2025年線性代數(shù)隱私保護機器學(xué)習(xí)中的差分隱私試題一、單項選擇題（每題3分，共30分）在差分隱私機制中，拉普拉斯噪聲的添加量與查詢函數(shù)的敏感度呈何種關(guān)系？A.正比B.反比C.指數(shù)關(guān)系D.無關(guān)解析：拉普拉斯機制中噪聲的尺度參數(shù)由公式$\Deltaf/\epsilon$確定，其中$\Deltaf$為查詢函數(shù)的全局敏感度。敏感度越高，為達到相同隱私保護水平$\epsilon$，所需添加的噪聲量越大，二者呈正比關(guān)系。答案：A設(shè)矩陣$A$為$n$階隱私協(xié)方差矩陣，其特征值分解為$A=U\LambdaU^T$，在高斯差分隱私機制下對$\Lambda$添加噪聲后，矩陣的正定性是否改變？A.一定改變B.一定不變C.當(dāng)噪聲方差小于最小特征值時不變D.僅當(dāng)$\epsilon<1$時不變解析：協(xié)方差矩陣的特征值均為非負(fù)數(shù)。高斯噪聲的方差$\sigma^2=2\ln(1.25/\delta)\cdot\Deltaf^2/\epsilon^2$，若噪聲絕對值小于最小特征值$\lambda_{\text{min}}$，則擾動后的特征值$\lambda_i+\mathcal{N}(0,\sigma^2)$仍為正數(shù)，矩陣保持正定。答案：C已知線性回歸模型$y=X\beta+\epsilon$，其中$X$為$m\timesn$特征矩陣。為保護訓(xùn)練數(shù)據(jù)隱私，對損失函數(shù)$\mathcal{L}(\beta)=|y-X\beta|^2$添加高斯噪聲實現(xiàn)差分隱私時，噪聲的敏感度取決于$X$的哪種屬性？A.行列式B.譜范數(shù)C.條件數(shù)D.秩解析：線性回歸損失函數(shù)的梯度為$\nabla\mathcal{L}=X^T(X\beta-y)$，其敏感度由$X^TX$的最大特征值（即$X$譜范數(shù)的平方）決定。根據(jù)高斯機制，噪聲尺度需與譜范數(shù)成正比。答案：B在聯(lián)邦學(xué)習(xí)場景中，10個客戶端通過本地差分隱私（LDP）機制上傳梯度向量，每個客戶端的隱私預(yù)算為$\epsilon_i=0.1$。若采用并行組合定理，聚合后的總隱私預(yù)算為：A.0.01B.0.1C.1.0D.10.0解析：并行組合定理指出，對$k$個獨立數(shù)據(jù)集執(zhí)行隱私預(yù)算為$\epsilon_i$的算法，總隱私預(yù)算為$\max(\epsilon_1,\dots,\epsilon_k)$。本題中所有$\epsilon_i$相等，故總預(yù)算仍為0.1。答案：B設(shè)矩陣$A$為$3\times3$正交矩陣，其行向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交基。若對每個元素添加滿足$\epsilon$-差分隱私的拉普拉斯噪聲，擾動后的矩陣是否仍為正交矩陣？A.是B.否C.僅當(dāng)$\epsilon\to\infty$時是D.僅當(dāng)噪聲為零均值時是解析：正交矩陣要求行向量間內(nèi)積為0且模長為1。添加噪聲后，內(nèi)積$\langlea_i+\eta_i,a_j+\eta_j\rangle=\langle\eta_i,\eta_j\rangle\neq0$（$\eta$為噪聲向量），故不再滿足正交性。答案：B差分隱私中的“隱私預(yù)算消耗率”可類比為線性代數(shù)中的哪種概念？A.矩陣的跡B.特征值衰減C.向量范數(shù)D.行列式解析：隱私預(yù)算隨查詢次數(shù)累積消耗的過程，類似于矩陣特征值隨迭代計算逐漸衰減的特性。例如，每次查詢消耗$\epsilon_i$，總預(yù)算$\epsilon_{\text{total}}=\sum\epsilon_i$，與冪法中特征值的迭代收斂過程相似。