TOC\o"1-5"\h\z\u第二章技巧套路篇 31韋達(dá)定理基礎(chǔ)篇(設(shè)線法) 4韋達(dá)定理公式全家福和硬解定理 4整體替換，避免重復(fù)計(jì)算 7隱形的斜率比 10選擇合適的直線方程進(jìn)行聯(lián)立 10直線方程復(fù)雜時(shí)的換元聯(lián)立 13求另一個(gè)交點(diǎn) 14單直線過(guò)圓錐曲線的頂點(diǎn) 15用一個(gè)未知點(diǎn)表示另一個(gè)未知點(diǎn) 18點(diǎn)乘轉(zhuǎn)化為雙根算法(不推薦使用) 20距離或者向量投影坐標(biāo)化 22非對(duì)稱韋達(dá)問(wèn)題 242韋達(dá)定理進(jìn)階篇(同構(gòu)法) 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。和圓相關(guān) 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。直線的定比分點(diǎn)式方程 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。雙切線問(wèn)題 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。3雙切線問(wèn)題(同構(gòu)法) 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。蒙日?qǐng)A 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。斜率等差 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。彭色列閉形定理 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。和切點(diǎn)弦相關(guān) 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。拋物線的雙切線模型 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。其他類型 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。5點(diǎn)差法基礎(chǔ)篇 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。兩種點(diǎn)差法 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。中點(diǎn)點(diǎn)差法的應(yīng)用 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。中點(diǎn)弦和弦中點(diǎn)軌跡 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。定長(zhǎng)弦的弦中點(diǎn)軌跡 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。平行弦中點(diǎn)軌跡 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。平行四邊形的判斷 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。6垂直平分線和對(duì)稱性問(wèn)題 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。圓錐曲線垂直平分線的性質(zhì) 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。對(duì)稱問(wèn)題內(nèi)部法 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)公式 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。7點(diǎn)差法進(jìn)階篇 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)法差法vs點(diǎn)的斗轉(zhuǎn)星移 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)法差法vs斜率和積商vs定點(diǎn) 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。兩個(gè)曲線點(diǎn)差 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。隱形的點(diǎn)差 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。對(duì)稱點(diǎn)差法的使用技巧總結(jié) 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。中點(diǎn)點(diǎn)差法vs定點(diǎn) 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。8截距點(diǎn)差法 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。兩類點(diǎn)差法的綜合運(yùn)用 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。9定比點(diǎn)差法 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。基礎(chǔ)知識(shí)預(yù)備 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。對(duì)稱軸軸上點(diǎn)公式 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。計(jì)算的應(yīng)用 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。拋物線中的應(yīng)用 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。軌跡方程 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。

第二章技巧套路篇1韋達(dá)定理基礎(chǔ)篇(設(shè)線法)思路流程：將已知和所求最終肯定得化成坐標(biāo)的形式，然后，再利用韋達(dá)定理，把坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量的式子，這是韋達(dá)定理的通法．韋達(dá)定理公式全家福和硬解定理1.一元二次方程公式全家福(1)

求根公式設(shè)是二次方程的兩個(gè)根，則有．注①推導(dǎo)方法一般利用配方法，即；②記憶方法或者結(jié)合對(duì)稱軸和判別式，簡(jiǎn)記為．(2)

韋達(dá)定理設(shè)是二次方程的兩個(gè)根，則有，.拓展公式①．②，即．注②的用法見(jiàn)后面的非對(duì)稱韋達(dá)定理專題．2.硬解定理——此處以直線和橢圓方程的聯(lián)立為例進(jìn)行說(shuō)明聯(lián)立消去y，可得：．(1)

韋達(dá)定理，．注①，等效判別式的前半部分；消去y時(shí)，都有；中的強(qiáng)記一下；中的，消去誰(shuí)就減去誰(shuí)．②如果是消去x，只需要把公式中的字母中的a、A分別換為b、B即可，而分母和C均不用變！即，．③考試的時(shí)候，可以先寫(xiě)出韋達(dá)定理，再逆推出聯(lián)立的方程??！(2)

