空間距離的求法、立體幾何的翻折和動態(tài)問題課前必備知識課標要求1.能根據題設情境恰當選擇幾何法或向量法，解決有關位置關系的證明及有關空間角的計算.2.會分析探究立體幾何中位置關系和幾何量的取值問題，培養(yǎng)探究思維能力.3.提高直觀想象能力和邏輯推理論證能力及分析問題、解決問題的能力．知識梳理1．利用向量求距離(1)點與點之間的距離：求兩點E，F之間的距離，即求向量eq\o(EF,\s\up6(→))的模．(2)點到平面的距離：設點E到平面α的距離為d，n是平面α的法向量，F為平面α上的任一點，則d＝eq\f(|\o(FE,\s\up6(→))·n|,|n|).(3)直線與平面的距離、平面與平面的距離都可轉化為點到平面的距離．2．折疊問題(1)將平面圖形按一定規(guī)則折疊成立體圖形，再對立體圖形的位置和數量關系進行論證和計算，這就是折疊問題．(2)處理折疊問題，要先畫好平面圖形，并且注意平面圖形與立體圖形的對照使用，這樣有利于分析元素間的位置關系和數量關系．(3)要注意分析折疊前后位置關系及數量關系的變化．一般位于折線一邊的點、線間的位置關系和數量關系不變，位于折線兩邊的點、線間的位置關系和數量關系要發(fā)生變化．不變的關系，要注意在平面圖形中處理；變化的關系，一般在立體圖形中處理．3．探究性問題(1)若某幾何量或幾何元素的位置關系存在時，某點或線或面應具備何種條件的問題，就是立體幾何中的探究性問題．(2)探究性問題的題設情境通常就是“是否存在”，其求解策略是：①觀察—猜想—證明；②賦值推斷；③類比聯想；④特殊—一般—特殊．4．立體幾何綜合問題的求解方法空間位置關系的判定和證明，主要是證明平行與垂直，解答這類問題的主要方法是綜合法(也可采用向量方法)，論證的依據是線面關系的判定定理和性質定理，要“根據結論想判定，根據已知想性質”，運用綜合分析的方法尋找證明途徑．解答空間幾何量的計算問題有兩種方法：一是依據公理、定理及性質等經過推理論證，作出所求幾何量并求之，一般解題步驟是“作、證、求”；另一種是建立空間直角坐標系，借助點的坐標求出平面的法向量、直線的方向向量，利用向量運算加以解決．后一種方法避免了煩瑣的推理論證，已成為求解立體幾何有關問題的主要方法．課前訓練1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，動點M在底面ABCD內運動且滿足∠DD1A＝∠DD1M，則動點M在底面ABCD內的軌跡為()A．圓的一部分B．橢圓的一部分C．雙曲線一支的一部分D．前三個答案都不對2．在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分別是棱BC，BB1，DD1的中點，過FG作平面α，使得A1E∥α，則點A到平面α的距離是()A.eq\f(\r(17),17) B.eq\f(3\r(17),17)C.eq\f(5\r(17),17) D.eq\f(7\r(17),17)3．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3cm，AD＝2cm，AA1＝1cm，則點B1到平面ABD1的距離為__________cm.4．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝eq\r(2)，將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中()A．存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直B．存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直C．存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直D．對任意位置，三對直線“AC與BD”“AB與CD”“AD與BC”均不垂直5．如圖，AB為圓柱下底面圓O的直徑，C是下底面圓周上一點，已知∠AOC＝eq\f(π,3)，OA＝2，圓柱的高為5.若點D在圓柱表面上運動，且滿足BC⊥AD，則點D的軌跡所圍成圖形的面積為________．

課堂核心考點考點1空間距離的求法【例1】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝eq\f(π,2)，AB＝BC＝eq\f(1,3)AD＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝a，點F在AD上，且CF⊥PC.(1)求點A到平面PCF的距離；(2)求AD到平面PBC的距離．1．空間距離的求法：直接法、等體積法、空間向量法．2．利用空間向量求距離，點到平面的距離是基礎，常轉化為平面外一點與平面內一點的向量在平面法向量上的投影的長度.變式探究1．如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的底面為等邊三角形，AA1＝AC，點D，E分別為AC，CC1的中點，∠CED＝30°，A1B＝eq\r(2)BD＝eq\r(6).(1)求點A1到平面BDE的距離；(2)求二面角A1-BE-D的余弦值．探究點2立體幾何的動態(tài)問題【例2】(1)如圖，正三角形PAD所在平面與正方形ABCD所在平面垂直，O為正方形ABCD的中心，M為正方形ABCD內一點，且滿足MP＝MC，則點M的軌跡為()ABCD(2)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2eq\r(3)，點E為平面A1BD內的動點，設直線AE與平面A1BD所成的角為α，若sinα＝eq\f(2\r(5),5)，則點E的軌跡所圍成的面積為________．(3)(多選)如圖，已知圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，底面圓O2.C為2.C是圓O上異于A，B的一點，D為弦AC的中點，E為線段PB上異于P，B的點，則下列說法正確的有()A．直線AC⊥平面PDOB．直線CE與PD一定為異面直線C．直線CE可能平行于平面PDOD．若BC＝eq\r(2)，則CE＋AE的最小值為eq\r(3)＋1在動態(tài)變化過程中產生的體積最大、距離最大(小)、角的范圍等問題，常用的解題思路是：(1)直觀判斷：在變化過程中判斷點、線、面在何位置時，所求的量有相應最大、最小值，即可求解．(2)函數思想：通過建系或引入變量，把這類動態(tài)問題轉化為目標函數，從而利用代數方法求目標函數的最值.變式探究2．(2025·吉林延邊州二模)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是4，側棱長是6，M，N分別為CC1，AB的中點，若P是側面BCC1B1上一點，且PN∥平面AB1M，則線段PN的最小值為()A.eq\f(\r(39),2) B.eq\f(3\r(26),5)C.eq\f(2\r(39),5) D.eq\f(\r(26),2)3．點P為棱長是2eq\r(5)的正方體ABCD-A1B1C1D1的內切球O球面上的動點，點M為B1C1的中點，若滿足DP⊥BM，則動點P的軌跡的長度為()A．πB．2πC．4πD．2eq\r(5)π4．(多選)已知點A為圓臺O1O2下底面圓O2上的一點，S為上底面圓O1上一點，且SO1＝1，O1O2＝eq\r(3)，O2A＝2，則下列說法正確的有()A．直線SA與直線O1O2所成角的最小值為eq\f(π,6)B．直線SA與直線O1O2所成角的最大值為eq\f(π,3)C．圓臺存在內切球，且半徑為eq\f(\r(3),2)D．直線AO1與平面SO1O2所成角的正切值的最大值為eq\f(2\r(3),3)探究點3立體幾何的折疊問題【例3】(2024·新課標Ⅱ卷)如圖，平面四邊形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5eq\r(3)，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，點E，F滿足eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，將△AEF沿EF對折至△PEF，使得PC＝4eq\r(3).(1)證明：EF⊥PD.(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．翻折問題的兩個解題策略變式探究5．(2025·湖南長沙市一中?？?如圖1，四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，∠BCD＝60°，A