答案：B已知兩個鄰近數(shù)據(jù)庫$D$和$D'$（僅差一條記錄），查詢函數(shù)$f(D)=\text{rank}(A)$，其中$A$為$D$對應(yīng)的設(shè)計矩陣。該函數(shù)的全局敏感度$\Deltaf$可能的最大值為：A.0B.1C.$n$（矩陣階數(shù)）D.不存在解析：矩陣的秩表示線性無關(guān)行（列）的數(shù)量。當(dāng)刪除一條記錄導(dǎo)致矩陣秩降低時，敏感度$\Deltaf=|\text{rank}(A)-\text{rank}(A')|$。對于滿秩矩陣，刪除一行可能使秩減少1，故最大敏感度為1。答案：B在$\epsilon$-差分隱私下，對$n$維向量$\boldsymbol{x}$進行隨機化響應(yīng)時，若采用指數(shù)機制選擇最優(yōu)維度，其隱私保護強度取決于：A.向量的$L_1$范數(shù)B.最大分量的概率權(quán)重C.維度間的相關(guān)性D.噪聲的分布類型解析：指數(shù)機制通過$q(D,r)=\exp(\epsilonu(D,r)/2\Deltau)$定義選擇概率，其中$u(D,r)$為效用函數(shù)。最優(yōu)維度的選擇概率由其效用值與最大效用值的差值決定，即與權(quán)重差的指數(shù)相關(guān)。答案：B設(shè)$\boldsymbol{\alpha}$和$\boldsymbol{\beta}$是滿足$\epsilon_1$和$\epsilon_2$差分隱私的兩個$n$維向量，其Hadamard積$\boldsymbol{\alpha}\odot\boldsymbol{\beta}$的隱私預(yù)算為：A.$\epsilon_1+\epsilon_2$B.$\max(\epsilon_1,\epsilon_2)$C.$\epsilon_1\epsilon_2$D.$\sqrt{\epsilon_1^2+\epsilon_2^2}$解析：Hadamard積對應(yīng)元素相乘，屬于兩個隱私操作的組合。根據(jù)串行組合定理，總隱私預(yù)算為各操作預(yù)算之和。答案：A在聯(lián)邦主成分分析（PCA）中，各參與方本地計算協(xié)方差矩陣后，通過安全聚合協(xié)議上傳至服務(wù)器。若每個協(xié)方差矩陣添加了$\epsilon$差分隱私保護，則聚合后全局協(xié)方差矩陣的隱私預(yù)算為：A.$\epsilon/k$（$k$為參與方數(shù)量）B.$\epsilon$C.$k\epsilon$D.$\epsilon\cdot\text{rank}(X)$解析：本地差分隱私（LDP）中，每個參與方獨立添加噪聲，服務(wù)器僅接收聚合結(jié)果。根據(jù)并行組合定理，獨立數(shù)據(jù)集的隱私預(yù)算可復(fù)用，總預(yù)算仍為$\epsilon$。答案：B二、填空題（每題4分，共20分）設(shè)查詢函數(shù)$f(D)=\text{tr}(A)$（矩陣的跡），其中$A$為數(shù)據(jù)庫$D$對應(yīng)的$n$階矩陣。若$D$與$D'$為鄰近數(shù)據(jù)庫，且$A-A'=\boldsymbol{uu}^T$（$\boldsymbol{u}$為單位向量），則$f$的全局敏感度$\Deltaf=$________。解析：矩陣跡的定義為特征值之和，而$\boldsymbol{uu}^T$的跡為$\text{tr}(\boldsymbol{uu}^T)=\boldsymbol{u}^T\boldsymbol{u}=1$。因此$\Deltaf=|\text{tr}(A)-\text{tr}(A')|=1$。答案：1高斯差分隱私機制中，噪聲的方差$\sigma^2$與隱私參數(shù)$\epsilon$、$\delta$的關(guān)系為$\sigma^2=C\cdot\Deltaf^2/\epsilon^2$，其中常數(shù)$C=$________。解析：高斯機制的嚴(yán)格定義要求$\sigma^2\geq2\ln(1.25/\delta)\cdot\Deltaf^2/\epsilon^2$，通常取$C=2\ln(1.25/\delta)$。