專題02二次函數(shù)的應(yīng)用（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律動點(diǎn)面積問題掌握用含自變量（如動點(diǎn)橫坐標(biāo)）的式子表示圖形邊長、高；學(xué)會根據(jù)面積公式列二次函數(shù)表達(dá)式，求面積最值。高頻中檔題，解答題為主，常結(jié)合矩形、三角形、梯形，易因動點(diǎn)運(yùn)動軌跡分析錯誤、面積公式誤用出錯。增長率問題掌握增長率公式（y=a(1+x)n，a為初始量，x為增長率，n為次數(shù)）；學(xué)會根據(jù)題干信息確定a、n，列函數(shù)式求解增長率或最終量?；A(chǔ)偏中檔題，選擇/填空/解答題小問，易因混淆“增長率”與“降低率”圖形切割問題掌握切割后剩余/拼接圖形的邊長、周長與原圖形的關(guān)系；學(xué)會列二次函數(shù)表達(dá)式（如面積、周長函數(shù)），求最值或符合條件的參數(shù)。中檔題，解答題為主，常結(jié)合矩形、正方形切割（如剪去四角小正方形折無蓋盒），易因圖形關(guān)系分析不清晰出錯。拋物線軌跡運(yùn)動——噴水問題掌握建立平面直角坐標(biāo)系的方法（如以噴水起點(diǎn)為原點(diǎn)，水平為x軸）；學(xué)會根據(jù)拋物線頂點(diǎn)、落點(diǎn)等關(guān)鍵點(diǎn)，用待定系數(shù)法求解析式，解決“最大高度”“噴水距離”問題。高頻中檔題，解答題為主，背景貼近生活，易因坐標(biāo)系建立不當(dāng)或關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)確定錯誤出錯。圍墻柵欄問題掌握“一邊靠墻”時(shí)柵欄長度與矩形長、寬的關(guān)系（如柵欄總長=2寬+長）；學(xué)會列面積函數(shù)表達(dá)式，求最大面積及對應(yīng)邊長。高頻基礎(chǔ)應(yīng)用題，解答題為主，易因忽略“靠墻邊無需柵欄”導(dǎo)致邊長關(guān)系寫錯，影響函數(shù)表達(dá)式。折疊與展開問題掌握折疊后圖形的全等關(guān)系、對應(yīng)邊/角相等；學(xué)會用勾股定理或相似關(guān)系表示未知量，列二次函數(shù)式求最值或長度。中檔偏難題，解答題為主，常結(jié)合矩形、正方形折疊（如折疊頂點(diǎn)到對邊），易因折疊后對應(yīng)點(diǎn)找錯、幾何定理誤用出錯。橋梁隧道問題掌握橋梁（如拋物線形拱橋）、隧道頂部的拋物線模型建立方法；學(xué)會根據(jù)“拱高”“跨度”求解析式，解決“某高度處的水平寬度”問題。中檔題，解答題為主，易因坐標(biāo)系建立（如以跨度中點(diǎn)為原點(diǎn)）或關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)（如拱頂、端點(diǎn)）確定錯誤出錯。拋物線軌跡運(yùn)動——拋球問題掌握以拋球點(diǎn)為原點(diǎn)（或地面為x軸）建立坐標(biāo)系的方法；學(xué)會根據(jù)拋球高度、時(shí)間/水平距離的關(guān)系列函數(shù)式，求最大高度、落地時(shí)間/距離。高頻中檔題，解答題為主，易因“時(shí)間”“水平距離”作為自變量的區(qū)分不清晰，導(dǎo)致函數(shù)變量混淆出錯。銷售問題掌握“利潤=（售價(jià)成本）×銷量”的關(guān)系，及售價(jià)與銷量的聯(lián)動變化（如售價(jià)漲1元，銷量減n件）；學(xué)會列利潤二次函數(shù)式，求最大利潤及對應(yīng)售價(jià)。必考高頻題，解答題核心，占分比高，易因銷量與售價(jià)的變化關(guān)系分析錯誤、利潤公式列錯出錯。分段函數(shù)問題掌握分段函數(shù)中不同區(qū)間的函數(shù)表達(dá)式（如不同銷量對應(yīng)不同折扣，不同時(shí)間段對應(yīng)不同收費(fèi)）；學(xué)會根據(jù)自變量取值范圍選擇對應(yīng)表達(dá)式，解決最值、求值問題。中檔偏難題，解答題為主，易因分段點(diǎn)判斷錯誤、不同區(qū)間表達(dá)式混淆（如忽略自變量取值邊界）出錯。勻變速直線運(yùn)動問題（跨學(xué)科問題）掌握物理中勻變速直線運(yùn)動公式；學(xué)會結(jié)合題干物理量（如速度、位移），列二次函數(shù)式求解時(shí)間、位移最值。低頻偏難題，解答題小問，跨數(shù)學(xué)與物理，易因物理公式記憶錯誤、物理量單位不統(tǒng)一出錯。其他問題掌握題干中“費(fèi)用”“材料”與變量（如長度、數(shù)量）的關(guān)系；學(xué)會列二次函數(shù)式（如總費(fèi)用、材料用量函數(shù)），求最省方案。中檔題，解答題為主，題型靈活，易因題干信息提取不完整、變量關(guān)系梳理不清出錯。知識點(diǎn)01用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟：1.審：仔細(xì)審題，理清題意；2.設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；3.列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；4.解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解實(shí)際問題；5.檢：檢驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)行合理取舍，得出符合實(shí)際意義的結(jié)論.【注意】二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用通常是在一定的取值范圍內(nèi)，一定要注意是否包含頂點(diǎn)坐標(biāo)，如果頂點(diǎn)坐標(biāo)不在取值范圍內(nèi)，應(yīng)按照對稱軸一側(cè)的增減性探討問題結(jié)論．利用二次函數(shù)解決利潤最值的方法：巧設(shè)未知數(shù)，根據(jù)利潤公式列出函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題。利用二次函數(shù)解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法：先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，再根據(jù)題意找出已知點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出拋物線解析式，最后根據(jù)圖象信息解決實(shí)際問題。利用二次函數(shù)解決面積最值的方法：先找好自變量，再利用相關(guān)的圖形面積公式，列出函數(shù)關(guān)系式，最后利用函數(shù)的最值解決面積最值問題?！咀⒁狻孔宰兞康娜Q范圍。題型一動點(diǎn)面積問題解｜題｜技｜巧1.建坐標(biāo)系：以固定邊為坐標(biāo)軸，設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)（如設(shè)動點(diǎn)P(x,y)，其中y用二次函數(shù)表示）；2.面積表達(dá)：用“割補(bǔ)法”（如分割成直角三角形、矩形）或公式法（如三角形面積=1/2×底×高）列面積函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)；3.求最值：根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)判斷開口方向，利用頂點(diǎn)式（y=a(xh)2+k）求面積最值，注意自變量x的取值范圍（動點(diǎn)運(yùn)動區(qū)間）?！镜淅?】如圖，在△BEF中，∠BFE=90°，EF=BF=2，正方形ABCD的邊BC與BF在同一條直線上，AB=2，將△BEF沿BC平移，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，停止平移．設(shè)點(diǎn)B平移的距離為x，△BEF與正方形ABCD重合部分的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】本題主要考查動點(diǎn)函數(shù)圖象問題，涉及到二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形和三角形面積，先判斷△BEF在平移過程中不同階段重合部分圖形的形狀，再求出面積y關(guān)于平移距離x的函數(shù)表達(dá)式，最后根據(jù)函數(shù)表達(dá)式判斷出函數(shù)的圖象．【詳解】解：當(dāng)0≤x≤2時(shí)，△BEF向右平移，此時(shí)重合部分是一個等腰直角三角形，重合面積為y=12x當(dāng)2<x<4時(shí)，重合部分是一個四邊形，面積等于△BEF的面積減去右側(cè)小等腰直角三角形的面積，即：y=12×2×2?綜上，選項(xiàng)A的圖象符合題意，故選：A．【變式1】如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，點(diǎn)E在邊BC上移動（不與點(diǎn)B，C重合），連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE交CD于點(diǎn)F，設(shè)BE=x，CF=y，則y與x之間的函數(shù)圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，勾股定理，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由BE=x，CF=y，且△AEF為直角三角形，運(yùn)用勾股定理得出y與x的關(guān)系，再判斷出函數(shù)圖象即可．【詳解】解：如圖，連接AF．∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，∴AB=CD=2，AD=BC=3，∵BE=x，CF=y，則CE=BC?BE=3?x，DF=CD?CF=2?y，∴AE2=BE2又∵△AEF為直角三角形，∴AE2+E整理得y=?1該函數(shù)圖象是開口向下、頂點(diǎn)坐標(biāo)是32∵點(diǎn)E在邊BC上移動（不與點(diǎn)B，C重合），∴該函數(shù)圖象不包含原點(diǎn)和x軸的交點(diǎn)，故選：B．【變式2】如圖，在△BEF中，∠BFE=90°，EF=BF=2，正方形ABCD的邊BC與BF在同一條直線上，AB=2，將△BEF沿BC平移，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，停止平移．設(shè)點(diǎn)B平移的距離為x,△BEF與正方形ABCD重合部分的面積為y，則y關(guān)于A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查動點(diǎn)函數(shù)圖象問題，涉及到二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形和三角形面積，先判斷△BEF在平移過程中不同階段重合部分圖形的形狀，再求出面積y關(guān)于平移距離x的函數(shù)表達(dá)式，最后根據(jù)函數(shù)表達(dá)式判斷出函數(shù)的圖象．