2025年高中物理競賽專題訓練四：機械振動與波一、簡諧運動的規(guī)律與應用簡諧運動是機械振動的核心內容，其動力學特征表現為回復力與位移的大小成正比且方向相反，即(F=-kx)。這一規(guī)律決定了簡諧運動中位移、速度、加速度等物理量的周期性變化特征。從運動學角度看，簡諧運動的位移(x)、速度(v)和加速度(a)均遵循正弦或余弦函數規(guī)律，三者的相位關系為：加速度與位移反相，速度超前位移(\frac{\pi}{2})。例如，當質點處于正向最大位移處時，加速度達到負向最大值，速度為零；而當質點經過平衡位置時，速度達到最大值，加速度為零。簡諧運動的能量特征表現為系統機械能守恒，動能與勢能相互轉化。以水平彈簧振子為例，其總機械能(E=\frac{1}{2}kA^2)，其中(A)為振幅。在振動過程中，當位移為(x)時，動能(E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}k(A^2-x^2))，勢能(E_p=\frac{1}{2}kx^2)，二者之和始終保持不變。需要注意的是，簡諧運動的周期由系統本身性質決定，與振幅無關，彈簧振子的周期公式為(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}})，該公式在競賽中常結合牛頓第二定律進行推導與應用。競賽中對簡諧運動的考查常涉及非標準模型的等效處理。例如，將豎直懸掛的彈簧振子等效為水平彈簧振子，其等效勁度系數不變，但平衡位置需考慮重力影響；對于傾斜彈簧振子，則需將重力沿斜面方向的分力納入回復力分析。此外，利用簡諧運動的對稱性解題是競賽中的重要技巧，例如質點經過關于平衡位置對稱的兩點時，速度大小相等、加速度大小相等，往返運動時間相等。二、單擺模型的深化與拓展單擺作為簡諧運動的典型案例，在競賽中具有重要地位。其周期公式(T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}})的推導與應用是核心考點，需明確公式成立的條件：擺角小于(5^\circ)，此時單擺的回復力由重力沿切線方向的分力提供，近似滿足(F=-kx)。在實際問題中，需注意擺長(l)的等效計算，例如帶空心小球的單擺、復合擺或在非慣性系中的單擺問題。等效擺長的計算是競賽中的常見難點。當擺球為不規(guī)則形狀時，擺長需取懸點到質心的距離；對于雙線擺，等效擺長為兩懸點連線的垂直距離；在圓弧軌道上運動的小球，當圓弧半徑遠大于小球位移時，可等效為單擺模型，其等效擺長等于圓弧半徑。例如，若小球在半徑為(R)的光滑圓弧槽內做小角度擺動，則其周期為(T=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}})。等效重力加速度的分析是單擺問題的另一重點。在加速上升的電梯中，單擺的等效重力加速度(g'=g+a)；在沿水平方向加速運動的系統中，等效重力加速度需通過矢量合成計算，即(g'=\sqrt{g^2+a^2})，方向指向加速度的反方向。在競賽題中，常結合電磁場環(huán)境考查等效重力加速度，例如帶電小球在勻強電場中做單擺運動時，需將電場力與重力的合力視為等效重力。單擺的周期性與多解問題在競賽中頻繁出現。例如，當單擺所處的重力加速度發(fā)生周期性變化時，需分段計算周期并求和；利用單擺測量重力加速度的實驗題，常涉及誤差分析，如擺長測量時忽略擺球半徑、周期測量時誤將(n)次全振動記為(n-1)次等，這些誤差對結果的影響需通過公式推導定量分析。三、機械波的傳播規(guī)律與圖像分析機械波的產生條件為波源振動與介質傳播，其傳播特點表現為“形式傳播、質點不動”。在競賽中，需熟練掌握橫波與縱波的區(qū)別，橫波中質點振動方向與波傳播方向垂直，縱波中則在同一直線上。波速(v)、波長(\lambda)、頻率(f)的關系(v=\lambdaf)是解決波動問題的基礎，需注意波速由介質性質決定，頻率由波源決定，與介質無關。波動圖像與振動圖像的綜合應用是競賽的高頻考點。波動圖像描述某一時刻介質中各質點的位移分布，振動圖像描述某一質點在不同時刻的位移變化。二者的聯系在于：波動圖像中某點的切線斜率反映該質點的速度方向（需結合波傳播方向判斷），而振動圖像的斜率直接表示速度大小和方向。例如，已知簡諧波在(t=0)時刻的波動圖像及波速方向，可通過“同側法”判斷各質點的振動方向，進而繪制特定質點的振動圖像。波的傳播具有時間和空間的周期性，這導致波動問題常出現多解。