第三章一次方程與方程組1.一元一次方程的相關(guān)概念方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程.一元一次方程的概念：只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=0（a、b是常數(shù)，且a≠0）.方程的解：能使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.解方程：求方程的解得過程叫做解方程.2.等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)1：等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)（或同一個式子），結(jié)果仍相等.即：如果a=b，那么a±c=b±c等式的性質(zhì)2：等式兩邊都乘以同一個數(shù)，或都除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.即：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么ac=3.一元一次方程的解法基本思路：通過適當(dāng)?shù)淖冃?，把一元一次方程化簡為ax=b（a、b為常數(shù)，且a≠0）的形式，得出方程的解為x=ba步驟具體做法注意事項去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)1）不要漏乘不含分母的項；2）當(dāng)分母中含有小數(shù)時，先將小數(shù)化成整數(shù)，再去分母.3）如果分子是多項式，去分母后要加括號.去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號1)去括號時，括號前的數(shù)要乘括號內(nèi)的每一項;2)不要弄錯符號.移項把含有未知數(shù)的項移到方程一邊，其它項都移到方程另一邊1）移項時不要丟項;2）將方程中的項從一邊移到另一邊要變號.而在方程同一邊改變項的位置時不變號.合并同類項把方程變?yōu)閍x=b（a≠0)的形式1）系數(shù)的符號處理要得當(dāng)；

2）字母及其指數(shù)不變.系數(shù)化為1將方程兩邊都除以未知數(shù)系數(shù)a，得到方程的解x=b1)未知數(shù)的系數(shù)為整數(shù)或小數(shù)時,方程兩邊同除以該系數(shù);2)未知數(shù)的系數(shù)為分?jǐn)?shù)時,方程兩邊同乘該系數(shù)的倒數(shù).4.二元一次方程組的相關(guān)概念1）二元一次方程二元一次方程概念：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.2）二元一次方程組二元一次方程組的概念：方程組有兩個未知數(shù)，每個含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有兩個方程，像這樣的方程叫做二元一次方程組.二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.5.解二元一次方程組消元思想：二元一次方程組中有兩個未知數(shù)，如果消去其中一個未知數(shù)，那么就把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，我們就可以先求出一個未知數(shù)，然后再求出另一個未知數(shù)，這種將未知數(shù)的個數(shù)由多變少，逐一解決的思想，叫做消元思想.1）代入消元法定義：把二元一次方程組中的一個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法.2）加減消元法定義：當(dāng)二元一次方程組的兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.3）整體消元法定義：根據(jù)方程組各系數(shù)的特點，可將方程組中的一個方程或方程的一部分看成一個整體，代入另一個方程中，從而達到消去其中一個未知數(shù)的目的，并求得方程的解.如：6.三元一次方程（組）三元一次方程組：方程組中含有三個未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.解三元一次方程組的基本思路;化“三元”為“二元”，再化“二元”為“一元”）序號易錯點易錯題注意事項1根據(jù)一元一次方程定義求參數(shù)是忽略一次項系數(shù)不等于01-2一元一次方程需滿足以下條件：①只含有一個未知數(shù)；②一次項系數(shù)不為0；③一次項的次數(shù)為1；④出現(xiàn)高次時，高次的系數(shù)為0.根據(jù)以上條件，來確定一元一次方程的中待定字母的值.2等式兩邊同時除以一個字母時，未考慮字母不為03若題目沒有注明該字母不為0，那么這個變形就不成立3解一元一次方程常見變形錯誤4-8見知識清單34根據(jù)二元一次方程定義求參數(shù)是忽略含未知數(shù)項的系數(shù)不等于09二元一次方程的三要素：1）有且只有兩個未知數(shù)；2）含有未知數(shù)的項的次數(shù)為1；3)方程兩邊都是整式.5解二元一次方程組時出現(xiàn)變形錯誤或符號處理錯誤10-121．如果是一元一次方程，那么．【詳解】解：∵方程是關(guān)于x的一元一次方程，∴，解得或且，故．故答案為：0．2．若方程是關(guān)于x的一元一次方程，則代數(shù)式的值是．【詳解】解：∵是關(guān)于x的一元一次方程，∴，，∴，∴，故答案為：1．3．若，則下列等式變形不正確的是（

）A． B． C． D．【詳解】A.等式兩邊同時乘以23，得，正確；B.等式兩邊同時除以，但未說明，若則無意義，變形錯誤；C.等式兩邊同時減去23，得，正確；D.分母恒大于0，兩邊同時除以，得，正確；故選B．4．下列方程的變形過程中，不正確的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得【詳解】解∶A．由，兩邊同除以5，得，變形正確；B．由，兩邊同乘，得，變形正確；C．由，移項時應(yīng)將移到左邊，得，但選項C寫為，符號錯誤，變形不正確；D．由，移項得，變形正確，故選∶C．5．如圖，小明將等式進行變形，最后得到一個錯誤的結(jié)論，則下列說法正確的是（

）A．第一步錯誤 B．第二步錯誤 C．第三步錯誤 D．三步都正確，原等式錯誤【詳解】解：第一步等式兩邊同時加，第二步合并同類項，都是正確的，第三步兩邊同時除以a是錯誤的，因為a可能等于零．正確的做法是移項得，解得，故選：C．6．小夢同學(xué)將等式根據(jù)等式性質(zhì)進行了四種變形，你認(rèn)為變形正確的有（

）①；②；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【詳解】解：由等式基本性質(zhì)，等式兩邊同時減去同一個數(shù)，等式仍然成立，則，故①正確；由等式基本性質(zhì)，等式兩邊同時乘以同一個不為0數(shù)，等式仍然成立，則，故②正確；由等式基本性質(zhì)，等式兩邊同時加上同一個數(shù)，等式仍然成立，則，故③正確；由等式基本性質(zhì)，等式兩邊同時除以同一個不為0數(shù)，等式仍然成立，則當(dāng)時，有，故④不一定正確；綜上所述，變形正確的是①②③，故選：C．7．下列變形正確的是（

）A．由，移項得B．由，去括號得C．由，去分母得D．由，系數(shù)化為1得根據(jù)各方程變形得到結(jié)果后，依次判斷即可．【詳解】解：A、由，移項得，不符合題意；B、由，去括號得，符合題意；C、由，去分母得，不符合題意；D、由，系數(shù)化為得，不符合題意．故選：B．8．將方程去分母，下列變形正確的是（

）A． B．C． D．【詳解】解：方程兩邊同時乘以15，去分母得．故選：D9．已知方程是二元一次方程，則．【詳解】解：方程是二元一次方程，且，，解得，．故答案為：．10．用代入消元法解二元一次方程組，下列變形錯誤的是（

）A．由①，得 B．由②，得C．由①，得 D．由②，得【詳解】解：，由①，得或，故A，C選項正確，不符合題意；由②，得或故D選項正確，不符合題意；B選項錯誤，符合題意；故選：B11．在解二元一次方程組時，下列方法中無法消元的是（

