)生的環(huán)保知識競賽成績更好；（3）樹狀圖如下：由圖可得，共有12種等可能得情況，恰好選中甲?乙的情況有種，八年級10名學(xué)生的成績是：82，92，99，84，89，92，94，92，86，100．九年級10名學(xué)生的成績在C組中的數(shù)據(jù)是：90，92，95，91．八、九年級抽取的學(xué)生成績統(tǒng)計表年級八年級九年級平均數(shù)9191中位數(shù)92b眾數(shù)c95方差31.617.8根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)填空：，，；(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)填空：從穩(wěn)定性的角度分析，你認為該校年級學(xué)生掌握知識較好．上述調(diào)查過程中，從八、九年級分別抽取的10名學(xué)生中，達到95及95分以上的同學(xué)共有5人，現(xiàn)從這5人中任選兩名學(xué)生作為代表參加重慶市的“禁毒知識”比賽，請問選中的兩名學(xué)生都是九年級學(xué)生的概率為；(3)該校八年級800人、九年級600人參加了此次答題競賽活動，請估計兩個年級參加競賽活動的成績不低于90分的共有多少人？八年級成績的眾數(shù)為92，（2）解：∵八年級成績的方差為31.6，九年級成績的方差為17.8，∴八年級成績的方差大于九年級成績的方差，∴九年級的成績比較穩(wěn)定，掌握知識較好；九年級的三名同學(xué)用A、B、C表示，八年級2名同學(xué)同a、b表示，畫樹狀圖為：共有20種等可能的結(jié)果，其中選中的兩名學(xué)生都是九年級學(xué)生的結(jié)果數(shù)為6，所以估計兩個年級參加競賽活動的成績不低于90分的共有900人．【變式33】（2425九年級上·四川成都·期中）某學(xué)校擬舉辦演講比賽、文藝匯演、書畫展覽、知識競賽四種活動，為了解學(xué)生對活動的喜愛情況，學(xué)校隨機抽取了200名學(xué)生進行調(diào)查（每人只能選擇一種方案），將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)以下兩幅圖所給的信息解答下列問題．(1)在抽取的200名學(xué)生中，選擇“演講比賽”的人數(shù)為人，在扇形統(tǒng)計圖中，m的值為；并補全條形統(tǒng)計圖；(2)根據(jù)本次調(diào)查結(jié)果，估計全校2000名學(xué)生中選擇“文藝匯演”的學(xué)生大約有人？(3)現(xiàn)從喜愛“知識競賽”的四名同學(xué)a、b、c、d中，任選兩名同學(xué)參加學(xué)校知識競賽，請用樹狀圖或列表法求出a同學(xué)參加的概率．補全圖形如下：故答案為：40、30．故答案為：800．（3）解：根據(jù)題意列表如下：abcda(b，a)(c，a)(d，a)b(a，b)(c，b)(d，b)c(a，c)(b，c)(d，c)d(a，d)(b，d)(c，d)由表可知，共有12種等可能結(jié)果，其中a同學(xué)參加的有6種結(jié)果，所以a同學(xué)參加的概率為．【題型四】概率中的“放回”和“不放回”問題【例41】（2425九年級上·浙江杭州·期中）一個不透明的口袋中有4個大小，質(zhì)地完全相同的乒乓球，球面上分別標(biāo)有數(shù)，2，，4．搖勻后先從中任意摸出1個球（不放回），再從余下的3個球中任意摸出1個球，用列表或畫樹狀圖的方法求兩次摸出的乒乓球球面上的數(shù)之和是正數(shù)的概率．【答案】【詳解】解：如圖所示，共有12種等可能結(jié)果，其中乒乓球球面上的數(shù)之和是正數(shù)的結(jié)果有8種，【例42】（2425九年級上·浙江杭州·期中）現(xiàn)有三張正面印有2023年杭州亞運會吉祥物琮琮、宸宸、蓮蓮圖案的不透明卡片，卡片除正面圖案不同外，其余均相同．現(xiàn)將這三張卡片放在不透明的盒子中，攪勻后從中任意取出1張卡片，記錄后放回、攪勻，再從中任意取出1張卡片．用列表或畫樹狀圖的方法，求兩次取出的兩張卡片中至少有1張圖案為“琮琮”的概率．【詳解】解：將這三張卡片分別記為A，B，C，列表如下：第一次第二次由表格可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次取出的兩張卡片中至少有1張圖案為“琮琮”的結(jié)果共5種，∴兩次取出的兩張卡片中至少有1張圖案為“琮琮”的概率為．(1)小明想從中隨機抽取一張，去了解該項目在奧運會中的得分標(biāo)準(zhǔn)，恰好抽到是（滑板）的概率是______．