高一上學(xué)期數(shù)學(xué)與文化科學(xué)試題一、選擇題（每題5分，共60分）在古埃及金字塔建造過(guò)程中，工匠們需要計(jì)算正四棱錐的體積以規(guī)劃石料用量。已知某金字塔底座為正方形，邊長(zhǎng)230米，高146米，其體積約為（）A.2.5×10?立方米B.2.5×10?立方米C.2.5×10?立方米D.2.5×10?立方米我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有勾八步，股十五步，問(wèn)弦?guī)缀危俊?。若將此?wèn)題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言，其對(duì)應(yīng)的方程是（）A.x2=82+152B.x2+82=152C.x2+152=82D.8+15=x17世紀(jì)天文學(xué)家開(kāi)普勒通過(guò)觀測(cè)行星運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道是橢圓。已知某行星軌道的半長(zhǎng)軸為a，半短軸為b，焦距為c，三者滿足的關(guān)系是（）A.a2=b2+c2B.b2=a2+c2C.c2=a2+b2D.a=b+c在計(jì)算機(jī)二進(jìn)制編碼中，十進(jìn)制數(shù)2023對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)是（）A.11111100111B.11111001111C.11110110111D.11111101111古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中提出的“三角形內(nèi)角和定理”，其內(nèi)容是（）A.三角形內(nèi)角和等于90°B.三角形內(nèi)角和等于180°C.三角形內(nèi)角和等于270°D.三角形內(nèi)角和等于360°2023年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予了研究阿秒光脈沖的科學(xué)家，阿秒（as）是時(shí)間單位，1阿秒=10?1?秒。則1秒等于（）阿秒A.101?B.10?1?C.1012D.10?12我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚在統(tǒng)籌方法中提出“泡茶問(wèn)題”，其核心思想是（）A.優(yōu)化時(shí)間分配B.提高材料利用率C.減少步驟數(shù)量D.降低勞動(dòng)強(qiáng)度在新冠病毒傳播模型中，若某地區(qū)初始感染人數(shù)為N?，日增長(zhǎng)率為r，則經(jīng)過(guò)t天后感染人數(shù)N的表達(dá)式為（）A.N=N?(1+r)?B.N=N?rtC.N=N?+r?D.N=N?+rt建筑學(xué)家梁思成在研究中國(guó)古建筑時(shí)，發(fā)現(xiàn)斗拱結(jié)構(gòu)中蘊(yùn)含黃金分割比例。若某斗拱構(gòu)件的全長(zhǎng)為1米，按照黃金分割比例（約0.618）設(shè)計(jì)，則較長(zhǎng)部分的長(zhǎng)度約為（）A.0.382米B.0.5米C.0.618米D.0.707米在相對(duì)論中，物體的質(zhì)量m隨速度v變化的公式為m=m?/√(1-v2/c2)，其中c為光速。當(dāng)物體速度v接近光速時(shí)，其質(zhì)量將（）A.趨近于0B.保持不變C.趨近于無(wú)窮大D.先增大后減小統(tǒng)計(jì)學(xué)家卡爾·皮爾遜提出的相關(guān)系數(shù)r，用于衡量?jī)蓚€(gè)變量的線性相關(guān)程度。當(dāng)r=0時(shí)，表示（）A.完全正相關(guān)B.完全負(fù)相關(guān)C.無(wú)線性相關(guān)D.非線性相關(guān)我國(guó)古代歷法中的“二十四節(jié)氣”，是根據(jù)地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的位置變化制定的。地球公轉(zhuǎn)的軌道可近似看作圓，其半徑約為1.5×10?千米，則地球公轉(zhuǎn)一周的路程約為（）A.9.42×10?千米B.4.71×10?千米C.3×10?千米D.1.5×10?千米二、填空題（每題5分，共30分）戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的“田忌賽馬”故事中，孫臏通過(guò)調(diào)整馬匹出場(chǎng)順序，使田忌在三局兩勝制的比賽中獲勝。這種策略體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的_________思想。明代數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》中記載的“百雞問(wèn)題”：“今有雞翁一，值錢(qián)五；雞母一，值錢(qián)三；雞雛三，值錢(qián)一。凡百錢(qián)買(mǎi)百雞，問(wèn)雞翁、母、雛各幾何？”其本質(zhì)是求解_________方程組。量子力學(xué)中的“薛定諤方程”i??ψ/?t=?ψ，其中ψ表示_________函數(shù)，描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式上，二十四節(jié)氣倒計(jì)時(shí)的設(shè)計(jì)靈感來(lái)源于我國(guó)古代天文歷法。其中“冬至”這一節(jié)氣時(shí)，太陽(yáng)直射點(diǎn)位于_________（填“南回歸線”或“北回歸線”）。分形幾何中的“科赫雪花”，其周長(zhǎng)隨迭代次數(shù)增加而趨向于_________，而面積始終有限。密碼學(xué)中的RSA加密算法，基于的數(shù)學(xué)難題是_________問(wèn)題（填“大數(shù)分解”或“離散對(duì)數(shù)”）。三、解答題（共60分）（12分）《周髀算經(jīng)》中記載：“勾廣三，股修四，徑隅五。”