2025-2026學(xué)年高一上期中復(fù)習(xí)講義

第一節(jié)：集合與邏輯用語............................................

\_____________________________________________________________________________________4_/

題型一：集合的概念...........................................................5

題型二:元素與集合...........................................................5

題型三：集合中元素的特性.....................................................6

題型四：集合的表示方法.......................................................7

題型五：集合的基本關(guān)系.......................................................8

題型六：集合的交并補(bǔ)運(yùn)算.....................................................9

題型七：集合的交并補(bǔ)運(yùn)算求參數(shù)問題........................................10

題型八：Verm圖..............................................................11

題型九：集合的應(yīng)用..........................................................12

題型十：充分條件與必要條件判斷.............................................12

題型十一:含有量詞的命題的否定.............................................13

題型十二：邏輯用語的參數(shù)問題...............................................M

題型十三：集合新定義........................................................14

題型十四：集合與邏輯用語綜合問題...........................................15

【章節(jié)強(qiáng)化練】................................................................17

與二節(jié)基本不等式的應(yīng)用技巧....................................23

題型一：常見不等式大小比較.................................................24

題型二:基本不等式求積的最大值.............................................24

題型三:基本不等式求和的最小值.............................................25

題型四、二次與二次（或一次）的商式的最值....................................25

y

「A

題型五:基本不等式1的妙用.................................................26

題型六：條件等式求最值......................................................26

題型七：基本不等式恒成立問題...............................................27

題型八:基本不等式的綜合應(yīng)用...............................................28

題型九：基本不等式的實(shí)際應(yīng)用...............................................29

題型十：基本不等式證明不等式...............................................31

【章節(jié)強(qiáng)化練】................................................................32

V第三節(jié)_含參數(shù)不等式的解法、恒成立、能成立問題......：.……………39

題型一、"A”法解決恒成立問題................................................40

題型二、數(shù)形結(jié)合法解決恒成立問題..........................................40

題型三、分離參數(shù)法解決恒成立問題..........................................41

題型四：一元二次不等式在某區(qū)間有解問題....................................42

題型五:二次函數(shù)根分布問題.................................................42

題型六：舍參數(shù)的一元二次不等式的解........................................43

題型七、一元二次不等式恒（能））成立綜合問題................................44

【章節(jié)強(qiáng)化練】................................................................46

'_第四_節(jié)__函數(shù)_表_示_、基_本性_質(zhì)__.._..._..._..._..._..._..._..._..._..._.._..._..._..53Z

題型一：函數(shù)的定義域........................................................55

題型二：函數(shù)的值域..........................................................55

題型三：求函數(shù)解析式........................................................56

題型四：函數(shù)相等問題........................................................57

題型五、根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)...................................................58

VJ

題型六、由函數(shù)的奇偶性求解析式.............................................59

題型七、由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)...............................................59

題型八、用定義法證明單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性比較大小或解不等式......60

題型九、利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性求函數(shù)的最值或參數(shù).......................61

題型十：函數(shù)的對稱性和周期性...............................................62

題型十一、抽象函數(shù)問題......................................................63

題型十二、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用...............................................64

【章節(jié)強(qiáng)化練】................................................................66

‘第五節(jié)函數(shù)的概念與性質(zhì)解答題專項(xiàng)...............................73

題型01、函數(shù)表示及其圖像問題...............................................73

題型02：函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性應(yīng)用..........................................74

題型03：函數(shù)的最值問題......................................................75

題型04：函數(shù)的對稱性和周期性問題..........................................76

題型05：賽函數(shù)...............................................................77

題型06：抽象函數(shù)............................................................78

題型07：函數(shù)壓軸問題........................................................79

【章節(jié)強(qiáng)化練】................................................................81

第一節(jié):集合與邏輯用語

【思維導(dǎo)圖】

概念元素性質(zhì)

