專題09統(tǒng)計與概率

目錄

明晰學(xué)考要求...................................................................................1

基礎(chǔ)知識梳理...................................................................................2

考點精講精練...................................................................................5

考點一：簡單隨機抽樣與分層抽樣............................................................5

考點二：求幾個數(shù)的數(shù)字特征及性質(zhì)..........................................................7

考點三：頻率分布直方圖....................................................................8

考點四：頻率分布直方圖的數(shù)字特征.........................................................11

考點五：百分位數(shù)的估計...................................................................15

考點六：古典概型的計算...................................................................18

考點七：互斥事件與對立事件...............................................................19

考點八：事件的相互獨立...................................................................20

考點九：利用頻率估計概率.................................................................22

實戰(zhàn)能力訓(xùn)練..................................................................................24

明晰學(xué)者要求Q

1、理解隨機抽樣的必要性和重要性，會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本;了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方

法；

2、了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自

的特點；

3、理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差；

4、能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差），并作出合理的解釋；

5、會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估

計總體的思想；

6、會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題；

7、了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別；

8、了解兩個互斥事件的概率加法公式；

9、理解古典概型及其概率計算公式；

10、會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率;

11、理解事件的相互獨立及乘法公式.

基礎(chǔ)知識梳理02

一、簡單隨機抽樣及分層抽樣

設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回抽取“個個體作為樣本如果每次抽取

定義

時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣

把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌均勻后，每次從中

抽簽法

方法抽取一個號簽，連續(xù)抽取〃次，就得到一個容量為〃的樣本

隨機數(shù)法利用隨機數(shù)表、隨機數(shù)骰子或計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)進行抽樣

①都屬于簡單隨機抽樣，并且要求被抽取樣本的總體的個體數(shù)有限；

抽簽法相同點

②都是從總體中逐個不放回地進行抽取

與隨機

①抽簽法比隨機數(shù)法操作簡單；

數(shù)法不同點

②隨機數(shù)法更適用于總體中個體數(shù)較多的時候，而抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的情況

利用隨機數(shù)法抽取個體時的注意事項：

①定起點：事先應(yīng)確定以表中的哪個數(shù)（哪行哪列）作為起點.

②定方向：讀數(shù)的方向（向左、向右、向上或向下都可以）.

③讀數(shù)規(guī)則：讀數(shù)時結(jié)合編號的特點進行讀取，編號為兩位數(shù)則兩位兩位地讀取，編號為三位數(shù)則三位三

位地讀取，如果出現(xiàn)重復(fù)則跳過，直到取滿所需的樣本個體數(shù).

分層抽樣：①定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定

數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣.

②應(yīng)用范圍：當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣.

注意：分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個體數(shù)為該層的個體數(shù)乘以抽樣比.

二、頻率分布直方圖

1.畫頻率分布直方圖的步驟

第1步：求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）；第2步：決定組距與組數(shù)；第3步：將數(shù)據(jù)分組；

第4步：列頻率分布表；第5步：畫頻率分布直方圖（以橫軸表示樣本分組，縱軸表示頻率與組距的比值）.

2.頻率分布直方圖的性質(zhì)：落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示，且各小長方形的面積和等于1.

三、數(shù)字特征

①眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

數(shù)字特征樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖

眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)取最高的小長方形底邊中點的橫坐標

將數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最中間位置的一個把頻率分布直方圖劃分左右兩個面積相等的

中位數(shù)

數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）分界線與X軸交點的橫坐標

每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫

平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)

坐標之和

②極差、方差和標準差

極差：即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.

2222

方差：S=—[(%)-X)+(X,-X)H----F(xn-X)].

n

標準差：S—J—[(再—X)"+(%2—X)2H----F(X“—X)~].

Vn

注：方差和標準差反映了數(shù)據(jù)波動程度的大小.標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越波動；標準

差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.

③性質(zhì)

(1)若再,工2，'’'，％的平均數(shù)為亍，那么加再+a,加工2+。，…，〃此“+。的平均數(shù)為加亍+。.

(2)數(shù)據(jù)為,工2,…，X”與數(shù)據(jù)為'=再+a,/'=%+%…，X，=x“+。的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差

不變.

(3)若為戶2,…，X”的方差為s?，那么"1+伍仁+4…，監(jiān)+方的方差為。2s2.

四、百分位數(shù)

1.定義：一組數(shù)據(jù)的第〃百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有0%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，

且至少有(100-/?)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

2.計算一組幾個數(shù)據(jù)第p百分位數(shù)的步驟

第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；第2步，計算戶“xp%.

第3步，若，不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為則第〃百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第〃百分

位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

3.四分位數(shù)

即把所有數(shù)值由小到大排列并分成四等份，處于三個分割點位置的數(shù)值就是四分位數(shù).

其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位

數(shù)等.

五、事件間的關(guān)系及運算

定義符號表示圖示

如果事件/發(fā)生，則事件3一定發(fā)生，這時稱事

包含關(guān)系324(或/U3)(^)

件B包含事件/(或稱事件A包含于事件B)---

相等關(guān)系若3?/且則事件N與事件8相等A=B

并事件若某事件發(fā)生當且僅當事件/發(fā)生或事件2發(fā)生，

4U8（或4+8）（

（和事件）稱此事件為事件A與事件B的并事件（或和事件）GO

Q

若某事件發(fā)生當且僅當事件/發(fā)生且事件8發(fā)生，

交事件

則稱此事件為事件/與事件B的交事件（或積事/CLB（或4?B）（

（積事件）oo

件）Q

互斥事件若4nB為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥Ar\B=0OQ

若為不可能事件，NU2為必然事件，那么如8=0且

對立事件

稱事件A與事件B互為對立事件A\JB=C1O'

Q

五、古典概型

1.古典概型的特征：（1）有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

（2）等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.