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)B平移的距離為x，△BEF與正方形ABCD重合部分的面積為y．①∴當(dāng)0≤x≤2時(shí)，如圖1，BB′=x②當(dāng)2<x≤4時(shí)，如圖2，CG=CB′=x?2，EF=2∴y=12CG+EF綜上，y=1由分段函數(shù)可以看出A選項(xiàng)中的函數(shù)圖象與所求的分段函數(shù)對應(yīng)．故選：A．題型二增長率問題解｜題｜技｜巧1.牢記公式：若初始量為a，平均增長率（下降率）為x，經(jīng)過n次變化后量為b，則：?增長：a(1+x)?=b（x>0）；?下降：a(1x)?=b（0<x<1）；2.解方程：整理為一元二次方程，舍去負(fù)根（增長率不能為負(fù)，下降率小于1）；3.驗(yàn)實(shí)際意義：結(jié)果需符合實(shí)際（如增長率不能過大）?！镜淅?】某公司去年的銷售額為100萬元，預(yù)計(jì)未來三年的銷售額增長率將按照二次函數(shù)的模型增長．設(shè)增長率為y%，時(shí)間（年）為x，假設(shè)增長率函數(shù)模型為y=2x2+bx+c．根據(jù)市場分析，今年（第一年）的增長率為10%【答案】34%【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再把x=3代入解析式y(tǒng)=2x2+4x+4【詳解】解：根據(jù)題意得：二次函數(shù)y=2x2+bx+c經(jīng)過1,10∴2+b+c=108+2b+c=20解得b=4c=4∴二次函數(shù)解析式為y=2x當(dāng)x=3時(shí)，y=2×9+4×3+4=18+12+4=34，∴第三年的增長率為34%，故答案為：34%．【變式1】某玩具廠7月份生產(chǎn)玩具200萬只，9月份生產(chǎn)該玩具y（萬只）．設(shè)該玩具的月平均增長率為x，則y與x之間的函數(shù)表達(dá)式是．【答案】y=200【分析】由題意知，8月份生產(chǎn)玩具2001+x萬只，9月份生產(chǎn)該玩具2001+x2【詳解】解：由題意知，8月份生產(chǎn)玩具2001+x萬只，9月份生產(chǎn)該玩具200依題意得，y=2001+x故答案為：y=2001+x【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的列等式．【變式2】芯片行業(yè)是制約我國工業(yè)發(fā)展的主要技術(shù)之一．經(jīng)過大量科研、技術(shù)人員艱苦攻關(guān)，我國芯片有了新突破．某芯片實(shí)現(xiàn)國產(chǎn)化后，芯片價(jià)格大幅下降．原來每片芯片的單價(jià)為200元，準(zhǔn)備進(jìn)行兩次降價(jià)，如果每次降價(jià)的百分率都為x，經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為y（元）．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果該芯片經(jīng)過兩次降價(jià)后每片芯片單價(jià)為128元，求每次降價(jià)的百分率．【答案】(1)y=200(2)20%【分析】（1）利用經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格=原價(jià)×(1?每次降價(jià)的百分率)2，即可找出y與x（2）根據(jù)該芯片經(jīng)過兩次降價(jià)后每塊芯片單價(jià)為128元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵每次降價(jià)的百分率都為x，經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為y（元）∴依題意得：y=2001?x∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=2001?x（2）依題意得：2001?x解得：x1=0.2=20%，∴每次降價(jià)的百分率為20%．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．題型三圖形切割問題解｜題｜技｜巧1.設(shè)變量：設(shè)切割部分的邊長為x（如剪去的小正方形邊長）；2.表邊長：用x表示剩余圖形的邊長（如無蓋長方體的長=原長2x，寬=原寬2x，高=x）；列函數(shù)：根據(jù)面積/容積公式列二次函數(shù)，求最值（注意x>0且原邊長2x>0）【典例1】如圖，一張正方形紙板的邊長為2cm，將它剪去直角三角形（圖中陰影部分）．設(shè)AE=BF=CG=DH=xcm，四邊形EFGH的面積為ycm2，則y關(guān)于x【答案】y=2【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意表示出AH=DG=CF=EB=2?xcm，然后用正方形ABCD【詳解】解：∵一張正方形紙板的邊長為2cm，∴AB=BC=CD=AD=2cm，設(shè)AE=BF=CG=DH=xcm∴AH=DG=CF=EB=2?xcm∴y=2×2?4×1故答案為：y=2x【變式1】如圖，四邊形ABCD是一塊邊長為2m的正方形鐵板，在邊AB上選取一點(diǎn)M，分別以AM和MB為邊截取兩塊相鄰的正方形板材，當(dāng)AM的長x為m【答案】1【分析】本題考查了二次函數(shù)與圖形面積的計(jì)算，理解題意，得到截取面板的面積為S=2x?1【詳解】解：∵截取的兩塊面板均為正方形，AM=xm，則BM=AB?AM=2?xm，設(shè)截取面板的面積為∴S=x∵2>0，∴當(dāng)x=1時(shí)，S的值最小，最小為2，故答案為：1．題型四拋物線軌跡運(yùn)動——噴水問題解｜題｜技｜巧1.建坐標(biāo)系：通常以拋出點(diǎn)/噴口為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸；2.定解析式：設(shè)拋物線為y=ax2+bx+c（或頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(xh)2+k），代入已知點(diǎn)（如起點(diǎn)、最高點(diǎn)、落地點(diǎn)）求參數(shù)；3.求關(guān)鍵量：?最大高度：頂點(diǎn)縱坐標(biāo)（k）；?射程：y=0時(shí)x的正根（落地點(diǎn)橫坐標(biāo)）?！镜淅?】（2023·山東濱州·中考真題）要修一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心3m，水管高度應(yīng)為【答案】9【分析】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用．設(shè)拋物線的解析式為y=ax??2+k，用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，再令x=0【詳解】解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax??由題意可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,3，與x軸的一個交點(diǎn)為3,0，∴0=a×3?1解得：a=?3∴拋物線的解析式為：y=?3當(dāng)x=0時(shí)，y=?3∴水管的高度為94故答案為：94【變式1】某圓形洗手盆上安裝了一款水龍頭，其彎曲部分呈拋物線形，以水龍頭底部與洗手盆臺面的交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直立部分OA所在直線為y軸，垂直于OA的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，測得水龍頭最高點(diǎn)P距x軸36cm，距y軸12(1)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)__________；(2)若沿水龍頭噴出的水柱仍然按照原來的拋物線軌跡運(yùn)動，且在臺面的落點(diǎn)到直立部分OA的距離為123+12cm【答案】(1)12,36(2)24cm【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確的求出二次函數(shù)的解析式，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)題意得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出頂點(diǎn)式，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，求出拋物線與y軸的交點(diǎn)即可得出結(jié)果?！驹斀狻浚?）解：∵點(diǎn)P距x軸36cm，距y軸12cm，且點(diǎn)P在第一象限，∴P12,36故答案為：12,36；（2）解：由題意得，設(shè)拋物線解析式為y=ax?122+36∴0=a123+12?12因此y=?1當(dāng)x=0時(shí)，y=24，∴水龍頭直立部分OA的長度為24cm．【變式2】小紅觀察到一處噴水景觀噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：噴水裝置OP豎立在地面上，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其中一條水柱距地面的高度y（m）與水柱距噴水頭的水平距離x（m）之間滿足關(guān)系式y(tǒng)=?0.1x?4(1)求噴頭P與地面的距離OP；(2)已知身高1.6m的小紅現(xiàn)直立在距離噴水裝置OP3m的水柱正下方的點(diǎn)B處，此時(shí)她的頭頂并未接觸到水柱，小紅想要繼續(xù)沿BA方向直立行走，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，距離點(diǎn)【答案】(1)0.4m(2)離點(diǎn)B3m遠(yuǎn)【分析】利用本題重點(diǎn)考查?二次函數(shù)的性質(zhì)與實(shí)際應(yīng)用?，?理解二次函數(shù)表達(dá)式各參數(shù)的意義，并將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解是解題的關(guān)鍵?．（1）令x=0，求出y即得答案；（2）計(jì)算當(dāng)y=1.6，求出x，再用結(jié)果減去3即得答案．【詳解】（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=?0.1×0?4答：噴頭P與地面的距離OP為0.4m．（2）將y=1.6代入y=?0.1x?42+2解得x1=2（舍），6?3=3m，答：當(dāng)小紅的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，距離點(diǎn)B3m遠(yuǎn)．題型五圍墻柵欄問題解｜題｜技｜巧1.設(shè)變量：設(shè)與墻垂直的邊長為x，與墻平行的邊長為y；2.找關(guān)系：柵欄總長L=2x+y（或x+2y，依墻的位置定），故y=L2x；3.列面積函數(shù)：面積S=x?y=x(L2x)=2x2+Lx，求最大值（x>0且y=L2x>0）?！镜淅?】某工廠計(jì)劃利用一塊長為10米、寬為6米的矩形空地搭建一個矩形蔬菜大棚，大棚一邊靠墻（墻足夠長，可利用的墻長不超過8米），另外三邊用籬笆圍成，籬笆總長為16米．