6.8余角和補(bǔ)角第6章圖形的初步知識(shí)1.理解互為余角和補(bǔ)角的概念.(重點(diǎn))2.掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.(重點(diǎn)、難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)臺(tái)球比賽中，一次被擊打母球的線路如圖.若∠α為30°，則入射角、反射角、∠β分別為多少度(入射角與反射角相等)？情境引入一、互余、互補(bǔ)的概念問(wèn)題1

一張長(zhǎng)方形紙片，沿一個(gè)角折疊后，折痕與長(zhǎng)方形的邊形成了幾個(gè)角？提示形成了4個(gè)角，∠1+∠2=90°，∠3+∠4=180°.∠1與∠2有什么數(shù)量關(guān)系？∠3與∠4又有什么數(shù)量關(guān)系？知識(shí)梳理1.如果兩個(gè)銳角的和是一個(gè)直角，我們就說(shuō)這兩個(gè)角

，簡(jiǎn)稱_____.2.如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，我們就說(shuō)這兩個(gè)角

，簡(jiǎn)稱_____.互為余角互余互為補(bǔ)角互補(bǔ)例1

(2025·嘉興期中)將一副三角板按如圖位置擺放，其中∠1與∠2互余的是√解析A項(xiàng)，如圖，由題意得∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∠3=45°，∠4=30°，所以∠2=45°，∠1=60°，所以∠1+∠2=105°，則∠1與∠2不互余，故此選項(xiàng)不符合題意；B項(xiàng)，由題意得∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互余，故此選項(xiàng)符合題意；C項(xiàng)，由題意得∠1=∠2，不能求出∠1+∠2=90°，則∠1與∠2不一定互余，故此選項(xiàng)不符合題意；D項(xiàng)，由題意得∠1+∠2=180°，則∠1與∠2不互余，故此選項(xiàng)不符合題意.

(1)已知∠A與∠B互補(bǔ)，若∠A=60°，則∠B的度數(shù)為A.30° B.60°C.120° D.150°跟蹤訓(xùn)練1√解析因?yàn)椤螦與∠B互補(bǔ)，∠A=60°，所以∠B=180°-60°=120°.(2)下列說(shuō)法正確的是A.一個(gè)角的補(bǔ)角大于這個(gè)角B.小于平角的角的補(bǔ)角是鈍角C.互余的兩個(gè)角可以不共頂點(diǎn)D.若∠1+∠2+∠3=90°，則∠1，∠2，∠3互為余角√解析A項(xiàng)，鈍角的補(bǔ)角是銳角，小于這個(gè)角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，小于平角的角可以是鈍角、直角、銳角，所以小于平角的角的補(bǔ)角可以是鈍角、直角、銳角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C項(xiàng)正確；D項(xiàng)，互為余角是兩個(gè)角的關(guān)系，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.(3)(2025·杭州期末)一個(gè)角的余角是它的2倍，這個(gè)角的度數(shù)是A.30° B.45° C.60° D.75°√解析設(shè)這個(gè)角是x，則90°-x=2x，解得x=30°.二、余角、補(bǔ)角的性質(zhì)問(wèn)題2

(1)如圖，∠1與∠2互余，∠3與∠4互余，∠1=∠3，那么∠2與∠4相等嗎？為什么？提示相等.理由：由題意得∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，因?yàn)椤?=∠3，所以∠2=∠4.(2)如圖，∠1與∠2互補(bǔ)，∠3與∠4互補(bǔ)，∠1=∠3，那么∠2與∠4相等嗎？為什么？提示相等.理由：由題意得∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，因?yàn)椤?=∠3，所以∠2=∠4.知識(shí)梳理余角性質(zhì)：同角或等角的余角

.補(bǔ)角性質(zhì)：同角或等角的補(bǔ)角

.相等相等如圖所示，點(diǎn)O在直線AB上，且∠AOC=∠BOC=90°，∠EOF=90°，試判斷∠AOE，∠COE與∠BOF的關(guān)系.例2解由題意知，∠AOE與∠COE互余，∠COF與∠COE互余，根據(jù)同角的余角相等可知∠AOE=∠COF，同理可知∠COE=∠BOF，而∠COF與∠BOF互余，所以∠AOE與∠BOF互余.

(1)將一幅三角板中的兩個(gè)直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起.可知∠1=∠3，理由是

.