完全判別式，注①一定要和“等效判別式”區(qū)分開(kāi)??！對(duì)于等效判別式，可以借助三角函數(shù)進(jìn)行記憶．②判別式中的，消去誰(shuí)就留誰(shuí)！故消去x，對(duì)應(yīng)的判別式為：．(3)

弦長(zhǎng)公式注①公式的分母都是；，這部分是一順寫(xiě)．②記憶口訣這個(gè)公式有點(diǎn)“二”，小方積、大方和，大方小方成對(duì)去虐單C方，虐完C方去下方．③公式的好處傳統(tǒng)的弦長(zhǎng)公式有兩個(gè)，一定要注意區(qū)分兩者的區(qū)別?。∫虼?，熟記上述弦長(zhǎng)公式，可以避免由于用錯(cuò)弦長(zhǎng)公式而帶來(lái)的錯(cuò)誤！??！消y版：；消x版：．④和判別式串聯(lián)顯然利用③中的公式，也可輕松逆推出判別式或．⑤易錯(cuò)提醒如果是橢圓，公式中絕對(duì)值符號(hào)可以直接拿掉！但是，對(duì)于雙曲線，絕對(duì)值符號(hào)不能省略??！同時(shí)，直線和雙曲線的漸近線二合一方程“”，也不能用此弦長(zhǎng)公式?。?！(4)

求根公式寫(xiě)出通式，利用上面韋達(dá)定理和判別式相應(yīng)代入即可！不過(guò)，實(shí)際沒(méi)啥用?。≌?qǐng)思考如果是直線和雙曲線聯(lián)立，即，此時(shí)又當(dāng)如何？分析由于，只需要將替換上面的即可，也就是的前面添個(gè)負(fù)號(hào)??！其實(shí)，如果把上述推導(dǎo)過(guò)程中的分別換為，則更顯然！！易錯(cuò)提醒對(duì)于直線和雙曲線的漸近線二合一方程“”聯(lián)立，即，上述硬解定理是不成立的?。∈褂谜f(shuō)明硬解定理以前在網(wǎng)絡(luò)上還是很流行的，所以本人在此給出一個(gè)簡(jiǎn)單總結(jié)，其中包含的公式有很多，但是，個(gè)人認(rèn)為，只有那個(gè)弦長(zhǎng)公式還有點(diǎn)實(shí)用性，畢竟解析幾何大題中，經(jīng)常用到弦長(zhǎng)公式，考試之時(shí)，可以作為檢驗(yàn)之用！同時(shí)，弦長(zhǎng)公式有口訣，也不是很難記憶！！至于韋達(dá)定理公式，實(shí)際上也沒(méi)啥大用，畢竟把直線和圓錐曲線聯(lián)立，這個(gè)過(guò)程并不復(fù)雜；至于完全判別式公式，實(shí)際解題時(shí)，往往“等效判別式”就足夠用的了，因此，也么啥用．例已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)．．(1)

當(dāng)l的斜率是k時(shí)，用a、b、k表示出的值；(2)

若直線的傾斜角互補(bǔ)，是否存在實(shí)數(shù)，使得為定值，若存在，求出該定值及，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案(1)

；(2)

，定值是．例(2011北京理)已知橢圓.過(guò)點(diǎn)作圓的切線I交橢圓G于A、B兩點(diǎn)．(1)

求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；(2)

將表示為m的函數(shù)，并求的最大值．例(2007浙江文理)如圖，直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，記△AOB的面積為S．(1)

求在，的條件下，S的最大值；(2)

當(dāng)，時(shí)，求直線AB的方程．整體替換，避免重復(fù)計(jì)算例(2016全國(guó)Ⅱ理)已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交E于A、M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，．(1)

當(dāng)，時(shí)，求的面積；(2)

當(dāng)時(shí)，求k的取值范圍．解(1)

，橢圓E為，，由于，且，由橢圓的對(duì)稱性，可得，則直線AM的方程為：，與橢圓聯(lián)立：，可得，故．(2)

