隨時(shí)間按余弦(或正弦)規(guī)律進(jìn)行的運(yùn)動(dòng),稱為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),又稱簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是往復(fù)運(yùn)動(dòng),也是最基本、最簡(jiǎn)單的機(jī)械振動(dòng)。一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方程一個(gè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體在一條直徑上的投影所做的運(yùn)動(dòng)即為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。(一)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)曲線簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)量按正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的規(guī)律隨時(shí)間變化,任何復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)都可以看作若干個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成。取φ=0,畫出的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移-時(shí)間圖(x-t圖)、速度-時(shí)間圖(v-t圖)和加速度-時(shí)間圖(a-t圖),稱為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)曲線(二)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)量變規(guī)律(1)振動(dòng)中的位移x是以平衡位置O為起點(diǎn)的,方向從平衡位置指向末位置,大小為這兩位置間的直線距離,在兩個(gè)端點(diǎn)最大,在平衡位置O為零。(2)加速度a的變化與x的變化是一致的,在兩個(gè)端點(diǎn)最大,在平衡位置O為零,方向總是指向平衡位置。(3)速度v的大小與加速度a的變化恰好相反,在兩個(gè)端點(diǎn)為零,在平衡位置O最大。除兩個(gè)端點(diǎn)外任一個(gè)位置的速度方向都有兩種可能。(三)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)回復(fù)力與固有頻率1.回復(fù)力回復(fù)力的效果是把物體拉回到平衡位置?；貜?fù)力的方向總是與位移x的方向相反,即總是指向平衡位置。F=-kx“-”表明回復(fù)力與位移方向始終相反;回復(fù)力與物體的位移大小成正比。k是一個(gè)常數(shù),由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)決定,在本系統(tǒng)(做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體在一條直徑上的投影)中k=mω2。2.固有頻率振動(dòng)系統(tǒng)的自振頻率完全由該系統(tǒng)本身的各個(gè)參數(shù)決定,因此稱它為固有頻率。式中:k為常數(shù);m為物體的質(zhì)量。(四)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程的運(yùn)算已知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移方程x=Rcos(ωt+φ)，如何求其速度和加速度？(四)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程的運(yùn)算已經(jīng)知道簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)加速度方程a=-Rω2cos(ωt+φ)，如何求其速度和加速度？二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量就是振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能。動(dòng)能機(jī)械能勢(shì)能重力勢(shì)能彈性勢(shì)能由質(zhì)量和速度決定由質(zhì)量和高度決定由剛度系數(shù)和變形量決定二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量系統(tǒng)的動(dòng)能為：系統(tǒng)的勢(shì)能為：系統(tǒng)的機(jī)械能為：二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量系統(tǒng)不受外力作用,并且內(nèi)力為保守力(力所做的功與路徑無(wú)關(guān),僅由質(zhì)點(diǎn)的始末位置決定,如重力),故在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,動(dòng)能與勢(shì)能隨時(shí)間周期性相互轉(zhuǎn)化。(2)能量守恒機(jī)械能保持不變且與位移無(wú)關(guān),與振幅R的平方成正比。在最大位移處,勢(shì)能最大,動(dòng)能為零;在平衡位置處,動(dòng)能最大,勢(shì)能最小。(1)能量轉(zhuǎn)化方式振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能跟振幅有關(guān),振幅越大,機(jī)械能就越大,振動(dòng)也就越強(qiáng)。