集合

關(guān)系

Venn圖

常

川

邏

拊

川

講

全稱（存在）量:詞

命題的否定

存在量詞三

【題型歸納】

題型一:集合的概念

題型二:元素與集合

題型三:集合中元素的構(gòu)性

題型四:集合的表示方法

題型五:集合的基本關(guān)系

題型六:集合的交并種玷算

題型七:集合的交并種運(yùn)算禮”1問題

題型八：Vermfi

題型九:集合的代用

題型十:充分條件與必M件列?r

題型十一，含有”的?題的否定

題型十二:遼輯用語的參數(shù)問題

題型十三:集合新定義

題型十四:集合與叫用諳綠令問題

期中復(fù)習(xí)

題型一:集合的概念

甌口（2025高一上?全國）下列各對象可以組成集合的是（）

A.與1非常接近的全體實(shí)數(shù)

B.新學(xué)期2025~2026學(xué)年度第一學(xué)期全體高一學(xué)生

C.高一年級視力比較好的同學(xué)

D.高中學(xué)生中的游泳高手

（24—25高一上?廣東清遠(yuǎn)?階段練習(xí)）給出下列說法:

①所有接近于0的數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合；

②2019年高考數(shù)學(xué)全國卷I中的選擇題構(gòu)成一個(gè)集合;

③高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個(gè)集合；

④所有不大于3的自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合；

?1,0.5,4，4組成的集合含有4個(gè)元素

其中正確的是)

A.④B.②③?C.③④⑤D.②?

（24—25高一上?山東濱州）有下列說法：其中正確的說法是

（1）0與{0}表示同一個(gè)集合

（2）由1,2,3組成的集合可表示為{1,2,3}或{3,2,1};

（3）方程（￡一1）2（萬—2）=0的所有解的集合可表示為{1,1,2}；

（4）集合{劍4V：rV5}是有限集.

A.(DJ4)B.⑴、⑶、(4)C.(2)D(3)

題型二:元素與集合

題⑷（24—25高一上?廣東廣州?階段練習(xí)）下列五個(gè)寫法，其中錯(cuò)誤寫法的個(gè)數(shù)為

（）

①{0}G{0,2,3};②0G{0};③{0,1,2}G{1,2,0};④NCR；⑤0A0=0

A.1B.2C.3D.4

國⑤（2425高一上?廣東廣州?階段練習(xí)）下列六個(gè)關(guān)系式:①{a同1{b,a};②{a,6}

={b,a};③{O}W0;④O6{O}；⑤0C{O}；⑥0q{O},其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

⑥（24—25高一上?全國?課后作業(yè)）給出下列6個(gè)關(guān)系：①qGA,②遮6Z,③0W

題

N?，④JIWN,⑤攵任（2,⑥|—2|WZ其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.2C.3D.5

題型三:集合中元素的特性

嗣7）（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知集合4={m-l-2,2m2+m},若36力，則m的值為

（）

A.1B.—yC.1或--D.-1或得

乙乙乙

圖瓦|(24-25高一上?浙江杭州?階段練習(xí))已知aWR,b￡R,若集合{%、■」}二

20212025

{Q,\a+b,0},則a+fe的值為()

A.—2B.1C.-1D.2

題?（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知集合＜={0,如館2―3館+2},且2€A,則實(shí)數(shù)m

為)

A.2B.3C.0或3D.0,2,3

期中復(fù)習(xí)

題型四：集合的表示方法

甌M(23—24高一上?海南省直轄縣級單位)下列說去正確的是()

A.由1,2,3,1,4構(gòu)成的集合是｛1,2,3,1,4｝

B.滿足一2<cVl的c構(gòu)成的集合是

C.全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合是位也是實(shí)數(shù)｝

D.拋物線g=—/2+1上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)成的集合是｛Mg=—d+"

題回(24—25高一上?江蘇連云港)選擇適當(dāng)方法表示下列集合:

(1)由不超過5的所有自然數(shù)組成的集合A;

(2)不等式3”+2>5的解集組成集合8;

(3)平面直角坐標(biāo)系中第二象限的點(diǎn)組成集合C;

(4)二次函數(shù)沙=d—2a+3的圖象上所有的點(diǎn)組成的集合D

題亙(24—25高一上?上海嘉定?階段練習(xí))用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?，并判斷它是?/p>

限集還是無限集.