設(shè)大棚垂直于墻的一邊長為x米，大棚的面積為S平方米，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．【答案】S=?2x2【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)建二次函數(shù)模型．根據(jù)題意利用矩形的面積公式，列出面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式，再根據(jù)平行于墻的長大于0，不超過8米建立一元一次不等式組求解．【詳解】解：設(shè)大棚垂直于墻的一邊長為x米，由題意得：S=16?2x∴S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為S=?2x由題意得：16?2x>016?2x≤8解得4≤x≤6，∴自變量取值范圍是4≤x≤6．【變式1】張伯伯挨著一面墻開墾了一塊矩形田地，準(zhǔn)備種植蔬菜．張伯伯將矩形田地ABCD用90m的籬笆分割成如圖所示的四個面積相等的矩形（矩形田地ABCD的邊緣除邊AD外都要圍上），種植不同種類的蔬菜，設(shè)BC=x(1)求矩形田地ABCD的面積的最大值．(2)若矩形田地ABCD的面積不小于150m2，求【答案】(1)矩形田地ABCD的面積的最大值為270(2)當(dāng)矩形田地ABCD的面積不小于150m2時(shí)，BC【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)和面積公式，列出一元二次方程和二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）由矩形的性質(zhì)得GE=BE，AG=2GE，AB=CD=2AG，再由籬笆總長90m可得AB+CD+BC+EF+GH+JI=90m，進(jìn)而可用含x的代數(shù)式表示出AG、AB，再根據(jù)矩形的面積公式可得二次函數(shù)S矩形ABCD（2）令?65x?152+270=150【詳解】（1）根據(jù)題意可得矩形AGIJ，矩形JIHD，矩形GEFH，矩形BCFE的面積相等，∴GE=BE，AG=2GE，

∴AB=CD=2AG，∵BC=xm，∴GH=EF=xm，∵AB+CD+BC+EF+GH+JI=90m，∴2AG+2AG+AG+3BC=90，∴AG=18?3∴AB=2AG=36?6∴S矩形ABCD∵AB=36?6解得x<30，∴0<x<30，∴當(dāng)x=15時(shí)，S矩形ABCD最大，最大值為270答：矩形田地ABCD的面積的最大值為270m（2）根據(jù)（1）可得S矩形ABCD令?6解得x1=5，∵?6∴二次函數(shù)S矩形ABCD=?6∴當(dāng)x<15時(shí)，S矩形ABCD隨x的增大而增大；當(dāng)x>15時(shí)，S∴當(dāng)5≤x≤25時(shí)，S矩形ABCD∴當(dāng)矩形田地ABCD的面積不小于150m2時(shí)，BC的取值范圍為【變式2】如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個2m寬的門（建在EF處，另用其他材料）．(1)當(dāng)羊圈的長和寬分別為多少米時(shí)，能圍成一個面積為640m(2)羊圈的面積能達(dá)到650m(3)當(dāng)羊圈的長和寬分別為多少米時(shí)，羊圈的面積最大，最大面積是多少？【答案】(1)能圍成一個面積為640m2的羊圈，長和寬分別是20m，32m或16m，(2)不能圍成一個面積為650m(3)AB為18米時(shí)圍成一個面積最大的矩形羊圈，最大面積是648m【分析】本題考查一元二次方程解決應(yīng)用題及二次函數(shù)解決應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系式．（1）假設(shè)能圍成，設(shè)AB=xm，根據(jù)面積列式方程求解即可得到答案；（2）假設(shè)能圍成，設(shè)AB=xm，根據(jù)面積列式方程求解即可得到答案；（3）設(shè)面積為y表示出y與x出解析式，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)直接求解即可得到答案；【詳解】（1）解：假設(shè)能圍成一個面積為640m2的羊圈，設(shè)x(70+2?2x)=640，解得：x1=20，答：能圍成一個面積為640m2的羊圈，長和寬分別是20m，32m或16m，（2）解：假設(shè)能圍成一個面積為650m2的羊圈，設(shè)x(70+2?2x)=650，整理得：x2∵△=36∴方程無解，∴不能圍成一個面積為650m答：不能圍成一個面積為650m（3）解：設(shè)面積為y，由題意可得，y=x(72?2x)=?2x∵?2<0，∴當(dāng)x=18時(shí)，y最大，ymax∴AB為18米時(shí)圍成一個面積最大的矩形羊圈，最大面積是648m題型六折疊與展開問題解｜題｜技｜巧1.用折疊性質(zhì)：折疊后“對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等”（如折疊點(diǎn)A到A'，則OA=OA'，PA=PA'）；2.設(shè)未知數(shù)：設(shè)折疊后重合的線段長度為x（如折痕上的點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離）；3.列方程：在折疊形成的直角三角形中，用勾股定理列方程（常含二次項(xiàng)），求解后結(jié)合二次函數(shù)求最值。【典例1】在一次勞動課中，老師準(zhǔn)備了一些長為40cm、寬為20cm的長方形硬紙板，準(zhǔn)備利用這些紙板制作無蓋的長方體紙盒，且每張紙板可制作兩個紙盒（接頭處忽略不計(jì)）．如圖，活動小組將紙板在四個直角處裁掉四個邊長為xcm的正方形，再在中間裁掉一塊正方形BCFE(1)求制作的無蓋紙盒的底面的邊AB的長；(2)寫出一個無蓋紙盒的體積y（單位：cm3）與x（單位：cm）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x的值為5時(shí)，單個無蓋紙盒的體積y【答案】(1)10cm(2)y=?20x2+200x，當(dāng)【分析】本題考查了列代數(shù)式、長方體的展開圖、二次函數(shù)解析式和求函數(shù)值：（1）根據(jù)BC=DE及裁剪后的圖形關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)長方體的體積公式表示出y，再求值即可．【詳解】（1）解：如圖為兩個無蓋紙盒的展開圖：由圖可知，BE=BC=20?2xcm故AB=1故邊AB的長為10cm；（2）解：根據(jù)題意，可知無蓋紙盒的長寬高分別為：10cm,20?2x∴y=10×20?2x∴當(dāng)x=5時(shí)，y=?20×5【變式1】綜合與實(shí)踐：利用正方形硬紙板設(shè)計(jì)制作帶蓋長方體盒子四邊形ABCD是邊長為30cm設(shè)計(jì)方案一：如圖①，將正方形硬紙片ABCD的四個角分別剪去大小相同的兩個正方形和兩個長方形（陰影部分所示），再沿虛線折合得到一個底面為長方形MNQP的包裝盒（如圖②所示）．（1）設(shè)MG=acm，MP=________cm，（用含a的代數(shù)式表示）；若底面積MNQP為162cm2，則MG設(shè)計(jì)方案二：如圖③，將正方形硬紙板ABCD切去四個全等的等腰直角三角形（陰影部分所示），其中點(diǎn)E，F(xiàn)在AB上；再沿虛線折起，點(diǎn)A，B，C，D恰好重合于點(diǎn)O處（如圖④所示），形成有一個底面為正方形MNQP的包裝盒，設(shè)GF=xcm（2）請直接寫出線段BF的長________cm（用含x的代數(shù)式表示）；（3）求長方體盒子的側(cè)面積S(cm【答案】（1）15?a，6；（2）30?2x2【分析】（1）設(shè)MG=acm，則MN=30?2acm，MP=30?2a（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得EF=2xcm，即得（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求出PF=2BF=152?x，再根據(jù)矩形的面積公式求出【詳解】解：（1）設(shè)MG=acm，則MN=30?2acm，∵底面積MNQP為162cm∴MN?MP=30?2a解得：a1=6，∵M(jìn)N=30?2a∴a<15，∴MG=6cm，MP=9cm．故答案為：15?a，6．（2）∵將正方形硬紙板ABCD切去四個全等的等腰直角三角形，GF=xcm，∴GE=GF=xcm．∴EF=2∴BF=1故答案為：30?2（3）由題意可知△BPF為等腰直角三角形，長方體盒子的側(cè)面為4個全等的矩形，∴PF=2∴S矩形GFPH∴S=4S∵2x<30∴0<x<152∵?4<0，∴當(dāng)x=15答：長方體盒子的側(cè)面積的最大值為450cm【點(diǎn)睛】本題考查折紙長方體．熟練掌握折紙性質(zhì)，矩形和正方形性質(zhì)，長方體展開圖性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，是解題關(guān)鍵．題型七橋梁隧道問題解｜題｜技｜巧1.建坐標(biāo)系：以拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)（或拱腳連線中點(diǎn)為原點(diǎn)），對稱軸為y軸；?例：頂點(diǎn)在(0,h)，拱腳在(±a,0)，解析式為y=kx2+h；2.求參數(shù)：代入拱腳坐標(biāo)求k，確定解析式；3.算實(shí)際量：代入高度y求x（寬度=2|x|），或代入寬度x求y（高度）?！镜淅?】一座橋如圖，橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米．(1)如圖1，若把橋看做是拋物線的一部分，建立如圖坐標(biāo)系，求拋物線的解析式；(2)要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米？【答案】(1)y=?(2)船的寬度須不超過10米【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意并運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解題是關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得D0,4，B10,0，所以可設(shè)拋物線的解析式為y=ax（2）令y=3，得到方程?1【詳解】（1）解：由已知，拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為0,4，拋物線與x軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為10,0，設(shè)拋物線的解析式為y=ax將B10,0代入解析式，得100a+4=0解得a=?1拋物線的解析式為y=?1（2）解：令y=3，則?1解得x=±5，∴船的寬度須不超過5×2=10米．【變式1】如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時(shí)，水面寬4(1)建立平面直角坐標(biāo)系并寫出函數(shù)解析式．(2)水面下降1m【答案】(1)y=?