能量與振幅R的平方成正比。在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中,振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,所以簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是等幅振動(dòng)。(3)決定能量大小的因素E=Ek+Ep三、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的三要素振幅R、角頻率ω、初相位φ,稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)三要素。勻速圓周運(yùn)動(dòng)是不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)？1.勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體(一)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體在一條直徑上的投影所做的運(yùn)動(dòng)ψ=ωt+φ角位移:角速度:ω=常數(shù)角加速度：ξ=0勻速圓周運(yùn)動(dòng)具有簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)三要素中的角頻率和初相位,但缺少振幅這一要素;另外,這種運(yùn)動(dòng)的角位移、角速度和角加速度隨時(shí)間的變化也不服從三角函數(shù)規(guī)律,故勻速圓周運(yùn)動(dòng)不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。2.運(yùn)動(dòng)的分解與合成由已知的分運(yùn)動(dòng)求跟它們等效的合運(yùn)動(dòng)叫作運(yùn)動(dòng)的合成;由已知的合運(yùn)動(dòng)求跟它等效的分運(yùn)動(dòng)叫作運(yùn)動(dòng)的分解。①等時(shí)性:合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間相等,即同時(shí)開始,同時(shí)進(jìn)行,同時(shí)停止。②獨(dú)立性:一個(gè)物體同時(shí)參與幾個(gè)分運(yùn)動(dòng),各分運(yùn)動(dòng)獨(dú)立進(jìn)行,不受其他分運(yùn)動(dòng)影響。③等效性:各分運(yùn)動(dòng)的規(guī)律疊加起來(lái)與合運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有完全相同的效果(1)基本特征(2)運(yùn)算原則①兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)在同一直線上時(shí),矢量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算。先選定一正方向,凡與正方向相同的取正,相反的取負(fù)。合運(yùn)動(dòng)為各分運(yùn)動(dòng)的代數(shù)和。②不在同一直線上,按照平行四邊形法則合成。③也可兩分運(yùn)動(dòng)垂直或正交分解后再合成。④兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)必須是同一質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)間內(nèi)相對(duì)于同一參考系的運(yùn)動(dòng)。3.圓周運(yùn)動(dòng)與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)一個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)可以分解為兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng);反之,兩個(gè)有共同平衡位置的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),若振幅相同、角頻率相同,當(dāng)它們的初相位差等于零時(shí)也可以合成為一個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)。雖然勻速圓周運(yùn)動(dòng)不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),但其在一條直徑上的投影所做的運(yùn)動(dòng)卻是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅R就是質(zhì)量為m的物體牽繩的長(zhǎng)度;簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的角頻率ω就是圓周運(yùn)動(dòng)的角速度;簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的初相位φ就是圓周運(yùn)動(dòng)在初始時(shí)刻t0時(shí)的角位移.4.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)(1)恢復(fù)力比例系數(shù)k恢復(fù)力比例系數(shù)k是一個(gè)常數(shù),由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)決定。