2025-2026學(xué)年廣西示范性高中高三(上)9月聯(lián)考

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合A={久|—1<尤<1},B={x|0<x<2},則力CB=()

A.{%|-1<%<2]B.{%|-1<%<2]C.{%|0<%<1]D.{x|0<x<2]

2.已知復(fù)數(shù)z=邑等，則z=()

1—2'7

A.1+2iB.1-2iC.-2+iD.-2-i

3.已知函數(shù)/'(%)=COS(%+9),(-7T,7T),若函數(shù)/(%)在第=J處取得最小值，則8=()

4

A3T~?冗兀3

兀B--4C-iD.4兀

4.若x>0,y>0,2x+9y=l,貝叼+；的最小值為()

A.24B.26C.32D.92

5.已知數(shù)列也?}是首項(xiàng)為的,公差為d的等差數(shù)列，前幾項(xiàng)和為Sn，滿足2a4=。3+5，則S9=()

A.35B.40C.45D.50

6.設(shè)F為雙曲線C：《-噲=19>0,6>0)的右焦點(diǎn)，a,0分別為C的兩條漸近線的傾斜角，已知點(diǎn)F到其

中一條漸近線的距離為且滿足￡=5a,則雙曲線C的焦距為()

A.273B.2C.4/3D.4

7.已知(1+ax)(久一2戶的展開式中爐項(xiàng)的系數(shù)為—80,則實(shí)數(shù)a的值為()

31

A.1B.2C.1D.一5

12

8.若cosxcosy+sinxsiny=sin2x+sin2y=貝Usin(x+y)=()

A--vB.,C.|D耳

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

OQ

9%為等比數(shù)列{冊}的前項(xiàng)兀和，q為的公比(q<0),a3=|,S3=|,則()

1331

A.q=——B.(Z5=-三C.Sc=~r~D.3S-ct=12

LOOnn

10.函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，/(x)=e-\x-1),下列結(jié)論正確的有()

第1頁，共16頁

A.當(dāng)久V0時，/(%)=ex{x+1)B.方程/(%)=0有3個不等實(shí)根

C.函數(shù)/(%)有最大值去

D.VxvX2ER,|/(X2)-/■(%!)!<2

11.若正四棱柱力BCD-&B1QD1的底面棱長為4,側(cè)棱長為3,且M為棱

的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形ABCD的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動，且滿足MP

與底面力BCD的所成角8=不下列結(jié)論正確的是()

A.點(diǎn)P形成的軌跡長度為1

B.有且僅有一個點(diǎn)P使得MP1PC1

C.四面體2-4。。1的體積取值范圍為[6,8]

D.線段〔PC/長度最小值為，17

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知一組數(shù)據(jù)7,7,8,9,10,11,13,16,則這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是

13.已知非零向量,在向量方上的投影向量為；石，的則0—尤)不=.

14.機(jī)場為旅客提供的圓錐形紙杯如圖所示，該紙杯母線長為12cm,開口直徑為8cm.

旅客使用紙杯喝水時，當(dāng)水面與紙杯內(nèi)壁所形成的橢圓經(jīng)過母線中點(diǎn)時，橢圓的離心率

等于.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

△4BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bcos力一as譏8=c.

(1)求角B；

(2)若6=，1亍448。的面積為1,求△48C的周長.

16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=黑(a>0)的圖象在x=1處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為".

(1)求a的值；

(2)記八支)的極大值點(diǎn)為證明：&/(0)=1.

17.(本小題15分)

由四棱柱ABCD-4/41%截去三棱錐氏-公。的后得到如圖所示的幾何體，四邊形力BCD是菱形,4C=4,

BD=2,。為AC與BD的交點(diǎn)，平面4BCD.

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(1)求證：Bi。〃平面為DCi；

(2)若當(dāng)。=2/3,求力Ci與平面&DC1所成角的正弦值.