法一

通法先行，設(shè)k韋達(dá)法，這也是常見(jiàn)的模型，定點(diǎn)交叉雙直線模型，直線和圓錐曲線的另一個(gè)交點(diǎn)可以求出來(lái)的．同時(shí)，注意到隱藏條件，．設(shè)直線AM為：，則直線AN為：，直線AM與橢圓聯(lián)立：，由于，，故，，【硬解定理：】同理可得：，由于，可解得，因?yàn)闄E圓E的焦點(diǎn)在x軸，所以，即，整理得：，解得．例(2016全國(guó)Ⅱ文)已知點(diǎn)A是橢圓的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交E于A、M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，．(1)

當(dāng)時(shí)，求的面積；(2)

當(dāng)時(shí)，證明：．解(1)

，和上面的理科相同，故略．(2)

設(shè)直線AM為：，則直線AN為：；直線AM和橢圓聯(lián)立：，由于，，故，，【硬解定理：】同理可得：，由于，可得：，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知：．例(2016山東文壓軸)已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為．(1)

求橢圓C的方程；(2)

過(guò)動(dòng)點(diǎn)的直線交x軸與點(diǎn)N，交C于點(diǎn)A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q，延長(zhǎng)線QM交C于點(diǎn)B．(i)

設(shè)直線PM、QM的斜率分別為k、k'，證明為定值．(ii)

求直線AB的斜率的最小值．解(1)

；(2)(i)由于是線段PN的中點(diǎn)，所以設(shè)，則，故．(ii)

設(shè)，，直線PA為：，直線QB為：，直線PA和橢圓聯(lián)立：，，同理可得：．故 ，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，直線AB的斜率的最小值是．另解定比點(diǎn)差法，純屬娛樂(lè)，考試之時(shí)，通法先行，請(qǐng)勿模仿！設(shè)，則，其中，．設(shè)，，則，，利用定比點(diǎn)差法易得：，故，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，直線AB的斜率的最小值是．注最后的均值不等式，是利用待定系數(shù)法湊出來(lái)的：設(shè)，則，令，可解得．隱形的斜率比例如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的下頂點(diǎn)為B，點(diǎn)M、N是橢圓上異于點(diǎn)B的動(dòng)點(diǎn)，直線BM、BN分別與x軸交于點(diǎn)P、Q，且點(diǎn)Q是線段OP的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．(1)

求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)

設(shè)直線MN交y軸于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)M、N均在y軸右側(cè)，且時(shí)，求直線BM的方程．略解(1)

；(2)；由于點(diǎn)Q是線段OP的中點(diǎn)，因此，設(shè)直線BM的斜率為k則直線BN的斜率為，接下來(lái)韋達(dá)求出M、N坐標(biāo)，代入即可．選擇合適的直線方程進(jìn)行聯(lián)立直線方程的設(shè)法根據(jù)定點(diǎn)位置的不同，分成如下兩種情況：定點(diǎn)在x軸過(guò)直線過(guò)x軸的上的定點(diǎn)，就把直線方程設(shè)成“”的形式！但是，不包括斜率為0的情況??！定點(diǎn)在y軸過(guò)直線過(guò)y軸的上的定點(diǎn)，就把直線方程設(shè)成“”的形式！同時(shí)，根據(jù)題意，需要另行討論斜率不存在的情況??！注(1)按照上述規(guī)則設(shè)直線方程，在聯(lián)立圓錐曲線方程的時(shí)候，以及對(duì)于后續(xù)的計(jì)算和化簡(jiǎn)，都會(huì)起到簡(jiǎn)化的作用！比如，過(guò)直線過(guò)x軸的上的定點(diǎn)，如果把直線方程設(shè)成“”的形式，不妨和橢圓方程聯(lián)立，同時(shí)結(jié)合韋達(dá)定理，易知式子中含有的式子比較多，計(jì)算相對(duì)會(huì)復(fù)雜一些！(2)對(duì)于“”，許多資料被稱為“反設(shè)直線”，但是，我更喜歡稱作“倒斜率直線方程”，即，因?yàn)橛行┐中牡耐瑢W(xué)，很容易把t當(dāng)成斜率k進(jìn)行后續(xù)的計(jì)算．(3)易錯(cuò)提醒無(wú)論使用哪種直線，都需要根據(jù)題意，討論相應(yīng)的斜率！！(4)如何設(shè)方程？以避免討論斜率優(yōu)先？以定點(diǎn)位置優(yōu)先？？個(gè)人建議，以定點(diǎn)位置優(yōu)先！！具體可參考如下的例題，進(jìn)行實(shí)質(zhì)性的理解??！例(2013江西理)如圖，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)離心率，直線l的方程為．(1)

