2025年專升本理工科線性代數(shù)專項(xiàng)試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.設(shè)A為n階方陣，若A可逆，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）。（A）det(A)≠0（B）0不是A的特征值（C）A的行向量組線性無(wú)關(guān)（D）A可以經(jīng)過(guò)初等行變換化為單位矩陣E2.設(shè)向量α=(1,k,2)?，β=(2,-1,1)?，若α與β正交，則k的值為（）。（A）-4（B）4（C）-2（D）23.已知線性方程組Ax=0有非零解，其中A為3×4矩陣，則下列結(jié)論中正確的是（）。（A）det(A)≠0（B）A的列向量組線性相關(guān)（C）A的行向量組線性無(wú)關(guān)（D）A的秩r(A)=34.設(shè)A=[a<0xE2><0x82><0x98>?,a<0xE2><0x82><0x98>?,a<0xE2><0x82><0x98>?]是三階矩陣，且det(A)=-2，則det(3A)的值為（）。（A）-6（B）-2（C）6（D）95.已知齊次線性方程組x?+x?+x?=0，x?+2x?+3x?=0的通解為（x?,x?,x?）?=k(1,-2,1)?，k為任意常數(shù)，則此方程組的系數(shù)矩陣的秩為（）。（A）0（B）1（C）2（D）3二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分。）6.設(shè)A為三階矩陣，且det(A)=2，則det(A?)=，det(A?1)=。7.向量組α?=(1,0,1)?，α?=(1,1,0)?，α?=(0,1,1)?的秩為。8.若向量β=(1,k,3)?可以由向量組α?=(1,1,1)?，α?=(1,2,3)?線性表示，則k=。9.設(shè)A=[1,2;3,4]，B=[1,0;0,-1]，則(A+B)?1=。10.設(shè)矩陣A=[a<0xE2><0x82><0x98>?,a<0xE2><0x82><0x98>?,a<0xE2><0x82><0x98>?]的秩r(A)=2，且a?=(1,0,1)?，則存在矩陣B使得AB=O，且r(B)=1，則B可以取。（只需給出一種滿足條件的B）三、計(jì)算題（本大題共4小題，每小題8分，滿分32分。）11.計(jì)算行列式det(A)的值，其中A=[1,2,3;0,1,4;5,6,0]。12.設(shè)矩陣A=[1,2,-1;2,1,0;1,-1,1]，求矩陣A的逆矩陣A?1。（若A不可逆，請(qǐng)說(shuō)明理由）13.判斷向量組α?=(1,2,3)?，α?=(0,1,2)?，α?=(2,5,8)?的線性相關(guān)性，并說(shuō)明理由。14.求解線性方程組：x?+2x?+3x?=1，2x?+5x?+7x?=4，3x?+7x?+10x?=6。四、證明題（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分。）15.設(shè)A為n階矩陣，且滿足A2=A（這種矩陣稱為冪等矩陣）。證明：(E-A)也是冪等矩陣，其中E為n階單位矩陣。16.設(shè)向量組α?,α?,α?線性無(wú)關(guān)，且向量β?可以由α?,α?,α?線性表示，向量β?不能由α?,α?線性表示，但可以由α?,α?,α?線性表示。證明：向量α?,α?,α?,β?-β?線性無(wú)關(guān)。試卷答案一、選擇題1.(D)2.(B)3.(B)4.(C)5.(C)二、填空題6.2,1/27.38.59.[1/2,-1/2;-3/2,1/2]10.[0,-1,1;1,0,-1;-1,1,0]（答案不唯一）三、計(jì)算題11.解：det(A)=1×(1×0-4×6)-2×(0×0-4×5)+3×(0×6-1×5)=1×(-24)-2×(-20)+3×(-5)=-24+40-15=1.12.解：計(jì)算det(A)=1(1×1-0×(-1))-2(2×1-0×1)+(-1)(2×(-1)-1×1)=1(1)-2(2)+(-1)(-2-1)=1-4+3=0.因?yàn)閐et(A)=0，所以矩陣A不可逆。13.解：構(gòu)造矩陣A=[α?,α?,α?]=[1,0,2;2,1,5;3,2,8]。對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換化為行階梯形矩陣：[1,0,2;2,1,5;3,2,8]→[1,0,2;0,1,1;0,2,2]（R?-2R?→R?,R?-3R?→R?）→[1,0,2;0,1,1;0,0,0]（R?-2R?→R?）。行階梯形矩陣非零行數(shù)為2，即r(A)=2。因?yàn)橄蛄拷Mα?,α?,α?包含的向量個(gè)數(shù)s=3，且r(A)=2<s，所以向量組α?,α?,α?線性相關(guān)。14.解：寫出增廣矩陣并化為行階梯形矩陣：[1,2,3|1;2,5,7|4;3,7,10|6]→[1,2,3|1;0,1,1|2;0,1,1|3]（R?-2R?→R?,R?-3R?→R?）→[1,2,3|1;0,1,1|2;0,0,0|1]（R?-R?→R?）。因增廣矩陣的秩r(增廣矩陣)=3，系數(shù)矩陣的秩r(A)=2，r(A)≠r(增廣矩陣)，所以線性方程組無(wú)解。四、證明題15.證明：(E-A)2=(E-A)(E-A)=E2-EA-AE+A2=E-A-A+A2=E-A+A-A2=E-A+A-A=E-A。所以(E-A)是冪等矩陣。16.證明：用反證法。假設(shè)向量α?,α?,α?,β?-β?線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù)k?,k?,k?,k?，使得k?α?+k?α?+k?α?+k?(β?-β?)=0。整理得k?α?+k?α?+k?α?+k?β?-k?β?=0。若k?=0，則k?α?+k?α?+k?α?=0。由α?,α?,α?線性無(wú)關(guān)，得k?=k?=k?=0，與假設(shè)矛盾。若k?≠0，則k?β?=-(k?α?+k?α?+k?α?-k?β?)，即