(2)2【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系、二次函數(shù)解決實(shí)際問題：（1）建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)頂點(diǎn)式，再代入點(diǎn)求出解析式；（2）根據(jù)新的縱坐標(biāo)，求出對應(yīng)橫坐標(biāo)即可求出增加的寬度【詳解】（1）以拱頂為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系則拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，設(shè)其解析式為y=a當(dāng)拱頂離水面2m時(shí)，水面寬4m即當(dāng)y=?2時(shí)，x=±2將2,?2代入解析式y(tǒng)=ax2解得：a=?所以函數(shù)解析式為：y=?（2）當(dāng)水面下降1m時(shí)，此時(shí)拱頂離水面3m，即y=?3代入解析式y(tǒng)=?12解得：x=±此時(shí)水面寬度為2原水面寬4m所以水面寬度增加：2【變式2】黃河流域蘭州白塔山段綜合提升改造項(xiàng)目是蘭州市落實(shí)國家黃河流域生態(tài)保護(hù)和高質(zhì)量發(fā)展戰(zhàn)略謀劃的重點(diǎn)工程．項(xiàng)目總投資292030.68萬元，項(xiàng)目隧道工程西起龍?jiān)垂珗@，東至靖遠(yuǎn)路，主線全長約2245米．建設(shè)地點(diǎn)位于蘭州市北濱河路中山橋兩側(cè)，現(xiàn)要修建隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)E所在直線為x軸，以過點(diǎn)O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．根據(jù)設(shè)計(jì)要求∶OE=10m，該拋物線的頂點(diǎn)P到OE的距離為9m．(1)求滿足設(shè)計(jì)要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點(diǎn)A、B處分別安裝照明燈．已知點(diǎn)A、B到OE的距離均為6m，求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=?9(2)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：5?533【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)和二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是正確計(jì)算；（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)題目令函數(shù)值為6，得到方程，解方程即可得到答案；【詳解】（1）解：由題可知：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)P5,9可設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax?5∵O0,0∴25a=?9，解得：a=?9∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=?9（2）解：由題可知：點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)為6，∴?9解得：x1∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：5?533題型八拋物線軌跡運(yùn)動——拋球問題【典例1】在一場籃球賽中，隊(duì)員甲面對面?zhèn)髑蚪o乙，出手后籃球的高度y（m）與飛出的水平距離x（m）滿足y=?1(1)這次傳球的出手高度是__________m，籃球飛行的最大高度是__________m；(2)隊(duì)員乙在籃球飛行方向上距甲6m處，他的最大摸高是3m，他在原地能接到球嗎？如能接到，請計(jì)算說明：如不能，他應(yīng)該前進(jìn)或后退多少米才能接到？【答案】(1)209(2)不能，前進(jìn)5m或后退1m【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）對于出手高度，令x=0代入函數(shù)求y值；求最大高度，將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式來確定．（2）先求x=6時(shí)的y值，與3比較判斷能否接到；若不能，令y=3，解出x的值，再與6比較確定前進(jìn)或后退的距離．【詳解】（1）解：令x=0，代入y=?1y=?1將y=?1y=?1∴籃球飛行的最大高度是4m．故答案依次為：209；4（2）解：當(dāng)x=6時(shí)，y=?=?=∵329∴他在原地不能接到球．令y=3，則?1兩邊同乘9得：?xx2(x?1)(x?7)=0，解得x1=1，∴他應(yīng)該后退7?6=1m能接到球或他應(yīng)該前進(jìn)6?1=5m能接到球．【變式1】在體育課上，小康投擲實(shí)心球，球的運(yùn)動軌跡可以近似地看作拋物線的一部分，并建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知實(shí)心球脫手時(shí)距離地面的豎直高度OA為85米，球在運(yùn)動過程中的最高點(diǎn)離水平地面125米，此時(shí)距離球脫手處的水平距離為(1)求本次小康投擲實(shí)心球的拋物線的解析式．(2)若校方規(guī)定：投擲實(shí)心球的距離不小于8米時(shí)，成績記為滿分．請問小康這次的成績能否得到滿分？請說明理由．【答案】(1)y=?(2)小康這次的成績不能得到滿分，理由見解析【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可設(shè)拋物線頂點(diǎn)式為y=ax?22+125（2）將x=8代入拋物線解析式中，可得?245<0【詳解】（1）解：由題意可設(shè)y=ax?2將A0,85∴a=?1∴拋物線的解析式為y=?1（2）解：小康這次的成績不能得到滿分．理由：當(dāng)x=8時(shí)，y=?1∴小康投擲實(shí)心球的成績小于8米，∴小康這次的成績不能得到滿分．【變式2】擲實(shí)心球是亳州市初中學(xué)業(yè)水平體育與健康學(xué)科考試的選考項(xiàng)目．一男生在拋擲實(shí)心球的過程中，實(shí)心球行進(jìn)路線是一條拋物線，行進(jìn)高度ym與水平距離xm之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，已知該男生擲球時(shí)的起點(diǎn)高度是2m，當(dāng)水平距離為5(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)根據(jù)亳州市2025年初中學(xué)業(yè)水平體育與健康學(xué)科考試項(xiàng)目評分標(biāo)準(zhǔn)（男生），投擲過程中，實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離不小于12.4m【答案】(1)y=?(2)得不到滿分；理由見解析【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：（1）根據(jù)題意設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為頂點(diǎn)式，代入起始點(diǎn)0,2的坐標(biāo)即可求解；（2）令y=0，求出落地點(diǎn)坐標(biāo)即可與12.4m進(jìn)行比較，從而作出判斷．【詳解】（1）解：由題可知拋物線的頂點(diǎn)為5,4，故可設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=ax?5把起始點(diǎn)0,2代入表達(dá)式，得2=25a+4，解得a=?∴y=?2（2）解：該男生在此項(xiàng)考試中得不到滿分．理由如下：令y=0，即0=?2解得x1∵12.07<12.4,∴該男生在此項(xiàng)考試中得不到滿分．題型九銷售問題解｜題｜技｜巧1.設(shè)變量：設(shè)單價(jià)漲（降）x元，或設(shè)新單價(jià)為x元；2.表銷量：單價(jià)漲x元，銷量減mx件（m為已知系數(shù)），即銷量=原銷量mx；3.列利潤函數(shù)：利潤W=(原單價(jià)+x成本)×(原銷量mx)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最大值（x≥0且銷量≥0）。【典例1】2020年6月1日上午，國務(wù)院總理李克強(qiáng)在山東煙臺考察時(shí)表示，地?cái)偨?jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來源，是人間的煙火，和“高大上”一樣，是中國的生機(jī)．王叔叔在翻身路做起了地?cái)偵?，他以每?0元的價(jià)格購進(jìn)一種商品，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量y（件）與每件的銷售單價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系：y=?2x+140(x>40)．(1)若設(shè)利潤為w元，請求出w與x的函數(shù)關(guān)系式．(2)若每天的銷售量不少于44件，則銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，此時(shí)利潤最大，最大利潤是多少？【答案】(1)w=?2(2)當(dāng)銷售單價(jià)定為48元時(shí)獲得最大利潤352元【分析】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（利潤問題），解題的關(guān)鍵是根據(jù)利潤公式建立函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和銷售量的限制條件求解最值．（1）根據(jù)“利潤=（單價(jià)進(jìn)價(jià)）×銷售量”，結(jié)合已知的進(jìn)價(jià)、單價(jià)與銷售量的函數(shù)關(guān)系，推導(dǎo)利潤與單價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；（2）先根據(jù)“銷售量不少于44件”的條件求出x的取值范圍；再將利潤函數(shù)化為頂點(diǎn)式，結(jié)合二次函數(shù)的增減性，在取值范圍內(nèi)求最大利潤及對應(yīng)的銷售單價(jià)．【詳解】（1）解：由題：w=（x?40)(?2x+140)=?2x（2）解：由題：?2x+140≥44，∴x≤48，∵w=?2x∴x頂∵a=?2<0，∴當(dāng)x≤48時(shí)，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=48時(shí)，w最大，且最大為w=(48?40)×(?2×48+140)=352，答：當(dāng)銷售單價(jià)定為48元時(shí)獲得最大利潤352元．【變式1】2025年哈爾濱第九屆亞冬會吉祥物“濱濱”和“妮妮”以東北虎為原型設(shè)計(jì)，寓意“哈爾濱歡迎您”，深受市民和游客喜愛．