2025年高中物理競(jìng)賽專題訓(xùn)練三十：剛體力學(xué)初步一、剛體運(yùn)動(dòng)的基本概念剛體是指在任何外力作用下形狀和大小都不發(fā)生變化的理想化物體。在高中物理競(jìng)賽中，剛體的運(yùn)動(dòng)形式主要分為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩類。平動(dòng)是指剛體上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡完全相同的運(yùn)動(dòng)，此時(shí)剛體可等效為質(zhì)點(diǎn)處理；轉(zhuǎn)動(dòng)則是指剛體繞某一固定軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，需引入角速度（ω）、角加速度（α）等角量描述。對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體上任意一點(diǎn)的線速度v=ω×r，切向加速度at=αr，法向加速度an=ω2r，其中r為該點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離。二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與軸定理轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的物理量，定義為J=∑miri2（離散質(zhì)點(diǎn)系）或J=∫r2dm（連續(xù)質(zhì)量分布）。其大小取決于剛體質(zhì)量、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸位置。競(jìng)賽中需熟記以下常見(jiàn)模型的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：細(xì)桿繞中心軸：J=1/12ML2細(xì)桿繞端點(diǎn)軸：J=1/3ML2實(shí)心球繞直徑：J=2/5MR2薄圓環(huán)繞中心軸：J=MR2平行軸定理指出，剛體對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J等于對(duì)通過(guò)質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc加上質(zhì)量M與兩軸距離d的平方乘積，即J=Jc+Md2。例如，細(xì)桿繞端點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可由繞中心軸的結(jié)果（1/12ML2）結(jié)合平行軸定理推導(dǎo)：J=1/12ML2+M(L/2)2=1/3ML2。正交軸定理適用于平面剛體，對(duì)垂直于平面的z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz=Jx+Jy，其中x、y軸在剛體平面內(nèi)且相互垂直。如薄圓盤繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jx=Jy=1/4MR2，則繞中心垂直軸的Jz=1/2MR2。三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度α與合外力矩M成正比，與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J成反比，即M=Jα。力矩的計(jì)算需注意矢量性，對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可簡(jiǎn)化為標(biāo)量式M=r×F（取垂直于轉(zhuǎn)軸方向的分量）。應(yīng)用該定理時(shí)需注意：轉(zhuǎn)軸必須固定，且所有物理量需對(duì)同一轉(zhuǎn)軸計(jì)算；合外力矩包括重力矩、彈力矩等，摩擦力矩通常忽略不計(jì)；角加速度α與線加速度的關(guān)系為a=αr，可用于連接平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題。典型例題：質(zhì)量為M、半徑為R的均質(zhì)圓盤可繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，邊緣繞有輕繩，繩下端掛一質(zhì)量為m的物體。求物體下落的加速度a。解析：對(duì)圓盤，繩拉力T的力矩M=TR=Jα=1/2MR2α；對(duì)物體，mg-T=ma。又因a=αR，聯(lián)立解得a=2mg/(M+2m)。四、角動(dòng)量守恒定律剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量L=Jω，當(dāng)系統(tǒng)所受合外力矩為零時(shí)，角動(dòng)量守恒，即J1ω1=J2ω2。該定律在競(jìng)賽中具有廣泛應(yīng)用，尤其適用于以下場(chǎng)景：可變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量系統(tǒng)：如花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員收攏雙臂減小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，從而角速度增大；碰撞問(wèn)題：子彈射入靜止細(xì)桿的非彈性碰撞，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒但機(jī)械能不守恒；天體運(yùn)動(dòng)：行星繞恒星運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)恒星的角動(dòng)量守恒，近日點(diǎn)速度大、遠(yuǎn)日點(diǎn)速度小。競(jìng)賽拓展題：質(zhì)量為M、半徑為R的水平圓盤可繞中心軸無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，初始角速度為ω0。一質(zhì)量為m的小蟲(chóng)從盤邊緣相對(duì)盤靜止開(kāi)始爬向中心，當(dāng)小蟲(chóng)爬到距中心r處時(shí)，圓盤的角速度ω為多少？解析：系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，初始角動(dòng)量L0=(1/2MR2)ω0，末態(tài)角動(dòng)量L=(1/2MR2+mr2)ω，解得ω=MR2ω0/(MR2+2mr2)。五、剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)平面平行運(yùn)動(dòng)是指剛體既平動(dòng)又轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)形式，可分解為隨質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。其動(dòng)力學(xué)方程為：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：F合=Mac繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)定理：M合=Jcα動(dòng)能計(jì)算需同時(shí)考慮平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：Ek=1/2Mvc2+1/2Jcω2。純滾動(dòng)（無(wú)滑動(dòng)）時(shí)滿足vc=ωR，此時(shí)動(dòng)能可表示為Ek=1/2(M+Jc/R2)vc2。例如，實(shí)心球純滾動(dòng)時(shí)Ek=1/2Mv2+1/2(2/5MR2)(v/R)2=7/10Mv2。典型模型：傾角為θ的斜面頂端釋放一實(shí)心球，求其純滾動(dòng)到底端的速度。解析：由機(jī)械能守恒，Mgh=7/10Mv2，解得v=√(10gh/7)。此處重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為平動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，需注意純滾動(dòng)條件的應(yīng)用。六、非慣性系中的剛體力學(xué)在加速平動(dòng)參考系中，需引入慣性力F慣=-Ma0（a0為參考系加速度），其對(duì)質(zhì)心的力矩需計(jì)入轉(zhuǎn)動(dòng)方程。在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中，慣性離心力F慣=mω2r，方向背離轉(zhuǎn)軸。競(jìng)賽中常涉及以下問(wèn)題：汽車轉(zhuǎn)彎：輪胎與地面的靜摩擦力提供向心力，同時(shí)車身側(cè)傾產(chǎn)生恢復(fù)力矩；傅科擺：地球自轉(zhuǎn)導(dǎo)致擺平面緩慢旋轉(zhuǎn)，本質(zhì)是科里奧利力的效應(yīng)（決賽要求）。七、競(jìng)賽難點(diǎn)突破與解題策略模型轉(zhuǎn)化：將復(fù)雜剛體分解為若干簡(jiǎn)單部件，利用疊加原理計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；守恒律綜合應(yīng)用：結(jié)合角動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒及動(dòng)量守恒解決多體問(wèn)題；微元法：處理變質(zhì)量或連續(xù)體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題，如均勻細(xì)桿繞端點(diǎn)自由下擺的角速度隨角度變化規(guī)律；實(shí)驗(yàn)結(jié)合：利用三線擺測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，通過(guò)誤差分析提升數(shù)據(jù)處理能力。綜合例題：長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為M的細(xì)桿可繞O點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，初始水平靜止。一質(zhì)量為m的子彈以速度v0垂直射入桿的中點(diǎn)并嵌合，求桿擺動(dòng)的最大角度θ。解析：碰撞過(guò)程角動(dòng)量守恒：mv0(L/2)=[1/3ML2+m(L/2)2]ω；擺動(dòng)過(guò)程機(jī)械能守恒：1/2Jω2=(M+m)g(L/2)(1-cosθ)。聯(lián)立解得cosθ=1-3m2v02/[2