濱城高中聯(lián)盟2025-2026學年度上學期高三期中I考試

數(shù)學試卷

命題人：大連一中高志巖校對人：大連一中賈天雷

一.單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分，在每個小題給出的四個選項中，只有一

項符合題目要求)

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=|1-il2,則z的虛部為()

A.iB.-iC.1D.-1

2.設(shè)α,β是兩個不同平面，m,n是兩條不重合直線，若mcα,ncα,則“a//β”是“m//β,

n/lβ”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知向量a,b滿足la|=3,|5|=√5,且a⊥(a-35),設(shè)a,b的夾角為θ,則cos2θ=()

AB

4.已知函數(shù)A>0,w>0)的部分圖象如圖所示(P為圖象與x軸的一

個交點，Q為圖象的一個最高點),且,則f(x)的一個對稱中心可以是()

A.B.D

5.已知一正三棱柱的底面邊長為6,其內(nèi)部有一球與其各表面都相切，則該正三棱柱的外接球

的表面積為()

A.20√15πB.64√6πC.96πD.60π

6.已知f'(x)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，

則f(2025)+f(2025)+f(-2025)-f(-2025)的值為()

A.2B.21n2C.0D.2025

7.已知EF是圓C:x2+y2-2x-4y+3=0的一條弦，且CE⊥CF,P是EF的中點，當弦

高三數(shù)學試卷第1頁共4頁

EF在圓C上運動時，直線1:x-y-3=0上存在兩點A,B,使得恒成立，則線段AB長

度的最小值是()

A.3√2+1B.4√2+2C.4√3+1D.4√3+2

8.若函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)存在x?,x?(x?≠x?),使得成立，則稱該函數(shù)為“完

整函數(shù)”.已知上的“完整函數(shù)”,

則@的取值范圍為()

A.(2,+∞)B.(3,+00)C.[3,5]D.(4,+∞)

二.多項選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分，在每個小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)

9.已知橢圓的左、右焦點分別為F,F?,點P在橢圓上，則下列說法正確的是()

A.使△PF?F?為直角三角形的點P有8個B.△PF?F?的面積可能為2

C.|PF|·|PF?|的最大值為4D.PF·PF?的最小值為-2

10.下列說法正確的是()

A.已知直線kx-y-k-1=0和以M(-3,1),N(3,2)為端點的線段相交，則實數(shù)k的取值范圍

為

B.經(jīng)過點(2,1)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-3=0

C.已知A(-1,0),圓O:x2+y2=49,過點A作兩條互相垂直的直線，分別交圓O于點E,G

和F,H,則四邊形EFGH的面積的最大值為97

D.直線ax+2y+6=0與直線x+(a-1)y+a2-1=0互相平行，則a=-1

11.在棱長為4的正方體ABCD-A?B?C?D?中，E是棱A?B?的中點，點F在線段B?D?上，點G

在四邊形C?CDD?(包含邊)內(nèi)，且EG平面B?CD?,則()

A.CF的最小值是2√3

B.三棱錐G-B?CD的體積為定值

C.點G的軌跡長度為2√2

D.(CF+EF)2的最小值為28+8√3

三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

高三數(shù)學試卷第2頁共4頁

12.在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，AB=4,AD=3,AA'=5,∠BAD=90°,

∠BAA'=∠DAA'=60°.則AA'與BD所成角的余弦值為

13.已知橢圓的左、右焦點分別為F?,F?,焦距為2,若直線

y=-√3(x+1)與橢圓交于其中一個點M,滿足∠MF?F?=2∠MF?F,則離心率是

14.設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)sinax,若存在x?使得x?既是f(x)的零點，也是f(x)的極值點，

則a的可能取值為(寫出符合條件的一個即可)

四.解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

15(13分).在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知

acosC+√3asinC=b+c,AD是BC邊上的中線，且

(1)求角A的大??；(2)求a及△ABC的面積S.

16.(15分)已知橢圓C:(a>b>0)的短軸長為2√3,離心率為

(1)求橢圓C的方程.

(2)過橢圓C的右焦點F,斜率存在且與x軸不重合的直線交橢圓C于P,Q兩點，

在x軸上是否存在點M,使若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由，.

17.(15分)已知函數(shù),a>0.

(1)當a=2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)在[0,1]內(nèi)的最大值為2,求a的值.