某特許商品零售店推出吉祥物毛絨玩偶，每件進(jìn)價(jià)35元，根據(jù)市場調(diào)研，若售價(jià)定為50元時(shí)，每天可售出200件，售價(jià)每下降1元，銷量增加20件．(1)若商家決定降價(jià)銷售，設(shè)每件降價(jià)x元x≥0，請直接寫出每日銷量y(件)與x(元)的函數(shù)關(guān)系式；(2)在（1）條件下，每件降價(jià)多少元時(shí)商家每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？【答案】(1)y=200+20x(2)每件降價(jià)52【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“若售價(jià)定為50元時(shí)，每天可售出200件，售價(jià)每下降1元，銷量增加20件”直接列式即可；（2）先根據(jù)總利潤等于單件利潤乘以銷售量列出函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)作答即可．【詳解】（1）由題意可知，每日銷量y(件)與x(元)的函數(shù)關(guān)系式為：y=200+20x；（2）設(shè)每天獲得的利潤為W元，由題意得：W=(50?x?35)(200+20x)=?20(x?5∴當(dāng)x=5答：每件降價(jià)52【變式2】某商場經(jīng)營某種品牌的玩具，購進(jìn)時(shí)的單價(jià)是30元，根據(jù)市場調(diào)查：在一段時(shí)間內(nèi)，銷售單價(jià)是40元時(shí)，銷售量是600件，而銷售單價(jià)每漲1元，就會少售出10件玩具．(1)不妨設(shè)該種品牌玩具的銷售單價(jià)為x元（x>40），請你用x的代數(shù)式來表示銷售該品牌玩具銷售量為_____件（請化簡）．(2)在（1）問條件下，問當(dāng)單價(jià)為多少時(shí)商場銷售該品牌玩具可獲得最大利潤？最大利潤是多少？【答案】(1)1000?10x(2)當(dāng)單價(jià)為65元時(shí)商場銷售該品牌玩具可獲得最大利潤，最大利潤為12250元．【分析】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，列代數(shù)式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）先算出漲價(jià)(x?40)元，再根據(jù)條件化簡即可．（2）根據(jù)（1）中數(shù)據(jù)列出二次函數(shù)解析式，配方求最值即可．【詳解】（1）解：漲價(jià)(x?40)元，則少售出10(x?40)件，則銷量為600?10(x?40)=(1000?10x)件，故答案為：1000?10x．（2）設(shè)總利潤為w元，由題意可得w=(x?30)(1000?10x)，=?10x=?10(x=?10(x?65)當(dāng)x=65時(shí)，w取得最大值12250，答：當(dāng)單價(jià)為65元時(shí)商場銷售該品牌玩具可獲得最大利潤，最大利潤為12250元．【變式3】某商店購進(jìn)了一批吉祥物毛絨玩具，進(jìn)價(jià)為每個30元．若毛絨玩具每個的售價(jià)是40元時(shí)，每天可售出80個；若每個售價(jià)提高1元，則每天少賣2個．(1)設(shè)該吉祥物毛絨玩具每個售價(jià)提高x元，求該商品銷售利潤y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果每天的利潤要達(dá)到1200元，并且盡可能讓利于顧客，每個毛絨玩具售價(jià)應(yīng)定為多少元？【答案】(1)y=?2(2)每個毛絨玩具售價(jià)應(yīng)定為50元【分析】本題主要考查二次函數(shù)及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意；（1）根據(jù)“毛絨玩具每個的售價(jià)是40元時(shí)，每天可售出80個；若每個售價(jià)提高1元，則每天少賣2個”可直接列出函數(shù)關(guān)系式；（2）由（1）及利潤、售價(jià)及成本的等量關(guān)系式可列方程進(jìn)行求解；【詳解】（1）解：由題意得：y=40+x?30∴該商品銷售利潤y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=?2x（2）解：由（1）可得：?2x解得：x1∵盡可能讓利于顧客，∴x=10，40+10=50元，答：每個毛絨玩具售價(jià)應(yīng)定為50元．題型十分段函數(shù)問題解｜題｜技｜巧1.找分段點(diǎn)：確定二次函數(shù)的適用區(qū)間（如x≥a時(shí)用二次函數(shù)，x<a時(shí)用一次函數(shù)）；2.分區(qū)間列函數(shù)：明確各段自變量范圍，分別寫出解析式；3.求最值/取值：在各段內(nèi)分別求二次函數(shù)最值，再比較整體最值；代入時(shí)先判斷自變量屬于哪一段?！镜淅?】雪是冬天的來信，碎碎墜瓊芳，雪花落處，詩意陡升，在云南，遇見雪山的爛漫，看“高原精靈”翩翩起舞，感受“南國霧凇美如畫”的韻味．云南玉龍雪山景區(qū)經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某天門票的銷售量y（單位：張）與門票的售價(jià)x（單位：元/張）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，已知門票售價(jià)不低于50元，不高于300元．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求這一天玉龍雪山景區(qū)銷售門票獲得的總收入W的最大值．【答案】(1)y=(2)最大值為元【分析】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確的列出函數(shù)關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵：（1）分50≤x≤200和200<x≤300兩段，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）分50≤x≤200和200<x≤300兩種情況，分別列出二次函數(shù)和一次函數(shù)關(guān)系式，求最值即可．【詳解】（1）解：當(dāng)50≤x≤200時(shí)，設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+bk≠0將50,17000，100,12000分別代入y=kx+b，得17000=50k+b12000=100k+b解得k=?100b=22000當(dāng)50≤x≤200時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=?100x+22000；由圖象可知，當(dāng)200<x≤300時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=2000．綜上所述，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=?100x+22000（2）當(dāng)50≤x≤200時(shí)，W=x?100x+22000∴當(dāng)x=110時(shí)，W有最大值，最大值為．當(dāng)200<x≤300時(shí)，W=2000x，∵2000>0，∴W隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=300時(shí)，W有最大值，最大值為．∴600000<1210000，∴這一天玉龍雪山景區(qū)銷售門票獲得的總收入W的最大值為元．【變式1】圖1是2022年北京冬奧會首鋼滑雪大跳臺，曲線的設(shè)計(jì)靈感來自敦煌“飛天”飄帶，又名“雪飛天”，它是世界上首例永久性保留和使用的滑雪大跳臺場館．圖2是賽道剖面圖的一部分，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，其中線段AB表示距離水平面（x軸）高度為20m的平臺（點(diǎn)A在y軸上），滑道BC可以看作是反比例函數(shù)圖像的一部分，點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離是4m，點(diǎn)C到水平面的距離為5m，滑道CD可以看作是二次函數(shù)圖像的一部分，最高點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是25m，到水平面的距離是9m(1)求滑道BC的函數(shù)解析式及自變量x的取值范圍；(2)求滑道CD的函數(shù)解析式及自變量x的取值范圍；(3)在小明沿滑道從點(diǎn)B滑到點(diǎn)D處的過程中，當(dāng)他距地面8m時(shí)，所滑過的水平距離為（直接寫出所有可能的結(jié)果）．【答案】(1)y=(2)y=?(3)6m或16.5m或25.5m【分析】本題考查了反比例函數(shù)與二次函數(shù)的應(yīng)用；（1）根據(jù)題意得出點(diǎn)B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出滑道BC的函數(shù)解析式，再求出點(diǎn)C坐標(biāo)，可得自變量x的取值范圍；（2）根據(jù)題意得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出頂點(diǎn)式，利用待定系數(shù)法求出滑道CD的函數(shù)解析式，然后再求出點(diǎn)D坐標(biāo)，可得自變量x的取值范圍；（3）分兩種情況：①在滑道BC上時(shí)，②在滑道CD上時(shí)，分別求出y=8時(shí)對應(yīng)的x的值，再進(jìn)一步計(jì)算即可．【詳解】（1）解：設(shè)滑道BC的函數(shù)解析式為y=k∵點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離是4m，距離水平面（x軸）高度為20m，∴B4,20代入得20=k∴k=80，∴滑道BC的函數(shù)解析式為y=80當(dāng)y=5時(shí)，即5=80解得：x=16，∴C16,5∴自變量x的取值范圍是4≤x≤16；（2）∵最高點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是25m，到水平面的距離是9m∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為25,9，∴設(shè)滑道CD的函數(shù)解析式為y=ax?25把C16,5代入得：5=a解得：a=?∴滑道CD的函數(shù)解析式為y=?4令y=0，即?4解得：x1=38.5，∴D38.5,0∴自變量x的取值范圍是16≤x≤38.5；（3）分兩種情況：①在滑道BC上時(shí)，令y=8，即8=80解得：x=10，∴滑過的水平距離為10?4=6m；②在滑道CD上時(shí)，令y=8，即?4解得：x1=20.5，x2此時(shí)滑過的水平距離為20.5?4=16.5m或29.5?4=25.5m，綜上，滑過的水平距離為6m或16.5m或25.5m，故答案為：6m或16.5m或25.5m．題型十一勻變速直線運(yùn)動問題（跨學(xué)科問題）解｜題｜技｜巧1.明確物理量：區(qū)分v?（初速度，如0）、a（如重力加速度g=9.8m/s2，方向向下為負(fù)）；2.統(tǒng)一單位：確保時(shí)間（s）、速度（m/s）、位移（m）單位一致；3.用函數(shù)性質(zhì)：求位移最大值（頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為時(shí)間，縱坐標(biāo)為最大位移），或求位移為0的時(shí)間（落地時(shí)間）。【典例1】一個重物從高處做自由落體運(yùn)動時(shí)，若不考慮空氣阻力，它的速度會因地心引力而均勻加速，速度（v）與時(shí)間（t）的函數(shù)圖象如圖①，下降的距離會隨時(shí)間的增加而增加，距離（s）與時(shí)間（t）的函數(shù)圖象如圖②．下列結(jié)論錯誤的是（