）A．B．由①變形得③，將③代入②C．D．由②變形得③，將③代入①【詳解】解：．，可以消去，故不符合題意；．由①變形得③，將③代入②，可以消去，故不符合題意；．，無法消元，故符合題意；．由②變形得③，將③代入①，可以消去，故不符合題意；故選：．12．用加減法解方程組時，有下列四種變形，正確的是（）A．B．C． D．【詳解】解：用加減法解方程組時，，得，，得，故B，C，D錯誤，不合題意；故A正確，符合題意；故選：A．重難點01一元一次方程的基礎(chǔ)1．（24-25七年級上·安徽阜陽·階段練習(xí)）若關(guān)于的方程是一元一次方程，則．【答案】【分析】本題主要考查了一元一次方程的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程的概念．先利用未知數(shù)的次數(shù)為1得出的值，再根據(jù)一次項的系數(shù)進行取舍．【詳解】解：∵關(guān)于的方程是一元一次方程，∴，解得，或，當(dāng)時，一次項系數(shù)，不符合題意，故舍去，∴，故答案為：．2．（24-25七年級上·安徽合肥·期末）下列哪個數(shù)是方程的解？（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】本題考查了解一元一次方程，掌握解方程的步驟是解題的關(guān)鍵．先去分母，然后去括號，移項，合并同類項，再系數(shù)化1求解．【詳解】解：，去分母，得，移項、合并同類項，得將系數(shù)化為1，得．故選：C．3．（24-25七年級上·安徽合肥·期末）若是關(guān)于的一元一次方程的解，則的值是．【答案】【分析】本題主要考查了一元一次方程的解，代數(shù)式求值，先把是代入方程得，再將代數(shù)式變形得，然后代入計算即可，掌握方程的解，代數(shù)式求值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是關(guān)于的一元一次方程的解，∴，即，∴，故答案為：．4．（24-25七年級上·安徽安慶·期中）已知是關(guān)于x的一元一次方程．(1)求a的值．(2)若上述方程的解比方程的解大2，求k的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查一元一次方程的定義，一元一次方程的解，掌握一元一次方程的定義，代入求值的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)一元一次方程的定義“含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1的整式方程”，可得，，由此即可求解；（2）由（1）得，方程的解為，由此可得的解為，代入計算即可求解．【詳解】（1）解：∵是關(guān)于x的一元一次方程，∴，即，又∵，∴；（2）解：由（1）可得，當(dāng)時，方程為，解得，∵方程的解比方程的解大2，∴的解為，把代入方程得：，解得：．重難點02等式的性質(zhì)5．（24-25七年級上·安徽合肥·期中）下列說法一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，性質(zhì)1：等式兩邊同時加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等；性質(zhì)2：等式兩邊同時乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等，根據(jù)對應(yīng)性質(zhì)逐一判斷，即可得到答案．【詳解】解：A、等式兩邊應(yīng)同時加減同一數(shù)，但左邊加，右邊減，相當(dāng)于兩邊加減不同數(shù)，等式不成立，選項錯誤；B、根據(jù)等式性質(zhì)，兩邊同乘任意數(shù)（包括0），等式仍成立，選項正確；C、當(dāng)時，分母為0無意義，等式不成立，選項錯誤；D、兩邊同乘得：，而非，推導(dǎo)錯誤，選項錯誤；故選：B．6．（24-25七年級上·安徽合肥·期末）已知，下列變形中不一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了等式的性質(zhì)；根據(jù)等式的性質(zhì)對各選項進行判斷即可．【詳解】解：A．若，則，正確，不符合題意；B．若，則，正確，不符合題意；C．若，則，變形不一定正確，符合題意；D．若，則，正確，不符合題意．故選：C．7．（24-25七年級上·安徽滁州·期中）如果字母a，b，c表示互不相等的有理數(shù)，且滿足，那么下列變形正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等式的基本性質(zhì)．根據(jù)等式的性質(zhì)去分母，進行變形，即可得出結(jié)論．【詳解】解：，等式的兩邊同時乘以6，得，A．，去括號得：，移項合并同類項得：，故A不符合題意；B．，去括號得：，移項合并同類項得：，故B不符合題意；C．，去括號得：，移項合并同類項得：，故C不符合題意；D．，去括號得：，移項合并同類項得：，故D符合題意．故選：D．8．（23-24七年級上·安徽六安·期中）一般情況下是不成立的，但有些數(shù)，可以使得它成立，例如．(1)當(dāng)，時，成立嗎？請通過計算說明理由．(2)除了上面的，取值外，請列舉一組能使得成立的，值．，．【答案】(1)成立，理由見解析(2)，【分析】（1）本題考查等式的性質(zhì)，直接將，代入式中計算即可判斷；（2）本題考查等式的性質(zhì)，只需寫出一組，代入等式中成立即可．【詳解】（1）解：成立，理由如下：把，分別代入原等式左右兩邊，左邊，右邊，左邊＝右邊，成立；（2）解：當(dāng)，，左邊，右邊，左邊＝右邊，成立；故答案為：，（答案不唯一）9．（2023七年級上·安徽阜陽·專題練習(xí)）求未知數(shù)的值(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先根據(jù)比例的基本性質(zhì)，把原式轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)等式的性質(zhì)解出即可；（2）先化簡，再根據(jù)等式的性質(zhì)，在方程兩邊同時減去4，再乘上3來解；（3）先根據(jù)比例的基本性質(zhì)，把原式轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)等式的性質(zhì)來解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點睛】本題考查了學(xué)生利用比例的基本性質(zhì)和等式的性質(zhì)解方程的能力．重難點03判斷解一元一次方程時變形正誤10．（24-25七年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）下列方程的變形中，正確的是（

）①，變形為；②，變形為；③，變形為；④，變形為．A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③【答案】C【分析】本題主要考查解一元一次方程，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)運算法則進行變形判斷即可．【詳解】解：，變形為，故①錯誤；，變形為；故②正確；，變形為；故③錯誤；，變形為，故④正確．故選C．11．（24-25七年級上·安徽合肥·期末）在解方程時，去分母正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查一元一次方程的去分母，熟練掌握一元一次方程的解題步驟是解題的關(guān)鍵；將方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)，即可去分母，據(jù)此即可解答．【詳解】方程兩邊同乘6，去分母，得．故選：D．12．（24-25七年級上·安徽滁州·期中）解方程，去括號的結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查去括號法則的應(yīng)用，去括號法則：當(dāng)括號前是正號時，去掉括號后，括號內(nèi)的各項符號不變，當(dāng)括號前為負(fù)號時，去掉括號后，括號內(nèi)的各項符號要變號．掌握去括號法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)去括號法則去括號即可．【詳解】解：去括號，，故選：D．13．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）把方程去分母正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了一元一次方程去分母的計算，掌握去分母的方法，等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等式的性質(zhì)，等式兩邊同時乘以公分母，不能漏項，由此即可求解．【詳解】解：方程去分母，等式兩邊同時乘以得，，故選：A．14．（24-25七年級上·安徽滁州·期中）方程去分母后，可化為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了方程的化簡．熟練掌握分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和等式的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．先將分式的分子、分母同時擴大原來的10倍，將方程中的小數(shù)變?yōu)檎麛?shù)，再去分母．【詳解】解：方程的兩邊的分?jǐn)?shù)的分子與分母同乘以10，得，去分母，得．故選：D．重難點04利用合適的方法解一元一次方程15．（24-25七年級上·安徽合肥·期中）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）按照去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程即可；（2）按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程即可．【詳解】（1）解：去括號得：，移項，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：；（2）解：去分母得：，去括號得：，移項，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：．16．（24-25七年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）解方程：【答案】【分析】本題主要考查解一元一次方程，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)運算法則去分母，去括號進行計算即可．【詳解】解：去分母得，去括號得，，移項、合并同類項得，，系數(shù)化為1得，17．（24-25七年級上·安徽滁州·期中）解方程：【答案】【分析】本題主要考查一元一次方程的解法，根據(jù)解一元一次方程的步驟，先去括號，然后移項，合并同類項，最后將x的系數(shù)化為即可求解．【詳解】解：去括號得，移項得，合并得，系數(shù)化為得．18．（23-24七年級下·吉林長春·期末）下面是小明同學(xué)解一元一次方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解方程：解：________，得