18.(本小題17分)

已知點(diǎn)匕(2,1)在拋物線C：/=2py(p〉0)上，過點(diǎn)Pi作斜率為-1的直線交C于另一個點(diǎn)Qi，設(shè)與Qi

關(guān)于y軸對稱，再過P2作斜率為-1的直線交C于另一個點(diǎn)Q2,設(shè)P3與Q2關(guān)于y軸對稱，以此類推一直作下去,

設(shè)Pn(%n，yn)(n￡N*).

(1)求拋物線C的方程；

(2)求數(shù)列｛今｝的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列｛^—｝的前n項(xiàng)和的取值范圍；

Xn~^~yn

(3)求4PnPn+1Pn+2(neN*)的面積.

19.(本小題17分)

某企業(yè)對生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級，升級后的設(shè)備控制系統(tǒng)由2k-GN*)個相同的元件組成，每個元件正

常工作的概率均為p(O<p<l),各元件之間相互獨(dú)立.當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于k個元件正常工作時，設(shè)備正常

運(yùn)行，否則設(shè)備停止運(yùn)行，記設(shè)備正常運(yùn)行的概率為例如：P2表示控制系統(tǒng)由3個元件組成時設(shè)備正常

運(yùn)行的概率，P3表示控制系統(tǒng)由5個元件組成時設(shè)備正常運(yùn)行的概率).

(1)若p=|,當(dāng)k=2時，

(W控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

怎趣2；

(2)升級后的設(shè)備控制系統(tǒng)原有2k-GN*)個元件，若將該設(shè)備的控制系統(tǒng)增加2個相同的元件，請分

析是否能夠提高設(shè)備正常運(yùn)行的概率外.

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答案解析

1.【答案】c

【解析】【分析】

本題考查考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

利用交集定義，即可求解.

【解答】

解：,?,集合Z={%|-1<%<1},B={x|0<x<2],

ClB={%|0<x<1}.

故選：C.

2.【答案】D

【解析】解：復(fù)數(shù)z=上羋=55(-2-i)

-2+((-2+0(-2-0

故選：D.

根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式及除法法則求解即可.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：根據(jù)/'（X）=cos（x+8）在無=彳處取得最小值，

可得￡+6=7T+2%兀（攵EZ）,結(jié)合6￡（-兀,兀），取k=0,可得8=孚.

44

故選：D.

根據(jù)余弦函數(shù)的最值進(jìn)行求解，即可得到本題的答案.

本題主要考查余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的值域與最值等知識，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閤>0,y>0,2x+9y=l,

所以（工+冬）（2久+9y）=2+竺+型+18=20+竺+型220+2|把.亞=20+12=32,

vxy八J'yxyx-Jyx

當(dāng)且僅當(dāng)竺=型時取等，此時解得x=J,y==,

yx8,12

則工+冬的最小值為32,故C正確.

xy

故選：C.

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利用基本不等式T的代換求解即可.

本題考查了基本不等式和“1”的代換，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：；2a4=a3+5,

2(附-d)=的一2d+5,

???a5=5,

???S9==9Gt5=5x9=45,

故選：C.

根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式即可求出.

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查了運(yùn)算求和能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：已知雙曲線C：3_方=1，右焦點(diǎn)尸(C,O),c2-a2+b2,

焦點(diǎn)尸到漸近線版—ay=0的距離為卷三=b,由題意b=g

漸近線傾斜角滿足/?=5a,且a+0=7T,得6a=兀，即a='

漸近線斜率2=tana="，代入6=后，解得a=3,

a3

c=a2+b2=,9+3=273,故焦距2c=473.

故選：C.

根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可求解.

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題.

7.【答案】A

【解析】解：由(1+ax)(x-2)5=(x-2)5+ax-(x-2)5,

(1+ax)(x-2＞的展開式中爐項(xiàng)的系數(shù)，只需求。-2戶的爐項(xiàng)的系數(shù)與0久,(％-2＞的爐項(xiàng)的系數(shù)的和.

而(X-2)5展開式中的通項(xiàng)為幾+1=魔.x5-k?(一2)k=底?(一2".x5-k,

fc=0,1,2,3,4,5,

令5-k=3,得k=2；令5-k=2,得k=3,

則(1+ax)(%-2下的展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為

Cg,(—2)2+a,,(—2＞=—80,解得a=

故選：A.