設波的傳播時間為(t)，波長為(\lambda)，則波傳播的距離(x=vt=n\lambda+\Deltax)（(n=0,1,2,\cdots)），對應的周期(T=\frac{\lambda}{v})，則(t=kT+\Deltat)（(k=0,1,2,\cdots)）。在競賽題中，需根據題目條件確定(n)和(k)的可能取值，例如當題目中出現“第一次到達波峰”“距離最近的振動加強點”等表述時，通常取(n=0)或(k=0)。波的疊加與干涉是波動光學的基礎，在競賽中常結合幾何關系考查。兩列相干波疊加時，振動加強點滿足路程差(\Deltar=n\lambda)，振動減弱點滿足(\Deltar=(2n+1)\frac{\lambda}{2})（(n=0,1,2,\cdots)）。在解決實際問題時，需注意波源的振動方向是否一致，若兩波源振動反相，則加強與減弱條件互換。例如，兩列振幅均為(A)的相干波源相距(3\lambda)，在其連線上振動加強點的振幅為(2A)，減弱點的振幅為(0)。四、受迫振動與共振的應用受迫振動是指系統在周期性驅動力作用下的振動，其穩(wěn)定時的頻率等于驅動力頻率，與系統固有頻率無關。共振現象發(fā)生在驅動力頻率等于系統固有頻率時，此時振幅達到最大值。在競賽中，需掌握共振曲線的特點：當驅動力頻率遠離固有頻率時，振幅較??；接近固有頻率時，振幅迅速增大；共振時，驅動力與系統振動同相，相位差為零。共振的應用與防止在競賽題中常以實際情境呈現。例如，橋梁設計中需避免車輛振動頻率與橋梁固有頻率接近；而核磁共振技術則利用了原子核自旋的共振現象。在定量計算中，受迫振動的振幅公式為(A=\frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\beta\omega)^2}})，其中(\omega_0)為固有頻率，(\beta)為阻尼系數，競賽題通常忽略阻尼影響，即(\beta=0)，此時共振振幅理論上趨于無窮大。阻尼振動的能量衰減規(guī)律也是競賽考點之一。阻尼振動的振幅隨時間按指數規(guī)律衰減，即(A(t)=A_0e^{-\betat})，其中(\beta)為阻尼因子。在實際問題中，需結合能量守恒分析阻尼振動的周期變化，由于阻尼作用，阻尼振動的周期略大于無阻尼振動的周期。五、波的干涉、衍射與多普勒效應波的干涉和衍射是波特有的現象，在競賽中需深入理解其產生條件與規(guī)律。波的干涉要求兩列波頻率相同、相位差恒定，干涉圖樣中加強區(qū)和減弱區(qū)的分布具有空間周期性。例如，在雙縫干涉實驗中，相鄰亮條紋間距(\Deltax=\frac{L}64gquie\lambda)，其中(L)為雙縫到屏的距離，(d)為雙縫間距，該公式在競賽中可拓展應用于聲波或電磁波的干涉問題。波的衍射發(fā)生的條件是障礙物或孔的尺寸與波長相當或更小。競賽題常通過比較不同波長的波在相同障礙物下的衍射效果，考查對衍射條件的理解。例如，波長為(10m)的聲波能繞過尺寸為(5m)的障礙物，而波長為(0.5m)的聲波則衍射現象不明顯。多普勒效應描述波源與觀察者相對運動時接收到的頻率變化，其公式(f'=f\frac{v+v_0}{v-v_s})（其中(v)為波速，(v_0)為觀察者速度，(v_s)為波源速度）在競賽中需注意符號規(guī)則：觀察者靠近波源時(v_0)取正，波源靠近觀察者時(v_s)取正。例如，當波源與觀察者相互靠近時，接收到的頻率增大；相互遠離時，頻率減小。在天體物理中，多普勒效應常用于測量星體的退行速度，根據光譜紅移計算星系遠離地球的速度。六、競賽題型分析與解題策略（一）振動與波動圖像的綜合題此類題目要求根據振動圖像繪制波動圖像，或反之。解題關鍵在于抓住“振動圖像一點對應波動圖像一線，波動圖像一線對應振動圖像一點”的關系。例如，已知某簡諧波在(t=0)時刻的波動圖像及質點(P)的振動圖像，可通過振動圖像確定質點(P)在(t=0)時刻的振動方向，再結合波傳播方向判斷波動圖像中其他質點的位移分布。例題：一列簡諧橫波沿(x)軸正方向傳播，(t=0)時刻的波動圖像如圖所示，質點(A)的振動周期為(0.4s)。求：（1）波速大?。唬?）(t=0.1s)時質點(B)的位移；（3）畫出質點(C)在(0)~0.4s內的振動圖像。解析：（1）由波動圖像讀出波長(\lambda=4m)，周期(T=0.4s)，則波速(v=\lambda/T=10m/s)；（2）(t=0.1s=T/4)，波沿(x)軸正方向傳播，(t=0)時質點(B)位于平衡位置且向上振動，經過(T/4)到達正向最大位移處，位移(x=0.2m)；（3）質點(C)在(t=0)時位于負向最大位移處，振動圖像為余弦曲線，振幅(0.2m)，周期(0.4s)。