）A．該重物在t=0.3秒時(shí)，速度為3米/秒B．該重物在0~0.2秒時(shí)間段內(nèi)下降的距離與在0.2~0.4秒時(shí)間段內(nèi)下降的距離相同C．時(shí)間每增加1秒，該重物的速度增加10米/秒D．當(dāng)t=2秒時(shí)，該重物下降距離為20米【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式．先求出一次函數(shù)的解析式，再求出t=0.3秒的速度，可以判斷A；分別求出重物在0~0.2秒時(shí)間內(nèi)下降的距離與在0.2~0.4秒時(shí)間段內(nèi)下降的距離，可判斷B；根據(jù)（A）中求得的函數(shù)表達(dá)式，可判斷C；先求出函數(shù)表達(dá)式，再求出t=2時(shí)的函數(shù)值，可判斷D．【詳解】解：設(shè)直線的解析式為v=kt，則0.4k=4，解得：k=10，所以直線的解析式為v=10t，所以當(dāng)t=0.3秒時(shí)，v=10×0.3=3米/秒，故A正確，但不符合；該重物在0~0.2秒時(shí)間段內(nèi)下降的距離為0.2米，在0.2~0.4秒時(shí)間段內(nèi)下降的距離為0.8?0.2=0.6，故B錯誤，符合；直線的解析式為v=10t，所以時(shí)間每增加1秒，該重物的速度增加10米/秒，故C正確，但不符合；設(shè)距離（s）與時(shí)間（t）的函數(shù)解析式為y=ax因?yàn)楫?dāng)x=0.2時(shí)，y=0.2，所以0.2=0.22a所以距離（s）與時(shí)間（t）的函數(shù)解析式為y=5x當(dāng)t=2秒時(shí)，y=5×22=20故選：B．【變式1】（2025·浙江溫州·二模）如圖，在一條筆直的滑道上有黑、白兩個小球同向運(yùn)動，黑球在O處開始減速，此時(shí)白球在黑球前面20cm處保持2cms的速度勻速運(yùn)動．小聰測量黑球減速后運(yùn)動距離y運(yùn)動時(shí)間t01234…運(yùn)動距離y07.51419.524…探究發(fā)現(xiàn)，y與t之間的數(shù)量關(guān)系可以用二次函數(shù)來描述．(1)求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．(2)當(dāng)t=5時(shí)，求兩球之間的距離．(3)黑球能否追上白球？若能，求出追上時(shí)t的值；若不能，求出它們之間的最短距離．【答案】(1)y=?(2)2.5(3)不能；2【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析數(shù)，二次函數(shù)與一元二次方程等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）表示出兩球的路程表達(dá)式，代數(shù)求值即可；（3）利用一元二次方程根的判別式可得方程根的情況，利用二次函數(shù)頂點(diǎn)表達(dá)式即可求出最值．【詳解】（1）解：設(shè)y=at2+bt+c，將點(diǎn)0,0，2,14得4a+2b=1416a+4b=24解得a=?1∴y=?1（2）解：令S表示兩球之間的距離由題意可得，S=20+2t??S=1當(dāng)t=5時(shí)，S=2.5；（3）解：由（2）可知，當(dāng)S=0時(shí)，12Δ=?6所以無解．∴兩球不會相遇．S=1∵a=1∴拋物線頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，∴當(dāng)t=6時(shí)，S有最短距離為2．【變式2】綜合與實(shí)踐：某數(shù)學(xué)小組為了解汽車的速度和制動非安全距離的關(guān)系，通過查閱資料獲得以下信息：材料一：由于司機(jī)的反應(yīng)和慣性的作用，從發(fā)現(xiàn)情況到剎車停止前汽車還要繼續(xù)向前行駛一段距離，這段距離稱為制動非安全距離，從發(fā)現(xiàn)情況到剎車起作用的路程稱為反應(yīng)距離，這段距離總共需要的反應(yīng)時(shí)間為0.6秒，從剎車起作用到最后停止的距離稱為制動距離．材料二：某公司設(shè)計(jì)了一款新型汽車，現(xiàn)在對它的制動性能（車速不超過150km/h車速x030456090105120150制動距離y07.813.0519.234.243.0552.875探究任務(wù)：(1)已知該款新型汽車的制動距離ym和車速xkm/h之間存在已學(xué)過的某種函數(shù)關(guān)系，請你根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出這個函數(shù)的解析式并寫出自變量x的取值范圍（參考數(shù)據(jù)：122=144，152(2)若在該款新型汽車的某次測試中，通過測量剎車痕跡得到它的制動距離約為40m，請通過計(jì)算估計(jì)該款汽車開始剎車時(shí)的速度；(3)若某司機(jī)駕駛這種新型汽車以60km/h的速度在單行道上行駛，發(fā)現(xiàn)前方28m處有一輛大貨車停在公路上擋住去路，司機(jī)緊急剎車，請問是否有碰撞危險(xiǎn)？請說明理由．【答案】(1)y=(2)該款汽車開始剎車時(shí)的速度為80km/h；(3)有碰撞危險(xiǎn)，理由見解析．【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．求函數(shù)關(guān)系是計(jì)算相對復(fù)雜，需要細(xì)心，關(guān)鍵是理解并應(yīng)用得到的函數(shù)解析式．（1）觀察函數(shù)圖象可猜測函數(shù)關(guān)系式為過原點(diǎn)的拋物線，設(shè)出拋物線解析式，把表格中的數(shù)據(jù)代入，即可求得函數(shù)表達(dá)式；（2）取y=28.8，代入（1）中得到的函數(shù)解析式，求得合適的x的值即可；（3）取x=60，代入（1）中得到的函數(shù)解析式，求得制動距離y的值，進(jìn)而計(jì)算出制動非安全距離與所給的25m比較即可得到是否有碰撞危險(xiǎn)．【詳解】（1）解：函數(shù)圖象如圖所示，根據(jù)圖象可得該款新型汽車的制動距離y（m）和車速x（km/h）之間為二次函數(shù)，設(shè)y=ax把30，7.8，7.8=900a+30b19.2=3600a+60b解得a=1∴該款新型汽車的制動距離y（m）和車速x（km/h）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=1（2）解：當(dāng)y=40時(shí)，可得40=1解得x1故該款汽車開始剎車時(shí)的速度為100km/h；（3）解：有碰撞危險(xiǎn)，理由如下：當(dāng)x=60時(shí)，y=19.2，19.2+60故有碰撞危險(xiǎn)，建議司機(jī)降低車速保持安全距離．題型十二其他問題【典例1】冬季蔬菜大棚內(nèi)某天的溫度T（單位：℃）與時(shí)間t（單位：h）滿足函數(shù)關(guān)系式T=?0.1t2+2.4t+5①蔬菜大棚內(nèi)當(dāng)天的溫度T可以是16℃；②蔬菜大棚內(nèi)當(dāng)天的溫度T的最大值為20℃；③蔬菜大棚內(nèi)當(dāng)天的溫度T不低于19℃的時(shí)長為4h其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，依據(jù)題意得，T=?0.1t2+2.4t+5=?0.1(t?12)2+19.4，故當(dāng)t=12時(shí)，T有最大值為19.4，且當(dāng)【詳解】解：由題意得，T=?0.1t∴當(dāng)t=12時(shí)，T有最大值為19.4，且當(dāng)t<12時(shí)，T隨t的增大而增大，故②錯誤．∵0≤t≤24，且當(dāng)x=0時(shí)，y=5，∴蔬菜大棚內(nèi)當(dāng)天的溫度T可以是16°令T=19，∴19=?0.1(t?12)∴t=10或t=14．∵T=?0.1(t?12)∴蔬菜大棚內(nèi)當(dāng)天的溫度T不低于19°C的時(shí)長為：綜上，正確的有①③，共2個．故選：C．【變式1】【問題情境】綜合與實(shí)踐小組的同學(xué)到醫(yī)學(xué)院參加活動，對X、Y兩種藥物在注射后幾小時(shí)內(nèi)的微量元素E的濃度變化情況展開了探究，并以此為課題，研究系列問題．?dāng)?shù)據(jù)獲?。捍郎y量對象注射X藥物結(jié)束時(shí)，用微量元素測量儀器測量并記錄其微量元素濃度變化情況，直至儀器顯示其微量元素濃度持續(xù)穩(wěn)定在某一小范圍內(nèi)（80～120mg/dL），無較大幅度變化時(shí)停止記錄，得到注射X藥物后幾小時(shí)內(nèi)的微量元素E的濃度變化y1（單位：mg/dL）與時(shí)間x（單位：【初步探究】(1)觀察圖象推斷，正常情況下人體的微量元素E可能是（）A．50mg/dL B．100mg/dL【問題解決】已知AB段微量元素E的濃度與時(shí)間關(guān)系的函數(shù)圖象可近似看作拋物線，且其函數(shù)解析式為y1(2)求AB段拋物線的函數(shù)解析式；(3)該測量對象注射X藥物后多久時(shí)，微量元素E的濃度達(dá)到最大值，最大值是多少？【拓展應(yīng)用】信息1：第二次測量時(shí)，該測量對象注射藥物，通過測量發(fā)現(xiàn)，微量元素E的濃度的最大值比注射X藥物高40%，且達(dá)到最大值的時(shí)間比注射X藥物延長了1小時(shí)（已知第二次測量時(shí)微量元素E的濃度變化曲線y2仍是拋物線且經(jīng)過點(diǎn)信息2：注射X,Y藥物后，微量元素F的濃度與時(shí)間關(guān)系的函數(shù)圖象可近似看作過A點(diǎn)的射線y=kx?2+90x≥2（其中k>0）．若注射藥物生效后（x≥2），微量元素E的濃度高于微量元素F的濃度時(shí)為藥物有效時(shí)間，記X藥物的有效時(shí)間為t1，藥物的有效時(shí)間為t2，由于不同的病毒會導(dǎo)致注射藥物后微量元素F的濃度函數(shù)中的k(4)請幫助綜合實(shí)踐小組的同學(xué)求出注射Y藥物后的微量元素E的濃度函數(shù)y2，并直接寫出當(dāng)t1t【答案】(1)B(2)y(3)該測量對象注射X藥物后4h時(shí)，微量元素E的濃度達(dá)到最大值，最大值是150mg/dL(4)y2=?【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）觀察圖象即可判斷；（2）利用待定系數(shù)法即可求解；（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（4）由題意得，當(dāng)x=4+1=5時(shí)，y2取得最大值，最大值為150×1+40%=210，設(shè)拋物線y2的解析式為y2=ax?52+210，利用待定系數(shù)法求出y【詳解】（1）解：觀察圖象推斷，正常情況下人體的微量元素E可能是100mg/dL．