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由(1+ax)(x-2>-(x-2>+ax-(x-2)5,進(jìn)而結(jié)合(久-2戶展開式中的通項(xiàng)列方程求解即可.

本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，是中檔題.

8.【答案】C

1

【解析】解：已知cosxcosy+sinxsiny=

即cos(x-y)=-,

又「sin2x+sin2y=

2

???2sin(x+y)cos(x—y)=-,

又??,cos(%-y)=I，

??-sin(x+y)=-.

故選：C.

由兩角差的余弦公式，結(jié)合和差化積公式求解即可.

本題考查了兩角差的余弦公式，重點(diǎn)考查了和差化積公式，屬基礎(chǔ)題.

9.【答案】AD

【解析】解：*為等比數(shù)列｛%｝的前項(xiàng)和，q為｛冊｝的公比(q<0),a3=|,S3=

卜3=%?q2=?

,，)29，

(S3—a1+Q，2++的?q+Qi?q—~

1

解得q=-2或q=1(舍)，的=6,故/正確；

a=tti-Q4=6x(-1)4=6X=I，故5錯誤;

5Zloo

56x[l-(-^)]工、,33

S_ar(l-q5)_6x[l-(-1)]T=看故c錯誤;

5-if-3

2°

2]

1n-1"1；：q)=6x[l3(2)，1

對于等比數(shù)列｛斯｝，有斯=?礦T=6x(-1),Sn==4x[l-(-1)"],

一q2

1

則3Sn=12x[l_(_g)n],

1n111111

3Sn-a?=12x[1-(-|)]-6x(-獷=12-12X(--6X(-f)"-=12+6x(-j)^-

6X(-分-I=12,故。正確.

故選：AD.

根據(jù)題目條件列出方程，求出等比數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)的=2和公比q,代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公

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式，即可依次判斷每個選項(xiàng)的正誤.

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABD

【解析】解：對于4函數(shù)/(久)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)無>0時，/(%)=e~x(x-1),

當(dāng)x<0時，—x>0,/(%)—/(—x)-ex(—x—1')—ex(x+1),故/正確；

對于8,當(dāng)久>0時，/(%)=e~x(x-1)=0,解得x=l,

久<0時，/(X)=e\x+1)=0,解得x=-1,又/(0)=0,

所以/(%)有±1和0三個零點(diǎn)，故3正確；

對于C,當(dāng)x<0時，f(x)=ex(x+1),/z(x)=ex(x+2),

-2Vx<0時，fz(x)>0,/(x)遞增，當(dāng)x<-2時，f'(x)<0,/(x)遞減

,,1

%=-2時，/(%)有極小值/-2)=一7，%-0-，/(%)t1,%-?0+時，/(%)1,

由"久)是奇函數(shù)，K=2時，八久)有極大值/(2)=也，

又y(o)=o,所以/(x)的值域是(-1,1),故c錯誤;

對于D,由C的討論知一1</(x)<1,

因此對任意的實(shí)數(shù)句,久2有一1</(%i)<1，-1</(%2)<L

.-.-2</(X2)-/(X1)<2,即|f(X2)-f(%i)l<2,故。正確.

故選：ABD.

運(yùn)用奇函數(shù)的定義可得x<0時/(x)的解析式，可判斷4令f(x)=0,求出所對應(yīng)的方程的解，即可判斷B；

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值，即可判斷C；由八%)的值域可判斷D.

本題主要考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

11.【答案】AC

【解析】解：對力選項(xiàng)，由線面角的定義可知NMPA=e=45。，即M4=AP=L

所以點(diǎn)P所在區(qū)域?yàn)椋?/p>

以4為圓心，1為半徑的圓在正方形4BCD內(nèi)部部分(包含邊界)，即圓的1

軌跡長度為J兀x2=〈兀，所以A選項(xiàng)正確；

如圖，設(shè)點(diǎn)P的軌跡與ZD,4B交于點(diǎn)E,F,

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對B選項(xiàng)，不妨點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，此時PCi=7FB2+BC2+CiC2=，揖，

