2025學(xué)年人教版七年級數(shù)學(xué)大單元教學(xué)分層優(yōu)化練6.3.2角的比較與運(yùn)算（基礎(chǔ)練+提升練+拓展練+達(dá)標(biāo)檢測）（解析版）知識點(diǎn)1、角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．（1）疊合法，使兩個(gè)角的頂點(diǎn)及一邊重合，另一邊在重合邊的同旁進(jìn)行比較；（2）度量法，分別用量角器測量兩個(gè)角的大小，再進(jìn)行比較。如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．題型1角度的大小比較例1．如圖，下列角的大小比較中，正確的是（

）【答案】C【知識點(diǎn)】角的比較【分析】本題考查了角的大小比較，掌握通過觀察角的開口大小直觀比較角的大小是解題的關(guān)鍵；通過觀察圖形中角的開口大小，直觀比較各個(gè)角的大小，從而判斷選項(xiàng)的正確性．故選：C．【變式11】．如圖所示，正方形網(wǎng)格中有和，如果每個(gè)小正方形的邊長都為，則與的大小關(guān)系為（

）【答案】A【知識點(diǎn)】角的比較故選：A．【答案】B【知識點(diǎn)】角的比較故選：．【變式13】．如圖，將一副三角板疊在一起使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O，（兩塊三角板可以在同一平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動），下列結(jié)論一定成立的是（

）【答案】C【知識點(diǎn)】角的比較、三角板中角度計(jì)算問題【分析】本題考查了三角板中的角度運(yùn)算、角的大小比較，正確根據(jù)圖形進(jìn)行角的運(yùn)算與比較是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角的和差關(guān)系以及角的大小比較的方法，并結(jié)合圖形計(jì)算后即可得出結(jié)論．故選：C．知識點(diǎn)2、角的和、差關(guān)系如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB∠2．注意：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．題型2三角板中角度的計(jì)算A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題故選：C．【變式21】．如圖，將兩個(gè)含角的三角板按如圖方式擺放在水平桌面上，下列表述正確的是（）【答案】B【知識點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題故選：B．【答案】B【知識點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題故選：B．A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題【詳解】解：∵點(diǎn)在上故選：B．題型3角度的和差識別【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題【分析】本題主要考查角的和差，根據(jù)圖形解答即可．【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【變式32】．按圖填空：【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題【分析】本題考查了角的和差關(guān)系，是基礎(chǔ)題，準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．分別根據(jù)圖中各角度之間的包含關(guān)系解答即可．【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題【分析】本題考查了角的和與差問題，通過圖形即可找出角之間的和差關(guān)系．題型4幾何圖形中角度的計(jì)算【答案】/65度【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查角的運(yùn)算、平角的定義、角平分線及其性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是充分利用角平分線和平角的定義．故答案為：．【答案】30或50或90【知識點(diǎn)】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算∵本題中的角均為大于0°且小于等于180°的角，故答案為：30或50或90．【答案】【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算故答案為：．【答案】【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題故答案為：．圖形5角度的四則運(yùn)算【知識點(diǎn)】角度的四則運(yùn)算、角的單位與角度制、角的度數(shù)大小比較【點(diǎn)睛】本題考查了角的度、分、秒之間的換算，掌握度、分、秒之間的進(jìn)制為，將不同單位的角統(tǒng)一單位后再比較大小是解題的關(guān)鍵．【知識點(diǎn)】角度的四則運(yùn)算、角的單位與角度制【點(diǎn)睛】本題考查了角的和與差計(jì)算，掌握利用已知角的度數(shù)，通過角的減法求出相關(guān)角的度數(shù)，再通過角的加法求出所求角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【知識點(diǎn)】角度的四則運(yùn)算、幾何圖形中角度計(jì)算問題【知識點(diǎn)】與方向角有關(guān)的計(jì)算題、角度的四則運(yùn)算知識點(diǎn)3、角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．注意；由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣．題型6角平分線的有關(guān)計(jì)算【答案】(1)【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查角的和差，角平分線的定義，垂直的定義．【知識點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了角平分線定義，角的和差關(guān)系．