18.(17分)在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD1平面ABCD,四邊形ABCD為直角梯形，AB//CD,

∠ADC=90?,AD=AB=2,DC=4,△PAD為等邊三角形，點E,F分別為AD,AB的中點.

(1)證明：BC1平面PE;

(2)求平面PEF與平面PCD所成角的余弦值；

(3)點M為線段DC上的動點，求直線PM與平面PEF所成角的正弦值的取值范圍.

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19.(17分)對于一個函數(shù)f(x)和一個點M(a,b),令s(x)=(x-a)2+(f(x)-b)2,若P(x?,f(x?))

是s(x)取到最小值的點，則稱P是M在f(x)的“最近點”.

(1)對于求證：對于點M(-1,-1),存在點P,使得點P是M在f(x)的“最近點”;

(2)對于f(x)=Inx,M(0,1),請判斷是否存在一個點P,它是M在f(x)的“最近點”,且直線MP與y=

f(x)在點P處的切線垂直；

(3)已知y=f(x)在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)f(x),且函數(shù)g(x)在定義域R上恒正，設(shè)點M?(t-

1,f(t)-g(t)),M?(t+1,f(t)+g(t)).若對任意的t∈R,存在點P同時是M?,M?在f(x)的“最

近點”,試判斷f(x)的單調(diào)性.

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濱城高中聯(lián)盟2025-2026學年度上學期高三期中Ⅱ考試

數(shù)學答案

1.D.【詳解】考查了模，復(fù)數(shù)概念，除法運算

2.A【詳解】若m/1β,nllβ,則α,β可能平行，也可能相交，故α//β不一定成立，

若α/lβ,則m/1β,nllβ,故α//β是m/Iβ,n/lβ的充分不必要條件.故選A

3D【詳解】由a⊥(a-3b),則a·(a-3b)=la2-3a·b=0,

則

.故選：D.

4.B【詳解】,得,A=2,所以T=π,

所以令,k∈Z,得,k1Z,

所以當k=-1時，所是函數(shù)的一個對稱中心.故選：B.

5.D【詳解】邊長為6的正三角形的內(nèi)切圓半徑為：

所以正三棱柱的高為h=2R=2√3,

則外接球半

所以外接球的表面積為：4πr2=4π×15=60π,故選：D.

6.B【詳解】由題可得：,所以

則f(2025)+f(-2025)=2ln2,f(2025)-f(-2025)=0,

f(2025)+f(2025)+f(-2025)-f(-2025)=2ln2故選：B

7.B【詳解】由題可知：OC:(x-1)2+(y-2)2=2,圓心C(1,2),半徑r=√2,

1

又CE⊥CF,P是EF的中點，所以

所以點P的軌跡方程(x-1)2+(y-2)2=1,圓心為點C(1,2),半徑為R=1,

若直線1:x-y-3=0上存在兩點A,B,使得恒成立，

則以AB為直徑的圓要包括圓(x-1)2+(y-2)2=1,

點C(1,2)到直線1的距離為

所以AB長度的最小值為2(d+1)=4√2+2,故選：B.

8.B【詳解】由題意可得：

即f(x)=sinwx是上的“完整函數(shù)”,所以存在x,

使得成立；

即存在x,,使得f(x?)+f(x?)=2成立；

又因為f(x)m=1,因此f(x?)=f(x?)=1,

即f(x)=sinox在上至少存在兩個最大值點，

所以,解得@≥2;

當,即w≥4時，一定滿足題意；

若2≤①<4,因為@>0,所以

又易知

所以只需保證即可，解得3≤w<4,綜上可知w≥3.故選：B.