當(dāng)$\delta=10^{-5}$時，$C\approx2\times11.51=23.02$。答案：$2\ln(1.25/\delta)$考慮線性方程組$Ax=b$，其中$A$為$m\timesn$矩陣且$\text{rank}(A)=n$。為保護$b$中的隱私數(shù)據(jù)，對$b$添加拉普拉斯噪聲后求解$x=(A^TA)^{-1}A^T(b+\eta)$，則$x$的擾動方差與$A$的________成正比。解析：根據(jù)誤差傳播公式，$x$的協(xié)方差矩陣為$(A^TA)^{-1}A^T\cdot\text{cov}(\eta)\cdotA(A^TA)^{-1}$。拉普拉斯噪聲$\eta$的協(xié)方差為$2(\Deltaf/\epsilon)^2I$，故$x$的擾動方差與$(A^TA)^{-1}$的對角線元素相關(guān)，即與$A$的條件數(shù)平方成正比（因$|(A^TA)^{-1}|=\kappa(A)^2$）。答案：條件數(shù)的平方在隱私保護支持向量機（SVM）中，對偶問題的目標(biāo)函數(shù)為$\max_\alpha\sum\alpha_i-\frac{1}{2}\alpha^TK\alpha$，其中$K$為核矩陣。為實現(xiàn)差分隱私，對$\alpha$添加噪聲時需考慮$K$的________以確定敏感度。解析：核矩陣$K$為半正定矩陣，其最大特征值$\lambda_{\text{max}}$決定了二次型$\alpha^TK\alpha$的變化范圍。刪除一條記錄會導(dǎo)致$K$的一行一列變化，敏感度$\Deltaf$與$\lambda_{\text{max}}$相關(guān)。答案：最大特征值設(shè)$\boldsymbol{x}$為$n$維標(biāo)準(zhǔn)化特征向量，通過本地化差分隱私（LDP）機制上傳至服務(wù)器，采用隨機響應(yīng)策略：以概率$p=\exp(\epsilon)/(1+\exp(\epsilon))$保留原值，以概率$1-p$取相反數(shù)。則該機制的隱私預(yù)算$\epsilon$與$p$的關(guān)系為$\epsilon=$________。解析：隨機響應(yīng)滿足$\epsilon$-差分隱私的條件為$\frac{\Pr(r|\boldsymbol{x})}{\Pr(r|\boldsymbol{x}')}\leq\exp(\epsilon)$。對于二值選擇，$\epsilon=\ln\left(\frac{p}{1-p}\right)$，解得$p=\exp(\epsilon)/(1+\exp(\epsilon))$，反推得$\epsilon=\ln\left(\frac{p}{1-p}\right)$。答案：$\ln\left(\frac{p}{1-p}\right)$三、計算題（共30分）1.差分隱私線性回歸（15分）已知線性回歸模型$y=X\beta+\epsilon$，其中$X$為$5\times2$特征矩陣：$$X=\begin{bmatrix}1&2\1&4\1&6\1&8\1&10\end{bmatrix},\quady=\begin{bmatrix}3\5\7\9\11\end{bmatrix}$$（1）計算原始最小二乘估計$\hat{\beta}=(X^TX)^{-1}X^Ty$；（2）若采用$\epsilon=0.5$的拉普拉斯機制保護$\hat{\beta}$，已知梯度敏感度$\Deltaf=|X^T(X(X^TX)^{-1})|_2=2$，求添加的噪聲尺度；（3）若刪除最后一條記錄得到$X'$和$y'$，計算擾動前后$\hat{\beta}$的變化量，并驗證是否滿足差分隱私定義。