答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁湖南省邵陽市2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期9月拔尖創(chuàng)新班聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．1 B．7 C．i D．7i2．設(shè)全集，集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．53．已知橢圓，過的右焦點(diǎn)作軸的垂線交于兩點(diǎn)，，則的離心率為（

）A． B． C． D．4．將函數(shù)的圖象向左平移后得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．45．在中，已知，，則的面積為（

）A． B．4 C． D．6．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則的值為（

）A．81 B．145 C．256 D．2737．已知圓，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在圓上，直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，則為（

）A．2 B． C．4 D．8．若關(guān)于x的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)根（），則（

）A． B． C． D．二、多選題9．在正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A． B．正三棱柱的體積為C．若，則 D．直線與是異面直線10．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，對(duì)應(yīng)垂足分別為點(diǎn)M，N，連接MF，NF，則（

）A．若A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，，則B．若，則直線AF的斜率C．若，則的面積為D．記，，的面積分別為，，，則11．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，點(diǎn)在線段上，且，則（

）A．角的大小為B．若為的角平分線，則C．若，則線段的長度的取值范圍為D．若，則的周長的最大值為三、填空題12．已知，，則.13．若函數(shù)在點(diǎn)，處的切線互相平行，則.14．拋擲一枚質(zhì)地不均勻的骰子，每次擲出點(diǎn)數(shù)為5的概率為.若連續(xù)拋擲這枚骰子三次，每次拋擲均相互獨(dú)立，則事件“三次拋擲中恰有1次擲出的點(diǎn)數(shù)為5”的概率的最大值為.四、解答題15．在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求C；(2)若，求的周長的取值范圍.16．設(shè)數(shù)列滿足，.(1)證明：為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.17．已知函數(shù)，其中a，b均為實(shí)數(shù).(1)若，在點(diǎn)處的切線過定點(diǎn)P，求P的坐標(biāo)；(2)若，，在處取得最小值，證明：.18．如圖（一），在中，于點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形.將沿折起至的位置，如圖（二）所示，連接，.(1)證明：；(2)是的中點(diǎn)，連接，，記二面角為，二面角為.（i）設(shè)三棱錐的外接球球心為O，證明：當(dāng)時(shí)，；（ii）是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.19．已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，離心率.定義：點(diǎn)關(guān)于E所對(duì)應(yīng)的極線方程為，右焦點(diǎn)關(guān)于E所對(duì)應(yīng)的極線方程為.

(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于E所對(duì)應(yīng)的極線為直線l，l與x軸交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作直線（不與x軸重合）交E于B，C兩點(diǎn)，直線AB，AC與l分別交于點(diǎn)M，N，如圖.（i）連接PM，PN，證明：當(dāng)時(shí)，；（ii）連接OM，試問：當(dāng)t取何值時(shí)，.《湖南省邵陽市2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期9月拔尖創(chuàng)新班聯(lián)考數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案BCBBADCDACDBCD題號(hào)11答案ABC1．B【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由可得，則，則其虛部為.故選：B2．C【分析】通過一元二次不等式及對(duì)數(shù)不等式求解，結(jié)合補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】，，所以，故選：C3．B【分析】代入焦點(diǎn)橫坐標(biāo)，可得到點(diǎn)坐標(biāo)，代入條件即得答案.【詳解】將代入橢圓方程得，整理得，由，得，代入上式，，因此，點(diǎn)和的坐標(biāo)分別為和，弦長為，由已知，有，，離心率，其中，代入，因此：.故選：B

4．B【分析】根據(jù)條件確定函數(shù)的對(duì)稱軸，由對(duì)稱軸確定的最小值.【詳解】由題意，函數(shù)的一條對(duì)稱軸為：.由，.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，為.故選：B5．A【分析】先根據(jù)平面向量的數(shù)量積和模的坐標(biāo)表示求出，，，再由三角形的面積公式求解即得.【詳解】由，，則，，，所以，因，故，則，所以的面積為.故選：A.6．D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，計(jì)算即可得出答案.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列，，，所以成等比數(shù)列，因?yàn)?，，所以，所以，所?故選：D7．C【分析】根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線方程，再利用點(diǎn)到直線距離公式和勾股定理求得線段長度，最終求出.【詳解】設(shè)，根據(jù)題意，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，因此線段的中點(diǎn)在直線上，且與該直線垂直.即，.化簡得.因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓C上，所以，即.兩式結(jié)合，得，，即點(diǎn)坐標(biāo)為.所以直線的方程為.設(shè)線段中點(diǎn)為，連接.圓心到直線的距離.又因?yàn)閳A的半徑為，所以..所以.故選：C8．D【分析】由方程，得到或，令和，利用導(dǎo)數(shù)求得和的單調(diào)性和極小值，畫出和的圖象，結(jié)合圖象，得到且進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】若是其中一個(gè)根，則有，但此時(shí)方程不足三個(gè)根，所以，則方程，可得或，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，畫出函數(shù)和的圖象，如圖所示，要使得方程恰有三個(gè)不同的實(shí)根，則滿足，且①，由于，即，且，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以②，由于，即，且，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以③，由①得：，整理并代入②③式，可得，所以D正確.又因?yàn)?，且，所以等?hào)不成立，綜上所述，選項(xiàng)D正確.故選：D.