求橢圓C的方程；(2)

AB是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P），設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA、PB、PM的斜率分別為，問(wèn)：是否存在常數(shù)，使得？若存在求的值；若不存在，說(shuō)明理由．解(1)

；(2)

法一參考答案解法，利用點(diǎn)斜式直線方程，不討論斜率易知直線AB的斜率必存在，設(shè)直線AB為，則點(diǎn)，設(shè)，，直線AB與橢圓聯(lián)立：，則，，注意到A、F、B三點(diǎn)共線，故，即，故 ，又，故，故存在常數(shù)符合題意．注此解法中的“注意到A、F、B三點(diǎn)共線，故，即”，這步處理是關(guān)鍵，如果按照常規(guī)方法進(jìn)行硬算，即，顯然，這個(gè)式子的計(jì)算量是很龐大的！法二法一之所以會(huì)產(chǎn)生如此多的麻煩，歸根結(jié)底，還是直線的方程沒(méi)有設(shè)好，由于定點(diǎn)在x軸上，因此，設(shè)直線AB的方程為，與橢圓聯(lián)立：，故，又，，故．當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，，，，易得，，故．綜上所述，，即存在常數(shù)符合題意．注法二和法一相比，孰優(yōu)孰劣很明顯，盡管法二多討論了斜率一步，但是，總體計(jì)算量明顯比法一少了很多很多，對(duì)比之下，我們也可以了解到，在解析幾何中，直線的方程不是隨隨便便設(shè)的！！法三參考答案解法，設(shè)點(diǎn)法設(shè)，則直線FB為，令，可得，故．直線FB與橢圓聯(lián)立，…，解得，故，因此，，即存在常數(shù)符合題意．法四定比點(diǎn)差，純屬娛樂(lè)，考試慎用，請(qǐng)勿模仿設(shè)，，，設(shè)，，則，，，即…③，由②③可得：，，故，由①③可得：，故，即存在常數(shù)符合題意．法五設(shè)點(diǎn)法＋對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)差法，同樣是純屬娛樂(lè)，請(qǐng)勿模仿設(shè)，，則直線AB為，令，可得點(diǎn)，故…①．又，即為，同理可得，則，展開(kāi)作差可得： …②由于A、F、B三點(diǎn)共線，故…③，將①③代入②可得：，即．注通過(guò)這幾種方法，定比點(diǎn)差法除外，可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是設(shè)點(diǎn)法還是設(shè)線法，其實(shí)本質(zhì)都是設(shè)參數(shù)，然后轉(zhuǎn)化化歸，即將其他未知的參數(shù)，都用所設(shè)的參數(shù)表達(dá)出來(lái)，然后結(jié)合條件進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算求解．直線方程復(fù)雜時(shí)的換元聯(lián)立比如聯(lián)立，顯然會(huì)很復(fù)雜，因此，可以令，再聯(lián)立就簡(jiǎn)單很多了．例(2006天津理壓軸)如圖，以橢圓的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓．過(guò)橢圓右焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A．連結(jié)OA交小圓于點(diǎn)B．設(shè)直線BF是小圓的切線．(1)

證明，并求直線BF與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)

設(shè)直線BF交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，證明：．解(1)

和圓有關(guān)的題，很多時(shí)候會(huì)牽扯到直角三角形，因此，和直角三角形相關(guān)的一些平幾知識(shí)要熟練，比如，中線正逆判定，射影定理，由于AF⊥OF，BF⊥OA，因此，利用直角三角形的射影定理，顯然有，即；易知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，故，直線BF的方程為：，令，可得，即直線BF與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為．(2)