(1)由大于一3且小于9的偶數(shù)組成的集合；

⑵所有被5除余2的整數(shù)所構(gòu)成的集合；

(3)平面直角坐標(biāo)系中第四象限的全體點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)成的集合;

期中復(fù)習(xí)

題型五:集合的基本關(guān)系

題紅⑵)25高一?全國?專題練習(xí))已知集合4={加-1<2<4},6=

{ela—3<〃W3Q},且則實(shí)數(shù)a的取值范圍為)

4

A.-y<a<2B.a>2或aV言

?)o

C.g<a&2D.a>2或

o

國14)(24-25高一上?河北滄州?階段練習(xí))設(shè)集合力={01-14°+1&4},3=

{a;Im—l<a;<27n+l}

(1)當(dāng)cGN時(shí)，求A的非空真子集的個(gè)數(shù)；

(2)若4求實(shí)數(shù)小的取值范圍

閩15)(25—26高一上?全國?課后作業(yè))(1)已知A—{c|cV—3或：r>1}.若3=

{引cV3zn+l或+2},力求m1的取值范圍.

(2)若B={x\m+2<x<,3m+1},834求TTI的取值范圍.

期中復(fù)習(xí)

題型式;集合的交并科運(yùn)算

題叵（23—24高一上?廣東江門?期中）已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},集合6=

{比>3},則4rl（。m）=（）

A.{5}B.{4,5}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4,5}

囤17）（25-26高一上?全國?課后作業(yè)）已知全集U={捫-6<0W5},河={田一3&l—

2cV1},N={xI—32}.

⑴求MUN&M&N;

⑵求CAN）.

圃18）（25—26高一上?全國?單元測試）已知集合4={7七”<1/<.9},B={1,2,3},C=

{x€Z|3<2x-l<9}

（i）求ACB,4n（Bnc）；

（2）求8n（醛。），（驍8）U（J。）

*期中復(fù)習(xí)

題型七:集合的交并林運(yùn)算求學(xué)致問題

題亙（24-25高一上.甘肅?期中）設(shè)全集U=凡集合4={劍1&2&5},集合8=

{e|-1—2aWe<a—2}.

⑴若Q=4,求力u，，An（c必）；

（2）若求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題生（24—25高一上?江蘇常州?階段練習(xí)）已知全集。=冗,不等式a爐+此一1>0的

解集是力={①|(zhì)4VaV8},集合B={x|—^—11,C={x\x>m}.

Ia:—1(JJ

（1）求實(shí)數(shù)a,6的值;

⑵求”）UB;

（3）若力nc=0incw0,求m的取值范圍.

國更1（23—24高二下?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）已知全集〃=凡集合4迦土《V2

I1—1

B={x\2m—l<x<m-^-3}.

（1）若求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

⑵若（C/M）U6=R，求實(shí)數(shù)館的取值范圍.

期中復(fù)習(xí)

題型八：Venn圖

圍22）（2025?云南玉溪?模擬預(yù)測）如圖所示的Venn圖中，A,6是非空集合，定義集合

Z88為陰影部分表示的集合.若集合A=[0,2],集合8={引C>1},則集合力83

=（）

A.{x|0<T<2}B.{加V[&2}

C.{⑹?！?或0》2}D.{引04041或。>2}

圍23）（25-26高一上?全國?課堂例題）已知集合U={2,3,4,5,7},A={2,3},B=

{3,5,7},則圖中所示的陰影部分的集合可以表示為

A.{2,3,5,7}B.{2,3,4}C.{2}D.{2,347}

國藥（23—24高一上?江蘇南通?階段練習(xí)）如圖，已知矩形U表示全集，43是U的兩

個(gè)子集，則陰影部分可表示為

A.L(AUB)B.C.AQ^B)D.