第一步去括號，得

第二步移項，得

第三步合并同類項，得

第四步方程兩邊同除以2，得

第五步(1)以上求解步驟中，第一步進行的是________；(2)以上求解步驟中，第________步開始出現(xiàn)錯誤；(3)請寫出正確解方程的過程．【答案】(1)去分母(2)三(3)見解析【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟，等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)解一元一次方程的步驟解答即可；（2）根據(jù)解一元一次方程的步驟解答即可；（3）按照解一元一次方程的步驟進行計算即可．【詳解】（1）解：以上求解步驟中，第一步進行的是去分母，故答案為：去分母；（2）解：以上求解步驟中，第三步開始出現(xiàn)錯誤，具體的錯誤是移項時沒有變號，故答案為：三；（3）解：兩邊同乘6得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，兩邊同除以2，得．19．（24-25七年級上·安徽安慶·期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．（1）按照移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程即可；（2）按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程即可．【詳解】（1）解：，，，；（2）解：，，．重難點05已知一元一次方程解之間的關(guān)系求參數(shù)20．（24-25七年級上·安徽合肥·期中）若是關(guān)于x的一元一次方程．(1)求m的值；(2)若該方程與關(guān)于x的方程的解相同，求k的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查的是一元一次方程的定義、一元一次方程的解的定義，解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．（1）依據(jù)一元一次方程的定義可得到，且，然后求解即可；（2）由（1）可得方程為，即可求出它的解，將該解代入方程即可解答．【詳解】（1）解：是關(guān)于x的一元一次方程∴，解得：，；（2）解：由（1）得，方程為：，解得：，該方程與關(guān)于x的方程的解相同，，解得：．21．（24-25七年級上·安徽合肥·期中）已知方程的解與關(guān)于的方程的解互為相反數(shù)，求的值．【答案】【分析】本題考查了解一元一次方程以及方程的解的應(yīng)用，先解出的解，再化簡，得出，則，再把代入，即可作答．【詳解】解：∵∴則∵解得，∵方程的解與關(guān)于的方程的解互為相反數(shù)，∴把代入得22．（24-25七年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程的解比方程的解大，求的值．【答案】【分析】本題考查了一元一次方程解的定義以及解一元一次方程等知識，掌握一元一次方程解的定義以及解一元一次方程等知識是解答本題的關(guān)鍵．首先由方程，用表示，然后由第二個方程，再用表示，因為兩個解的值相差，列出方程求出的值即可．【詳解】解：解關(guān)于的方程，得：，解關(guān)于的方程，得：，因為關(guān)于的方程的解比方程的解大，所以，解得．重難點06與解一元一次方程有關(guān)的實際問題23．（24-25七年級上·安徽黃山·期末）在學(xué)習(xí)一元一次方程后，我們給一個定義：若是關(guān)于的一元一次方程的解，是關(guān)于的一元一次方程的解，且，滿足，則稱關(guān)于的方程為關(guān)于的一元一次方程的“永久友好方程”．例如：一元一次方程的解是，一元一次方程的解是，，所以為一元一次方程的“永久友好方程”．若關(guān)于的一元一次方程是關(guān)于的一元一次方程的“永久友好方程”，則；【答案】1【分析】本題是新定義題，考查了解一元一次方程等知識，首先求出，然后根據(jù)題意得到，求出，然后代入解方程即可．【詳解】解得，根據(jù)題意得，∴將代入得，去分母得，去括號得，移項，合并同類項得，系數(shù)化為1得，．故答案為：1．24．（23-24七年級上·安徽宿州·階段練習(xí)）定義：如果一個一元一次方程的一次項系數(shù)與常數(shù)項的差剛好是這個方程的解，則稱這個方程為妙解方程．例如：方程中，，方程的解為，則方程為妙解方程．請根據(jù)上述定義解答下列問題：（1）方程妙解方程（填“是”或“不是”）（2）已知關(guān)于的一元一次方程是妙解方程．則．【答案】不是【分析】此題考查了一元一次方程的解，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題中的新定義判斷即可；（2）利用題中的新定義確定出m的值即可；【詳解】解：（1）∵，解方程得，，∴方程不是妙解方程，故答案為：不是；（2）∵一元一次方程是妙解方程∴方程的解為：，代入得：，解得：，故答案為：．25．（23-24七年級上·安徽安慶·期中）對于有理數(shù)a、b定義一種新運算，規(guī)定．(1)求的值；(2)若，求x的值．【答案】(1)10；(2)．【分析】本題考查的是新定義運算的含義，含乘方的有理數(shù)的混合運算，一元一次方程的應(yīng)用，理解新定義運算的含義是解本題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)新定義運算的含義列式計算即可；（2）根據(jù)新定義運算的含義，可得，再解方程即可．【詳解】（1）解：；（2）∵☆，∴，∴，∴，∴，解得：26．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）閱讀下列材料：讓我們來定義一種運算：，例如：，再如：．按照這種運算的規(guī)定，請解答下列問題．(1)______（只填最后結(jié)果）；(2)求的值，使（寫出解題過程）．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了一元一次方程與有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是理解題意，將所給式子轉(zhuǎn)換為正常運算．（1）首先根據(jù)題意可得，則可求得答案；（2）由，根據(jù)題意可得一元一次方程：，解此方程即可求得答案．【詳解】（1）解：；（2）解：，，，，解得：．27．（23-24七年級上·江西宜春·期中）定義：如果兩個一元一次方程的解之和為0，我們就稱這兩個方程為“美好方程”．例如：方程和為“美好方程”．(1)請判斷方程與方程是否為“美好方程”，請說明理由；(2)若關(guān)于x的方程與方程是“美好方程”，求a的值．【答案】(1)是“美好方程”，見解析(2)【分析】本題主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次方程的方法，準(zhǔn)確計算．（1）先求出兩個方程的解，然后根據(jù)“美好方程”的定義進行判斷即可；（2）先求出兩個方程的解，然后根據(jù)“美好方程”的定義得出，求出的值即可．【詳解】（1）解方程得，解方程得，因為，所以這兩個方程是“美好方程”；（2）解方程得，根據(jù)題意，方程的解為：，所以，解得．重難點07一元一次方程與實際問題28．（24-25七年級上·安徽合肥·期末）某口罩廠有60名工人，每人每天可以生產(chǎn)400個口罩面或800個口罩耳繩，一個口罩面需要配兩個耳繩，為使每天生產(chǎn)的口罩剛好配套，設(shè)安排x名工人生產(chǎn)口罩面，則下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，題目已經(jīng)設(shè)出安排x名工人生產(chǎn)口罩面，則人生產(chǎn)耳繩，由一個口罩面需要配兩個耳繩可知耳繩的個數(shù)是口罩面?zhèn)€數(shù)的2倍從而得出等量關(guān)系，就可以列出方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)安排x名工人生產(chǎn)口罩面，則人生產(chǎn)耳繩，，故選：B．29．（24-25七年級上·安徽六安·期末）如圖，點、、、在同一條直線上，，，，現(xiàn)在點，點同時分別按圖示方向運動，點以每秒速度向左移動，點以每秒速度向右移動．問（

）秒時，點是線段的中點．A． B． C．1 D．【答案】D【分析】此題考查了線段的中點和一元一次方程應(yīng)用，設(shè)秒時，點是線段的中點，此時，,根據(jù)中點的定義列出方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)秒時，點是線段的中點，此時，,根據(jù)題意可得，解得，即秒時，點是線段的中點，故選：D30．（24-25七年級上·安徽滁州·期中）已知三個連續(xù)奇數(shù)的和為111，其中最小的奇數(shù)為（

）A．31 B．33 C．35 D．37【答案】C【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)最小的奇數(shù)為n，根據(jù)“三個連續(xù)奇數(shù)的和為111”列一元一次方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)最小的奇數(shù)為n，則中間的奇數(shù)為，最大的奇數(shù)為，由題意得：，化簡得，解得，故選C．31．（24-25七年級上·安徽滁州·期中）如圖，一個長方形恰好能分割成6個較小的正方形，中間最小的正方形的邊長為2，則該長方形的周長為（

