第22章相似形專題12常見的相似八種模型模型1A型相似1．[2025邵陽期中]如圖，在?ABCD中，連接對(duì)角線AC，延長AB至點(diǎn)E，使BE＝AB，連接DE，分別交BC，AC于點(diǎn)F，G.(1)求證：BF＝CF；返回(2)若BC＝6，DG＝4，求FG的長．模型2X型相似2．[2024眉山]如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠BAD＝120°，過點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)E，連接AE分別交BD，CD于點(diǎn)F，G，則FG的長為________．返回模型3燕尾型相似【模型解讀】模型：燕尾型相似

條件：若∠1＝2或∠3＝∠4.結(jié)論：①△AED∽△BEC；②△ACO∽△BDO.BF＝2AF3．閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖①，在△ABC中，AD是BC邊的中線，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，CE的延長線交AB于點(diǎn)F，試判斷AF與BF的數(shù)量關(guān)系．小明探究發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)D作DG∥AB，交CF于點(diǎn)G，先證△AEF≌△DEG，再證△CGD∽△CFB，從而將問題解決．(1)請(qǐng)回答：AF與BF的數(shù)量關(guān)系是__________；【點(diǎn)撥】過點(diǎn)E作EH∥AF，交AD于點(diǎn)H，∴∠CAD＝∠DHE，∠F＝∠DEH.∵∠F＝∠CDB，∴∠DEH＝∠CDB.又∵DE＝DC，∴△DEH≌△CDA.∴DH＝AC.∵EH∥AC，∴∠ACB＝∠HEB.∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，【解】如圖，過點(diǎn)E作EH∥AF，交AD的延長線于點(diǎn)H，

∴∠A＝∠H，∠F＝∠DEH.∵∠F＝∠CDB，∴∠CDA＝∠DEH.又∵DE＝DC，∴△CDA≌△DEH.∴AC＝DH.返回4．[2024廣元]數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，還能經(jīng)歷知識(shí)“再創(chuàng)造”的過程，更是培養(yǎng)動(dòng)手能力，創(chuàng)新能力的一種手段．小強(qiáng)在學(xué)習(xí)《相似》一章中對(duì)“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形(如圖①)產(chǎn)生了如下問題，請(qǐng)同學(xué)們幫他解決．在△ABC中，D為邊AB上一點(diǎn)，連接CD.(1)初步探究：如圖②，若∠ACD＝∠B，求證：AC2＝AD·AB；(2)嘗試應(yīng)用：如圖③，在(1)的條件下，若D為AB的中點(diǎn)，BC＝4，求CD的長；【解】如圖，過點(diǎn)C作CH∥EB交AB的延長線于點(diǎn)H，過C作CG⊥AB.返回5．[2024安徽]如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BD是邊AC上的高．點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上(不與端點(diǎn)重合)，且DE⊥DF.設(shè)AE＝x，四邊形DEBF的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象為(

)返回A6．【問題呈現(xiàn)】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，連接AD，BE，探究AD，BE的位置關(guān)系．

【問題探究】(1)如圖①，當(dāng)m＝1時(shí)，直接寫出AD，BE的位置關(guān)系：__________；AD⊥BE【點(diǎn)撥】設(shè)BE的延長線交AD于點(diǎn)G.∵m＝1，∴AC＝BC，DC＝EC.∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠DCA＋∠ACE＝∠ACE＋∠ECB＝90°.∴∠DCA＝∠ECB.∴△DCA≌△ECB.∴∠DAC＝∠CBE.∴∠GAB＋∠ABG＝∠DAC＋∠CAB＋∠ABG＝∠CBE＋∠CAB＋∠ABG＝∠CAB＋∠CBA＝180°－∠ACB＝90°，∴∠AGB＝180°－90°＝90°.∴AD⊥BE.(2)如圖②，當(dāng)m≠1時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．返回模型7十字架型相似【模型解讀】(1)正方形內(nèi)的十字架型條件：①正方形ABCD；②BF⊥AE(EF⊥GH)．結(jié)論：AE＝BF(EF＝GH)．7．[2024泰安]綜合與實(shí)踐為了研究折紙過程蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了數(shù)學(xué)折紙?zhí)骄炕顒?dòng)．【拓展延伸】(2)同學(xué)們對(duì)老師給出的一張平行四邊形紙片進(jìn)行研究，如圖②，BD是平行四邊形紙片ABCD的一條對(duì)角線，同學(xué)們將該平行四邊形紙片翻折，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H都落在對(duì)角線BD上，折痕分別是BE和DF，將紙片展平，連接EG，F(xiàn)H，F(xiàn)G，同學(xué)們探究后發(fā)現(xiàn)，若FG∥CD，那么點(diǎn)G恰好是對(duì)角線BD的一個(gè)“黃金分割點(diǎn)”，即BG2＝BD·GD.請(qǐng)你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由．返回模型8一線三垂直型相似【模型解讀】模型：一線三垂直型相似

條件：D為BC上一點(diǎn)，∠B＝∠ADE＝∠C＝90°.結(jié)論：①△ABD∽△DCE；8．[2024湖北]如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將四邊形ABFE沿EF翻折，使A的對(duì)稱點(diǎn)P落在CD上，B的對(duì)稱點(diǎn)為G，PG交BC于H.(1)求證：△EDP∽△PCH.【證明】如圖①.

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°.∴∠1＋∠3＝90°.由翻折的性質(zhì)如∠EPH＝∠A＝90°，∴∠1＋∠2＝90°.∴∠3＝∠2，∴△EDP∽△PCH.(2)若P為CD的中點(diǎn)，且AB＝2，BC＝3，求GH長．(3)連接BG，若P為CD的中點(diǎn)，H為BC的中點(diǎn)，探究BG與AB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．∴△MAP是等