做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體在一條直徑上的投影中k=mω2,即恢復(fù)力比例系數(shù)k等于質(zhì)量為m的物體與勻速圓周運(yùn)動(dòng)角速度平方的乘積(2)頻率頻率是振體在每秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)，用f表示，單位赫茲（Hz)。(4)周期：振體作一次全振動(dòng)所需的時(shí)間，用T表示。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中每經(jīng)過(guò)一個(gè)周期，相位增加：(3)圓頻率圓頻率是振體在2π秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)，用表示，單位弧度/秒。(二)單擺運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng),其角速度使質(zhì)量為m的物體產(chǎn)生的離心力必須遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于重力。當(dāng)其角速度下降至?xí)r,其運(yùn)動(dòng)形式將轉(zhuǎn)變?yōu)閱螖[變速運(yùn)動(dòng)。1.角動(dòng)量方程M為力矩,M=lF;I為單擺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,I=ml2;β為角加速度,β=d2α/dt2

。M=Iβ(二)單擺運(yùn)動(dòng)2.小角近似周期單擺的非線性的運(yùn)動(dòng)被線性地近似為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)周期為l為懸繩長(zhǎng)度;g為重力加速度。單擺的初相位就是沒有擾動(dòng)時(shí)的相位,此時(shí)它與重力線是重合的,即0°為初相位。3.振幅與初相位單擺的振幅取決于擾動(dòng)(拉開放手)提供的能量,能量越大,振幅越大2.彈性恢復(fù)力：總是指向平衡位置，并力圖使振動(dòng)回到平衡位置。1.自由振動(dòng)：系統(tǒng)受到暫時(shí)干擾后僅在彈性恢復(fù)力作用下的振動(dòng)。四、振動(dòng)的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)3.自由振動(dòng)的微分方程作用在振體上的外力為：O為平衡位置，彈性力為：振體振動(dòng)微分方程為：即：令：振體振動(dòng)微分方程為：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程的解：A:振幅振動(dòng)的初相位也與外界給振體的初始干擾有關(guān)，即與振體所具有的初速度和初位移有關(guān)。圓頻率1.自由振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其位移是時(shí)間的正弦函數(shù)。2.頻率、圓頻率和周期只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)（m,k）有關(guān)，與運(yùn)動(dòng)初始條件和作用在振體上的常力無(wú)關(guān)。3.速度、加速度、振幅和初相位與運(yùn)動(dòng)的初始條件有關(guān)。4.自由振動(dòng)的頻率等于系統(tǒng)的固有頻率。三、自由振動(dòng)的特點(diǎn)：五、飛輪和齒輪的振動(dòng)安裝在垂直懸桿下端的一個(gè)圓盤,以懸桿為軸作扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的擺,稱為扭擺。1.角動(dòng)量方程2.圓盤轉(zhuǎn)角簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)固有頻率五、飛輪和齒輪的振動(dòng)3.扭擺能量轉(zhuǎn)換若在圓盤上加上一靜扭轉(zhuǎn)力矩,使圓盤旋轉(zhuǎn)φ角,此時(shí)懸線下端也相應(yīng)地轉(zhuǎn)了φ角,懸線具備了一定的彈性勢(shì)能。一旦將力矩釋放,圓盤在懸線帶動(dòng)下向平衡位置O轉(zhuǎn)動(dòng)。在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中,懸線的彈性勢(shì)能減小,而圓盤的動(dòng)能增加。抵達(dá)平衡位置O時(shí),軸段的彈性勢(shì)能完全轉(zhuǎn)變?yōu)閳A盤的動(dòng)能(不考慮阻力);由于慣性作用,圓盤將按原轉(zhuǎn)動(dòng)方向越過(guò)平衡位置O;此時(shí)軸段的彈性勢(shì)能增加,而圓盤的動(dòng)能減小。當(dāng)圓盤的動(dòng)能完全轉(zhuǎn)變?yōu)閼覘U的彈性勢(shì)能后,圓盤將反方向轉(zhuǎn)動(dòng)。如此循環(huán)不息。六、共振無(wú)阻尼自由振動(dòng)：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅不隨時(shí)間變化,這就是說(shuō),振動(dòng)一經(jīng)發(fā)生,就能夠永遠(yuǎn)不停地以相同的振幅振動(dòng)下去。這是一種理想的情況,稱為無(wú)阻尼自由振動(dòng)。阻尼振動(dòng)：實(shí)際上,任何振動(dòng)系統(tǒng)都會(huì)受到阻力的作用,系統(tǒng)的能量將因不斷克服阻力做功而損耗,振幅將逐漸減小,這種振幅隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。受迫振動(dòng)：為了獲得所需的穩(wěn)定振動(dòng),必須克服阻力的影響而對(duì)系統(tǒng)施以周期性外力的作用,這種振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)。