所以cosNMFQ==0,所以NMFCI=5

Z:X+v言ZXV-34*z

同理可得NMECi=p

所以不止一個點(diǎn)P使得MPLPCi，所以B選項(xiàng)錯誤；

對C選項(xiàng)，如圖，力Ai_L平面48CD,BCu平面力BCD,所以4A11BC,

S.AB1BC,AAtCiAB=A,AAltABu平面ABBp4i，

所以8C_L平面ABB1a,3。＜=平面41肛，所以平面&皿_L平面ABB遇口

且平面力4DiC平面4BB1&=AXB,

因?yàn)榱〃&￡）i，AEC平面AiCDi，力i￡）iu平面力iCDi，

所以4E//平面&CD],所以點(diǎn)力，E到平面&CD1的距離相等，

如圖，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E處時，此時點(diǎn)P到平面4C%的距離最大，最大距離為4口=簽=等，

此時四面體P-4皿的體積為y-^H=ix1x4x5xy=8,

當(dāng)P與點(diǎn)F重合時，此時點(diǎn)P到平面&CD1的距離最小，最小距離為FK,

因?yàn)椤鰾FKs^BAH,所以FK=:4H,所以最小體積為8=6,

故四面體P-&CD1的體積取值范圍為[6,8],所以C選項(xiàng)正確；

對D選項(xiàng)，當(dāng)PC取最小值時，線段|PCi|長度最小，

當(dāng)4P,C三點(diǎn)共線時，PC取得最小值，

即IPCImE=4，7-1，則仍。1|加相=J（4。-1）2+32=J42-80，所以0選項(xiàng)錯誤―

故選：AC.

4選項(xiàng)，根據(jù)題意得P所在區(qū)域?yàn)橐粤閳A心，1為半徑的圓在正方形4BCD內(nèi)部部分（包含邊界）；B選項(xiàng)，尋

找到不止一個點(diǎn)使MP1PC1；C選項(xiàng)，根據(jù)P點(diǎn)不同位置求出點(diǎn)P到平面&CD1的距離最大值及最小值，求

出最大體積和最小體積；D選項(xiàng)，結(jié)合P的所在區(qū)域及三角形兩邊之和大于第三邊求出|PCi|長度最小值.

本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，屬難題.

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12.【答案】13

【解析】解：由題意得數(shù)據(jù)從小到大排列為：7,7,8,9,10,11,13,16,

又8x80%=6.4,

則這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是第7個數(shù)是13.

故答案為：13.

利用百分位數(shù)位置公式確定百分位數(shù)的位置，再求解百分位數(shù)即可.

本題考查百分位數(shù)相關(guān)知識，屬于中檔題.

13.【答案】-1

【解析】解：已知非零向量方在向量方上的投影向量為2無

則同?cos<~a,b>-^=^b,

又網(wǎng)=VXcos<a,b>=

所以"石另，所以互不=1,

2

則（3一/?）?匕=方，匕-b=1—2=—1.

故答案為：-1.

根據(jù)投影向量公式和兩向量的夾角公式即可求解.

本題考查了投影向量和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題.

14.【答案】需

【解析】解：該紙杯母線長為12cm,開口直徑為8cm.旅客使用紙杯喝水時，當(dāng)水面與紙杯內(nèi)壁所形成的

橢圓經(jīng)過母線中點(diǎn)時，

如圖：設(shè)立ABC=a,cosa=2=|■.力C=6,AB-8,

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s

所以8c2=62+82-2x6x868,BC=2/17,

即2a=2，T7，a=SO=8<2.CD=4，I，。'E=2，I,。'為橢圓的中心，D,0,E分別為C,

S,。，在底面上的射影，可得。。=2,0E=1,F為小圓的圓心，OF=2瓶,可得FM=3,MN是橢圓的

短軸長為=4V7,

b—2AA2>C-V17—8=3,

橢圓的離心率為：6=爭=熹=甯.

LaV1717

故答案為：察.

17

利用已知條件通過求解三角形，求解a,b,c,得到橢圓的離心率.

本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是中檔題.

15.【答案】~

2+V^+AATO.