2

二.多選題

9.ACD【詳解】選項A:P為直角頂點的有4個，F(xiàn)?為直角頂點的有2個，F(xiàn)?為直角頂點的

有2個，故A正確；

選項B:當P位于短軸端點時，不妨取上端點，則P(0,1),

此時△PF?F?的面積最大，且

所以△PF?F?的面積最大為√3,不可能為2,故B錯誤；

選項C:由橢圓定義得|PF|+|PF?|=2a=4,

當且僅當P|F|=|PF?|=2時取等號，所以P|F|·|PF?|的最大值為4,故C正確；

選項D:設(shè)P(x,y),由題意F(-√3,0),F?(√3,0),

所以PF=(-√3-x,-y),PF?=(√3-x,-y),所以PF·PF?=x2+y2-3,

因為P在橢圓上，所以且x∈[-2,2],

所以當x=0時，的最小值為-2,故D正確.故選：ACD

10.CD【詳解】對于選項A:k的取值范圍為以A錯誤；

對于選項B:當直線經(jīng)過原點和點(2,1)時，在x軸和y軸上截距都相等，直線方程為

所以B錯誤；

對于C,記點C到直線EG,FH距離為d,d?,|FH|=2√49-d2,

d2+d2=|OA2=1,|EG|=2√49-d2,

所以|EG2+|FH2=388≥2|EG||FH|,

即|EG·|FH|≤194,則四邊形EFGH的面積

即四邊形EFGH的面積的最大值為97,故C正確；

3

對于選項D:當直線ax+2y+6=0與直線x+(a-1)y+a-1=0互相平行時，

可得解得a=-1,所以D正確.故選：D.

11.BCD【詳解】因為正方體ABCD-A?B?C?D?中，AB=4,所以B?C=B?D?=CD?=4√2.

因為點F在線段B?D?上，所以當F為B?D?的中點時，

CF取最小值為所以A錯誤.

因為EG//平面B?CD?,所以三棱錐G-B?CD?的體積與三棱錐E-B?CD的體積相等，

因為點E是固定的，所以點E到平面B.CD?的距離確定，所以三棱錐G-B?CD?的體積與三棱錐

E-B?CD?的體積是定值，B正確.

分別取棱CD,DD?的中點M,N,連接EM,EX.MN.

所以MN/ICD?,EMI/B?C.

又CD?,B?Cc平面B?CD?,而MN,EM不在平面BCD.內(nèi)，

所以M//平面B?CD?,EMI/平面B?CD?.

又MNnEM=M,所以平面EMN//平面B?CD?.

因為點G在四邊形C?CDD?(包含邊)內(nèi)，且EG//平面B?CD?,所以點G的軌跡為線段MN.

因為M,N分別是棱CD,DD?的中點，所以,C正確.

將平面B?D?E與平面B?CD?展開到同一平面，則CF=CF,連接C'E.

由題意可得BE=2,BC=4√2,∠C'B?E=45°+60°=105°,

則CE2=BE2+BC2-2BE·BCcos∠CBE=28+8√3,

4

當F是線段C'E與B?D?的交點時，CF+EF=CE,即(CF+EF)2的最小值為28+8√3,D正

確.

三.填空題：

12.答案：

13.答案：√3-1

【詳解】依題意，直線y=-√3(x+1)經(jīng)過橢圓的左焦點F?,且∠MF?F?=60°,

由∠MF?F?=2∠MF?F?,得∠MF?F=30°,則∠F?MF?=90°,

因此MF|=1,|MF?|=√3,所以離心率

故答案為：√3-1

14.答案：√π(答案不唯一)

【詳解】由f(x)=(x-a)sinax,得f'(x)=sinax+(ax-a2)cosax,

令f(x。)=(x?-a)sinax,=0,則x?=a或sinax?=0,

當x?=a時，由f(x。)=sinax?+(ax?-a2)cosax?=0,得sina2=0,

所以a2=hπ(k∈N),則a=±√kπ(k∈N),

當sinax。=0時，由f(x。)=sinax?+(ax?-a2)cosax?=0,得(ax?-a2)cosax?=0,

由cosax?！?,得a=0或x?=a,

5

當a=0時，f(x)=0不存在極值點，

當x?=a時，得a=±√k(keN),

綜上，a=±√π(k∈n),

所以當k=1時，a=√π.故答案為：√π(答案不唯一).

四.解答題

15.【答案】(1)(2)a=√21,

【詳解】(1)由正弦定理得：sinAcosC+√3sinAsinC=sinB+sinC

∵sinB=sin(A+C),再根據(jù)兩角和的正弦公式展開得：

sinAcosC+√3sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC,

消去sinAcosC,整理得：√3sinAsinC-cosAsinC=sinC,-----------2分

∵0<C<π,∴sinC≠0,兩邊同除以sinC得：√3sin4-cS4=1,

由輔助角公式得：-------------4分

又0<A<π,則,故,解得.---------6分

(2)由題意得：2AD=AB+AC,--------7分

平方得：,化簡得b2+5b-6=0,

解得b=1(b=-6舍).------9分

由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=1+25-10cos60°=21

∴a=√21----------11分

△ABC的面積---------13分

16.【答案】①(2)存在，M(4,0).