直線BF方程和橢圓方程中的a、b、c都是抽象的參數(shù)，顯然直接聯(lián)立，勢(shì)必會(huì)很繁瑣，因此，熟悉硬解定理的話，可以直接得到，當(dāng)然，直接現(xiàn)推也不麻煩！由于…①同理，…②【直接替換利用①即可！】對(duì)于①，令直線BF方程為，則、，故，對(duì)于②，令直線BF方程為，則、，故；因此，，即 ．注最后的計(jì)算，“”是化簡(jiǎn)的關(guān)鍵！求另一個(gè)交點(diǎn)此類模型，很常見(jiàn)，一定要熟練識(shí)別和求解！單直線過(guò)圓錐曲線的頂點(diǎn)直線和圓錐曲線相交，其中的一個(gè)交點(diǎn)已知，這是一種很常見(jiàn)的模型，一般可以利用韋達(dá)定理求出另一個(gè)交點(diǎn)，同時(shí)，比較常見(jiàn)的是過(guò)頂點(diǎn)的直線！！例(2014陜西理)如圖，曲線C由上半橢圓和部分拋物線連接而成，的公共點(diǎn)為A、B，其中的離心率為．(1)

求a、b的值；(2)

過(guò)點(diǎn)B的直線l與分別交于P、Q（均異于點(diǎn)A、B），若，求直線l的方程．略解(1)

易得，；(2)

直線l的方程為；易知，直線l與x軸不重合也不垂直，故設(shè)直線l為：，【如果設(shè)直線l為，明顯計(jì)算量大一些！】直線l與橢圓聯(lián)立，點(diǎn)B的坐標(biāo)已知，利用韋達(dá)定理即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，同理，也可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，最后利用，即可解出m．例(2010江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F．設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)、，其中，，．(1)

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足，求點(diǎn)P的軌跡；(2)

設(shè)，，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；(3)

設(shè)，求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）．解(1)(2)

略；(3)

由題設(shè)知，直線AT的方程為y=m12x+3，直線BT的方程為點(diǎn)Mx1,y1因?yàn)閤1≠-3，則x1-39=-m點(diǎn)Nx2,y2若x1=x2，則由240-3m280+m2=3m2-6020+m2及m>0，得m=210，此時(shí)直線MN直線ND的斜率kND=-20m20+m23m2-6020+m2-1=10m40-m2,得k例(2016天津文理)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，已知，其中O為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率．(1)

求橢圓的方程；(2)(理)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B（B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H，若，且，求直線的l斜率的取值范圍．(2)(文)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B（B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H，若，且，求直線的l斜率．解(1)

；(2)(理)此問(wèn)的關(guān)鍵是由“”得到，其余的就是計(jì)算了．設(shè)直線l為：，與橢圓聯(lián)立：，易知，由于，可得：，，，由，可解得，直線MH為：，與直線l聯(lián)立，可解得，由于，故（三角形中大角對(duì)大邊），即，化簡(jiǎn)得，即，解得或．所以，直線l的斜率的取值范圍為．(2)(文)由于，故，即，化簡(jiǎn)得，即，解得．例(2015天津文)已知橢圓的上頂點(diǎn)為B，左焦點(diǎn)為F，離心率為．(1)

求直線BF的斜率；(2)

設(shè)直線BF與橢圓交于點(diǎn)P（P異于點(diǎn)B），過(guò)點(diǎn)B且垂直于BF的直線與橢圓交于點(diǎn)Q（Q異于點(diǎn)B）直線PQ與x軸交于點(diǎn)M，．(＝1\×

romani)

求的值；(＝2\×

romanii)若，求橢圓的方程．解(1)

由及，可得，，故．(2)

(＝1\×

romani)設(shè)點(diǎn)，，，由(1)可得橢圓方程為，直線BF的方程為，與橢圓方程聯(lián)立：，解得．因?yàn)椋灾本€BQ方程為，與橢圓方程聯(lián)立得：，解得，又因?yàn)?，及得?＝2\×

romanii)由于，所以，，又，顯然，橢圓方程為．【當(dāng)然，也可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到直線BQ的距離，不過(guò)計(jì)算量稍大．】用一個(gè)未知點(diǎn)表示另一個(gè)未知點(diǎn)例如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，A、B分別是橢圓E的左右頂點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，且．(1)

求橢圓E的方程；(2)

若M是橢圓E上的動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)A、B），連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)N，連結(jié)MD、ND并分別延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)P、Q，連結(jié)PQ．設(shè)直線MN、PQ的斜率存在且分別為，試問(wèn)：是否存在常數(shù)t，使得恒成立？若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解(1)

