2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大版八年級期中必刷?？碱}之乘法

公式

一.選擇題（共8小題）

1.（2024秋?澤州縣期末）下列運算正確的是)

A.(-?)6-ra2=a4B.(2a2)3=8『

C.a2*a3=a6D.(2a+b)2=4(r+b2

2.（2024秋?鄰水縣期末）卜列運算正確的是()

A.(?2)6=小B.

C.=D.(x+y)2=7+)2

3.（2024秋?孝義市期末）下列運算正確的是)

A.a2*?4=a8

B.(-a3b)2=-a6b2

C.2(rb-3bcr=-c^b

D.(b+2a)C2a-b)=b2-4o2

4.（2024秋?東區(qū)期末）下列計算正確的是（)

A.lab-2a=bB./?〃3=46

C.3erb+a=3aD.(2+。)(2-〃)=4-a2

5.（2024秋?平輿縣期末）如圖，從邊長為。+1的正方形紙片中剪去一個邊長為4?1的正方形

剩余部分沿虛線剪開，再拼成一個矩形（不重疊無縫隙），則該矩形的面積是（）

A.4aB.2aC.(?-\D.2

6.(2024秋?湛江期末)已知(x-2024)2+(A-2026)2=38,則(X-2025))的值是()

A.4B.18C.12D.16

7.（2024秋?通遼期末）下列算式能用平方差公式計算的是（）

A.(2a+b)(2b-a)B.(2x+l)(-2x-1)

C.(3x-y)(-3x+y)D.(-m+n)(-m-7?)

8.（2024秋?撫順縣期末）有兩個正方形A,B,現(xiàn)將8放在A的內(nèi)部如圖甲，將A,B并排放置后構(gòu)造新

321

的正方形如圖乙.若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為叱三，則正方形A,B的面積之和為（)

D.5.5

二.填空題（共5小題）

9.（2024秋?敖漢旗校級期末）有兩個正方形A,B,現(xiàn)將8放在A的內(nèi)部得圖甲，將A,B并列放置后構(gòu)

造新的正方形得圖乙.若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為7和30,則圖乙面積為.

B

AB

圖甲圖乙

10.（2024秋?桐柏縣期末）有兩個正方形A、B,將A、8并列放置后構(gòu)造新的圖形，分別得到長方形圖甲

與正方形圖乙.若圖甲、圖乙中陰影的面積分別為12與38,則正方形8的面積為.

圖甲圖乙

11.（2025春?宿城區(qū)校級月考）一個底面是正方形的長方體，高為6c〃?，底面正方形的邊長為5a”.如果

它的高不變，底面正方形邊長增加了。刖,那么它的體積增加了a/（用含。的代

數(shù)式表示）.

12.（2025春?沙坪壩區(qū)校級期末）若x+y=5,孫=6,則（x-y）2-lx-2y=.

13.（2024秋?沙市區(qū)期末）計算I2-22+32-42+52-62+-+992-1002的值為.

三,解答題（共2小題）

14.（2024秋?龍?zhí)秴^(qū)校級期末）化簡：（〃-2）2+4（〃-1）-（。+2）（?-2）.

15.（2024秋?漢川市期末）如圖1,長方形的長為4兒寬為。的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊

小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個如圖2“回形”正方形，

【自主探究】

（1）觀察圖1、圖2,請寫出（a+b）之，（（/-b）?,ah之間的等量關(guān)系式是

【知識運用】

（2）若2x-3y=5,盯=1,運用你所得到的公式，計算（2"3y）2的值;

【知識延伸】

（3）已知（％-2023）2+（x?2025）2=10,求（x?2024）2的值.

4。43=/-3=/，故8錯誤；

足?〃4=〃3+4=/,故。錯誤；

Ca+b)2=a2+2ab+b2.(x+y)2=x2+2x)^+y2,故。錯誤.

故選：A.

【點評】本題考查了哥的運算和整式的乘法公式，正確運用法則進行計算是解決此題的關(guān)健.

3.(2024秋?孝義市期末)下列運算正確的是()

A.a1*a4=as

B.(-Qb)2=-a6b2

C.2crb-3bcr=-crb

D.(〃+2a)(2a-b)=1^-4a2

【考點】平方差公式；合并同類項；同底數(shù)昂的乘法；哥的乘方與積的乘方.

【專題】整式；運算能力.

【答案】C

【分析】利用合并同類項、積的乘方運算、平方差公式，同底數(shù)塞乘法，進行判斷即可.