(2)體育老師想從中選出來兩個項目，讓小明做成手抄報給大家普及一下，他先從中隨機抽取一張不放回，再從中隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求體育老師抽到的兩張卡片恰好是（滑板）和（運動攀巖）的概率．【詳解】（1）解：恰好抽到是（滑板）的概率是，故答案為：；（2）解：畫樹狀圖如下，共有種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是（滑板）和（運動攀巖）的結(jié)果有種，【例44】（2425九年級上·福建·期中）已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍球共4個，從中任取一球，得到紅球的概率是，得到紅球或黃球的概率是．(1)求盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)；(2)設(shè)置游戲規(guī)則如下：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色，若取到兩個球顏色相同則甲勝，否則乙勝．從概率的角度判斷這個游戲是否公平，請說明理由．答：盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)為個，個和個；（2）解：游戲不公平，理由為：列表為：紅1紅2黃藍紅1紅1，紅1紅2，紅1黃，紅1藍，紅1紅2紅1，紅2紅2，紅2黃，紅2藍，紅2黃紅1，黃紅2，黃黃，黃藍，黃藍紅1，藍紅2，藍黃，藍藍，藍由表格可知共有16種等可能結(jié)果，甲勝出的結(jié)果數(shù)有6種，乙勝出的結(jié)果數(shù)有10種，∴游戲不公平．【變式41】（2425九年級上·寧夏銀川·期中）一個不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“美”、“麗”、“靈”、“武”的四個小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球．(1)若從中任取一個球，求摸出球上的漢字剛好是“美”的概率；(2)甲從中任取一球，不放回，再從中任取一球，請用樹狀圖或列表法，求甲取出的兩個球上的漢字恰能組成“美麗”或“靈武”的概率．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：摸出球上的漢字剛好是“美”的概率為；（2）解：根據(jù)題意，列出表格如下：美麗靈武美麗美靈美武美麗美麗靈麗武麗靈美靈麗靈武靈武美武麗武靈武一共有12種等可能結(jié)果，其中甲取出的兩個球上的漢字恰能組成“美麗”或“靈武”的有2種，【變式42】（2324九年級上·安徽宿州·期中）一個不透明的口袋中放著若干個紅球和黑球，這兩種球除顏色外沒有其他任何區(qū)別，袋中的球已經(jīng)攪勻，閉眼從口袋中摸出一個球，記下顏色后放回攪勻，經(jīng)過大量重復(fù)試驗發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率逐漸穩(wěn)定在附近．(1)估計摸到紅球的概率是___________；(2)若袋中有10個紅球，求袋中一共有多少個球？【詳解】（1）解：經(jīng)過很多次實驗發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率逐漸穩(wěn)定在附近，估計摸到紅球的頻率為，估計摸到紅球的概率是，故答案為：；（2）設(shè)袋中一共有個球，答：袋中一共有25個球．【變式43】（2425九年級上·陜西寶雞·期中）在課堂上，老師將除顏色外都相同的1個黑球和若干個白球放入一個不透明的口袋中并攪勻，讓全班同學(xué)依次進行摸球試驗，每次隨機摸出一個球，記下顏色再放回攪勻，下表是試驗得到的一組數(shù)據(jù)．摸球的次數(shù)n100150200500800摸到黑球的次數(shù)m263749124200摸到黑球的頻率0.260.2470.2450.248a(1)表中a的值等于________；(2)估算口袋中白球的個數(shù)；（2）根據(jù)題意得，黑球的頻率將穩(wěn)定在0.25，∴估計摸到黑球的概率為0.25，【變式44】（2425九年級上·浙江嘉興·期中）在一只不透明的口袋里，裝有若干個除了顏色外均相同的小球，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)．下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到白球的次數(shù)m5896b295480601摸到白球的頻率a0.640.590.590.600.601(1)上表中的=；(2)“摸到白球”的概率的估計值是（精確到0.1）；(3)如果袋中有15個白球，那么袋中除了白球外，還有多