跟蹤訓(xùn)練2同角的余角相等解析根據(jù)同角的余角相等可知，∠ACD-∠2=∠ECB-∠2，即∠1=∠3.(2)如圖，將一副直角三角尺按不同方式擺放，其中“甲”尺是含30°角的直角三角尺，“乙”尺是含45°角的直角三角尺，則如圖中α與β一定相等的是

A.①② B.②③

C.②④

D.③④√解析在題圖①中，∠α+∠β+90°=180°，則∠α+∠β=90°，故∠α與∠β不一定相等；在題圖②中，根據(jù)同角的余角相等得∠α=∠β；在題圖③中，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等得∠α=∠β=135°；在題圖④中，∠α=45°，∠β=60°，故∠α與∠β不相等，綜上所述，α與β一定相等的是②③.(3)已知O是直線AB上一點(diǎn)，在同一平面內(nèi)直線AB的同側(cè)有∠AOD=∠DOB=∠COE=90°.①請(qǐng)畫出題設(shè)的圖形，并分別寫出∠COD的余角，∠AOC的補(bǔ)角；解如圖，∠COD的余角為∠AOC，∠DOE；∠AOC的補(bǔ)角為∠BOC.②寫出圖中相等的銳角，并說(shuō)明理由.解圖中相等的銳角有∠AOC=∠DOE；∠BOE=∠COD.理由如下：因?yàn)椤螦OD=∠DOB=∠COE=90°，所以∠AOC+∠COD=90°，∠COD+∠DOE=90°，所以∠AOC=∠DOE；因?yàn)椤螧OE+∠DOE=90°，∠COD+∠DOE=90°，所以∠BOE=∠COD.三、余角、補(bǔ)角性質(zhì)的應(yīng)用

例3

30°

(1)(2025·杭州拱墅區(qū)期末)一個(gè)角的余角的3倍比它的補(bǔ)角的2倍少110°，則這個(gè)角的度數(shù)為

.

跟蹤訓(xùn)練3解析設(shè)這個(gè)角是x°，3(90-x)=2(180-x)-110，所以x=20.20°(2)如圖，某海域有三個(gè)小島A，B，O，在小島O處觀測(cè)到小島A在它北偏東62°52'的方向上，觀測(cè)到小島B在它南偏東38°12'的方向上，則∠AOB的補(bǔ)角的度數(shù)是

.

101°4'解析因?yàn)镺A是表示北偏東62°52'方向的一條射線，OB是表示南偏東38°12'方向的一條射線，所以∠AOB=180°-62°52'-38°12'=78°56'，所以∠AOB的補(bǔ)角的度數(shù)是180°-78°56'=101°4'.1.下列判斷正確的有①銳角的補(bǔ)角一定是鈍角；②一個(gè)角的補(bǔ)角一定大于這個(gè)角；③銳角和鈍角互補(bǔ)；④如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么它們相等.A.0個(gè) B.1個(gè)

C.2個(gè)

D.3個(gè)√解析銳角的補(bǔ)角一定是鈍角，①正確；鈍角的補(bǔ)角小于這個(gè)角，②錯(cuò)誤；銳角和鈍角不一定互補(bǔ)，③錯(cuò)誤；如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么它們相等，④正確，綜上，正確的判斷有2個(gè).2.若∠α=90°-m，∠β=90°+m，則∠α與∠β的關(guān)系是A.互補(bǔ) B.互余C.和為鈍角 D.和為周角√解析因?yàn)椤夕?90°-m，∠β=90°+m，所以∠α+∠β=90°-m+90°+m=180°，所以∠α與∠β互補(bǔ).3.一個(gè)角的度數(shù)是42°46'，則它的余角的度數(shù)為A.47°14' B.47°54'C.57°14' D.37°54'√解析根據(jù)題意得90°-42°46'=47°14'.4.(2025·杭州西湖區(qū)期末)如圖，已知∠AOC=∠BOD=90°.

(1)若∠BOC=20°，求∠AOB的度數(shù)；解因?yàn)椤螧OC=20°，∠AOC=90°，所以∠AOB=∠AOC+∠BOC=110°.(2)∠COD與∠AOB互補(bǔ)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.解∠COD與∠AOB互補(bǔ)，理由如下：設(shè)∠COD=x，因?yàn)椤螧OD=90°，所以∠BOC=∠BOD-∠COD=90°-x，因?yàn)椤螦OC=90°，所以∠AOB=∠BOC+∠AOC=90°-x+90°=180°-x，所以∠COD+∠AOB=x+180°-x=180°，所以∠COD與∠AOB互補(bǔ).5.如圖，O，D，E三點(diǎn)在同一直線上，∠AOB=90°.(1)圖中∠AOD的補(bǔ)角是

，∠AOC的余角是

；

解題圖中∠AOD的補(bǔ)角是∠AOE，∠AOC的