9．ACD【分析】由正三棱柱的性質(zhì)可判斷A；由棱柱的體積公式可判斷B；建立空間直角坐標(biāo)系利用可判斷C；設(shè)，計(jì)算出可判斷D.【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，故A正確；正三棱柱的體積，故B錯(cuò)誤；取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，又因?yàn)槠矫?，所以，，因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，設(shè)，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，若，即，所以，故C正確；，設(shè)，即，解得，與矛盾，所以不是共面向量，即與是異面直線，故D正確.故選：ACD10．BCD【分析】對(duì)于A，設(shè)直線，，，聯(lián)立可得，對(duì)于B，由可得，繼而得到點(diǎn)坐標(biāo)，再利用斜率公式求解即可；對(duì)于C，先求，再由可解得，可得軸，再利用求解即可；對(duì)于D，由題不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，分別表示出證明即可.【詳解】選項(xiàng)A：設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，整理得，設(shè)，，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，選項(xiàng)B：結(jié)合題意及拋物線的定義，有，故，代入拋物線，得，則.故選項(xiàng)B正確.選項(xiàng)C：，,解得，直線，則軸，此時(shí).故選項(xiàng)C正確.選項(xiàng)D：不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，，同理，，而，故，結(jié)合選項(xiàng)A運(yùn)算的聯(lián)立，，故.而，則.故選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.11．ABC【分析】結(jié)合正弦定理與兩角和的正弦公式，可求，判斷角的大小，從而判斷A的真假；結(jié)合三角形的面積公式，可判斷B的真假；結(jié)合A的結(jié)論，利用正弦定理，可判斷C的真假；結(jié)合A的結(jié)論，利用面積關(guān)系，得到，再結(jié)合余弦定理，得到，用表示三角形周長，結(jié)合基本不等式可求周長的最小值，判斷D的真假.【詳解】選項(xiàng)A：若，即，，故，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，所以，.故選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B：根據(jù)題意，由于，即.故選項(xiàng)B正確.選項(xiàng)C：若，則.在中，由正弦定理得：，，由于，則的長度的取值范圍為.故選項(xiàng)C正確.選項(xiàng)D：若，根據(jù)等面積法有，即.由余弦定理得：，整理可有，故，的周長.又因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），解得，故的周長，周長的最小值為.故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC12．【分析】由誘導(dǎo)公式及二倍角公式即可得出.【詳解】由又，得，所以，得.故答案為：.13．【分析】由條件結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程可得結(jié)果.【詳解】由題意，，所以，，由于在點(diǎn)，處的切線互相平行，所以，即，，，檢驗(yàn)符合.故答案為：.14．【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式求出事件“三次拋擲中恰有1次擲出的點(diǎn)數(shù)為5”的概率，再結(jié)合三元基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)槊看螖S出點(diǎn)數(shù)為5的概率為，則每次擲出其他點(diǎn)數(shù)的概率為，故事件“三次拋擲中恰有1次擲出的點(diǎn)數(shù)為5”的概率為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以事件“三次拋擲中恰有1次擲出的點(diǎn)數(shù)為5”的概率的最大值為.故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理計(jì)算即可求得；（2）利用正弦定理將邊替換成角的表達(dá)式，再由銳角以及三角函數(shù)值域即可求出周長的取值范圍.【詳解】（1）在中，由，得，整理得，故.又，所以；（2）由（1）知，，由于是銳角三角形，則，，.由正弦定理得，即，.又，故的周長為.易知，且在單調(diào)遞減，可得，解得的周長的取值范圍為.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用構(gòu)造法可證明數(shù)列為等差數(shù)列；（2）結(jié)合分組求和及錯(cuò)位相減法可得.【詳解】（1）由題可知，兩邊同時(shí)除以得：，且，故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）易知，前項(xiàng)和，令，故，兩式相減得，則，.17．(1)(2)證明見解析.【分析】（1）求出和，得到切線方程，整理成，得到定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由最小值得到，構(gòu)造函數(shù)，由得.【詳解】（1）由題知，故.，故，則切線方程為，即，顯然有當(dāng)時(shí)，，故其所過定點(diǎn)P為.（2）證明：易知函數(shù)，，.又，.令，得.由，得，由，得所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.故.故.則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，.要證，只需證，.令，，故，則在上單調(diào)遞增，故.又，則.18．(1)證明見解析(2)（i）證明見解析；（ii）是，【分析】（1）要證明線線垂直，需要通過證明線面垂直從而得到線線垂直，即證明平面.（2）（i）根據(jù)垂直關(guān)系先建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出的坐標(biāo)，從而可證明.（ii）根據(jù)垂直關(guān)系先建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出平面、平面的法向量，進(jìn)而求出的表達(dá)式，從而可判斷是否為定值.【詳解】（1）證明：由題意得，，.，平面，，平面.又平面，.（2）（i）證明：當(dāng)時(shí)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，故，，.設(shè)的中點(diǎn)為Q，易知的外接圓的圓心恰為點(diǎn)Q，而的外接圓的圓心為BC的中點(diǎn)，分別過兩個(gè)圓心作對(duì)應(yīng)平面的垂線，則交點(diǎn)為O，根據(jù)已知條件，得點(diǎn)，故，，.又O，C，，D四點(diǎn)不共線，.（ii）解：為定值.如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線為軸，軸，以垂直于面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，且.，，，，其中.易得平面和平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的一個(gè)法向量，有，令，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量，有，令，得.故，.而，.故.19．(1)(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）根據(jù)已知條件即可解題（2）利用直線與橢圓的位置關(guān)系和韋達(dá)定理即可解題【詳解】（1）