解析：（1）$X^TX=\begin{bmatrix}5&30\30&220\end{bmatrix}$，$(X^TX)^{-1}=\frac{1}{100}\begin{bmatrix}220&-30\-30&5\end{bmatrix}$，$X^Ty=\begin{bmatrix}35\250\end{bmatrix}$，故$\hat{\beta}=\begin{bmatrix}1\1\end{bmatrix}$。（2）拉普拉斯噪聲尺度$\lambda=\Deltaf/\epsilon=2/0.5=4$，噪聲向量$\eta\sim\text{Laplace}(0,4)$。（3）刪除最后一條記錄后，$X'^TX'=\begin{bmatrix}4&20\20&120\end{bmatrix}$，$\hat{\beta}'=\begin{bmatrix}1\1\end{bmatrix}$，變化量$\Delta\beta=0$。根據(jù)差分隱私定義，$|\hat{\beta}-(\hat{\beta}'+\eta)|_1=|\eta|_1\leq4\epsilon=2$（以高概率），滿足$\epsilon$-差分隱私。2.隱私保護PCA（15分）給定三維數(shù)據(jù)集的協(xié)方差矩陣：$$\Sigma=\begin{bmatrix}4&1&1\1&4&1\1&1&4\end{bmatrix}$$（1）計算$\Sigma$的特征值與特征向量；（2）采用高斯機制對特征值添加噪聲以實現(xiàn)$(\epsilon=1,\delta=10^{-5})$差分隱私，求噪聲方差$\sigma^2$；（3）若保留前兩個主成分，計算擾動后特征空間的重構(gòu)誤差上限。解析：（1）$\Sigma=3I+\boldsymbol{11}^T$，特征值為$\lambda_1=3+3=6$（對應(yīng)$\boldsymbol{u}_1=(1,1,1)^T/\sqrt{3}$），$\lambda_2=\lambda_3=3$（對應(yīng)正交于$\boldsymbol{u}_1$的特征向量）。（2）高斯噪聲方差$\sigma^2=2\ln(1.25/\delta)\cdot\Deltaf^2/\epsilon^2$，敏感度$\Deltaf=2$（協(xié)方差矩陣元素最大變化），代入得$\sigma^2=2\ln(12500)\cdot4/1\approx2\times9.43\times4=75.44$。（3）原始重構(gòu)誤差為$\lambda_3=3$，擾動后誤差為$\lambda_3+\eta_3$，噪聲$\eta_3\sim\mathcal{N}(0,75.44)$。根據(jù)$\delta=10^{-5}$，誤差上限為$3+3\sigma\approx3+3\times8.69=29.07$。四、證明題（20分）題目：設(shè)$A$和$A'$為兩個鄰近的$n$階對稱矩陣（僅差一行一列），其特征值分別為$\lambda_1\geq\lambda_2\geq\dots\geq\lambda_n$和$\lambda'_1\geq\lambda'_2\geq\dots\geq\lambda'n$。證明：在$\epsilon$-差分隱私下，對特征值向量$\boldsymbol{\lambda}=(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$添加拉普拉斯噪聲后，滿足$\sum{i=1}^n|\lambda_i-(\lambda'_i+\eta_i)|\leq\frac{n\Delta\lambda}{\epsilon}$，其中$\Delta\lambda$為特征值的全局敏感度，$\eta_i\sim\text{Laplace}(0,\Delta\lambda/\epsilon)$。證明：敏感度分析：由Wielandt-Hoffman定理，$\sum_{i=1}^n(\lambda_i-\lambda'_i)^2\leq|A-A'|_F^2$。因$A$與$A'$為鄰近矩陣，$|A-A'|_F^2=|\boldsymbol{uu}^T|_F^2=|\boldsymbol{u}|^4=1$（設(shè)$\boldsymbol{u}$為單位向量），故$\Delta\lambd