湖南明德中學(xué)2025-2026學(xué)年數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C.1 D.2．若動圓的圓心在拋物線上，且恒過定點(diǎn)，則此動圓與直線（）A.相交 B.相切C.相離 D.不確定3．在中，，，，則此三角形（）A.無解 B.一解C.兩解 D.解的個數(shù)不確定4．若函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知，則條件“”是條件“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件.6．在等差數(shù)列中，若，則（）A.6 B.9C.11 D.247．已知正三棱柱中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.8．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A.2 B.4C.6 D.89．曲線在處的切線的傾斜角是（）A. B.C. D.10．如圖，面積為的正方形中有一個不規(guī)則的圖形，可按下面方法估計(jì)的面積：在正方形中隨機(jī)投擲個點(diǎn)，若個點(diǎn)中有個點(diǎn)落入中，則的面積的估計(jì)值為，假設(shè)正方形的邊長為，的面積為，并向正方形中隨機(jī)投擲個點(diǎn)，用以上方法估計(jì)的面積時，的面積的估計(jì)值與實(shí)際值之差在區(qū)間內(nèi)的概率為附表：A. B.C. D.11．下列命題中正確的是（）A.若為真命題，則為真命題B.在中“”是“”的充分必要條件C.命題“若，則或”的逆否命題是“若或，則”D.命題，使得，則，使得12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，，則（）A. B.C.,,成等差數(shù)列 D.,,成等比數(shù)列二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和則____________________14．某部門計(jì)劃對某路段進(jìn)行限速，為調(diào)查限速60km/h是否合理，對通過該路段的300輛汽車的車速進(jìn)行檢測，將所得數(shù)據(jù)按，，，分組，繪制成如圖所示頻率分布直方圖.則________；這300輛汽車中車速低于限速60km/h的汽車有______輛.15．如圖：雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過原點(diǎn)O的直線與雙曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，其中P在右支上，且，則的面積為___________.16．如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點(diǎn)，（）（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值），且，證明：.18．（12分）已知等差數(shù)列滿足：，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為（1）求及；（2）設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和19．（12分）如圖，正方體的棱長為，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，（）.（Ⅰ）三棱錐的體積分別為，當(dāng)為何值時，最大？最大值為多少？（Ⅱ）若平面，證明：平面平面.20．（12分）若等比數(shù)列的各項(xiàng)為正，前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓與直線相切.（1）求圓O的方程；（2）設(shè)圓O交x軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓O內(nèi)，且是、的等比中項(xiàng)，求的取值范圍.22．（10分）已知圓C的圓心在y軸上，且過點(diǎn)，（1）求圓C的方程；（2）已知圓C上存在點(diǎn)M，使得三角形MAB的面積為，求點(diǎn)M的坐標(biāo)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)給定條件求出拋物線C的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線，再利用拋物線的定義求出a值計(jì)算作答.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，依題意，由拋物線定義得，解得，所以拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.故選：D2、B【解析】根據(jù)題意得定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義判斷即可.【詳解】解：由題知，定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，因?yàn)閯訄A的圓心在拋物線上，且恒過定點(diǎn)，所以根據(jù)拋物線的定義得動圓的圓心到直線的距離等于圓心到定點(diǎn)，即圓心到直線的距離等于動圓的半徑，所以動圓與直線相切.故選：B3、C【解析】利用正弦定理求出的值，再根據(jù)所求值及a與b的大小關(guān)系即可判斷作答.【詳解】在中，，，，由正弦定理得，而為銳角，且，則或，所以有兩解故選：C4、D【解析】由題意，即在區(qū)間上有兩個異號零點(diǎn)，令，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合即可求解【詳解】解：由題意，即在區(qū)間上有兩個異號零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時，，時，，且，所以，即，所以的范圍故選：D5、A【解析】若命題，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：A6、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量運(yùn)算求解【詳解】設(shè)的公差為d，因?yàn)?，所以，又，所以故選：B7、A【解析】根據(jù)異面直線所成角的定義，取中點(diǎn)為，則為異面直線和所成角或其補(bǔ)角，再解三角形即可求出【詳解】如圖所示：設(shè)中點(diǎn)為，則在三角形中，為中點(diǎn)，為中位線，所以有，，所以為異面直線和所成角或其補(bǔ)角，在三角形中，，所以由余弦定理有，故選：A.8、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)、等差數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，故選：B9、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出并借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】由求導(dǎo)得：，則有，因此，曲線在處的切線的斜率為，所以曲線在處切線的傾斜角是.故選：D10、D【解析】每個點(diǎn)落入中的概率為，設(shè)落入中的點(diǎn)的數(shù)目為，題意所求概率為故選D11、B【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)一真一假時也滿足條件，但不滿足為真命題；B選項(xiàng)，可以使用正弦定理和大邊對大角，大角對大邊進(jìn)行證明；C選項(xiàng)，利用逆否命題的定義進(jìn)行判斷，D選項(xiàng)，特稱命題的否定，把存在改為任意，把結(jié)論否定，故可判斷D選項(xiàng).【詳解】若為真命題，則可能均為真，或一真一假，則可能為真命題，也可能為假命題，故A錯誤；在中，由正弦定理得：，若，則，從而，同理，若，則由正弦定理得，，所以，故在中“”是“”的充分必要條件，B正確；命題“若，則或”的逆否命題是“若且，則”，故C錯誤；命題，使得，則，使得，故D錯誤.