【解析】(1)由bcosZ—asinB=c,結(jié)合正弦定理得sinBcosZ-sinAsinB=sinC,

在4/BC中，sinC=sin(X+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinBcosZ-sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,化簡得一s譏AsinB=sinAcosB,

因?yàn)椤?BC中，sinA0,所以一s譏B=cosB,可得taziB=—1.

結(jié)合Be(0,7r),可得8=當(dāng)；

(2)根據(jù)△力BC中的面積5=：0^譏B=gac=1,解得ac=2，I.

L4

由余弦定理得房=a2+c2-2accosB=a2+c2+V-2ac=(a+c)2—(2—V-2)ac,

所以(a+c)2=b2+(2-=6+4<2=(2+/2)2,

解得Q+c=2+V-2>可得^ABC的周長a+b+c=2+V-2+V10.

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(1)由正弦定理與三角恒等變換公式化簡，可得tcmB=-1,結(jié)合Be(0,兀)求出角B的大??；

(2)根據(jù)三角形的面積公式算出ac=2，I,結(jié)合余弦定理求得a+c=2+進(jìn)而可得△ABC的周長.

本題主要考查正弦定理與余弦定理、兩角和與差的三角函數(shù)公式與誘導(dǎo)公式、三角形的面積公式等知識,

屬于中檔題.

16.【答案】1；

證明見解答.

,^^—Inx1+--Znx

【解析】(1)解：f'(久)=6一=二上行(a>0),

故〃(1)=就=E(a〉°)；

"1)=0,故函數(shù)=瞿(。〉0)的圖象在x=1處的切線斜率為±今即1⑴=±今

11

由a>0知f/(1)=石耳=5，解得a—1-

/1+——Inx

(2)證明：由(1)知/(%)=署，定義域第E(0,+8),/，(%)=不、涔，

令9(%)=1+g-1nX，則g(%)在(。,+8)上單調(diào)遞減；

由g(l)=2>0,g(e2)=葭-1V0知存在%()6(1,/),使得g(%())=0,

當(dāng)%e(O,%o)時，g(x)>0=>f7(%)>0,/(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)?shù)贕(%(),+8)時,g(x)<0=>f/(%)<0,/(%)單調(diào)遞減；

故軟即為/(%)的極大值點(diǎn)；

11

由g(%o)=0,知1H----lnx=0=>lnx=1H---，

%o00%o

1+工

故"&)=綜=TJ，

7u

%o+l%o+lXQ

故％of(%o)=l,結(jié)論成立.

⑴對人%)求導(dǎo)，求出/⑴，由/(1)=0,結(jié)合已知可得函數(shù)/(%)在久=1處的切線斜率為士;，結(jié)合a>0,

即可求解a的值；

(2)由(1)可得f(x)及f'Q),利用導(dǎo)數(shù)求出“久)的極大值點(diǎn)，計算/(均)即可得證.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】證明過程見詳解；

E

~17~

第11頁，共16頁

【解析】(1)證明：補(bǔ)全四棱柱，連接4小交4的于M,連接DM,

在四棱柱中，可得OD〃BiM,且。D=

所以四邊形OOM名為平行四邊形，所以

再由當(dāng)。<t平面&DC1，DMu平面&。的，

所以40〃平面公。的；

(2)解：因?yàn)樗倪呅?BCD是菱形，AC=4,BD=2,。為4c與BD的交點(diǎn)，

所以AC1BD,當(dāng)。=273，

又因?yàn)楫?dāng)。1平面4BCD,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。D,0C,。公所在的直線分別為％,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,0),4(0,-2,0),B(-1,0,0),BiCO,0,2/3),C(0,2,0),

所以不瓦=屈=(一1,2,0)，可得4式1,—2,20),

可得標(biāo)=(1,0,2<3)>

=(0,2,0).