）A．86 B．88 C．90 D．96【答案】D【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)正方形D，正方形E的邊長為x，則正方形C的邊長為，正方形B的邊長為，正方形A的邊長為，根據(jù)大長方形的對邊相等，列出方程，解方程即可．【詳解】解：如圖，設(shè)正方形D，正方形E的邊長為x，則正方形C的邊長為，正方形B的邊長為，正方形A的邊長為，∴，解得．∴這個長方形的長為，寬為．∴這個長方形的周長為．故選：D．32．（24-25七年級上·安徽滁州·期中）一雙籃球鞋先按成本價提高標(biāo)價，再以七五折（標(biāo)價的）出售，結(jié)果獲利40元．若設(shè)一雙籃球鞋的成本價是x元，則根據(jù)題意列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)一雙籃球鞋的成本價是x元，根據(jù)一雙鞋獲利40元，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)一雙籃球鞋的成本價是x元，根據(jù)題意得：．故選：A．33．（24-25七年級上·安徽六安·期末）我校微塵愛心社的同學(xué)組織了愛心義賣活動：他們用240元錢從批發(fā)市場批發(fā)了卡套和小掛件共50個，他們會把活動的盈利全部捐出，卡套和小掛件當(dāng)天每個的批發(fā)價與零售價如表所示：品名卡套小掛件批發(fā)價（元/個）63零售價（元/個））96(1)求同學(xué)們批發(fā)卡套和小掛件各多少個？(2)如果當(dāng)天卡套和小掛件共賣出25個后，剩下的按零售價打八折出售，最終當(dāng)天共捐出了114元．①設(shè)打折的商品中有個卡套，則：打折售出的小掛件有個，原價售出的小掛件有個．②求打折后賣出的卡套和小掛件各多少個？【答案】(1)卡套30個，小掛件20個(2)①，，②打折后賣出的卡套10個，小掛件15個【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用問題，正確理解題意，找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)批發(fā)了卡套和小掛件共50個，設(shè)出未知數(shù)，然后根據(jù)卡套個數(shù)卡套批發(fā)價小掛件個數(shù)小掛件批發(fā)價，列出一元一次方程，計算即可；（2）設(shè)打折的商品中有個卡套，根據(jù)一共有50個，共賣出25個，則打折出售的小掛件有個，表示出打折前賣出卡套和小掛件獲得的利潤，然后加上打折后的即為捐出的總錢數(shù)，列方程解答；【詳解】（1）解：設(shè)批發(fā)卡套m個，則批發(fā)小掛件個，根據(jù)題意得：，解得：，則（個）答：批發(fā)卡套30個、小掛件20個；（2）解：①設(shè)打折的商品中有個卡套，則打折賣出的小掛件有個，原價售出的小掛件有個，即個；②根據(jù)題意得：，解得：，則（個），答：打折后賣出的卡套10個，小掛件15個．34．（24-25七年級上·安徽合肥·期末）“元旦”期間，某超市購進一批蘋果，根據(jù)以往經(jīng)驗可知，這批蘋果在運輸和倉儲過程中，其損耗率為，為保證這批蘋果售完后的利潤率能達到，求售價相對進價應(yīng)提高的增長率．【答案】售價相對進價應(yīng)提高的增長率為【分析】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)這批蘋果的進價為a元/千克，增長率為，售價為元/千克，這批蘋果共b千克，利用總利潤銷售單價銷售數(shù)量進貨單價購進數(shù)量，可列出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)這批蘋果的進價為a元/千克，增長率為，售價為元/千克，根據(jù)題意得：，即，解得：．答：售價相對進價應(yīng)提高的增長率為．35．（24-25七年級上·安徽亳州·期末）根據(jù)如表素材，探索解決任務(wù)．新年禮盒生產(chǎn)方案的設(shè)計素材1某工廠準(zhǔn)備在春節(jié)前生產(chǎn)甲、乙兩種型號的新年禮盒共70萬套．素材2甲禮盒的成本為20元/套，售價為24元/套；乙禮盒的成本為25元/套，售價為30元/套．問題解決任務(wù)1該工廠計劃籌集資金1540萬元，且全部用于生產(chǎn)甲、乙兩種禮盒，則這兩種禮盒各生產(chǎn)多少萬套？任務(wù)2經(jīng)過市場調(diào)查，該廠決定在原計劃的基礎(chǔ)上增加生產(chǎn)甲種禮盒萬套，增加生產(chǎn)乙種禮盒萬套（，都為正整數(shù)），且兩種禮盒售完后所獲得的總利潤為368萬元，請問該工廠有幾種生產(chǎn)方案？任務(wù)3在任務(wù)2的條件下寫出所有可行的生產(chǎn)方案．【答案】任務(wù)1：甲禮盒生產(chǎn)42萬套，則乙禮盒生產(chǎn)28萬套；任務(wù)2：兩種任務(wù)3：方案一：增加生產(chǎn)甲種禮盒5萬套，增加生產(chǎn)乙種禮盒8萬套；方案二：增加生產(chǎn)甲種禮盒10萬套，增加生產(chǎn)乙種禮盒4萬套【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用、二元一次方程的應(yīng)用、方案設(shè)計等知識，理解題意，弄清熟練關(guān)系是解題關(guān)鍵．任務(wù)1：設(shè)甲禮盒生產(chǎn)萬套，則乙禮盒生產(chǎn)萬套，根據(jù)題意列出一元一次方程并求解，即可獲得答案；任務(wù)2：首先計算增加生產(chǎn)前所獲得的利潤值，根據(jù)題意可知增加生產(chǎn)甲種禮盒萬套，增加生產(chǎn)乙種禮盒萬套，易得，根據(jù)“，都為正整數(shù)”分析，即可獲得答案；任務(wù)3：結(jié)合任務(wù)2中計算，即可獲得答案．【詳解】解：任務(wù)1：設(shè)甲禮盒生產(chǎn)萬套，則乙禮盒生產(chǎn)萬套，根據(jù)題意，可得，解得（萬套），所以，（萬套），答：甲禮盒生產(chǎn)42萬套，則乙禮盒生產(chǎn)28萬套；任務(wù)2：增加生產(chǎn)前，獲得的利潤為（萬元），根據(jù)題意，增加生產(chǎn)甲種禮盒萬套，增加生產(chǎn)乙種禮盒萬套，則有，整理可得，∴，因為，都為正整數(shù)，所以或，所以，該工廠有兩種生產(chǎn)方案；任務(wù)3：在（2）的條件下，兩方案分別為：方案一：增加生產(chǎn)甲種禮盒5萬套，增加生產(chǎn)乙種禮盒8萬套；方案二：增加生產(chǎn)甲種禮盒10萬套，增加生產(chǎn)乙種禮盒4萬套．36．（24-25七年級上·安徽蕪湖·期末）某車間有40名工人，某月接到訂單，要求加工甲、乙兩種零件，每人每天可以生產(chǎn)10個甲種零件或5個乙種零件，已知1個甲種零件和2個乙種零件可以組裝成一個成品．為使每天生產(chǎn)的甲、乙兩種零件剛好配套，應(yīng)各安排多少人生產(chǎn)甲、乙兩種零件？【答案】安排8人生產(chǎn)甲種零件，32人生產(chǎn)乙種零件【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，弄清題意，正確確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵；設(shè)安排人生產(chǎn)甲種零件，則安排人生產(chǎn)乙種零件，根據(jù)“每人每天可以生產(chǎn)10個甲種零件或5個乙種零件，已知1個甲種零件和2個乙種零件可以組裝成一個成品”，可列方程求解．【詳解】解：設(shè)安排人生產(chǎn)甲種零件，則安排人生產(chǎn)乙種零件，根據(jù)題意列方程得：，解得，，答：安排8人生產(chǎn)甲種零件，32人生產(chǎn)乙種零件．37．（24-25七年級上·安徽亳州·期末）如圖，點是線段的中點，是上一點，且，．(1)求的長；(2)若為的中點，求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了線段的中點以及線段的和差計算，一元一次方程的應(yīng)用，找出線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)的長為，則，再根據(jù)線段中點，得出，根據(jù)，求出的值，即可得出的長；（2）由（1）可得，，進而得到，即可求出長．【詳解】（1）解：設(shè)的長為，，，，點E是線段的中點，，，，，即，；（2）解：，，，為線段的中點，，．重難點08利用一元一次方程解決數(shù)軸問題38．（24-25七年級上·安徽合肥·期中）【知識拓展】學(xué)習(xí)絕對值的定義我們知道，的意義是數(shù)軸上表示數(shù)的點到原點的距離．由于原點表示的數(shù)是0，因此可以看作，那么的意義可以看作為數(shù)軸上表示數(shù)與0的兩點間的距離．這個結(jié)論還可以推廣為：的意義為數(shù)軸上表示數(shù)與b的兩點間的距離，若表示數(shù)的點是點，表示數(shù)的點是點，則線段．例如，的意義為數(shù)軸上表示數(shù)與的兩點間的距離；的意義為數(shù)軸上表示數(shù)與的兩點間的距離；若，則的值為或．【拓展應(yīng)用】(1)若，則的值為______；若，則的值為_____；(2)如圖，數(shù)軸上線段（單位長度），（單位長度），點在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是，若線段以個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時線段以個單位長度/秒的速度也向右勻速運動，設(shè)運動時間為秒．