2023-2025全國高考真題數(shù)學(xué)匯編

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一、單選題

1.(2023天津高考真題)已知函數(shù)/⑺的部分圖象如下圖所示，則/(%)的解析式可能為()

人二B.5sinx

x2+l

5cosx

CD.

x2+l

2.（2024天津高考真題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的為（）

X22

4e-x-cosx-x三ex-x—sinx-x

A.y=B.y=C.?+xD.尸/+1

-e+x2x2+l

3.A（2024全國高考.真題;）函數(shù)H廠卜inx在區(qū)間［-2.8,2.8］的圖象大致為（）

o'D

w

4.（2024北京高考真題）設(shè)函數(shù)〃x）=sins（3叫.已知且忖-引的最小值為標(biāo)

則勿=（）

A.1B.2C.3D.4

5.(2025全國高考真題)若點(a,0)(a>0)是函數(shù)y=2tan(x-

的圖像的一個對稱中心，則a的最小值為

()

第1頁/共12頁

6.（2023天津高考真題）已知函數(shù)y=〃x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且/（尤）的一個周期為4,則/（無）的

解析式可以是（）

Asin—xBcos—x

UJV2J

C.sin（%）D.cosgx）

7.（2023上海高考真題）已知加>0,函數(shù)〉=sinx在區(qū)間［加,2句上最小值為S,在區(qū)間［2加,3間上的最小

值為/，機變化時，下列不可能的是（）

A.S>0且/>0B,S<0且l<0C,S<0S.t>0D.S>0且/<0

8.(2024全國高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=a(x+l)2—l,g(x)=cosx+2ax,當(dāng)時，曲線y=/(x)與

V=g（x）恰有一個交點，則。=（）

A.-1B.yC.1D.2

9.（2024天津高考真題）已知函數(shù)7'（耳=3$苗（5+外（3>0）的最小正周期為兀.則八竹在區(qū)間一

上的最小值是（）

3

C.0D.

2

10.（2024全國高考真題）當(dāng)尤1［0,2R時，曲線y=sinx與y=2sin（3x-|J的交點個數(shù)為（

A.3B.4C.6D.8

二、多選題

11.（2024全國高考真題）對于函數(shù)〃x）=sin2x和g（x）=sin（2x-：），下列說法中正確的有（）

A.〃x）與g（x）有相同的零點B.〃x）與g（x）有相同的最大值

C./（x）與g（x）有相同的最小正周期D./（x）與g（x）的圖象有相同的對稱軸

三、填空題

12.（2023北京高考真題）已知命題0：若￡為第一象限角，且。>萬，則tana>tan￡.能說明p為假命

題的一組明￡的值為a=,B=.

13.（2024北京高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，角。與角，均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于原點對

稱.若ae,則cos/5的最大值為________.

63

TTTT

14.（2025上海高考真題）函數(shù)了=cos尤在-弓］上的值域為.

15.（2023全國高考真題）已知函數(shù)〃x）=cos3_l（g>0）在區(qū)間［0,2可有且僅有3個零點，則出的取值范

圍是.

第2頁/共12頁

四、解答題

16.(2025全國高考真題)已知函數(shù)〃x)=cos(2x+0)(0w夕＜兀),/(0)=；.

⑴求夕；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)+/(x-W,求g(x)的值域和單調(diào)區(qū)間.

17.(2025上海高考真題)已知函數(shù)了=/(%)的定義域為R.對于正實數(shù)a,定義集合".={尤"(x+a)=/(x)}.

⑴若/(x)=sinx,判斷三是否是新.中的元素，請說明理由；

,、fx+2,x＜0

⑵若〃X)=，此W0,求a的取值范圍；

vx,xN0

⑶若了=/(x)是偶函數(shù)，當(dāng)xe(0,l］時，/(x)=l-x,且對任意ae(0,2),均有/“=弧.寫出了=/(x),

xw(1,2)解析式，并證明：對任意實數(shù)c,函數(shù)＞=/(x)-c在［-3,3］上至多有9個零點.

第3頁/共12頁

參考答案

1.D

【分析】由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在(0,??)上的

函數(shù)符號排除選項，即得答案.

【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且/(-2)=/(2)<0,

由普㈡=一滔且定義域為口，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；

(-X)+1X+1

當(dāng)時等了>°、7魯>。，即A、C中(。,+00)上函數(shù)值為正’排除:

故選：D

2.B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.