；(2)

．法一通法先行，設(shè)點(diǎn)法＋韋達(dá)定理，求解點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)設(shè)，，，，直線MD的方程為：，和橢圓聯(lián)立，整理可得：，則，即，從而，故點(diǎn)，同理可得點(diǎn)．由M、、N三點(diǎn)共線，可得：．，故存在常數(shù)，且．法二截距點(diǎn)差法設(shè)，，，，對(duì)M、D、P三點(diǎn)，利用截距點(diǎn)差法：，解得點(diǎn)．對(duì)N、D、Q三點(diǎn)，同理可得點(diǎn)．由M、、N三點(diǎn)共線，可得：．故，故存在常數(shù)，且．法三定比點(diǎn)差法——雙定比練習(xí)已知橢圓，斜率為1的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)，直線AM、BM分別與橢圓C交于，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)．答案．例已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線．直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，斜率為的直線與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，斜率為的直線與拋物線交于E、F兩點(diǎn)（C、D與E、F分別在兩側(cè)，如圖所示），證明：直線DF經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．證明設(shè)，，其中，；直線與橢圓方程聯(lián)立：，故，．設(shè)，，則直線DF的方程為：，因此，只須將分別用點(diǎn)A、B的坐標(biāo)表示出來(lái)即可．直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立：，故 ，同理可得：，故 ，因此，直線DF的方程為：，顯然，直線DF經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．點(diǎn)乘轉(zhuǎn)化為雙根算法(不推薦使用)例(2007山東文壓軸、理)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為3，最小值為1．(1)

求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)

若直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)(A、B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)．求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．答案(1)

；(2)

定點(diǎn)為；下面給出第(2)問(wèn)的幾種常見(jiàn)解法．法一通法先行！注意到題目中已經(jīng)給出直線l的方程，因此，也就不需要討論斜率的存在性問(wèn)題！當(dāng)然，如果沒(méi)有給出直線l的方程，就要設(shè)成的形式，避免討論斜率??！設(shè)，，聯(lián)立得：，則，令，可解得．．由于以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，故，即，即，代入數(shù)據(jù)，整理可得：，解得，，且均滿足．當(dāng)時(shí)，l的方程，直線過(guò)點(diǎn)，與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，l的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)．綜上所述，直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．法二點(diǎn)乘雙根算法此解法的思路和法一是一樣的，不同之處是在計(jì)算的過(guò)程中，利用“雙根法”省去了“許多”計(jì)算量．此處只把不同之處寫(xiě)出，如下：因?yàn)槭锹?lián)立后方程的兩個(gè)根，所以有： …由于以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，故，即．令代入式，可得：；令代入式，可得：，因此，，即為，后續(xù)過(guò)程同上，故略過(guò)．注通過(guò)法一和法二的類比，個(gè)人認(rèn)為，實(shí)際上，“點(diǎn)乘雙根算法”并沒(méi)有太多的優(yōu)勢(shì)，也節(jié)省不了多少時(shí)間．同時(shí)，對(duì)于學(xué)生而言，畢竟“雙根法”需要一定的變形技巧，不熟練不細(xì)心的話，就很容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，因此，不如老老實(shí)實(shí)展開(kāi)計(jì)算的穩(wěn)當(dāng)！法三對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)差法設(shè)，，右頂點(diǎn)為，則，由于，故 ，即，作差可得：，利用橫截距公式，顯然，過(guò)定點(diǎn)．距離或者向量投影坐標(biāo)化韋達(dá)定理的解題思想，就是坐標(biāo)化，因此，如果給出的是距離或者向量，就需要進(jìn)行坐標(biāo)化，例(2008浙江文壓軸、理)已知曲線C是到點(diǎn)和到直線距離相等的點(diǎn)的軌跡．l是過(guò)點(diǎn)的直線，M是C上（不在．上）的動(dòng)點(diǎn)；A、B在．上，，軸（如圖）．(1)

求曲線C的方程；(2)

求出直線l的方程，使得為常數(shù)．解(1)

直譯即可，易得曲線C的方程為；(2)