期中復(fù)習(xí)

題型九:集合的應(yīng)用

題強(qiáng)⑵一25高一上?四川眉山?期中）高三1班有12名同學(xué)讀過《牡丹亭》，有8名同學(xué)

讀過《醒世恒言》，兩者都讀過的同學(xué)有4名，則該班學(xué)生中至少讀過《牡丹亭》和《醒

世恒言》中的一本的學(xué)生有（）

A.16人B.18人C.20人D.24人

囤藥（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）二十大報(bào)告中提出加強(qiáng)青少年體育工作,促進(jìn)群

眾體育和競技體育全面發(fā)展，加快建設(shè)體育強(qiáng)國的要求.某校體育課開設(shè)“足球”、“籃

球”兩門選修課程，假設(shè)某班每位學(xué)生最少選修一門課程，其中有33位學(xué)生選修了“足

球”課程，有26位學(xué)生選修了“籃球”課程,有10位學(xué)生同時(shí)選修了這兩門課程,則該

班學(xué)生的人數(shù)為（）

A.39B.49C.59D.69

區(qū)西（24—25高一上?廣東廣州?期中）廣州奧林匹克中學(xué)第5屆（總第35屆）學(xué)校運(yùn)動(dòng)

會于2024年11月7日至8日在車陂路校區(qū)和智谷校區(qū)同時(shí)舉行，本屆校運(yùn)會，初中

新增射擊比賽項(xiàng)目，初一某班共有28名學(xué)生參加比賽,其中有15人參加田賽比賽，

有14人參加徑賽比賽，有8人參加射擊比賽，同時(shí)參加田賽和射擊比賽的有3人，同

時(shí)參加田賽和徑賽比賽的有3人，沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，只參加一項(xiàng)比賽的有

（）人.

A.3B.9C.19D.14

題型十:充分條件與必妻條件判斷

（25-26高一上?全國?課前預(yù)習(xí)）已知集合A={2,o},B={2,4,6},則％=4”是

“4W的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

期中復(fù)習(xí)

國亙1（2025高一上?全國?專題練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.“三角形是等腰三角形''是"三角形是正三角形”的充分不必要條件

B.“方程ax2++c=0有實(shí)數(shù)根”是-4ac>0”的充要條件

c.%epuQ”是%e尸nQ”的必要不充分條件

D."C>，是92>靖，，的既不充分也不必要條件

國30）（25-26高一上?全國,單元測試）已知x,y均為實(shí)數(shù)，則“爐+婿w0”是,g*0”的

（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

題型十一:含有量詞的命題的否定

四/J（25—26高一上?廣西?開學(xué)考試）已知命題p：U①>0,d―3%+2>0則（）

A.p是真命題，ip:三紀(jì)>0,①2—3①+2V0

B.p是真命題，-ip：m￡>0,22—31+2W（）

C.p是假命題,ip：mt>0,d—3。+2V0

D.p是假命題，ip：三笈>0,劣2+34—2W0

國32）（24-25高一上?黑龍江哈爾濱?期末）命題“Vc€A,爐>1-2S'的否定是

（）

A.V力WR%2V1—2a;B.Va;6R,①2<i—2①

C.3xEx2—2xD.3xE.R,x2<Zl—2x

期中復(fù)習(xí)

回33)(2025高一?全國?專題練習(xí))已知命題p：m0>0,,2+21+1=1,則()

A.~\p：3x>0,x2+2x4-1xB.np：Vx<0,re2+2x4-1x

C.~\p：Vx>0,x2+2x+1=xD.np：Vx>0,x2+2x+1x

題型十二:遼輯用語的余教問題

題國（24-25高一上?廣東江門?期中）若p:l-6>0是q-2x<a的必要不充分條件,則

實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.a>2B.a>2C.a<2D.Q&2

囤35）（2025高一上?全國?專題練習(xí)）設(shè)集合4={引砂+①一6=0},B={4|?7起一2=0},

則8是Z的真子集的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.mGB.mG|(),1}

C.me{o,D.mGo,Q

o

囿36）（25—26高一上?全國?課后作業(yè)）若汨1Wn44,使得2c+a+1>0”是假命題,

則實(shí)數(shù)Q的取值范圍是（）

A.{Q|QV-9）B.{Q|QV-3}C.{a|a>-9}D.{a|a>—3}

題型十三:集合新定義

甌紅（24-25高一上?北京?階段練習(xí)）設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對于如果

k—104且k+lWA,那么k是人的一個(gè)“孤立元”，給定5={123,4,5,6},由S的3

個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（）個(gè)

A.14B.16C.18D.20

期中復(fù)習(xí)