【解答】解：根據(jù)合并同類項、積的乘方運算、平方差公式，同底數(shù)轉(zhuǎn)乘法逐項分析判斷如下：

246

A、a-a=a,選項運算錯誤，不符合題意；

B、(-a3b)2=a6lr,選項運算錯誤，不符合題意；

C.2a2b-3ba2=-a2b,選項運算正確，符合題意；

。、(b+2a)(2a-b)=-/r+4?2,選項運算錯誤，不符合題意.

故選：C.

【點評】本題考查合并同類項、積的乘方運算、平方差公式，同底數(shù)轅乘法，熱記公式，熟練掌握運算

法則是解答的關(guān)鍵.

4.(2024秋?東區(qū)期末)下列計算正確的是()

A.2ab-2a=bB.a2-a3=a(>

C.3a2b+a=3aD.(2+。)(2-a)=4-a2

【考點】平方差公式；合并同類項；同底數(shù)塞的乘法.

【專題】整式；運算能力.

【答案】。

【分析】根據(jù)運算法則和公式進行計算即可得到答案.

【解答】解：A.2必與2〃不是同類項，不能合并，故選項揩誤，不符合題意；

B.a2^a3=a5,故選項錯誤，不符合題意；

C.3/人與〃不是同類項，不能合并，故選項錯誤，不符合題意;

D.(2+a)(2-?)=4-a2,故選項正確，符合題意.

故選：。.

【點評】此題考查了合并同類項、同底數(shù)鼎乘法、平方差公式，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)法則計算.

5.(2024秋?平輿縣期末)如圖，從邊長為。+1的正方形紙片中剪去一個邊長為a-1的正方形

剩余部分沿虛線剪開，再拼成一個矩形(不重疊無縫隙)，貝]該矩形的面積是()

【考點】平方差公式的幾何背景.

【專題】整式；運算能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)拼圖用代數(shù)式表示拼成的長方形的長與寬，進而利用長方形的面枳公式進行計算即可.

【解答】解：根據(jù)拼圖可知，拼成的長方形的長為(〃+1)+(a-1)=2小寬為(〃+1)-(〃-[)=

2,因此面積為2"x2=4a,

故選：A.

【點評】本題考查平方差公式的幾何背景，用代數(shù)式表示拼成后長方形的長與寬是正確解答的關(guān)鍵.

6.(2024秋?湛江期末)已知(x-2024)2+(x-2026)2=38,則(x-2025)2的值是()

A.4B.18C.12D.16

【考點】完全平方公式.

【專題】整式；運算能力.

【答案】B

【分析】設(shè)."2025=小將己知式子變形為(1-2025+1)2-(x-2025-1)2=38,然后根據(jù)完全平方

公式計算，得出展的值，即可得出答案.

【解答】解：設(shè)%?2025=。，

(x-2024)2+(x-2026)2=38,

/.(x-2025+1)2+(X-2025-I)2=38,

???(4/+1)2+(a-l)2=38,

，M+2a+1+J-2a+l=38,

???2/+2=38,

???2/=36,

即(x-2025)2=18,

故選：B.

【點評】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

7.(2024秋?通遼期末)下列算式能用平方差公式計算的是()

A.(2a+b)(2b-a)B.(2x+1)(-2x-1)

C.(3x-y)(-3x+y)D.(-m+n')(-in-ri')

【考點】平方差公式；完全平方公式.

【專題】整式；運算能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征逐項進行判斷即可.

【解答】解：根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征可知，

A.(2〃+人)(2〃-〃)不能利用平方差公式，因此選項4不符合題意；

B.(2v+l)(-2r-I)=-(2x+l)(2x+l),不能利用平方差公式，因此選項2不符合題意：

C.(3x-y)(-3x+y)=-(3x-.y)(3x-y),不能利用平方差公式，因此選項C不符合題意；

D.(-m+n)(-/〃-〃)=[(-m)+〃][(-/〃)-〃],能利用平方差公式，因此選項D符合題意;

故選：D.

【點評】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確判斷的關(guān)鍵.

8.(2024秋?撫順縣期末)有兩個正方形4,B,現(xiàn)將3放在A的內(nèi)部如圖甲，將A,6并排放置后構(gòu)造新

321

的正方形如圖乙.若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為三;和二則正方形4,B的面枳之和為()

105

A.4B.4.5C.5D.5.5

【考點】平方差公式的幾何背景；完全平方公式的幾何背景.