【詳解】對A,設(shè)〃力=2二4,函數(shù)定義域為R，但/(-!)=￡」="，/(1)==，則[(T)//。),

故A錯誤；

對B,設(shè)g(x)=c。；：]；,函數(shù)定義域為R,

且g(-x)=cos：X、(x)=COS：-：則g(x)為偶函數(shù)，故B正確；

[-X)+1X+1

e-1+11+e7…\e-l

對C,設(shè)?1)

)e+xm=E(i)F

/z(-l)*A(l),則力(x)不是偶函數(shù)，故C錯誤;

對D,設(shè)少(可=學(xué)/，函數(shù)定義域為R,

因為0(f)=:=一01且0X不恒為0,

[-X)+1X+1

則0(x)不是偶函數(shù)，故D錯誤.

故選：B.

3.B

【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C,代入x=l可得/⑴>0,可排除D.

［詳解］/(-^)=-x2+(e-x-exjsin(-x)=-x2+(ex-e-JC)sinx=f(x),

又函數(shù)定義域為卜2.8,2.8],故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C,

sinl>-1+fe-—

又〃1)=T+sii=

622e42e

故可排除D.

第4頁/共12頁

故選：B.

4.B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)最值分析周期性，結(jié)合三角函數(shù)最小正周期公式運算求解.

【詳解】由題意可知：占為了(X)的最小值點，/為/⑴的最大值點，

且3>0,所以3=—=2.

T

故選：B.

5.B

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的對稱中心的結(jié)論求解.

【詳解】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，y=2tan(x-+的對稱中心橫坐標(biāo)滿足x-；=g,keZ,

即y=2tan(x-g)的對稱中心是(三+墨0卜eZ,

即0=四+蛆水eZ,

32

7T

又〃>0,貝！J左=0時。最小，最小值是

即0=;.

故選：B

6.B

【分析】由題意分別考查函數(shù)的最小正周期和函數(shù)在x=2處的函數(shù)值，排除不合題意的選項即可確定滿足

題意的函數(shù)解析式.

【詳解】由函數(shù)的解析式考查函數(shù)的最小周期性：

7=至=4T=—=4

A選項中一三一，B選項中一三一,

55

T-空-8T---8

C選項中/一￡一",D選項中/一￡一",

44

排除選項CD,

對于A選項，當(dāng)x=2時，函數(shù)值sin('x2)=0,故(2,0)是函數(shù)的一個對稱中心，排除選項A,

對于B選項，當(dāng)x=2時，函數(shù)值cos(/x2)=-l,故x=2是函數(shù)的一條對稱軸，

故選：B.

第5頁/共12頁

7.C

【分析】根據(jù)給定條件，舉例說明，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)排除不可能的選項作答.

【詳解】因為函數(shù)/(x)=sinx的最小正周期是2小因此只需考查離原點最近的右側(cè)一個周期內(nèi)的區(qū)間即可，

兀2兀_

當(dāng)時，0<2加〈丁，0<3加<兀，而Vxw(0,7i),sinx>0,

因此/(%)在［冽,2加］上的最小值S>0,在［2冽,3冽］上的最小值％>0,A可能；

當(dāng)烏〈加v沖■時，7i<2m<—,—<3m<2K,

2332

因此/(%)在0,2詞上的最小值Sv0,在［2九3m上的最小值fvO,B可能;

、i,兀兀rt2兀_37r

當(dāng)一v加v一日寸，——<2m<7i,7i<3m<一，

3232

因此/(無)在阿,2〃力上的最小值S>0,在［2機,3仞上的最小值/<0,D可能；

對于C,若S<0,貝U2加>兀，

若f>0,則區(qū)間［2根,3〃4的長度"Y兀，并且sin2機>0且sin3機>0,

即2me(0,z)且3根e(0,兀)與2加>兀矛盾，所以C不可能.

故選:C

【點睛】結(jié)論點睛：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)既有最大值，又有最小值.

8.D

【分析】解法一：令尸(無)="2+aT,G(x)=cosx,分析可知曲線y=尸。)與y=G(x)恰有一?個交點，結(jié)合

偶函數(shù)的對稱性可知該交點只能在y軸上，即可得。=2,并代入檢驗即可；解法二：令

〃(x)=/(x)-g(x),xe(-M),可知〃(x)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知〃(x)的零點只能為0,即可得

a=2,并代入檢驗即可.