故選：B．（2）解：由圖象可得，A2,90，C代入A2,90和C5,135到y(tǒng)1解得：b=120c=?90∴AB段拋物線的函數(shù)解析式為y1（3）解：由（2）得，y1∵?15<0，∴當(dāng)x=4時(shí)，y1答：該測量對象注射X藥物后4h時(shí)，微量元素E的濃度達(dá)到最大值，最大值是150mg/dL．（4）解：由題意得，當(dāng)x=4+1=5時(shí)，y2取得最大值，最大值為150×∴拋物線y2的頂點(diǎn)為5,210設(shè)函數(shù)y2的解析式為y代入A2,90得，9a+210=90解得：a=?40∴函數(shù)y2的解析式為y聯(lián)立y=?15x解得：x=2y=90或x=6?∴t聯(lián)立y=?40解得：x=2y=90或x=8?∴t∵t∴4?解得：k=240∴綜上所述，y2=?40【變式2】請根據(jù)以下素材，完成探究任務(wù)．飛行汽車背景飛行汽車是一種結(jié)合了傳統(tǒng)汽車和飛行器功能的交通工具，旨在實(shí)現(xiàn)地面行駛與空中飛行的雙重模式．它被視為未來城市交通的重要解決方案之一，尤其在緩解交通擁堵和拓展三維交通空間方面具有潛力．建模某數(shù)學(xué)小組運(yùn)用信息技術(shù)模擬飛行汽車飛行過程．如圖，以飛行汽車的地面起飛點(diǎn)為原點(diǎn)O，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．它在起飛后的初始飛行路徑呈現(xiàn)拋物線形狀，當(dāng)飛行汽車到達(dá)拋物線最高點(diǎn)A后下降到點(diǎn)B．此時(shí)點(diǎn)B距離地面0.4千米，保持這個高度以100千米/時(shí)的速度水平飛行一定距離后到達(dá)點(diǎn)C，切換到直線下降飛行模式降落至地面點(diǎn)D．得到拋物線y=ax2+2xa<0直線任務(wù)（1）若儀表監(jiān)測到水平飛行時(shí)間為0.08小時(shí)，此時(shí)點(diǎn)C距離起飛點(diǎn)O的水平距離為10千米，求a和b的值；（2）若飛行汽車在最高點(diǎn)A時(shí)，距離起飛點(diǎn)O的水平距離為0.49千米．水平飛行了t0.08≤t≤0.1小時(shí)到達(dá)點(diǎn)C后降落，求b【答案】（1）a=?0.9、b=4.4；（2）3.88≤b≤4.68【分析】本題考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，從圖象上獲取作息是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意先求出水平飛行時(shí)的距離，根據(jù)點(diǎn)C距離起飛點(diǎn)O的水平距離為10千米，求出B2,0.4，C10,0.4，分別代入y=ax（2）根據(jù)對稱軸為最高點(diǎn)A的橫坐標(biāo)求出a=?10049，得出拋物線y=?10049x2+2x，令y=0.4，求出B0.7,0.4,C【詳解】解：（1）由題意得，水平飛行時(shí)的距離為：100×0.08=8km，∵10?8=2，∴B2,0.4，C把B2,0.4代入y=ax2+2xa<0把C10,0.4代入y=?0.4x+b中得0.4=?0.4×10+b，解得b=4.4（2）∵飛行汽車在最高點(diǎn)A時(shí)，距離起飛點(diǎn)O的水平距離為0.49千米，∴拋物線對稱軸為直線x=0.49，∴?2∴a=?100∴拋物線解析式為y=?100在y=?10049x解得x=0.7或x=0.28，∴B0.7,0.4將C0.7+100t,0.4代入直線y=?0.4x+b．得：0.4=?0.4∴t=b?0.68∵0.08≤t≤0.1，∴0.08≤b?0.68∴3.88≤b≤4.68．【變式3】打水漂是孩子們喜愛的一種游戲，通過擲扁形瓦片或石片使其在水面上連續(xù)彈跳，比拼距離和彈跳次數(shù)．在一次投擲中，小明把水漂從離水面1.6米高的A處向?qū)Π锻稊S，水漂在水面彈起的拋物線與原來的拋物線形狀相同，彈起的最大高度均減少到上一次彈起最大高度的14．如圖所示，以水面為x軸，以小明腳站立地為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．投擲后水漂在距原點(diǎn)4米處與水面相切后彈起，彈起高度為0.4(1)求第一次飛躍水面時(shí)拋物線的解析式．(2)求第二次飛躍水面時(shí)拋物線的解析式；若河兩岸相距9米，則小明此次投擲水漂能否到對岸？【答案】(1)y=(2)y=1【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意求出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可得第一次飛躍水面時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為4,0，把解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，再代入點(diǎn)A坐標(biāo)求解即可；（2）根據(jù)題意和（1）所求可得第二次飛躍水面時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為8,0，則第二次飛躍水面時(shí)拋物線解析式為y=110x?8【詳解】（1）解：∵投擲后水漂在距原點(diǎn)4米處與水面相切后彈起，∴第一次飛躍水面時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為4,0，設(shè)第一次飛躍水面時(shí)拋物線的解析式為y=ax?4把A0,1.6代入得1.6=a0?42∴第一次飛躍水面時(shí)拋物線的解析式為y=1在y=110x?42中，當(dāng)y=1∴0≤x≤6；（2）解：由（1）可得B6,0.4∵水漂在水面彈起的拋物線與原來的拋物線形狀相同，∴第二次飛躍水面時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為6+6?4,0，即∴第二次飛躍水面時(shí)拋物線解析式為y=1在y=110x?82中，當(dāng)y=1∴若河兩岸相距9米，則小明此次投擲水漂能到對岸．期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時(shí)間：10分鐘）1．（2324九年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖所示，某建筑物有一拋物線形的大門，小濱想知道這道門的高度，他先測出門的寬度AB=8m，然后用一根長為4m的小竹竿CD豎直的接觸地面和門的內(nèi)壁，并測得AC=1mA．9m B．647m C．8.7【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)所建坐標(biāo)系及圖形特點(diǎn)，結(jié)合AB=8，可得OA=OB=4，設(shè)拋物線的解析式為y=ax+4x?4，根據(jù)題意可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)為?3,4，代入y=ax+4x?4，即可求出拋物線解析式，令x=0，求出【詳解】解：∵AB=8，∴OA=OB=4，∴點(diǎn)A?4,0，B設(shè)拋物線的解析式為：y=ax+4∵AC=1，∴OC=OA?AC=3，∵CD=4，∴點(diǎn)D?3,4∴4=a?3+4解得：a=?4∴拋物線的解析式為：y=?4當(dāng)x=0時(shí)，y=?4∴門高OE為647故選：B．2．（2425九年級上·浙江金華·期中）如圖，小剛在某次投籃中，球的運(yùn)動路線是拋物線y=?15x2+3.5A．3.5m B．4m C．4.5【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．由題意可得關(guān)于x的一元二次方程，求得方程的解并根據(jù)問題實(shí)際作出取舍，然后加上3即可得出答案．【詳解】解：由題意可得，當(dāng)y=3.05時(shí)，有：3.05=?整理得：x2解得：x1=?1.5（舍），∴他與籃底的距離l=3+1.5=4.5（米），故選：C．3．（2425九年級上·浙江杭州·期中）某農(nóng)場擬建兩間矩形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻（墻足夠長），中間用一道墻隔開，如圖所示，開了三扇寬為1m的門，已知計(jì)劃中的材料可建圍墻的總長為45m，那么這兩間種牛飼養(yǎng)室所占面積最大是m2【答案】192【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是用二次函數(shù)表示出面積與矩形的長的函數(shù)關(guān)系式．分析題意，可設(shè)該飼養(yǎng)室的寬為x，用x表示飼養(yǎng)室的長，利用矩形的面積=長×寬表示出飼養(yǎng)室的面積；可建墻體的總長為45m，三處各留1m寬的門，根據(jù)圖形可知則總長為48m，設(shè)該飼養(yǎng)室的寬為xm，則飼養(yǎng)室的長為48?3xm，面積S=x48?3x；觀察可知面積S是x的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，將S=x48?3x【詳解】解：可建墻體的總長為45m，三處各留1m寬的門，根據(jù)圖形可知則總長為48m．設(shè)該飼養(yǎng)室的寬為xm，則長為48?3xm該飼養(yǎng)室的面積S=x48?3x由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)x=8時(shí)，S取最大值，最大值為192．故答案為：192．4．（2425九年級上·浙江臺州·期中）某商店銷售一批頭盔，售價(jià)為每頂60元，每月可售出200頂．在“創(chuàng)建文明城市”期間，計(jì)劃將頭盔降價(jià)銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價(jià)1元，每月可多售出20頂．已知頭盔的進(jìn)價(jià)為每頂40元，則該商店每月獲得最大利潤時(shí)，每頂頭盔降了元．【答案】5【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．根據(jù)題意，可以得到利潤和售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系，然后化為頂點(diǎn)式，即可得到當(dāng)售價(jià)為多少元時(shí)，利潤達(dá)到最大值．【詳解】解：設(shè)每頂頭盔的售價(jià)為x元，獲得的利潤為w元，w=x?40∴當(dāng)x=55時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w=4500，即該商店每月獲得最大利潤時(shí)，每頂頭盔的售價(jià)為55元．答：每頂頭盔降了5元，故答案為：5．5．（2425九年級上·浙江紹興·期中）某書店銷售兒童書刊，每套進(jìn)價(jià)為30元，當(dāng)每套售價(jià)為70元時(shí)，一天可銷售出20套．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，書店決定采取降價(jià)銷售，若一套書每降價(jià)0.5元，平均每天可多售出1套，設(shè)每套書降價(jià)x元時(shí)，書店一天可獲利潤y元．