①點在數(shù)軸上表示的數(shù)是_______，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是______；②當(dāng)為何值時，（單位長度）；③當(dāng)為何值時，恰好滿足．【答案】(1)或；或(2)①；；②或；③或【分析】本題考查的知識點是數(shù)軸上表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點之間的距離，數(shù)軸上的動點問題，一元一次方程的應(yīng)用、整式加減的應(yīng)用，理解題意，得出各點表示的數(shù)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意理解和的實際意義即可得解；（2）①設(shè)點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是，根據(jù)題意得到，后即可得解；②先表示出運動時間為秒時，點和點在數(shù)軸上表示的數(shù)，再根據(jù)題意表示出，得到一元一次方程，求解后即可得到值；③先表示出運動時間為秒時，點和點在數(shù)軸上表示的數(shù)，再根據(jù)題意表示出、，由得到一元一次方程后求解即可．【詳解】（1）解：∵的意義為數(shù)軸上表示數(shù)與的兩點間的距離是，∴或；的意義為數(shù)軸上表示數(shù)與的兩點間的距離是，∴或．故答案為：或；或．（2）解：①設(shè)點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是，∴，，∴，，即點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是．故答案為：；②依題得：運動時間為秒時，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，∵，∴，解得：或．③依題得：運動時間為秒時，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，∴，∵，，∴，當(dāng)即時，，解得：，當(dāng)即時，，解得：，當(dāng)即時，，解得，∵，∴（舍去）．綜上，當(dāng)或時，恰好滿足．39．（24-25七年級上·安徽宿州·期末）在數(shù)軸上，通常用“兩數(shù)的差”來表示“數(shù)軸上兩點的距離”；如圖中三條線段的長度可表示為：，，，…結(jié)論：數(shù)軸上任意兩點表示的數(shù)分別為，，則這兩個點間的距離為（即：用較大的數(shù)去減較小的數(shù)）【理解運用】根據(jù)閱讀材料完成下列各題：(1)如圖，，分別表示數(shù)，7，求線段的長；(2)若在直線上存在點，使得，求點對應(yīng)的數(shù)值．(3)，兩點分別從，同時出發(fā)以每秒3個單位、每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，求當(dāng)點，重合時，它們運動的時間．【答案】(1)8(2)5或9(3)運動時間為8秒時，，重合【分析】本題考查一元一次方程的實際運用，利用數(shù)形結(jié)合的思想和數(shù)軸上求兩點之間距離的方法解決問題．（1）用“用較大的數(shù)去減較小的數(shù)”即可求解；（2）分點在點左側(cè)和點在點右側(cè)時，兩種情況討論，，列式計算即可求解；（3）根據(jù)題意得到點對應(yīng)數(shù)值表示為，點對應(yīng)數(shù)值表示為，根據(jù)題意列式計算即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，線段的長為：；（2）解：設(shè)點對應(yīng)的數(shù)值為，（ⅰ）當(dāng)點在點左側(cè)時，，因為，，則，（ⅱ）當(dāng)點在點右側(cè)時，因為，所以，解得，答：時，點對應(yīng)的數(shù)值為5或9；（3）解：設(shè)運動時間為秒時，，重合，點對應(yīng)數(shù)值表示為，點對應(yīng)數(shù)值表示為，由題意得，解得，答：運動時間為8秒時，，重合．40．（24-25七年級上·安徽宿州·期中）先閱讀，再探究相關(guān)的問題：數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離；可以看作，表示5與差的絕對值，也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離．已知點P為數(shù)軸上任一動點，點P對應(yīng)的數(shù)記為m．(1)若點P與表示有理數(shù)的點的距離是2個單位長度，則m的值為________；(2)借助數(shù)軸思考，當(dāng)________時，與的值相等；(3)借助數(shù)軸思考，當(dāng)________時，有最小值，最小值為________；(4)若點P位于表示的點左側(cè)，化簡：．【答案】(1)或(2)(3)，(4)【分析】（1）由兩點間的距離可得，再解方程求解；（2）根據(jù)到兩點距離相等的點是線段的中點，結(jié)合數(shù)軸可得答案；（3）根據(jù)兩點之間，線段最短，結(jié)合數(shù)軸可得答案；（4）根據(jù)m的取值范圍，畫圖，再去掉絕對值，合并同類項即可求解．【詳解】（1）解：數(shù)軸上點P與表示有理數(shù)的點的距離是2個單位長度，；或，解得：m為或，（2）解：如圖，記表示，表示，對應(yīng)的數(shù)為，∴與的值相等，即，此時對應(yīng)的數(shù)為：；（3）解：如圖，記表示，表示，表示，對應(yīng)的數(shù)為，∴，∴當(dāng)重合時，即，有最小值，最小值為；（4）解：點P位于表示的點左側(cè)，如圖，∴；【點睛】本題考查了絕對值，數(shù)軸上兩點的距離，以及絕對值方程，整式的加減運算，線段的中點的含義，由數(shù)軸上點的關(guān)系，得出到一點距離相等的點有兩個，到兩點相等的點是這兩點的中點，到兩點距離和最小的點是這條線段上的點．41．（24-25七年級上·安徽蚌埠·期中）數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合，如圖，數(shù)軸上的點A，B對應(yīng)的數(shù)分別是a和b，且滿足，P，Q是數(shù)軸上的動點．(1)A，B兩點之間距離為__________；(2)若點P以2個單位/秒的速度從點A出發(fā)向點B運動，同時點Q從點B出發(fā)向點A運動，經(jīng)過5秒相遇，求點Q的運動速度；(3)若點P從點A出發(fā)，以2個單位/秒的速度向右運動，設(shè)運動時間為t秒，是否存在某個時刻t，恰好使得點P到點A的距離是點P到點B的距離的3倍？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)16(2)個單位/秒(3)存在，6秒或12秒【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可得，，求解即可獲得答案；（2）設(shè)點的運動速度為個單位長度/秒，根據(jù)題意列出一元一次方程并求解，即可獲得答案；（3）根據(jù)題意，可得點對應(yīng)的數(shù)為，結(jié)合點，對應(yīng)的數(shù)，求得，的值，然后根據(jù)，可得，求解即可獲得答案．【詳解】（1）解：因為，所以，，解得，，所以A，B兩點之間距離為：．故答案為：16．（2）解：設(shè)點Q的運動速度為x個單位/秒，根據(jù)題意，得，解得，所以點Q的運動速度為1.2個單位/秒．（3）解：存在，理由如下：因為點P從點A出發(fā)，以2個單位/秒的速度向右運動，運動時間為t秒，則點P對應(yīng)的數(shù)為，所以，．因為，所以，當(dāng)時，解得秒，當(dāng)時，解得秒，所以當(dāng)t的值為6秒或12秒時，恰好使得點P到點A的距離是點P到點B的距離的3倍．【點睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、數(shù)軸上兩點之間的距離、數(shù)軸上動點問題、一元一次方程的應(yīng)用以及絕對值方程等知識，理解題意，根據(jù)題目中的描述找到等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．重難點09二元一次方程（組）實際問題42．（23-24七年級上·安徽合肥·期末）若方程是關(guān)于x，y的二元一次方程，則a的值為（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】本題主要考查了二元一次方程的定義，含有兩個未知數(shù)并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程．直接根據(jù)二元一次方程的定義列方程求值即可．【詳解】解：∵是關(guān)于x，y的二元一次方程，∴，解得：．故選D．43．（23-24七年級上·安徽·期末）二元一次方程的解可以為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將各組數(shù)代入二元一次方程的等號左邊，看其值是否等于1即可得．本題考查了二元一次方程的解，掌握解二元一次方程的步驟是關(guān)鍵．【詳解】解：A．，不是二元一次方程的解；不符合題意；B．，是二元一次方程的解；符合題意；C．，不是二元一次方程的解；不符合題意；D．，不是二元一次方程的解．不符合題意；故選：B．44．（23-24七年級下·貴州遵義·階段練習(xí)）已知是方程的一個解，那么常數(shù)a的值是（