國38)(24-25高一上?陜西榆林?期末)給定數(shù)集若對于任意丘M?，都有bIyW

M,且6-則稱集合M為閉集合，則下列說法正確的是()

A.自然數(shù)集是閉集合

B.無理數(shù)集是閉集合

C.集合M={xh=3k,k6Z}為閉集合

D.若集合盟，加為閉集合，則MUM也為閉集合

國魚(24—25高一上?陜西咸陽?階段練習(xí))高一的珍珍閱讀課外書籍時(shí)，發(fā)現(xiàn)笛卡爾積

是代數(shù)和圖論中一個(gè)很重要的課題對于非空數(shù)集A,6,定義A?6={(c,g)|ceA

且"B},將A?B稱為”與B的笛卡爾積”

(1)若4={-LO」},8={-1/},求A和3③力；

(2)試證明：“4(8)A,=A2@AJ是“4=4}的充要條件

題型十四:臬合與運(yùn)轉(zhuǎn)用語綜合問題

畫40)(24-25高一上?安徽蚌埠?期中)已知集合A={x|2<x<6}，集合3=

{x\2m<x<2—m}.

(1)當(dāng)7n=-1時(shí)，求AUB;

(2)若力UB=&求實(shí)數(shù)館的取值范圍；

(3)若4n6=0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

期中復(fù)習(xí)

題亞(24-25高一上?安徽合肥?期木)已知集合A={XQVCV2Q+1}且力00,集合

B=d—5出+4Vo},命題p：ce人命題q：xGB.

⑴若求(C?nB；

⑵若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

國畫(24—25高一上?重慶?期末)已知全集為R,集合4={加爐-3/一10<0},集合月

={xIX2—(a+2)c+2Q>0,aGR}.

(1)若°=-1,求ACBAUB：

(2)若QV2,且b/G，,求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

期中復(fù)習(xí)

【章節(jié)強(qiáng)化練】

一、單AM

國43]（25—26高一上?全國）4n，￥0是4G3的)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

回國（25—26高一上?廣西）已知集合4={-1,0,2,3},B={—2,0,2,4},則4nB的元

素個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.4D.6

題151(25-26高一上.廣西.開學(xué)考試）“NA+N3=180°”是“NA,N3互為鄰補(bǔ)角”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

題國(2025高二下?北京?學(xué)業(yè)考試)命題FeeR.x2-2x-2>0”的否定是)

A.Vxe^,x，2-2x-2<0B.BxeR,x2-2x-2<()

C.V/CR,42-2/一2>0D.BxER,x2—2x—2<0

期中復(fù)習(xí)

國47）（24—25高一上?廣東江門?階段練習(xí)）已知全集。=^,M=[x\x<-l],N=

{chQ+2）V（）},則圖中陰影部分表示的集合是（）

B.{1-l&rrvo}

C.{I—2<x<-11D.{力04-2}

x

區(qū)通（2025高一?全國?專題練習(xí)）已知集合力尹Z},8小6Z},M=

則下列選項(xiàng)中不正確的是）

A.AUM=AB.[AM=BC.BQM=MD.AQB=M

題149]（25—26高一上?全國?課前預(yù)習(xí)）設(shè)集合4={x\a—1<a;<a+4},B={x\—4<

cV7},若=B則Q的取值范圍是（）

A.{Q|Q43}B.{Q|-3<Q?3}

C.{a\-4<a<4}D.{a|a>0}

二、多選題

題亙（24—25高一上?山東德州?階段練習(xí)）下面命題正確的是（）

A.“a>1”的必要不充分條件是“工VI”

a

B.命題“若/VI,則dVI”的是真命題

C.設(shè)工,yWR,則“e>2且">2"是%?+舅〉翼的必要不充分條件

D.設(shè)Q,b6H,則“Q*0”是“ab豐0”的必要不充分條件

期中復(fù)習(xí)

國亙1（25—26高一上?福建龍巖?開學(xué)考試）下列選項(xiàng)不正確的是（）

A.集合{xG%|爐=0用列舉法表示為{0,1,—1}

B.空集是任何集合的子集

C.任何集合至少有兩個(gè)子集

D.滿足方程組f+的點(diǎn)集為卜=—4,y=^-\

（x—y=—lI22J

題國（25-26高一上?全國?單元測試）若V/GA,工G4,則稱集合4為幸福集合對集

2?