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)若要書店每天盈利1200元，則需降價(jià)多少元？(3)書店每天盈利能達(dá)到1500元嗎？請說明理由．【答案】(1)y=?2x(2)20元；(3)不可以，理由見解析．【分析】本題考查了二次函數(shù)、一元二次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用，正確理解題意是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)每套書降價(jià)x元時(shí)，所獲利潤為y元，則每天可出售20+x（2）求解方程?2x（3）根據(jù)y=?2x【詳解】（1）解：設(shè)每套書降價(jià)x元時(shí)，所獲利潤為y元，則每天可出售20+x由題意得：y=70?x?30（2）解：當(dāng)y=1200時(shí)，?2整理得：x?152解得：x1但為了盡快減少庫存，所以只取x=20，答：若每天盈利1200元，為了盡快減少庫存，則應(yīng)降價(jià)20元；（3）解：不可以，理由如下：y=?2x則當(dāng)x=15時(shí)，y取得最大值1250，即書店的盈利不可以達(dá)到1500元．6．（2425九年級上·浙江金華·期中）如圖，小明的爸爸要用一堵長為4m的墻和長為18m的籬笆圍一個小型養(yǎng)雞場，要求：①墻和籬笆全部利用；②圍成的養(yǎng)雞場的面積最大．圖1是小明的爸爸把墻體全部利用起來圍成的養(yǎng)雞場，圖2是小明把墻體向外用籬笆延伸了一段長，然后用剩余的籬笆圍成一個矩形養(yǎng)雞場．(1)請計(jì)算小明爸爸圍成的養(yǎng)雞場的面積；(2)請計(jì)算小明圍成的養(yǎng)雞場比爸爸圍成的養(yǎng)雞場面積大多少？【答案】(1)28(2)9【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，正確地理解題意，列出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)矩形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）設(shè)小明圍成的養(yǎng)雞場的長為xm，則寬為12×(18+4?2x)m，圍成的養(yǎng)雞場面積為ym【詳解】（1）解：根據(jù)題意得4×[(18?4)÷2]=28(m答：小明爸爸圍成的養(yǎng)雞場的面積為28m（2）解：設(shè)小明圍成的養(yǎng)雞場的長為xm，則寬為12×(18+4?2x)m，圍成的養(yǎng)雞場面積為根據(jù)題意得，y=x[1∴小明圍成的養(yǎng)雞場的最大面積為1214∴1214答：小明圍成的養(yǎng)雞場比爸爸圍成的養(yǎng)雞場面積大947．（2425九年級上·浙江金華·期中）如圖，某人以一定的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時(shí)，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系：?=20t?5t(1)小球最高離地面多少米？(2)小球從飛出到落地需要多少時(shí)間？【答案】(1)小球飛行的最大高度是20m；(2)小球從飛出到落地需要4s．【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，把函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式是解題關(guān)鍵．（1）把函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，由函數(shù)性質(zhì)求最值；（2）當(dāng)?=0時(shí)，求得t=4，即可得到小球從飛出到落地需要的時(shí)間【詳解】（1）解：?=20t?5t∵a=?5<0，∴當(dāng)t=2時(shí)，h有最大值，最大值為20，∴小球飛行的最大高度是20m；（2）解：當(dāng)?=0時(shí)，得20t?5t解得：t=4或0，答：小球從飛出到落地需要4s．8．（2425九年級上·浙江杭州·期中）某襯衫的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件60元，每個月可賣出200件，如果每件襯衫的售價(jià)上漲1元，則每個月少賣2件（每件售價(jià)不能高于105元），設(shè)每件襯衫的售價(jià)上漲x元（x為正整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元．(1)求月利潤為7000元時(shí)，每件襯衫的售價(jià)；(2)求每件襯衫的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個月可獲得最大利潤？最大月利潤是多少元？【答案】(1)每件襯衫的售價(jià)90元(2)每件襯衫的售價(jià)定為100元時(shí)，每個月可獲得最大利潤，最大月利潤7200元【分析】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)利潤=一件的利潤×銷售量，建立函數(shù)關(guān)系式，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)每件襯衫的售價(jià)上漲x元，則200?2x60?40+x=7000且60+x≤105（即（2）由y=200?2x【詳解】（1）解：設(shè)每件襯衫的售價(jià)上漲x元，由題意得：200?2x60?40+x=7000且60+x≤105（即解得：x1∴60+x=60+30=90，答：每件襯衫的售價(jià)90元（2）解：每件襯衫的售價(jià)上漲x元，月利潤是y元，則y=200?2x∴a=?2<0，開口向下，∵x≤45，∴當(dāng)x=40時(shí)，y有最大值，最大值為y=7200；此時(shí)每件襯衫的售價(jià)為40+60=100（元），答：每件襯衫的售價(jià)定為100元時(shí)，每個月可獲得最大利潤，最大月利潤7200元．期中重難突破練（測試時(shí)間：10分鐘）1．（2425九年級上·浙江杭州·期中）如圖，在水平地面點(diǎn)A處有一網(wǎng)球發(fā)射器向空中發(fā)射網(wǎng)球，網(wǎng)球飛行路線是一條拋物線，在地面上落點(diǎn)為B，小武在直線AB上點(diǎn)C（靠點(diǎn)B一側(cè)）豎直向上擺放若干個無蓋的圓柱形桶，已知AB=4米，AC=3米，網(wǎng)球飛行最大高度OM=3米，圓柱形桶的直徑為0.5米，高為0.3米（網(wǎng)球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計(jì)）．當(dāng)豎直擺放圓柱形桶至少個時(shí)，網(wǎng)球能落入桶內(nèi)．【答案】5【分析】本題考查了拋物線的問題，解題的關(guān)鍵是需要建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)已知條件，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，確定解析式，這是解答其它問題的基礎(chǔ)．以拋物線的對稱軸為y軸，水平地面為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)解析式，結(jié)合已知確定拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式確定拋物線的解析式，由圓桶的直徑，求出圓桶兩邊緣縱坐標(biāo)的值，確定m的范圍，根據(jù)m為正整數(shù)，得出m的值，即可得到當(dāng)網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)時(shí)，豎直擺放圓柱形桶個數(shù)．【詳解】解：以點(diǎn)O為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖），M0,3，B2,0，C1,0設(shè)拋物線的解析式為y=ax∵拋物線過點(diǎn)M和點(diǎn)B，∴k=3∴k=3，a=?3∴拋物線解析式為：y=?3∴當(dāng)x=1時(shí)，y=9當(dāng)x=32時(shí)，∴P1,94設(shè)豎直擺放圓柱形桶m個時(shí)網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)，由題意，得，2116解得：43∵m為整數(shù)，∴m的最小整數(shù)值為：5，∴豎直擺放圓柱形桶至少5個時(shí)，網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)．故答案為：5．2．（2425九年級上·浙江湖州·期中）中國的洲際導(dǎo)彈再現(xiàn)強(qiáng)國實(shí)力．在導(dǎo)彈模型模擬實(shí)驗(yàn)中，如圖，AB為導(dǎo)彈發(fā)射位置，點(diǎn)B為發(fā)射口（B點(diǎn)可上下調(diào)節(jié)，假設(shè)彈道軌跡是一條拋物線且形狀保持不變），Rt△CDE為小斜坡，且BC=40m，CD=0.1m，F(xiàn)G為目標(biāo)區(qū)域（含端點(diǎn)F和G，高度忽略不計(jì)），DF=0.2m，F(xiàn)G=0.2m．當(dāng)發(fā)射口為點(diǎn)B時(shí)，剛好擊中點(diǎn)C，離地最大高度為40m，當(dāng)發(fā)射口抬高1米即BB′=1m【答案】0.5991.209≤B【分析】本題考查的是二次函數(shù)應(yīng)用，建立數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題是解題的關(guān)鍵．待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式：y=?0.1x2+4x；當(dāng)x=40.1時(shí)，y=?0.1x2+4x+1=0.599；而點(diǎn)F、G的坐標(biāo)分別為：40.3,0、40.5,0，將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入【詳解】解：以點(diǎn)B為原點(diǎn)，建立如下直角坐標(biāo)系，由題意得，點(diǎn)B0,0、C40,0設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=axx?40將點(diǎn)20,40代入上式得：40=20a×（20?40），則a=?0.1，則拋物線的表達(dá)式為：y=?0.1x當(dāng)BB′=1m當(dāng)x=40.1時(shí)，y=?0.1x設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=?0.1x而點(diǎn)F、G的坐標(biāo)分別為：40.3,0、將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入y=?0.1x2+4x+c解得：c=1.209；將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入y=?0.1x2+4x+c解得：c=2.205，即1.