所以宿=標(biāo)+&C；=(1,0,273)+(0,2,0)=(1,2,2/3)，

因?yàn)锽i。，平面4BCD,ODu平面4BCD,

所以Bi。！。。，即MD_L。。，

在菱形力BCD中，OD1AC,即。0J.4C1，

而&的flDM=M,

所以。0_L平面&Ci。，

所以平面&的0的法向量可以為五=而=(1,0,0)，

所以宿?元=1x1+2x0+20x0=1,\ACi\=VI+4+12=717,|n|=1,

匕匚i、i“—>—ACyn1V17

所以cos<4Ci'n>=兩而=市五=年'

設(shè)AC1與平面&DC1所成角為仇

可得sin。=|cos<AC^n>|=

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所以力Cl與平面&DC1所成角的正弦值為圣.

(1)補(bǔ)全四棱柱,連接/小交為Ci于M,連接。M,由題意可證得四邊形。DM/為平行四邊形,所以B1C7/DM,

再由線面平行的判定定理可證得結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出4的的方向向量及平面41。。的法向量的坐標(biāo)，求出這兩個向量的夾角的余弦

值，進(jìn)而可得線面所成角的正弦值.

本題考查線面平行的判定定理的應(yīng)用及用空間向量的方法求線面所成的角的正弦值，屬于中檔題.

18.【答案】%2=4y；

11

&=4n-2,[-,-)；

16

【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)P1(2,1)在拋物線C：久2=2py上，因此4=2p,

解得p=2,因此拋物線的方程為/=4y；

(2)由Pi(2,l)可知=2,乃=1，

因?yàn)辄c(diǎn)乙(修，即)在拋物線C：x2=4y上，

解得X=久n_i或％=-與-1-4,

因?yàn)镼n_i(—xn,yn),故一xn=_即％?=&-1+4,

故數(shù)列｛g｝是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列，因此與=2+4(n—l)=4n—2,

又為=學(xué)=(2『1)2，因此扁「■+■—法1)，

因此7\=|(1一:+金一卷+"-：+…+石匕一石磊)=!(1一石右)，因此?n

又〃是關(guān)于n的遞增函數(shù)，故%加=71=最的取值范圍是[，力

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222

(3)由(2)知：Pn(4n-2,(2n-I)),Pn+1(4n+2,(2n+l)),Pn+2(4n+6,(2n+3)),

直線PnPn+2的方程為y-(2n-l)2=C喘二露"(x—471+2)=(2n+l)(x-4n+2),

即(2n+l)x—y—4n2—4n+3=0,

點(diǎn)七+1(4元+2,(2n+1>)到直線的距離為：

d_|2(2n+l)2-(2n+l)2—4足-4?1+3|_4

J(2n+1)2+1J(2n+l)2+/

2222

|PnPn+2|=V(4n+6-4n+2)+[(2n+3)-(2n-l)]

=J64(2n+1)2+64=87(2n+l)2+1,

因此S=1|PnPn+2|d=16.

(1)將Pi(2,1)代入拋物線方程即可求解；

C：%2=4yQn-1(-Pn-lQn-l

(2)由點(diǎn)Pn(Xa，yn)在拋物線上，可得%單，且Xn/n)，將直線的方程與拋物

線方程聯(lián)立可得出久n=“n-l+4,根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式即可求出｛&｝的通項(xiàng)公式，再應(yīng)用裂項(xiàng)相

1

消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和7\即可；

%九十'九

(3)求出直線P/n+2的方程，可求出伊需計2|，并求出點(diǎn)七+1到直線P/n+2的距離，然后利用三角形的面積

公式即可求解.

本題考查直線與拋物線的綜合，屬于中檔題.

19.【答案】若控制系統(tǒng)增加2個元件，則至少要有k+1個元件正常工作，設(shè)備才能正常工作，

設(shè)原系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)為

第一類：原系統(tǒng)中至少有k+1個元件正常工作，

其概率為P(f2k+1)=Pk-C宗一.pk.(1-p)"L

第二類：原系統(tǒng)中恰好有k個元件正常工作，新增2個元件中至少有1個正常工作，

其概率為P優(yōu)=k)=%_i.pk,(1-p)fc-l.[1-(1-p)2]=C金_i.pk+1.(1-p)kT?(2—p);

第三類：原系統(tǒng)中恰好有k-l個元件正常工作，新