易知直線l的斜率不為0，因此，設(shè)直線l為：，由于，只需要求出、即可，利用拋物線的設(shè)點(diǎn)法，設(shè)，則．直線MA為：，與直線l聯(lián)立，可解得，故 顯然，只有當(dāng)，即時(shí)，為常數(shù)，因此，直線l的方程為．注也可利用平幾性質(zhì)，構(gòu)造出如圖所示的輔助線進(jìn)行求解，具體過(guò)程略．例(2011山東文壓軸)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓.如圖所示，斜率為且不過(guò)原點(diǎn)的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為E，射線OE交橢圓C于點(diǎn)G，交直線于點(diǎn)．(1)

求的最小值；(2)

若?，(＝2\×

romani)

求證：直線l過(guò)定點(diǎn)；(＝2\×

romanii)

試問(wèn)點(diǎn)B、G能否關(guān)于x軸對(duì)稱？若能，求出此時(shí)△ABG的外接圓方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．解(1)

直線l的斜率，因此，利用中定點(diǎn)差法，…，可得，即，即，故，即的最小值為2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．(2)(＝2\×

romani)

此題的背景是：極線對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)是，故直線l過(guò)定點(diǎn)．由(1)知直線OD為，與橢圓聯(lián)立，可解得點(diǎn)，設(shè)直線l為，與直線OD聯(lián)立，可解得點(diǎn)，又點(diǎn)，由可得：，即，即，故直線l為，顯然，過(guò)定點(diǎn)．

(＝2\×

romanii)

假設(shè)點(diǎn)B、G能關(guān)于x軸對(duì)稱，由(＝2\×

romani)知點(diǎn)B的坐標(biāo)為，代入直線l，整理得：，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，產(chǎn)生矛盾，故舍去，故，即．當(dāng)時(shí)，，，又點(diǎn)，故點(diǎn)A為，易知△ABG的外接圓的圓心在x軸上，直線AB的中垂線為：，令，可得圓心為，進(jìn)而可得半徑，因此，△ABG的外接圓的方程為．非對(duì)稱韋達(dá)問(wèn)題非對(duì)稱問(wèn)題我們知道，利用韋達(dá)定理解題，一般是將已知條件轉(zhuǎn)化為“”的式子．但是，并不是所有的題都可以走這個(gè)套路，比如，有的題目將已知條件轉(zhuǎn)化為方程后，會(huì)出現(xiàn)“”、“”、“”或“”的形式，此種情況，是無(wú)法直接利用韋達(dá)定理的，而這類題一般也稱作非對(duì)稱問(wèn)題！類型一“”型處理方法．例已知橢圓的離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，，且當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，．(1)

求橢圓C的方程；(2)

若，求弦長(zhǎng)的取值范圍．答案(1)

；(2)

．解(2)當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，易得或，故舍去．因此，設(shè)直線l的方程為，與橢圓方程聯(lián)立：，由于點(diǎn)M在橢圓內(nèi)部，故必有，同時(shí)，設(shè)，，，則，故 ，由于，故，易得．因此，．類型二“”型．處理方法①先湊出關(guān)于的形式：，即，②兩個(gè)式子相乘：，此時(shí)，就可以利用韋達(dá)定理了．說(shuō)明①實(shí)際上，在實(shí)際解題時(shí)，此種情況的題型極少?、诖送?，個(gè)人認(rèn)為沒(méi)有必要按照這個(gè)套路走，實(shí)際上，直接解方程組往往更快捷，可以參考如下的例題！例如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其中e為橢圓C的離心率．過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)(A在x軸下方)．(1)

求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)

過(guò)點(diǎn)O且平行于l的直線交橢圓C于點(diǎn)M、N，求的值；(3)

記直線l與y軸的交點(diǎn)為P．若，求直線l的斜率k．答案(1)；(2)；(3)．略解(1)，又，故，解得．(2)設(shè)，，直線l為，與橢圓聯(lián)立：．直線MN為，與橢圓聯(lián)立，解得．故．【草稿上，也可以利用點(diǎn)乘雙根算法：】(3)

法一消元法…①，由(2)可知：…②，…③，三個(gè)未知數(shù)，三個(gè)方程，剛好可以解出k，由①②可得：，代入③整理得：，解得或(舍去)，又，故．法二利用