【詳解】解法一":令/(x)=g(x),即。(x+l)2-1=cosx+2ax,可得"？+a-l=cosx,

令尸(x)=ax2+a-l,G(x)=cosx,

原題意等價于當(dāng)xe(-1,1)時，曲線y=F(x)與夕=G(x)恰有一個交點，

注意到尸(x),G(x)均為偶函數(shù)，可知該交點只能在y軸上，

可得尸(0)=G(0),即a-l=l,解得a=2,

若a=2,令尸(x)=G(x),可得2/+1-cosx=0

因為貝IJ2尤,N0,l-cosxN0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立，

可得2,+l-cosxN0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立，

則方程2X2+1-COSX=0有且僅有一個實根0,即曲線y=尸⑺與y=G(x)恰有一個交點，

所以。=2符合題意；

綜上所述：a=2.

解法二:令〃(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-l-cosx,xe(-l,l),

第6頁/共12頁

原題意等價于〃(x)有且僅有一個零點，

因為〃(-X)=)2+6Z-1-COS(-X)=ax2+6Z-1-COSX=A(X),

則〃(X)為偶函數(shù)，

根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知乂”的零點只能為0,

即〃(0)=a-2=0,解得a=2,

若a=2,則〃(x)=2x?+1-cosx,xe,

又因為2x?20,1-＜：05釬0當(dāng)且僅當(dāng)》=0時，等號成立，

可得力(》”0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立，

即〃(x)有且僅有一個零點0,所以。=2符合題意；

故選：D.

9.D

【分析】結(jié)合周期公式求出口，得〃x)=3sin(2x+?[,再整體求出當(dāng)時，2x+f的范圍，結(jié)

k3；L126」3

合正弦三角函數(shù)圖象特征即可求解.

【詳解】因為函數(shù)〃X)的最小正周期為巴貝=g=j所以3=2,

即〃x)=3sin12x+J當(dāng)xe卡常吐2x+三712兀

G了牙卜

33

所以當(dāng)2x+N=工，即x=_2L時，fix),=3sin-=-

3612v7m,n62

故選:D

10.C

【分析】畫出兩函數(shù)在[0,2可上的圖象，根據(jù)圖象即可求解

【詳解】因為函數(shù)〉=sinx的最小正周期為7=2兀，

函數(shù)y=2sing一的最小正周期為T=y,

所以在xe[0,2兀]上函數(shù)了=2而卜-。|有三個周期的圖象，

在坐標(biāo)系中結(jié)合五點法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：

第7頁/共12頁

由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個交點.

故選:C

11.BC

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點，最值，周期公式，對稱軸方程逐一分析每個選項即可.

【詳解】A選項，令〃x)=sin2x=0,解得x=g,kcZ,即為/(x)零點，

令g(x)=sin(2x-?)=0,解得x="+g,左eZ,即為g(x)零點，

428

顯然〃x),g(x)零點不同，A選項錯誤；

B選項，顯然/(X)max=g(X)max=l,B選項正確；

c選項，根據(jù)周期公式，/a),g(x)的周期均為2胃7r=兀，c選項正確；

D選項，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)〃尤)的對稱軸滿足=E+Z,

g(x)的對稱軸滿足2x-二=加+工0》=包+型Z,

4228

顯然/(%),g(x)圖像的對稱軸不同，D選項錯誤.

故選：BC

-9兀兀

12.--

43

【分析】根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性以及任意角的定義分析求解.

【詳解】因為/(x)=tanx在陷上單調(diào)遞增，若0<。。<為檸，則面1%<面1緣

取4=2勺兀+40，尸=2%兀+月溫￡eZ,

貝(Jtano=tan(2^71+<70)=tan(70?tan/?=tan(2A:27H-/^))=tan/^,gptanavtan￡,

令K>人,則a-萬=(2左兀+%)-(2&兀+/)=2(左一網(wǎng))g+(4,—屁)),

因為2(左-左2"N27t,-5<ao-￡0<O,則。-/?=2(左-&)兀+(a()-￡o)>4>O,

即匕>質(zhì),則。.

不妨取用=1也=0,4=:&=。，即a=?,￡=］滿足題意.

QjTIT

故答案為：y；y.