）A．5 B． C．3 D．【答案】C【分析】本題考查了二元一次方程組的解、解一元一次方程，將代入方程可得關(guān)于的一元一次方程，解方程即可得出答案．【詳解】解：由題意得：，解得：，故選：C．45．（21-22八年級上·山東濟南·期末）若是關(guān)于x，y的二元一次方程的解，則的值為（

）A．3 B．5 C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了二元一次方程的解、解一元一次方程等知識點．根據(jù)二元一次方程的解的定義把x、y的值代入方程，得到關(guān)于a的方程求解即可．【詳解】解：把代入關(guān)于x、y的二元一次方程中，可得：，解得．故選：B．重難點10解二元一次方程組46．（24-25七年級上·全國·單元測試）解方程組：．【答案】【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，直接利用代入消元法解方程組即可．【詳解】解：由①，得③，將③代入②，得，解得，把代入③，得，∴原方程組的解為．47．（23-24七年級上·安徽·期末）解二元一次方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】此題考查解二元一次方程組，熟練掌握加減法和代入法是關(guān)鍵.（1）利用代入法解方程組即可；（2）利用加減法解方程組即可.【詳解】（1）解：把①代入②得，解得把代入①得，∴（2）得，，把代入①得，，解得∴48．（22-23七年級下·山東菏澤·期中）解下列方程組(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程即可；（2）利用代入消元法解二元一次方程即可；【詳解】（1）解：由①得

③，把③代入②得：，解得：把代入①得：∴；（2）整理得：由①得

③，把③代入②得解得：，把代入得：，∴．【點睛】本題考查二元一次方程的解法，掌握代入消元法是解題的關(guān)鍵．重難點11利用特殊方法解二元一次方程組49．（2023七年級上·全國·專題練習(xí)）情境

珍珍在學(xué)習(xí)解二元一次方程組時遇到了這樣一個問題，解方程組：嘗試

（1）若用代入消元法或加減消元法求解，運算量比較大，容易出錯．如果把方程組的看成一個整體，把看成一個整體，通過換元法，可以解決問題，具體如下.請將下面解題過程補充完整．解：設(shè)，，則原方程組可化為______，解關(guān)于，的方程組，得，所以解這個方程組，得______；應(yīng)用