（二）波的多解問題由于波傳播的周期性和雙向性，波動問題常存在多解。解題時需明確：（1）波的傳播方向不確定時，需考慮正負方向兩種可能；（2）時間或距離與周期或波長的關系不確定時，需引入整數(n)表示多解。例題：一列簡諧波在(t=0)時的波形如圖所示，波速(v=2m/s)，質點(P)在(t=0.5s)時第一次到達波峰，求波的傳播方向及波長。解析：若波沿(x)軸正方向傳播，質點(P)的起振方向向上，第一次到達波峰的時間(t=(x/v)+T/4=0.5s)；若波沿(x)軸負方向傳播，質點(P)的起振方向向下，第一次到達波峰的時間(t=(x/v)+3T/4=0.5s)。結合波形圖中(P)點的位置，可解得波長可能為(2m)或(6m)。（三）單擺的等效模型與非慣性系問題在非慣性系中，單擺的周期需用等效重力加速度計算。例如，在沿傾角為(\theta)的斜面下滑的車廂中，若車廂加速度(a=gsin\theta)，則單擺的等效重力加速度(g'=gcos\theta)，周期(T=2\pi\sqrt{\frac{l}{gcos\theta}})。例題：在以加速度(a)水平向右運動的車廂內，有一單擺懸于天花板上，擺長為(l)，求單擺的周期。解析：在車廂參考系中，小球受到向右的慣性力(ma)，等效重力(G'=\sqrt{(mg)^2+(ma)^2}=m\sqrt{g^2+a^2})，等效重力加速度(g'=\sqrt{g^2+a^2})，周期(T=2\pi\sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^2+a^2}}})。七、競賽中的數學方法與物理思想解決機械振動與波的競賽題，需靈活運用數學工具與物理思想。微元法可用于推導簡諧運動的周期公式，例如將單擺的圓弧運動近似為直線運動，通過回復力與位移的關系得出簡諧運動規(guī)律；圖像法是分析波動問題的直觀手段，通過振動圖像與波動圖像的轉化，可快速解決相位關系問題；等效法在單擺、彈簧振子等模型中廣泛應用，通過等效物理量將復雜問題簡化。對稱性思想在簡諧運動中尤為重要，例如質點在關于平衡位置對稱的兩點具有相同的速度大小和加速度大小，運動時間相等。在波的干涉問題中，利用對稱性可快速判斷加強區(qū)和減弱區(qū)的分布。此外，能量守恒思想貫穿機械振動與波的全過程，例如在阻尼振動中，機械能的減少量等于克服阻尼力做的功；在波的傳播過程中，能量隨波傳遞，每個質點的機械能不守恒，但總能量守恒。八、典型競賽題分類解析（一）簡諧運動的能量與周期性例題：一水平彈簧振子，勁度系數(k=100N/m)，振子質量(m=0.1kg)，振幅(A=0.2m)，求：（1）振子的最大速度；（2）振子在位移(x=0.1m)處的加速度；（3）從平衡位置到(x=0.1m)處的運動時間。解析：（1）由機械能守恒(\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}mv_{max}^2)，解得(v_{max}=A\sqrt{k/m}=2m/s)；（2）加速度(a=-kx/m=-100×0.1/0.1=-100m/s^2)，負號表示方向指向平衡位置；（3）簡諧運動的位移公式(x=Asin(\omegat))，(\omega=\sqrt{k/m}=10rad/s)，當(x=0.1m)時，(sin(10t)=0.5)，解得(t=\pi/60s)（取第一象限解）。（二）波的干涉與加強減弱區(qū)計算例題：兩相干波源(S_1)和(S_2)相距(d=5m)，頻率(f=10Hz)，波速(v=20m/s)，振幅均為(A=0.1m)，振動方向相同。求在(S_1S_2)連線上，距(S_1)為(x)處的質點的振幅分布。解析：波長(\lambda=v/f=2m)，路程差(\Deltar=|(d-x)-x|=|5-2x|)。當(\Deltar=n\lambda)（(n=0,1,2,\cdots)）時振動加強，振幅(2A=0.2m)；當(\Deltar=(2n+1)\lambda/2)時振動減弱，振幅(0)。解得加強點位置(x=2.5-n)（(n=0,\pm1,\pm2)），即(x=0.5m,1.5m,2.5m,3.5m,4.5m)；減弱點位置(x=1m,2m,3m,4m)。（三）多普勒效應的綜合應用例題：一輛汽車以(30m/s)的速度遠離靜止的觀察者，汽車鳴笛頻率(f=1000Hz)，空氣中聲速(v=340m/s)，求