【專題】數(shù)形結(jié)合：幾何直觀；運算能力.

【答案】B

【分析】分別設(shè)正方形4,8的邊長為小力，再表示出圖甲和圖乙中陰影部分的面積，最后通過整式的

計算可得出答案.

【解答】解：設(shè)正方形A,B的邊長分別為小b,

由圖甲可得，(a-b)2=a2+b2-2ab=..

由圖乙可得,(a+b)2-a2-lr=cr+b2+2ab-a2-b2=2ab=

：.a2+b2=2ab+^=.+磊=4.5.

故選:B.

【點評】本題考查了完全平方公式幾何背景問題的解決能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確表示出相關(guān)圖形面積，并能

進行計算歸納.

二,填空題(共5小題)

9.(2024秋?敖漢旗校級期末)有兩個正方形A,B,現(xiàn)將8放在A的內(nèi)部得圖甲，將A,B并列放置后構(gòu)

造新的正方形得圖乙.若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為7和30,則圖乙面積為.

B

AB

圖甲圖乙

【考點】完全平方公式的幾何背景.

【專題】推理填空題；整式；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)設(shè)正方形A和3的邊長為a和?？傻肅a-b)2=7,2M=30,即可求圖乙的面積.

【解答】解：設(shè)正方形八和B的邊長分別為a和〃，

所以圖甲陰影部分面積為：(a-b)2=7,

a2-2。力+82=7,

圖乙陰影部分面積為：b(a+b)+bCa-h)=30,

即2ab=30,

所以a2+b2=31,

所以圖乙的面積為：（a+〃）2=a1+2ab+b2=（）7.

故答案為67.

【點評】本題考查了完全平方公式的幾何背景，解決本題的關(guān)鍵是利用完全平方公式的變形.

10.（2024秋?桐柏縣期末）有兩個正方形A、B,將A、8并列放置后構(gòu)造新的圖形，分別得到長方形圖甲

與正方形圖乙.若圖甲、圖乙中陰影的面積分別為12與38,則正方形8的面積為7.

圖甲圖乙

【考點】完全平方公式的幾何背景.

【專題】圖表型：運算能力.

【答案】7.

【分析】設(shè)正方形A的邊長為小正方形8的邊長為乩用代數(shù)式表示圖甲、圖乙中陰影的面積，整體

代入計算即可得到答案.

【解答】解：設(shè)正方形A的邊長為公正方形8的邊長為江

22

由題意得：圖甲中陰影的面積為。-a-b=\2f

:?ab-力2=⑵

圖乙中陰影的面積為（a+b）2-（T-/?~=38,

2。6=38,

Aab=19,

???扇=19?12=7,

???正方形B的面積為7,

故答案為：7.

【點評】本題考查了完全平方公式的幾何背景，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

11.（2025春?宿城區(qū)校級月考）一個底面是正方形的長方體，高為6c”底面正方形的邊長為5cM如果

它的高不變，底面正方形邊長增加了。口〃，那么它的體積增加了（6M+60”）a/（用含。的代數(shù)

式表示）.

【考點】完全平方公式的幾何背景；認(rèn)識立體圖形.

【專題】整式；運算能力.

【答案】（6/+60〃）.

【分析】長方體變化后的高為6c〃?，底面邊長為(5+〃)cm,根據(jù)長方體的體積公式求解.

【解答】解：6(〃+5)2-6x5?

=150+60。+6『-150

=(6?2+60?)cm3.

故答案為：(6/+60a).

【點評】本題考查了完全平方公式的幾何背景，認(rèn)識立體圖形，掌握完全平方公式的定義是關(guān)鍵.

12.(2025春?沙坪壩區(qū)校級期末)若x+)，=5,盯=6,則(x-j)2-2x-2y=-9.

【考點】完全平方公式.

【專題】整式：運算能力.

【答案】-9.

【分析】利用完全平方公式變形后代入已知數(shù)值計算即可.

【解答】解：VA+V=5,xy=6,

:.(x-y)2--2y

=(x+y)2-4xy-2(x+y)

=52-4x6-2x5

=25-24-10

=-9,

故答案為：-9.

【點評】本題考查完全平方公式，將原式進行正確地變形是解題的關(guān)鍵.

13.(2024秋?沙市區(qū)期末)計算I2-22+32-42+52-62+-+992-1002的值為-5050.

【考點】平方差公式.

【專題】整式：運算能力.

【答案】-5050.