（1）請(qǐng)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述勾股定理；（2）若一個(gè)直角三角形的斜邊為25厘米，一條直角邊為7厘米，求另一條直角邊的長(zhǎng)度；（3）說(shuō)明勾股定理在古代天文測(cè)量中的應(yīng)用（舉一例即可）。（12分）斐波那契數(shù)列是指這樣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其遞推公式為F?=F???+F???（n≥3），F(xiàn)?=F?=1。（1）計(jì)算F?和F??的值；（2）觀察發(fā)現(xiàn)，隨著n增大，F(xiàn)???/F?趨近于黃金比例(1+√5)/2≈1.618。若一株向日葵花盤(pán)的種子按順時(shí)針?lè)较蚺帕械穆菪龜?shù)為F??=144，預(yù)測(cè)其逆時(shí)針?lè)较蚺帕械穆菪龜?shù)最可能為_(kāi)________；（3）舉例說(shuō)明斐波那契數(shù)列在自然界中的另一個(gè)應(yīng)用。（12分）某科研團(tuán)隊(duì)研究發(fā)現(xiàn)，某新型冠狀病毒的傳播速率v（單位：人/天）與人群密度d（單位：人/平方米）的關(guān)系滿足v=0.02d2+0.5d。（1）當(dāng)人群密度d=10人/平方米時(shí)，求傳播速率v；（2）若要將傳播速率控制在v≤20人/天，求人群密度d的取值范圍；（3）結(jié)合函數(shù)圖像，說(shuō)明人群密度對(duì)傳播速率的影響趨勢(shì)。（12分）幾何學(xué)中的“莫比烏斯帶”是一種只有一個(gè)面的曲面，可通過(guò)將長(zhǎng)方形紙條的一端旋轉(zhuǎn)180°后與另一端粘合而成。（1）用一張長(zhǎng)10厘米、寬2厘米的長(zhǎng)方形紙條制作莫比烏斯帶，求該曲面的表面積；（2）若在莫比烏斯帶上畫(huà)一條連續(xù)的線，不越過(guò)邊緣，能否回到起點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）舉例說(shuō)明莫比烏斯帶在工業(yè)設(shè)計(jì)中的一個(gè)應(yīng)用。（12分）統(tǒng)計(jì)學(xué)中的“正態(tài)分布”廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域。已知某高中學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布N(80,102)，即均值μ=80，標(biāo)準(zhǔn)差σ=10。（1）計(jì)算P(70<X<90)的值（參考數(shù)據(jù)：P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827）；（2）若該校有1000名學(xué)生，估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)；（3）說(shuō)明正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性特征。四、探究題（共30分）（15分）數(shù)學(xué)史研究表明，不同文明對(duì)π的計(jì)算做出了重要貢獻(xiàn)：古埃及：π≈(16/9)2≈3.1605古希臘阿基米德：通過(guò)圓內(nèi)接和外切正96邊形，得到3.1408<π<3.1429中國(guó)祖沖之：計(jì)算出π≈355/113≈3.1415929，精確到小數(shù)點(diǎn)后7位現(xiàn)代計(jì)算機(jī)：2023年已計(jì)算到π的100萬(wàn)億位小數(shù)（1）比較祖沖之的“密率”355/113與阿基米德結(jié)果的精確度差異；（2）分析為什么古代數(shù)學(xué)家難以精確計(jì)算π值；（3）簡(jiǎn)述π值計(jì)算在現(xiàn)代科技中的一個(gè)應(yīng)用場(chǎng)景。（15分）人工智能的核心算法之一是“神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)”，其靈感來(lái)源于人腦神經(jīng)元的連接方式。一個(gè)簡(jiǎn)單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型如下：輸入層有2個(gè)神經(jīng)元x?、x?，輸出層有1個(gè)神經(jīng)元y，權(quán)重w?=0.5，w?=0.3，偏置b=0.2，激活函數(shù)為y=σ(w?x?+w?x?+b)，其中σ(z)=1/(1+e??)（sigmoid函數(shù)）。（1）當(dāng)輸入x?=1，x?=2時(shí)，計(jì)算輸出y的值（e≈2.718）；（2）說(shuō)明權(quán)重w?、w?在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的作用；（3）舉例說(shuō)明人工智能在數(shù)學(xué)教育中的一個(gè)應(yīng)用。五、應(yīng)用題（共30分）（15分）可持續(xù)發(fā)展目標(biāo)中，碳排放量的計(jì)算涉及數(shù)學(xué)模型。某城市2020年的碳排放量為5000萬(wàn)噸，計(jì)劃到2030年將碳排放量控制在3200萬(wàn)噸，假設(shè)每年的減排率相同。（1）求年平均減排率r（精確到0.1%）；（2）按此減排率，計(jì)算2025年的碳排放量；（3）若減排率提高1個(gè)百分點(diǎn)，可提前多少年達(dá)到減排目標(biāo)？（15分）橋梁設(shè)計(jì)中，拋物線形拱橋具有承重能力強(qiáng)的特點(diǎn)。某拋物線形拱橋的跨度AB=20米，拱高OC=4米，其中O為AB的中點(diǎn)，C為拱頂。（1）以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求該拋物線的方程；（2）若一艘船的寬度為6米，吃水深度（船底到水面的距離）為2米，當(dāng)水面上漲到與拱頂距離1米時(shí)，該船能否安全通過(guò)拱橋？（3）說(shuō)明拋物線形結(jié)構(gòu)在橋梁設(shè)計(jì)中的優(yōu)勢(shì)