周期性外力的頻率等于系統(tǒng)固有頻率的受迫振動(dòng)稱為共振(一)阻尼振動(dòng)振幅隨時(shí)間的變化而減小的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。1.弱阻尼振動(dòng)弱阻尼振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。在阻尼不大時(shí),弱阻尼振動(dòng)可近似地看成是一種振幅逐漸減小的振動(dòng)2.過(guò)阻尼振動(dòng)3.臨界阻尼振動(dòng)振子恰好從準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)榉侵芷谶\(yùn)動(dòng)。與弱阻尼和過(guò)阻尼比較,在臨界阻尼情況下振子回到平衡位置而靜止下來(lái)所需時(shí)間最短偏離平衡位置的振子只能緩慢地回到平衡位置,不再做周期性的往復(fù)運(yùn)動(dòng),是一種非周期運(yùn)動(dòng)。在阻尼振動(dòng)中，要維持振動(dòng)，外界需加一個(gè)周期的外力，這個(gè)周期性的外力稱為策動(dòng)力或強(qiáng)迫力。（三）受迫振動(dòng)線性阻尼：阻尼力與速度一次方成正比的阻尼。其數(shù)學(xué)表達(dá)式：Ｒ＝－μｖ彈性恢復(fù)力F=－Ｋｘ阻尼力Ｒ＝－μｖ周期性干擾力Ｐ＝ＨｓｉｎＰｔ其中，H為干擾力的力幅，P為干擾力的頻率。式中，μ稱為沾滯阻力系數(shù)，單位N·s/cm，由振體的形狀、大小和介質(zhì)決定。令單自由度系統(tǒng)有阻尼的受迫振動(dòng)微分方程：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)受迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式第一項(xiàng)為阻尼振動(dòng)，由于阻尼的存在使振幅隨時(shí)間增長(zhǎng)而迅速減少，阻尼越大，衰減越快。第二項(xiàng)為與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)形式相同的等幅振動(dòng)，是受迫振動(dòng)的穩(wěn)定解。策動(dòng)力補(bǔ)償了阻尼功的消耗，使振幅B始終保持不變，不因阻尼的存在而衰減。注意：有阻尼的受迫振動(dòng)的角頻率總與干擾力的角頻率相同。而自由振動(dòng)的頻率等于系統(tǒng)的固有頻率！！通解在穩(wěn)定狀態(tài)下,受迫振動(dòng)的振幅與強(qiáng)迫力的角頻率有關(guān)。(三)共振當(dāng)P為某一定值時(shí),受迫振動(dòng)的振幅達(dá)到最大值。我們把受迫振動(dòng)的振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱為共振。當(dāng)強(qiáng)迫力的角頻率P與固有角頻率ω0相差較大時(shí),受迫振動(dòng)的振幅較小;當(dāng)P與ω0相差較小時(shí),受迫振動(dòng)的振幅較大;當(dāng)P/ω接近于1，干擾力振動(dòng)頻率與系統(tǒng)圓頻率十分接近時(shí)，在無(wú)阻尼或阻尼值很小時(shí)，其幅頻曲線出現(xiàn)很大峰值，振幅B達(dá)到最大值，系統(tǒng)振動(dòng)最為強(qiáng)烈，稱為共振。當(dāng)P/ω=0.75-1.25范圍內(nèi)，振幅B仍有相當(dāng)大的值，所以將這一區(qū)域稱為共振區(qū)。當(dāng)P/ω<0.75時(shí)稱為低頻區(qū)，當(dāng)P/ω>1.25時(shí)稱為高頻區(qū)。1.共振角頻率與共振振幅系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)強(qiáng)迫力的角頻率稱為共振角頻率,用ωr表示(2)共振振幅（1）共振角頻率在共振區(qū)內(nèi)，阻尼對(duì)振幅有明顯抑制作用。當(dāng)無(wú)阻尼時(shí)，振幅趨于無(wú)窮大。隨阻尼值的增加，振幅迅速下降。在共振區(qū)設(shè)法增加有效的阻尼作用2.共振特征(1)共振角頻率ωr略小于固有角頻率ω0,當(dāng)阻尼因子β→0而發(fā)生共振現(xiàn)象時(shí),共振角頻率等于系統(tǒng)的固有角頻率,即ωr=ω0

。(2)當(dāng)β→0,ωr=ω0時(shí),共振振幅趨于無(wú)窮大,這種情況稱為尖銳共振。當(dāng)β→0時(shí),在共振情況下,速度與強(qiáng)迫力的相位相同。因?yàn)閺?qiáng)迫力的方向與物體振動(dòng)方向相同,強(qiáng)迫力始終對(duì)物體做正功,所以輸入振動(dòng)系統(tǒng)的能量最大,振幅具有極大值1）消除振源或設(shè)法使振動(dòng)減弱：干擾力是產(chǎn)生受迫振動(dòng)的根源。消除振源是消除振動(dòng)的根本途徑。對(duì)于無(wú)法消除的振源，要盡量遠(yuǎn)離。(1)減小強(qiáng)迫振動(dòng)激振源2）減少振幅如：1.柴油機(jī)加平衡重平衡慣性力；2.柴油機(jī)正確設(shè)計(jì)各缸的發(fā)火順序；3.柴油機(jī)管理上保證各缸發(fā)火定時(shí)的正確性、各缸爆發(fā)壓力和功率的均等。3.消減共振現(xiàn)象的措施1.采用阻尼裝置或動(dòng)力消振器，以吸收振動(dòng)能量使振幅減少；2.提高轉(zhuǎn)動(dòng)部件的制造和安裝精度，3.增加發(fā)生共振時(shí)的阻尼。①改變剛性:增強(qiáng)軸承座或框架的剛性,夾緊底腳,消除加墊引起的變形或采用減小間隙的軸承。(2)改變系統(tǒng)的固有頻率在柴油機(jī)的自由端安裝適當(dāng)尺寸的減振飛輪，可改善整個(gè)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和固有頻率，使干擾力的頻率遠(yuǎn)離整個(gè)系