故選：B12、C【解析】寫出數(shù)列前幾項(xiàng)，觀察規(guī)律，找到數(shù)列變化的周期，再依次去判斷各項(xiàng)的說法即可解決.【詳解】數(shù)列中，，，，則此數(shù)列為1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，…即數(shù)列的各項(xiàng)是周期為6數(shù)值循環(huán)重復(fù)的一列數(shù)，選項(xiàng)A：，，則.判斷錯誤；選項(xiàng)B：由，可知當(dāng)時，.判斷錯誤；選項(xiàng)C：，則，即,,成等差數(shù)列.判斷正確；選項(xiàng)D：,,則，,即,,不能構(gòu)成等比數(shù)列.判斷錯誤.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)數(shù)列中與的關(guān)系，即可求出通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，時，也適合，綜上，，（），故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)間的關(guān)系，屬于容易題.14、①.②.【解析】根據(jù)個小矩形面積之和為1即可求出的值；根據(jù)頻率分布直方圖可以求出車速低于限速60km/h的頻率，從而可求出汽車有多少輛【詳解】由解得：這300輛汽車中車速低于限速60km/h的汽車有故答案為：；15、24【解析】利用雙曲線定義結(jié)合已知求出，，再利用雙曲線的對稱性計(jì)算作答.【詳解】依題意，，，又，解得，，則有，即，連接，如圖，因過原點(diǎn)O的直線與雙曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，由雙曲線的對稱性知，P，Q關(guān)于原點(diǎn)O對稱，因此，四邊形是平行四邊形，，所以的面積為24.故答案為：2416、【解析】化簡橢圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意，方程可化為，因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，可得，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）由題意得，然后對其求導(dǎo)，再分，兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）由（1）結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得在和上各有一個零點(diǎn)，且是的兩個極值點(diǎn)，再將極值點(diǎn)代入導(dǎo)函數(shù)中化簡結(jié)合已知可得，，從而將要證的結(jié)論轉(zhuǎn)化為證，令，再次轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求的最小值大于零即可【小問1詳解】由，得，則，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令.當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時，的增區(qū)間為，無減區(qū)間當(dāng)時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為小問2詳解】由（1）知若存在兩個極值點(diǎn)，則，且，且注意到，所以在和上各有一個零點(diǎn)，且時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.所以是的兩個極值點(diǎn).，因?yàn)椋?，所以，所以，即，所以而，所以，所以，要證，即要證即要證：因?yàn)?，所以所以，即要證：即要證：令，即要證：即要證：令當(dāng)時，，所以在上單調(diào)增所以結(jié)論得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵是將兩個極值點(diǎn)代入導(dǎo)函數(shù)中化簡后，將問題轉(zhuǎn)化為證明成立，換元后構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)證明，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題18、（1）；（2）【解析】(1)先根據(jù)已知求出，再求及.(2)先根據(jù)已知得到，再利用分組求和求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋?，所以，解得，所以?=.（2）由已知得，由（1）知，所以，=.【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和求法，考查分組求和和等比數(shù)列的求和公式，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和計(jì)算推理能力.(2)有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見特殊數(shù)列，則可以將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.這叫分組求和法.19、（Ⅰ）,.（Ⅱ）見解析.【解析】（Ⅰ）由題可知，，由和，結(jié)合基本不等式可求最值；（Ⅱ）連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，可得為中點(diǎn)，易證得，得平面，所以，進(jìn)而可證得，，所以平面EFM,因?yàn)槠矫?，從而得證.【詳解】（Ⅰ）由題可知，，.所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立）所以當(dāng)時，最大，最大值為.（Ⅱ）連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以，所以為中點(diǎn).連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋云矫?，又平面，所?同理，因?yàn)?，所以平面EFM,因?yàn)槠矫?，所以平面平面B1D1M.20、（1）（2）【解析】（1）設(shè)公比為，則由已知可得，求出公比，再求出首項(xiàng)，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由已知可得，而，所以，然后利用錯位相減法可求得結(jié)果【小問1詳解】設(shè)各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的公比為，，，則，，，即，解得或（舍去），所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】因?yàn)槭且?為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以.由（1）知，所以.所以①在①的等式兩邊同乘以，得②由①②等式兩邊相減，得，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意設(shè)出圓方程，結(jié)合該圓與直線相切，求得半徑，則問題得解；（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意，求得的等量關(guān)系，再構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求得函數(shù)值域即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，設(shè)的方程為，又該圓與直線相切，故可得，則圓的方程為.【小問2詳解】對圓：，令，則，不妨設(shè)，則，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，故；因?yàn)槭?、的等比中?xiàng)，故可得：，則，整理得；由可得，解得，則.故答案為：.22、（1）；（2）或.【解析】（1）兩點(diǎn)式求AB所在直線的