合河={-1,0,賽,1,2,3}的所有非空子集，下列敘述正確的是()

A.幸福集合個(gè)數(shù)為8B.含一1的幸福集合個(gè)數(shù)為4

C.不含1的幸福集合人數(shù)為4D.元素個(gè)數(shù)為3的幸福集合有2個(gè)

圃53]（25-26高一上?全國?單元測試）設(shè)集合”為實(shí)數(shù)集R的非空子集若對任意x,y

CA/,都有i+g,i一夕，曲￡A/,則稱“為封閉集以下結(jié)論正確的有（）

A.M={4|N=Q+，5b,a,b€Z}為封閉集

B.若刊為封閉集，則一定有0GM

C.若刊為封閉集，則滿足MGTUR的任意集合T也是封閉集

D.存在集合力仁心。，4不為封閉集

題54）（25—26高一上?全國?單元測試）設(shè)集合Af={rr|a<x<3+a},N={x\x<2或

c>4},則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若aV—l,則MGNB.若網(wǎng)—2VQV1

C.若MUN=R，則l<aV2D.若MCINW。，則1VQV2

期中復(fù)習(xí)

三、填空慝

國55）（24-25高一上?廣東江門?期中）已知集合/={zGN|-24,43},8=

{一1,0,1,2},則集合406的真子集個(gè)數(shù)為.

題畫（25—26高一上?全國?課堂例題）若叼16[1,4],使得2。+a+1>0”是假命題,則

實(shí)數(shù)Q的取值可以為

回57〕（24-25高一上?廣東江門?階段練習(xí)）已知命題p:VrnGA且zn+lWO,命題q:

R,x24-mx+1WO恒成立，若p與q不同時(shí)為真命題，則7n的取值范圍是

國58〕（2025高一?全國?專題練習(xí)）已知全集U=心限為不大于20的質(zhì)數(shù)},A,3是U

的兩個(gè)子集,且4口（L6）={3,5},8口位/）={7,19},（（：〃/）門（（；〃,8）={2,17},

則集合A-,B-

國魚（24—25高一上?廣東江門?階段練習(xí)）已知全集。為R,集合力={①|(zhì)0V①<2},

B—{x\x<—3或c>1}求：

⑴4ns

⑵(CMM向

(3*ue)

期中復(fù)習(xí)

國60)(24-25高一上?廣東江門?階段練習(xí))已知集合4={引2—a<i<2+a),2=

{x\^?—5%+4>0}

(1)當(dāng)Q=3時(shí)，求AUB；

(2)若。>0,且4n8=0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍

題畫(2025高一?全國?專題練習(xí))已知集合4={力限&-1或①>3},6=

{c|2aVc&a+3},回答下列問題.

⑴若a=1,試求")UBMA(LB)；

(2)若An&=8,求實(shí)數(shù)Q的取值范圍；

2

颯62)(25—26高一上?河南南陽)已知集合4={x\x+ax—a—l<()ta^R},B=

{T|2<X<3}

(1)若0G力且2WA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)設(shè)p:aGA,q:xEB,若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍

Xg—3

題畫(24-25高一上?江蘇南通?期末)設(shè)集合A={<0,B=

x—1

{x\x2—2ax+a2—1>0}

⑴若a=3,求SUB；

⑵若，GA”是，G8”的充分條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍

甌包(24—25高一上?安徽銅陵?期末)對于非空集合U,記Q={“IcGU}若集合力G

0,且滿足如下兩個(gè)條件:①對任意的M,NEA,有MUNE4②對任意的MEA,有

A則稱集合A為集合U的一個(gè)“完美子集類”

(1)若集合。={1,2,3},試寫出集合U的所有“完美子集類”；

(2)已知4是集合U的一個(gè)“完美子集類”，證明：

(1)0EA；

(II)對任意的M,NRZ,有MANRA

期中復(fù)習(xí)

第二節(jié)基本不等式的應(yīng)用技巧

1基本不等式：J施&號■

(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0.