13.—/—0.5

2

1分析】首先得出￡=。+兀+2E,左eZ,結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)性即可求解最值.

【詳解】由題意￡=a+n+2Mi,A"eZ,從而cos￡=cos(a+兀+2桁)=-cosa,

第8頁/共12頁

因為aJmM，所以cosa的取值范圍是,cos￡的取值范圍是,

03J2222

TT47rj

當(dāng)且僅當(dāng)a=g,即萬=^+2阮,左eZ時，cos,取得最大值，且最大值為-

故答案為：-g.

14.[0,1]

【分析】利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得.

JTJT

【詳解】由函數(shù)V=cosx在-萬,0上單調(diào)遞增，在0,-單調(diào)遞減，

且/(q)=0J(0)=ij￡)=#，

jrjr

故函數(shù)v=cosx在一1]上的值域為[0,1].

故答案為：[0』.

15.[2,3)

【分析】令〃x)=0,得coss=l有3個根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.

【詳解】因為0sxw2兀，所以0WgxW237r,

令/(x)=COS3X-1=0,則COS3X=1有3個根，

令t=3x,則cos/=1有3個根，其中1?[0,2加],

結(jié)合余弦函數(shù)y=cost的圖像性質(zhì)可得47ts2/兀＜6兀，故2S3＜3,

故答案為：[2,3).

71

16.(1)^=3

(2)答案見解析

【分析】(D直接由題意得cos夕=；,(05P＜兀)，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解；

(2)由三角恒等變換得g(x)=6cos(2x+。)，由此可得值域，進(jìn)一步由整體代入法可得函數(shù)g(x)的單調(diào)

區(qū)間.

1jr

【詳解】⑴由題意l(0)=cosp=5，(0w9V兀),所以夕=鼠

(2)由⑴可知/(x)=cos(2x+；),

第9頁/共12頁

所以g(x)=/(x)+/|X+cos2x

=—cos2x------sin2x+cos2x=?s2x-sin2x="^cos

7171j71

令2歷iw2x+—w兀+2阮，左cZ,解得---+kTi<x<—+kit,keZ,

715兀]]兀

令兀+2祈w2x+—w2兀+2hr,左￡Z,解得一+kn<x<---+E,左EZ,

所以函數(shù)g(M的單調(diào)遞減區(qū)間為4+納!|+包卡口,

函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為—+H,—+hi，左eZ

17.⑴不是;

⑵

(3)證明見解析.

【分析】(1)直接代入計算和/(

即可;

⑵法一：轉(zhuǎn)化為在實數(shù)不使得〃/+4=〃％),分析得％+2=后甚，再計算得0§+(,

最后根據(jù)方的范圍即可得到答案；法二：畫出函數(shù)圖象，轉(zhuǎn)化為直線丁=/與該函數(shù)有兩個交點，將。用/表

示，最后利用二次函數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得到答案；

(3)利用函數(shù)奇偶性和集合新定義即可求出xe(l,2)時解析式，再分析出/"(-3"(0,1),最后對。的范圍進(jìn)

行分類討論即可.

【詳解】(1)(1)/(g)=sing=4，/(g+〃)=_sing=-4，則5不是中的元素.

⑵法一：因為".NO,則存在實數(shù)/使得/(X°+4)=/(X。)，且0>0,

當(dāng)x<0時，〃x)=x+2,其在(9,0)上嚴(yán)格單調(diào)遞增，

當(dāng)xN0時，〃x)=4,其在［0,+◎上也嚴(yán)格單調(diào)遞增，

則/<060+a,則為+2="0+a,

令x+2=0,解得x=-2,貝I」-2v/<0,

則a=(Jx(,+a)-x(,=(Xo+2『-x。=(壬+={a'，)

法二：作出該函數(shù)圖象，則由題意知直線夕=，與該函數(shù)有兩個交點，

由圖知0v/<2,假設(shè)交點分另I」為B(n,。,

第10頁/共12頁

聯(lián)立方程組,Ma=|AB\=m-n=t2-(t-2)={-g)+孑^4

（3）（3）對任意/6（1,2）,毛-26（-1,0）,因為其是偶函數(shù),

則/（七一2）=/（2—而2-尤。一（無。-2）=4-2/€（0,2）,

所以4-2€%_2陽口以，

所以〃無。)=/(%-