如圖：【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了角平分線定義，角度和差，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算題型7角n等分線的有關(guān)計(jì)算【答案】(1)45°；(2)．【知識點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、角n等分線的有關(guān)計(jì)算【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差與角平分線的應(yīng)用，掌握利用角的和差關(guān)系結(jié)合角平分線性質(zhì)或角的比例關(guān)系來推導(dǎo)角的度數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵．【答案】【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角n等分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了角的計(jì)算，角平分線定義，鄰補(bǔ)角性質(zhì)，掌握角的和差計(jì)算，角平分線定義，鄰補(bǔ)角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角n等分線的有關(guān)計(jì)算本題考查了與角n等分線的有關(guān)計(jì)算，以及幾何圖形的角度的計(jì)算，通過幾何圖形得到角度的和差，從而解決問題，同時(shí)也考查了根據(jù)題目獲取信息，用所獲取的信息解題的能力．【答案】(1)【知識點(diǎn)】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算、角n等分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題主要考查了角平分線、角的和差、角的等分線、一元一次方程的應(yīng)用等知識點(diǎn)，弄清角之間的關(guān)系成為解題的關(guān)鍵．題型8實(shí)際問題中的角度計(jì)算(1)把4kg的蔬菜放在秤上，指針轉(zhuǎn)了多少度？【答案】(1)把4kg的蔬菜放在秤上，指針轉(zhuǎn)了；【分析】（1）（2）先求出臺秤指示盤指針最大轉(zhuǎn)動角度，再利用臺秤量程和指針轉(zhuǎn)動度數(shù)之比即可求解.把4kg的蔬菜放在秤上，指針轉(zhuǎn)了.【點(diǎn)睛】本題考查了臺秤量程和指示盤轉(zhuǎn)動度數(shù)之間的關(guān)系，利用量程和轉(zhuǎn)動度數(shù)成正比是解題關(guān)鍵.(1)請你借助三角尺完成以下操作，并在所畫圖形上標(biāo)注所使用三角尺的相應(yīng)角度；請從或角模板中選一個(gè)你認(rèn)為能畫出角的模板，設(shè)計(jì)一個(gè)方案，并說明理由．(4)對于任意一個(gè)（n為正整數(shù)）角的模板，只用此模板是否一定能畫出的角？請作出判斷，并說明理由．【答案】(1)①見解析；②不能(2)見解析(3)選用，理由見解析(4)不一定能，理由見解析②根據(jù)用一副三角板可以直接畫出角的度數(shù)是15的倍數(shù)可解答；（2）根據(jù)題意設(shè)計(jì)一個(gè)，一邊與射線重合，另一邊即為角平分線，（3）根據(jù)題目所給的方案，進(jìn)行設(shè)計(jì)即可求解；（4）根據(jù)角度的四則運(yùn)算進(jìn)行判斷即可求解．②用一副三角板可以直接畫出角的度數(shù)是15的倍數(shù)，故答案為：不能．（2）解：如圖所示，（3）選用，可得的角，（4）對于任意一個(gè)（n為正整數(shù)）角的模板，只用此模板不一定能畫出的角【點(diǎn)睛】本題考查了三角板中的角度計(jì)算，角平分線的定義，角度的計(jì)算，理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式82】．如圖，一個(gè)齒輪有15個(gè)齒，每相鄰兩齒中心線間的夾角都相等，這個(gè)夾角是多少度？如果是22個(gè)齒的齒輪，這個(gè)夾角又是多少度（精確到分）？【分析】由于15個(gè)齒所對應(yīng)的中心角的和組成一個(gè)周角，而每相鄰兩齒中心線間的夾角都相等，所以這個(gè)夾角的度數(shù)為360°÷15，計(jì)算即可；同樣的方法可計(jì)算22個(gè)齒的齒輪每相鄰兩齒中心線間的夾角．【詳解】解：∵一個(gè)齒輪有15個(gè)齒，每相鄰兩齒中心線間的夾角都相等，∴這個(gè)夾角的度數(shù)為360°÷15=24°．∵一個(gè)齒輪有22個(gè)齒，每相鄰兩齒中心線間的夾角都相等，【點(diǎn)睛】本題考查了角在實(shí)際生活中的運(yùn)用，理解所有齒所對應(yīng)的中心角的和組成一個(gè)周角是解題關(guān)鍵．【變式83】．如圖，把一個(gè)蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果要使每份中的角是，這個(gè)蛋糕應(yīng)等分成多少份？【答案】把一個(gè)蛋糕等分成8份，每份的角是45度；如果要使每份的角是15°，這個(gè)蛋糕應(yīng)被等分成24份．【分析】利用360度除以平分的份數(shù)就是每份的度數(shù)，除以每份的度數(shù)就可以得到份數(shù)．【詳解】解：360°÷8=45°；360°÷15°=24．答：把一個(gè)蛋糕等分成8份，每份的角是45度；如果要使每份的角是15°，這個(gè)蛋糕應(yīng)被等分成24份．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，理解圓周角是360度是關(guān)鍵．題型9方程思想在計(jì)算角度中的應(yīng)用【分析】本題考查了角的平分線的計(jì)算；（1）根據(jù)平角的定義，角的平分線的意義計(jì)算即可；整體代入計(jì)算即可．熟練掌握角的倍分關(guān)系，角的和等是解題的關(guān)鍵．解：如圖1，【分析】本題主要考查了角平分線的定義，角的倍數(shù)關(guān)系，角的和差等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)和角的和差．【詳解】（1）解：如圖1，【答案】【分析】本題考查了角的計(jì)算，角平分線定義，鄰補(bǔ)角性質(zhì)，掌握角的和差計(jì)算，角平分線定義，鄰補(bǔ)角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意，分以下四種情況：故答案為：或或．