(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)四時(shí)，等號成立

⑶其中嚀出叫做正數(shù)Q,b的算術(shù)平均數(shù)，，法叫做正數(shù)Q,b的幾何平均數(shù)

2利用基本不等式求最值

(1)已知c,g都是正數(shù),如果積g/等于定值P,那么當(dāng)rc=g時(shí)，和rr+g有最小值2，P.

(2)已知⑦，g都是正數(shù)，如果和①+g等于定值S,那么當(dāng)c=g時(shí)，積磔;有最大值、"f2.

注意：利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”

［常用結(jié)論】

幾個(gè)支要的不等式

(l)a2+b2>2ab(a,bER)

(2)_L+*>2(a,b同號)

ab

⑶就《(空)2(Q,b€R)

⑷(咿『(a，bER)

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

1.應(yīng)用基本不等式“四”勿恚

①勿忘“正”:“正”是指使用基本不等式的前提條件是各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù).

②勿忘“定”:“定”是?指用基本不等式時(shí)，和或積為定值.

③勿忘"等”:"等”是利用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)注意等號是否可以取到，即等號成立的

條件.

④勿忘“同“同”是指多次使用基本不等式時(shí)，等號成立的條件應(yīng)相同.

2.在解答基本不等式的問題時(shí)，常常會用加項(xiàng)、湊項(xiàng)、常數(shù)的代換、代換拱元等技巧，而且

在通常情況下往往會考去這些知識的夜套征用

【題型歸納】

題型一:常臬不等式大小比技

題型二:基本不等式求病的最大值

題型三:基本不等式標(biāo)的最小值

題型四、二次與二次(或一次)的商式的最值

題型五:基本不等式T的妙用

題型夬:條件等式求最值

題型七:基本不等式怛成立問題

題型八:基本不等式的嫉合應(yīng)用

題型九:基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

題型十:基本不等式證明不等式

期中復(fù)習(xí)

【題型探究】

題型一:常見不等式大小比校

工）（2025?北京?高考真題）已知a>0,b>0,則（）

A.a2+b2>2abB.上+

abab

C.Q+b>VdbD.-F-y-<—^zr

abYob

（24—25高一上?北京?期末）若。,b€R,且就>0,則下列不等式中，恒成立的是

()

A.a+b>2VaFB.2a~64-26-a>2

C.a2+p《(a；b>1.1>2

Dn-￡+廠商

練?（23—24高一上?上海?期中）若實(shí)數(shù)Q、1）滿足b>a>0,下列不等式中恒成立的是

()

A.2a+2Va6B.2a+y2Va6

C.2d+與V2,abD.2a+>2,ab

題型二:基本不等式求我的最大值

血2）（22-23高一上?吉林?階段練習(xí)）已知OViV。，則x（l-2x）的最大值為

期中復(fù)習(xí)

（23—24高一上?河北邢臺?期中）已知（JVzV總?，則，°（1-9式）的最大值為

（23-24高一上.河北石家莊?階段練習(xí)）已知a>0,b>0,2Q+3b=5,則

(2a+2)(3b+l)的最大值是.

題型三:基本不等式求和的最小值

施叵）（24-25高一上?河南商丘?期末）若0>2,則3—％——三■的最大值為______.

（24-25高一上?北京延慶?期末）已知cV0,則g=1+20+2的最大值為

x

，當(dāng)且僅當(dāng)啰=時(shí)，等號成立.

（25—26高一上?全國?期中）已知正實(shí)數(shù)6y滿足—+——4=c+g,則c+g的

]y

最小值為

題型四、二次與二次（或一次）的商式的最值

（^[41（20-21高一下?江西吉安?期末）函數(shù)/Q）=之±今43>1）的最小值為（）

CJL

A.2V3B.3+2V3C.2+22D.5

期中復(fù)習(xí)

（24—25高一上?廣東江門?期末）若⑦>0,則2夕「3G+1的最小值是

x

3k：'+3k

（23—24高一上?上海浦東新?期中）已知實(shí)數(shù)k>0,則的最

(f/c2+14)(14fc2+1)

大值為_______