（2）利用上述方法解方程組【答案】（1），；（2）【分析】本題考查了解二元一次方程組，掌握整體換元法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)換元法和加減消元法可得答案；（2）利用換元法將原方程組變形，解關(guān)于m，n的方程組，然后得到關(guān)于x，y的新的二元一次方程組，再解方程組可得答案；【詳解】解：（1）設(shè)，則原方程組可化為，解關(guān)于m，n的方程組，得，∴，解方程組，得，故答案為：，；（2）設(shè)，，則原方程組可化為，解關(guān)于m，n的方程組，得，∴，解方程組，得．50．（24-25七年級上·廣西貴港·期末）在解方程組時，某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：如果直接用代入消元法或加減消元法求解，運算量比較大，也容易出錯，如果把方程組中的、分別看作一個整體，通過換元：設(shè)、，可以將原方程組化為，解得，把代入、，得，解得，所以原方程組解為．(1)若方程組的解為，則方程組的解為_____；(2)若方程組的解為，其中為常數(shù)．求方程組的解．【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是利用整體法解二元一次方程組；（1）設(shè)，，則方程組可化為，再進一步解方程組即可；（2）設(shè)，，則方程組可化為，再進一步求解即可．【詳解】（1）解：的解為，的解為，設(shè)，，則方程組可變?yōu)椋?，，解得：．?）解：設(shè)，，則可變?yōu)椋海慕鉃?，的解為，即，解得：重難點12已知二元一次方程組解的關(guān)系求參數(shù)51．（20-21七年級上·安徽六安·期末）關(guān)于x、y的方程組．與關(guān)于x、y的方程組的解相同，求【答案】1【分析】由題意，根據(jù)方程組的解相同得到，從而得到，再代入計算，求出m、n的值，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，由，解得：，代入，得，解得：；則；【點睛】本題考查了解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握解二元一次方程組的方法進行解題．52．（23-24七年級上·安徽安慶·期末）已知方程組的解滿足，求m的值．【答案】【分析】本題考查二元一次方程組的解及其解法、解一元一次方程，先利用加減消元法解方程組得到，再根據(jù)解方程即可．【詳解】解：，由得，代入①中，得，∴該方程組的解為，∵方程組的解滿足，∴，去分母，得，移項、合并同類項，得，解得．53．（24-25八年級上·山東濟南·期中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解互為相反數(shù)，求的值．【答案】【分析】本題考查的是二元一次方程組的解及其解法，由方程組的解的含義可得，可得，再解方程組，再進一步解答即可.【詳解】解：∵關(guān)于x，y的二元一次方程組的解互為相反數(shù)，，∴解，得，，解得：，將代入②，得，將代入，得，解得.54．（22-23七年級下·浙江·期末）已知關(guān)于，的方程組(1)若方程組的解滿足，求的值；(2)無論實數(shù)取何值，方程總有一個固定的解，請求出這個解？(3)若方程組的解中為整數(shù)，且是自然數(shù)，求的值．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】此題考查了解二元一次方程的整數(shù)解和二元一次方程組的解，熟練掌握運算法則和求方程組的解是本題的關(guān)鍵．（1）將與原方程組中的第一個方程組成新的方程組，可得、的值，再代入第二個方程中可得的值；（2）當(dāng)含項為零時，取，代入可得固定的解．（3）根據(jù)方程組可以求得，的關(guān)系式，根據(jù)為整數(shù)，可以求解的值；【詳解】（1）由題意得：，解得，把代入，解得；（2），∴當(dāng)，時，，即固定的解為：，（3），得：，，，為整數(shù)，∴，，，且為自然數(shù)，∴或或，或或．重難點13二元一次方程錯解復(fù)原問題55．（22-23七年級下·山東威?！て谥校┮阎匠探M，由于甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為；乙看錯了②中的b，得到方程組的解為．(1)求a、b的值；(2)乙看錯了②中的b，他把b看成了哪個數(shù)？【答案】(1)(2)【分析】（1）將甲得到的方程組的解代入第二個方程，將乙得到方程組的解代入第一個方程，聯(lián)立兩個方程求出a，b；（2）設(shè)把b看成了m，代入②，求出方程的解即可得到b．【詳解】（1）解：將代入方程組中的第二個方程得：①，將代入方程組中的第一個方程得：②，聯(lián)立①②解得：；（2）設(shè)把b看成了m，把，代入方程，得【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．56．（21-22七年級上·安徽六安·期末）解方程組時，甲同學(xué)因看錯a符號，從而求得解為，乙因看漏c，從而求得解為，試求a，b，c的值．【答案】，，【分析】甲同學(xué)因看錯a符號，把x=3，y=2代入x+cy=4，求出c，因看錯a符號，得-3a+2b=6，乙因看漏c，把x=6，y=-2代入ax+by=6，組成新的二元二次方程組，解出即可．【詳解】解：∵甲同學(xué)因看錯a符號，∴把，代入，得，．∵乙因看漏c，∴把，代入，得，得，解得，，．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是掌握做題的方法．57．（20-21七年級下·安徽阜陽·期末）甲、乙兩人共同解方程組，解題時由于甲看錯了方程①中的a，得到方組的解為；乙看錯了方程②中的b，得到方程組的解為，試計算的值．【答案】2【分析】根據(jù)題意將代入②，將代入①即可求得的值，再代入代數(shù)式中求解即可．【詳解】根據(jù)題意，將代入②，將代入①得：解得：，則原式＝．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，代數(shù)式求值，理解題意是解題的關(guān)鍵．重難點14二元一次方程組與實際問題58．（24-25七年級上·安徽合肥·期末）2024年10月30日，神舟十九號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功．某航天模型銷售店看準(zhǔn)商機，準(zhǔn)備推出“神舟”和“天宮”兩種模型．已知1個“神舟”模型和3個“天宮”模型的進價共150元；3個“神舟”模型和2個“天宮”模型的進價共240元．求每個“神舟”和“天宮”模型的進價各為多少元？【答案】每個“神舟”模型的進價為60元，每個“天宮”模型的進價為30元【分析】本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用、準(zhǔn)確找出等量關(guān)系，列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵；設(shè)每個“神舟”模型的進貨價格為x元，每個“天宮”模型的進貨價格為y元，根據(jù)1個“神舟”模型和3個“天宮”模型的進價共150元；3個“神舟”模型和2個“天宮”模型的進價共240元，列出二元一次方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)每個“神舟”模型的進價為x元，每個“天宮”模型的進價為y元，由題意得解得．答：每個“神舟”模型的進價為60元，每個“天宮”模型的進價為30元．59．（24-25七年級上·安徽安慶·期末）某物流公司計劃用兩種車型的車輛運輸一批物資，已知：用1輛A型車和2輛型車裝滿物資一次可運10噸：用2輛A型車和1輛型車裝滿物資一次可運11噸.該批物資共有31噸，物流公司計劃同時租用A型車輛，型車輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿.(1)1輛A型車和1輛型車都裝滿資物，一次可分別運多少噸？(2)請你幫該物流公司設(shè)計運輸這批物資的租車方案；(3)若此次運輸中，1輛A型車的租金為120元，1輛型車的租金為150元，請選出最省錢的租車方案，并求出租車費.【答案】(1)1輛A型車裝滿資物一次可運4噸，1輛型車裝滿資物一次可運3噸．(2)該物流公司共有3種租車方案，方案1：租用1輛A型車，9輛型車；方案2：租用4輛A型車，5輛型車；方案3：租用7輛A型車，1輛型車．(3)最省錢的租車方案為租用7輛A型車，1輛型車，最少租車費為990元．【分析】（1）設(shè)1輛A型車裝滿物資一次可運x噸，1輛B型車裝滿物資一次可運y噸，根據(jù)“用1輛A型車和2輛B型車裝滿物資一次可運10噸：用2輛A型車和1輛B型車裝滿物資一次可運11噸”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)租用的兩種車一次可運31噸物資且每輛車都裝滿，可列出關(guān)于a，b的二元一次方程，結(jié)合a，b均為正整數(shù)，即可得出各租車方案；（3）利用總租金=每輛A型車的租金×租用A型車的數(shù)量+每輛B型車的租金×租用B型車的數(shù)量，可求出選擇各租車方案所需租車費用，比較后，即可得出結(jié)論．本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組（或二元一次方程）是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)1輛A型車裝滿資物一次可運噸，1輛型車裝滿資物一次可運噸，依題意，得：，解得：．答：1輛A型車裝滿資物一次可運4噸，1輛型車裝滿資物一次可運3噸．（2）依題意，得：，∴．∵，均為正整數(shù)，∴或或，所以該物流公司共有3種租車方案，方案1：租用1輛A型車，9輛型車；方案2：租用4輛A型車，5輛型車；方案3：租用7輛A型車，1輛型車．（3）方案1所需租金為（元）；方案2所需租金為（元）；方案3所需租金為（元）．所以最省錢的租車方案為租用7輛型車，1輛型車，最少租車費為990元．60．（24-25八年級上·陜西咸陽·期末）《張丘建算經(jīng)》由北魏數(shù)學(xué)家張丘建所著，其中有這樣一個問題：“今有客不知其數(shù)．兩人共盤，少兩盤；三人共盤，長三盤．問客及盤各幾何？”意思為：“現(xiàn)有若干名客人．若2個人共用1個盤子，則少2個盤子；若3個人共用1個盤子，則多出來3個盤子．問客人和盤子各有多少？”請你解答這個問題．【答案】個客人，個盤子【分析】本題考查二元一次方程，設(shè)有個客人，個盤子，根據(jù)題意列二元一次方程組并求解，找到正確的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)有個客人，個盤子．根據(jù)題意，得，解得，答∶有個客人，個盤子．61．（24-25七年級上·安徽六安·期末）某玩具店經(jīng)銷A，兩種玩具，進價和售價如下表所示：名稱進價（元）4560售價（元）6690(1)第一次進貨時，玩具店購進A，兩種玩具30件共花了1500元，請問A，兩種玩具各進了多少件？(2)受市場因素影響，第二次進貨時，種玩具進價每件上漲了5元，種玩具進價每件上漲了10元，但兩種玩具的售價不變．玩具店計劃用1200元同時購進A，兩種玩具，1200元剛好用完．請問有幾種購進方案，并說明哪種購進方案獲得利潤最多，是多少元？【答案】(1)，兩種玩具各進20件，10件(2)共有三種購進方案，其中購進A種玩具17件，種玩具5件利潤最多為372元【分析】本題主要二元一次方程組的應(yīng)用、二元一次方程的應(yīng)用等知識點，審清題意、正確列出二元一次方程組和二元一次方程成為解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)A種玩具進件，種玩具件，然后根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可；（2）設(shè)第二次A種玩具購進件，種玩具購進件，根據(jù)題意得：，即；然后列舉出a、b的可能取值進行解答即可．【詳解】（1）解：設(shè)A種玩具進件，種玩具件，根據(jù)題意得：，解得：．答：A、兩種玩具各進20件，10件．（2）解：設(shè)第二次A種玩具購進件，種玩具購進件，根據(jù)題意得：，化簡得：因為，只能取正整數(shù)，所以采購方案共有三種，分別是方案一：A種17件，種5件，利潤為：元；方案二：A種10件，種10件，利潤為：元；方案三：A種3件，種15件，利潤為：元．答：共有三種購進方案，其中購進種玩具17件，種玩具5件利潤最多為372元．62．（24-25七年級上·安徽蚌埠·期末）南方某市出租車計費標(biāo)準(zhǔn)如下框，趙亮上周坐了兩次出租車，一次里程千米，車費元，另一次里程千米，車費87.5元．(1)畫示意圖可以幫助我們理清數(shù)量間的關(guān)系，請把下面的示意圖補充完整；(2)列方程組求解，．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意即可得到答案；（2）根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可．【詳解】（1）解：如圖，（2）解：根據(jù)題意列方程組得，，解得：．63．（24-25七年級上·安徽六安·期末）某商店分兩次購進A，B型兩種臺燈進行銷售，兩次購進的數(shù)量及費用如下表所示，由于物價上漲，第二次購進A，B型兩種臺燈時，兩種臺燈每臺進價分別上漲，．購進的臺數(shù)購進所需要的費用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500(1)求第一次購進A，B型兩種臺燈每臺進價分別是多少元？(2)A，B型兩種臺燈銷售單價不變，第一次購進的臺燈全部售出后，獲得的利潤為2800元，第二次購進的臺燈全部售出后，獲得的利潤為1800元．①求A，B型兩種臺燈每臺售價分別是多少元？②若按照第二次購進A，B型兩種臺燈的價格再購進一次，將再次購進的臺燈全部售出后，要想使獲得的利潤為740元，求有哪幾種購進方案？【答案】(1)第一次購進A型臺燈每臺進價為200元，B型臺燈每臺進價為50元(2)①A型臺燈每臺售價為340元，B型臺燈每臺售價為120元；②有3種購進方案：購進A型臺燈1臺，B型臺燈11臺；購進A型臺燈4臺，B型臺燈7臺；購進A型臺燈7臺，B型臺燈3臺【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找出等量關(guān)系式，正確列出方程（組）是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等量關(guān)系式：第一次購買臺A型臺燈的費用第一次購買臺B型臺燈的費用元，第二次購買臺A型臺燈的費用第二次購買臺B型臺燈的費用元，列出方程組，接可求解；（2）①根據(jù)等量關(guān)系式：第一次的臺A型臺燈的利潤第一次的臺B型臺燈的利潤元，第二次的臺A型臺燈的利潤第二次購買臺B型臺燈的利潤元，列出方程組，接可求解；②設(shè)再購進A型臺燈a臺，B型臺燈臺，由按第二次購買的價格購買，a臺A型臺燈售出獲得利潤臺B型臺燈售出獲得利潤元，列方程即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)第一次購進A型臺燈每臺進價為x元，B型臺燈每臺進價為y元，由題意得：，解得：，答：第一次購進A型臺燈每臺進價為200元，B型臺燈每臺進價為50元．（2）解：①設(shè)A型臺燈每臺售價為m元，B型臺燈每臺售價為n元，由題意得：，解得，，答：A型臺燈每臺售價為340元，B型臺燈每臺售價為120元；