【詳解】(1)因為2b=2√3,所以b=√3,

所以a=2c,所以b2=a2-c2=3c2=3,所以c=1,a=2,

故橢圓C的方程為：----------4分

(2)F(1,0),設(shè)直線PQ的方程為：x=my+1,P(x?,y?),Q(x?,y?),

6

聯(lián)立得(3m2+4)y2+6ny-9=0,

△>0,,(*)-------6分

又因為所以sin∠PMF=sin∠QMF,

結(jié)合圖形可知，∠PMF=∠QMF,------9分

所以直線PM的斜率與直線QM的斜率互為相反數(shù)，-------10分

設(shè)直線PM的斜率為k,直線QM的斜率為k?,設(shè)點M(s,0),

將x?=my?+1,x?=my?+1代入整理得：

2my?y?+(1-s)(y?+y?)=0-------13分

再將(*)代入，可得因為m≠0,解得s=4,

即點M的坐標為(4,0).

故在x軸上存在M(4,0),使-4-15分

17.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(2)a=e

【詳解】(1)函數(shù).的定義域為(0,+∞),

7

當a=2時，(x>0)------------5分

令f'(x)>0,解得：令f'(x)<0,解得：

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為------7分

(2)(x>0)

①當0<a≤1時，f'(x)≥0在(0,1)內(nèi)恒成立，f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，

則f(x)mx=f(1)=a-1=2,解得a=3與0<a≤1矛盾；----9分

②當a>1時，有時f'(x)>0;時f'(x)<0,

所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

即a-(a+1)Ina+1=0,-----11分

令g(x)=x-(x+1)Inx+1(x>1),則

則g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，-----------13分

又g(e)=e-(e+1)Ine+1=0,故a=e;

綜上，a=e--------15分

18.【答案】(1)證明見解析②③

【詳解】(1)連接BD,因為點E,F分別為AD,AB的中點，所以EF//BD,

因為四邊形ABCD為直角梯形，AB//CD,∠ADC=90°,AD=AB=2,

所以BD=√AD2+AB2=2√2,∠ADB=∠BDC=45°,

在△BDC中，由余弦定理可得

所以BC2+BD2=DC2,所以BD⊥BC,所以EF⊥BC,

又因為△PAD為等邊三角形，點E為AD的中點，所以PE⊥AD,

又因為側(cè)面PAD平面ABCD,側(cè)面PADn平面ABCD=AD,

所以PE⊥平面ABCD,又BCc平面ABCD,所以PE⊥BC,

又因為EFnPE=E,EF,PEc平面PEF,所以BC⊥平面PEF;-----4分

8

(2)取BC的中點N,連接EN,可得EN⊥AD,

又PE⊥平面ABCD,又ENc平面ABCD,所以PE⊥EN,

以E為坐標原點，EA,EN,EP所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則D(-1,0,0),P(0,0,√3),F(1,1,0),C(-1,4,0),E(0,0,0),

則EP=(0,0,√3),EF=(1,1,0),DP=(1,0,√3),DC=(0,4,0)

設(shè)平面PEF的一個法向量為m=(x,y,z),

令x=1,則y=-1,z=0,

則平面PEF的一個法向量為m=分

設(shè)平面PCD的一個法向量為n=(mns),

則,令s=1,則m=-√3,n=0,

所以平面PCD的一個法向量為n=(-√3,0,1),,-----------8分

-------9分

所以平面PEF與平面PCD所成角的余弦值為----------10分

(3)設(shè)DM=λDC(0≤λ≤1),則DM=λDC=2(0,4,0)=(0,42,0),

又PM=DM-DP=(0,42,0)-(1,0,√3)=(-1,4λ,-√3),

又平面PEF的一個法向量為m=(1,-1,0),

設(shè)平面PM與平面PEF所成的夾角為θ,

9

令t=1+4λ∈[1,5],

可得-------------15分

所以

所以直線PM與平面PEF所成角的正弦償?shù)娜≈捣秶鸀?-------17分

19.【答案】(1)證明見解析(2)存在，P(1,0)(3)嚴格單調(diào)遞減

【詳解】(1)當M(-1,-1)時，

當且僅當：