【分析】根據(jù)平方差公式因式分解即可求解.

【解答】解：i-22+32-42+52-62+-H-992-1002

=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+(5-6)(5+6)+...+(99-100)(99+100)

=-(1+2+3+4+…+99+100)

=-101x50

=-5050.

故答案為：-5050.

【點評】本題考查了平方差公式進行計算，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵.

三.解答題(共2小題)

14.(2024秋?龍?zhí)秴^(qū)校級期末)化簡：(〃-2)2+4(a-1)-32)(a-2).

【考點】平方差公式：完全平方公式.

【專題】整式；運算能力.

【答案】4.

【分析】先利用完全平方公式、單項式乘多項式和平方差公式計算，再合并即可.

【解答】解：(〃-2)2+4Ca-\)-(〃+2)(〃-2)

=cr-4。+4+44-4-?2+4

=4.

【點評】本題考查整式的乘法公式，單項式乘多項式，熟練掌握以上知識點是關(guān)鍵.

15.(2024秋?漢川市期末)如圖I,長方形的長為4力，寬為。的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊

小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個如圖2“何形”正方形，

【自主探究】

(1)觀察圖1、圖2,請寫出(?+/,)2,(a-b)2,帥之間的等量關(guān)系式是(〃+))2-4而=(a-b)

_2_,

【知識運用】

(2)若2.3y=5,xy=l,運用你所得到的公式，計算(2.什3)，)？的值：

【知識延伸】

(3)已知(x-2023)2+(x-2025)2=10,求(x-2024)2的值.

【考點】完全平方公式.

【專題】整式；應(yīng)用意識.

【答案】(1)(〃+人)2-4ah=(a-h)2；

(2)49；

(3)4.

【分析】(1)根據(jù)圖2的面積即可得出答案；

(2)代入到(1)即可得出答案；

(3)令4?2024=/,則(r+1)2+(/-1)2=10,進而得出答案.

【解答】解：(1)觀察圖二可得(。十萬)2-4ab=(a-b)2.

故答案為：(a+b)2-4ah=(a-b)2.

(2)原式=(2v-3y)2+4x2rx3y

=(Zv-3y)2+24盯

=52+24xl

=25+24

=49.

(3)令x-2024=1,

則(r+1)2+(/-1)2=io,

t2+2t+\+t2-2/+l=IO,

P=4,

故(x-2024)2=4.

【點評】本題主要考查完全平方公式，靈活運用完全平方式是解題的關(guān)鍵.

考點卡片

1.合并同類項

（I）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項.

（2）合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.

（3）合并同類項時要注意以下三點：

①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準(zhǔn)確地掌握判斷同類項的兩條標(biāo)準(zhǔn)：帶有相同系數(shù)的代數(shù)項；

字母和字母指數(shù)；

②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經(jīng)過合并同類項，式的項數(shù)會減少，達(dá)到化

簡多項式的目的；

③“合并”是指同類項的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類項的字母和字母的指數(shù)不

變.

2.同底數(shù)幕的乘法

（I）同底數(shù)基的乘法法則：同底數(shù)基相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

〃是正整數(shù)）

（2）推廣：（加，〃，〃都是正整數(shù)）

222

在應(yīng)用同底數(shù)恭的乘法法則時，應(yīng)注意：①底數(shù)必須相同，如23與25,（ab）3與（〃%2）4,（x-y）

與（x-y）3等；②〃可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質(zhì)，只有相乘時才是底數(shù)不變，指數(shù)

相加.

（3）概括整合：同底數(shù)昂的乘法，是學(xué)習(xí)整式乘除運算的基礎(chǔ)，是學(xué)好整式運算的關(guān)鍵.在運用時要抓

住“同底數(shù)”這一關(guān)鍵點，同時注意，有的底數(shù)可能并不相同，這時可以適當(dāng)變形為同底數(shù)暴.

3.賽的乘方與積的乘方

（I）暴的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

（一）〃=""〃（m,〃是正整數(shù)）

注意：①暴的乘方的底數(shù)指的是鼎的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是冢的指數(shù)與乘方的指數(shù)相乘，這里

注意與同底數(shù)呆的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別.

（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的哥相乘.

Cab）〃=/〃（〃是正整數(shù)）

注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)乘方的意義，計

算出最后的結(jié)果.

4.同底數(shù)第的除法

同底數(shù)’曷的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減.

"廿。"=“〃廠〃（存0,加，〃是正整數(shù)，〃?>〃）

①底數(shù)