②第二次購進的A型臺燈的價格為：（元），B型臺燈的價格為：（元），設(shè)購進A型臺燈a臺，B型臺燈臺，由題意得：，整理得：，∴a、b為自然數(shù)，或或，有3種購進方案：購進A型臺燈1臺，B型臺燈11臺；購進A型臺燈4臺，B型臺燈7臺；購進A型臺燈7臺，B型臺燈3臺；64．（24-25七年級上·安徽馬鞍山·期末）年月，中國航空工業(yè)迎來了一個歷史性的時刻——在短短小時內(nèi)，兩款疑似六代戰(zhàn)斗機相繼試飛成功，這一壯舉不僅讓國人熱血沸騰，更讓全球軍事界為之震動．如果消息屬實，那么我們現(xiàn)在也有了先進的飛機大炮，希望敵人們最好也有鋼鐵般的意志！受此消息影響，一款飛機模型在網(wǎng)上爆火．某玩具店為了滿足廣大航天愛好者需求，銷售每件進價分別為元和元的，兩種型號的飛機模型，下表是近兩天的銷售情況：銷售時段銷售數(shù)量銷售收入種型號種型第一天件件第二天件件(1)求、兩種型號的飛機模型的銷售單價；(2)該玩具店準(zhǔn)備了元全部用于再采購這兩種型號的飛機模型共件，求種型號的模型能采購多少件？(3)在（2）的條件下，玩具店銷售完這件模型能否實現(xiàn)元的利潤目標(biāo)？請說明理由．【答案】(1)種型號的飛機模型的銷售單價為元，種型號的飛機模型的銷售單價為元(2)種型號的模型能采購件(3)能實現(xiàn)，理由見解析【分析】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，熟練的確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)種型號的飛機模型的銷售單價為元，種型號的飛機模型的銷售單價為元，再根據(jù)“表格信息”建立方程組即可求解；（2）設(shè)種型號的模型能采購件，再根據(jù)“玩具店準(zhǔn)備了元的金額全部用于再采購這兩種型號的飛機模型共件，”建立方程即可求解；（3）由（2）可知種型號的模型能采購件，再計算總利潤，再與進行比較即可．【詳解】（1）解：設(shè)種型號的飛機模型的銷售單價為元，種型號的飛機模型的銷售單價為元，根據(jù)題意可得：，解得：，答：種型號的飛機模型的銷售單價為元，種型號的飛機模型的銷售單價為元；（2）設(shè)種型號的模型能采購件，根據(jù)題意得：，解得：，答：種型號的模型能采購件；（3）能實現(xiàn)，理由如下：由（2）可知種型號的模型能采購件，（元），玩具店銷售完這件模型能實現(xiàn)元的利潤目標(biāo)．65．（24-25七年級上·安徽馬鞍山·期末）我市的雨山湖公園，娟秀嫵媚，環(huán)境優(yōu)雅，湖水清澈見底，是市民游玩休閑的好地方．某校七年級1班學(xué)生計劃假期去雨山湖游玩，游船價格如下表：船型四座電動船六座電動船價格元/小時元/小時已知所有學(xué)生均有座位且坐船游玩小時，請解決下面問題：(1)若租用四座電動船條數(shù)與六座電動船條數(shù)之比為，所有船恰好坐滿，需花費元，那么租用了幾條四座電動船？(2)若每條船均坐滿，且每種船型至少一條；列舉出所有可行的租船方案，并計算出每種方案的價格，指出最省錢的方案．【答案】(1)租用了條四座電瓶船(2)方案見解析；最省錢的方案是租用3條四座電瓶船，6條六座電瓶船．【分析】本題考查一元一次方程，二元一次方程的應(yīng)用．（1）根據(jù)題意，設(shè)租用了條四座電瓶船，則租用了條六座電瓶船，列出方程并正確計算即可；（2）先計算出共有學(xué)生數(shù)量，設(shè)租用條四座電瓶船，條六座電瓶船，則，再分別計算出方案一到方案三所花費用，進行比較即可得到本題答案．【詳解】（1）解：設(shè)租用了條四座電瓶船，則租用了條六座電瓶船，根據(jù)題意得，解得：，∴，，∴租用了條四座電瓶船，4條六座電瓶船答：租用了條四座電瓶船（2）解：由（1）可得學(xué)生人數(shù)為人設(shè)租用條四座電瓶船，條六座電瓶船，則∴，∴∵為正整數(shù)，∴或或方案一：租用3條四座電瓶船，6條六座電瓶船，總費用為元，方案二：租用6條四座電瓶船，4條六座電瓶船，總費用為元，方案三：租用9條四座電瓶船，2條六座電瓶船，總費用為元，∵∴最省錢的方案是租用3條四座電瓶船，6條六座電瓶船．66．（24-25七年級上·安徽淮北·期末）我校學(xué)生組織冬游活動，交通工具有兩座車和五座車兩種，兩座車每人每次18元，五座車每人每次8元，共100名學(xué)生參與了活動，乘坐了兩種車若干，且每輛車正好坐滿．(1)若一共花去車費1300元，則兩種車各租用了多少輛？（列二元一次方程組解決問題）(2)因場地停車位置有限，只能?？?4輛車．故新提供了大巴車可選擇，每輛大巴車可乘坐7人．若每種車型必須都租用，請你設(shè)計符合要求的租車方案．(3)若每輛大巴車的租金為30元一次，請你通過計算，找出租金最低的租車方案．【答案】(1)租用兩座車共25輛，租用五座車共10輛(2)租車方案有3種：方案一：乘2人的車8輛，乘5人的車14輛，乘7人的車2輛．方案二：乘2人的車10輛，乘5人的車9輛，乘7人的車5輛．方案三：乘2人的車12輛，乘5人的車4輛，乘7人的車8輛．(3)方案三：乘2人的車12輛，乘5人的車4輛，乘7人的車8輛，租金最低為832元【分析】本題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、有理數(shù)混合運算等知識點，正確列出方程組和