題型10分類討論思想在計(jì)算角度中的應(yīng)用【答案】(1)(2)或【分析】本題考查了角的計(jì)算，分情況畫圖討論是解題的關(guān)鍵．故答案為：；綜上所述：的值為或．(2)或【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義：【答案】(1)是，3(2)，，(3)24秒或30秒或秒【分析】本題是一道閱讀理解型的題目，主要考查角的和差運(yùn)算，與角平分線，三等分線有關(guān)的計(jì)算，“優(yōu)線”定義，學(xué)生的閱讀理解能力及知識的遷移能力，解題的關(guān)鍵是理解“優(yōu)線”的定義．（1）根據(jù)“優(yōu)線”定義即可求解；（2）分3種情況，根據(jù)“優(yōu)線”定義即可求解；（3）分3種情況，根據(jù)“優(yōu)線”定義得到方程求解即可；故一個(gè)角共有3條“優(yōu)線”．【答案】(1)(2)正確，理由見解析(3)或【分析】本題考查角平分線和角三等分線，角的和與差．（2）正確，按照（1）的思路計(jì)算即可；（2）小明是說法正確，題型11雙角平分線模型【答案】(1)(2)【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的計(jì)算，找準(zhǔn)角之間的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵：【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義，用含有一個(gè)字母的代數(shù)式表示出兩個(gè)角度，觀察兩個(gè)代數(shù)式之間的數(shù)量關(guān)系即可得出兩個(gè)角度之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）；（2）．【分析】本題考查的是角平分線的定義，熟知角平分線的定義是解答此題的關(guān)鍵．【分析】本題考查了角的計(jì)算，角平分線的定義；題型12角中的動態(tài)問題【答案】(1)30(2)見解析【分析】本題考查了角平分線定義和角的計(jì)算，能根據(jù)圖形和已知求出各個(gè)角的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．故答案為：30；【變式121】．綜合與探究【背景知識】【知識探究】（2）當(dāng)線段在線段上運(yùn)動時(shí)，試判斷的長度是否發(fā)生變化？如果不變，請求出的長度，如果變化，請說明理由；【類比探究】∵E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，故答案為：；∵E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查線段中點(diǎn)的含義，線段的和差，角平分線的定義，角的和差運(yùn)算，熟練掌握線段中點(diǎn)以及角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查角的和差、角平分線的定義、一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線的定義及角度的運(yùn)算法則．(3)秒或20秒【分析】本題考查了角平分線的有關(guān)計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用．（1）轉(zhuǎn)化成已知角的式子計(jì)算即可；（2）利用旋轉(zhuǎn)后的位置進(jìn)行分類討論，列出對應(yīng)的式子即可求解；（3）利用旋轉(zhuǎn)后的位置進(jìn)行分類討論，列出對應(yīng)的方程即可求解．故答案為：；（3）解：設(shè)運(yùn)動時(shí)間為x，【答案】(1)(2)【分析】本題考查了角平分線的有關(guān)計(jì)算；能熟練用角的和差表示出所求的角是解題的關(guān)鍵．【答案】(1)【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，角的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是利用分類討論思想．（1）根據(jù)伴隨線定義即可求解；（2）①利用分類討論思想，分相遇之前和之后進(jìn)行列式計(jì)算即可；②利用分類討論思想，分相遇之前和之后四個(gè)圖形進(jìn)行計(jì)算即可．②相遇之前：（i）如圖1，是的伴隨線時(shí)，（ii）如圖2，是的伴隨線時(shí)，相遇之后：（iii）如圖3，是的伴隨線時(shí)，（iv）如圖4，【答案】(1)(2)正確，理由見解析【分析】本題考查角平分線和角三等分線，角的和與差．（2）正確，按照（1）的思路計(jì)算即可．（2）小明是說法正確，【變式133】．（1）如圖1，點(diǎn)在線段上，圖中共有3條線段：，和，若其中有一條線段的長度是另一條線段長度的兩倍，則稱點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”．則線段上共有_____個(gè)“二倍點(diǎn)”．【答案】（1）3；（2）3；（3）秒或5秒或10秒；（4）15秒或10秒或20秒【分析】本題是幾何變換綜合題，考查了線段和角倍數(shù)關(guān)系，新定義的理解和運(yùn)用等知識，并與方程相結(jié)合，運(yùn)用分類討論的思想解決問題．（1）根據(jù)C是線段的“二倍點(diǎn)”，即可解答；（3）根據(jù)線段的“二倍點(diǎn)”的定義分三種情況即可解答；∴線段上共有3個(gè)“二倍點(diǎn)”；故答案為∶3；（2）有三種情況∶故答案為∶3；（3）分三種情況∶綜上：t為秒或5秒或10秒時(shí)，點(diǎn)M是線段的“二倍點(diǎn)”（4）有三種情況∶一、單選題（每小題3分，共24分）【答案】C故選：C．【答案】B故選：BA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】此題主要考查角平分線的定義，角的和差計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線的定義．根據(jù)角平分線的定義求出各角度數(shù)，再判斷各選項(xiàng)即可．故選：D．【答案】C【分析】本題考查了角的關(guān)系，掌握利用角的和差關(guān)系計(jì)算未知角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．故選：C．A． B．

C． D．【答案】C利用方向角的定義求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意如圖所示：故選：C．