人教版

八年級(jí)上冊(cè)14.3（第2課時(shí)）

第十四章

全等三角形角的平分線的判定復(fù)習(xí)回顧FUXIHUIGU角的平分線的性質(zhì)性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件：(1)點(diǎn)在角的平分線上；(2)到角兩邊的距離(垂直).

證明線段相等.應(yīng)用格式：∵OP

是∠AOB的平分線，∴

PD=PE.PD⊥OA，PE⊥OB，定理的作用：復(fù)習(xí)回顧FUXIHUIGU我們知道，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.那么在角的內(nèi)部，到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上呢？猜想：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.思考利用全等的知識(shí)，該如何證明這個(gè)結(jié)論呢？思考你能寫(xiě)出已知和求證分別是什么嗎？新知導(dǎo)入性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件：(1)點(diǎn)在角的平分線上；(2)到角兩邊的距離(垂直).

證明線段相等.應(yīng)用格式：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE.PD⊥OA，PE⊥OB，定理的作用：新知講解

如圖，要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路，鐵路的距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1：20000）？S角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。那么，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上呢？請(qǐng)你試著證明一下。新知講解已知，如圖，P為∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE.求證：點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上.猜想：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

歸納總結(jié)角平分線的判定定理判定定理：

角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.PAOBCDE應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.判斷點(diǎn)是否在角的平分線上.應(yīng)用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴點(diǎn)

P在∠AOB的角平分線上.定理的作用：新知講解

角的平分線的性質(zhì)與判定定理的關(guān)系：(1)都與距離有關(guān)，即垂直的條件都應(yīng)具備．(2)點(diǎn)在角的平分線上

點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等．

(3)性質(zhì)反映只要是角平分線上的點(diǎn)，到角兩邊的距離就一定相等；

判定定理反映只要是到角兩邊距離相等的點(diǎn)，都應(yīng)在角的平分線上．知識(shí)點(diǎn)二：應(yīng)用角的平分線的判定解決問(wèn)題3.如圖，在∠AOB內(nèi)，點(diǎn)P是射線OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB；PD＝PE.若∠POD＝20°，則∠POE＝________．20°4.(2025·廣州南沙區(qū)月考)如圖，點(diǎn)O在△ABC內(nèi)，且到三邊的距離相等，若∠A＝50°，則∠BOC＝___________．115°知識(shí)點(diǎn)三：應(yīng)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決問(wèn)題5.(1)角平分線具有“角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”的性質(zhì)，在解題時(shí)可以將判定和性質(zhì)結(jié)合起來(lái)使用；(2)例如，已知某條線是角平分線，就可以得到點(diǎn)到角兩邊距離相等的結(jié)論，反之，若通過(guò)判定得到角平分線，也能利用其性質(zhì)繼續(xù)解題．角平分線的性質(zhì)角平分線的判定圖示已知條件結(jié)論OP平分∠AOBPD⊥OA于點(diǎn)DPE⊥OB于點(diǎn)EPD=PEPD⊥OA于點(diǎn)DPE⊥OB于點(diǎn)EPD=PEOP平分∠AOB歸納課堂小結(jié)角平分線的判定內(nèi)容作用結(jié)論角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等判斷一個(gè)點(diǎn)是否在角的平分線上知識(shí)點(diǎn)1角的平分線的判定1．

如圖，PC⊥OA，PD⊥OB，當(dāng)PC＝PD時(shí)，Rt△OPC≌Rt△_________(HL)，∴∠POC＝∠_________.OPDPOD2．已知∠AOB在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則到∠AOB兩邊距離相等的點(diǎn)應(yīng)是()A．點(diǎn)CB．點(diǎn)DC．點(diǎn)ED．點(diǎn)FC3．(駐馬店期中)如圖，∠AOB＝60°，CD⊥OA于點(diǎn)D，CE⊥OB于點(diǎn)E，且CD＝CE，則∠COD的度數(shù)為()A.30°B．45°C．60°D．50°A4．(教材習(xí)題變式)如圖，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，CD，BE相交于點(diǎn)O，BD＝CE，連接AO.求證：AO平分∠BAC.1.

將兩個(gè)全等的直角三角形擺放在如圖所示的△ABC中,它們的一組對(duì)應(yīng)直角邊分別在AB,AC上,且這組對(duì)應(yīng)直角邊所對(duì)的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)M,則點(diǎn)M一定在 (

)A.∠A的平分線上

B.邊AC的高上C.邊BC的高上

D.∠B的平分線上A1234567891011122.

如圖,AB=AC,BE⊥AC于點(diǎn)E,CF⊥AB于點(diǎn)F,BE,CF交于點(diǎn)D.給出下列結(jié)論:①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③點(diǎn)D在∠BAC的平分線上.其中,正確的是 (

)A.① B.② C.①② D.①②③D1234567891011123.

如圖所示為三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地點(diǎn)有

(

)A.1處

B.2處 C.3處

D.4處D123456789101112[易錯(cuò)分析]因考慮問(wèn)題不全面致錯(cuò).4.如圖,O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且點(diǎn)O到△ABC的三邊AB,BC,AC的距離相等,即OF=OD=OE.若∠BAC=76°,則∠BOC=

.128°1234567891011121.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問(wèn)題2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：距離面積周長(zhǎng)條件歸納總結(jié)利用三角形的內(nèi)角平分線的性質(zhì)求值例

如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為()A．110°B．120°

C．130°D．140°A解析：由已知，O到三角形三邊的距離相等，即三條角平分線的交點(diǎn)，AO，BO，CO都是角平分線，所以有∠CBO＝∠ABO＝

∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝

∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.方法點(diǎn)撥

由已知，O到三角形三邊的距離相等，得