2.古典概型的概率計算公式

一般地，設(shè)試驗￡是古典概型，樣本空間a包含〃個樣本點，事件/包含其中左個樣本點，則定義事件n

的概率尸（2）=幺=皿

n〃（Q）

其中“⑷和“（0分別表示事件/和樣本空間a包含的樣本點個數(shù).

3.概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)1：對任意的事件/,都有尸（/巨0.

性質(zhì)2：必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即尸（Q）=l,0（0）=0.

性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P（NU3）=尸（/）+尸（8）.

性質(zhì)4：如果事件/與事件3互為對立事件，那么尸（8）=1-P（Z）,尸（2）=1-0彩）.

性質(zhì)5：如果那么P（Z）WP⑻.

性質(zhì)6：設(shè)/,3是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有尸（Zu8）=尸（2）+尸（8）—尸（ZcB）.

六、相互獨立事件

1、定義：對任意兩個事件/與3,如果尸（Z8）=尸（Z）尸（8）成立，則稱事件/與事件3相互獨立，簡稱

為獨立.

2、判斷事件是否相互獨立的方法

（1）定義法：若事件N的發(fā)生對事件8的發(fā)生概率沒有影響，反之亦然，則這兩個事件是相互獨立的

（2）公式法：若對兩事件/,8有P（/8）=P（Z）P（8）,則事件N,8相互獨立.

3、相互獨立事件的概率計算

已知兩個事件8相互獨立，它們的概率分別為P（N）,P（B）,則有

事件概率

A,B同時發(fā)生P(A)P(B)

A,2都不發(fā)生P(，)P(B)

A,8恰有一個發(fā)生P(A)P(B)+尸(A)p@)

A,8中至少有一個發(fā)生P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

A,2中至多有一個發(fā)生P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

七、頻率穩(wěn)定性

大量試驗表明，在任何確定次數(shù)的隨機試驗中，一個隨機事件/發(fā)生的頻率具有隨機性.一般地，隨著試

驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件N發(fā)生的頻率工（A）會逐漸穩(wěn)定于事件N發(fā)生的概

率尸（/）.我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率工（N）估計概率？（/）.

如果在〃次重復(fù)進行的試驗中，事件/發(fā)生的頻率犯，當〃很大時，可以認為事件/發(fā)生的概率P（N）的估

n

計值為:，且OWP（/）W1.

考點精浴精練0

考點一：簡單隨機抽樣與分層抽樣

（1）簡單隨機抽樣需滿足：①被抽取的樣本總體的個體數(shù)有限；②逐個抽??；③是不放回抽取；④是等可

能抽取，常有抽簽法（適用于總體中個體數(shù)較少的情況）、隨機數(shù)法（適用于個體數(shù)較多的情況）.

該層樣本量〃該層抽取的個體數(shù)

（2）分層隨機抽樣中有關(guān)計算的方法:①抽樣比=

總樣本量N該層的個體數(shù)

②總體中某兩層的個體數(shù)之比=樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比.

【典型例題】

例1.（2021高二上?新疆?學(xué)業(yè)考試）從24名數(shù)學(xué)教師，16名物理教師，8名化學(xué)教師中，用分層抽樣的方

法抽取一個容量為6的樣本，則抽取數(shù)學(xué)教師的人數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

例2.（2023高三上?廣西?學(xué)業(yè)考試）一支羽毛球隊有男運動員20人，女運動員15人，按性別進行分層.用

分層隨機抽樣的方法從全體運動員中抽出一個容量為7的樣本.如果樣本按比例分配，那么女運動員應(yīng)抽

取的人數(shù)為（）

A.2B.3C.5D.6

例3.（2023高二上?新疆?學(xué)業(yè)考試）對總數(shù)為N的一批零件抽取一容量為20的樣本，若每個零件被抽取的

可能性為20%,則"為（）

A.150B.120C.100D.40

例4.（2024高二下?福建?學(xué)業(yè)考試）已知男女生共有100人，其中男生45人，現(xiàn)從100人中抽20人，則

抽出的20人中男生有人.

【即時演練】

1.下列抽樣的方式屬于簡單隨機抽樣的個數(shù)為（）

①從500個個體中一次性抽取50個作為樣本；

②將500個個體編號，把號簽放在一個不透明的容器內(nèi)攪拌均勻，從中逐個抽取50個作為樣本；

③某班有55個同學(xué)，指定個子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽；

④福利彩票用搖獎機搖獎.

A.1B.2C.3D.4

2.某工廠生產(chǎn)4B,C三種不同型號的產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為2:2:6,用分層抽樣的方法抽取一個容量為

”的樣本.若樣本中C型號的產(chǎn)品有120件，則樣本容量”為（）

A.150B.180C.200D.250

3.某商場有四類食品，食品類別和種數(shù)見下表.現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測.若采用

分層隨機抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是.

類別糧食類植物油類動物性食品類果蔬類

種數(shù)40103020

4.要考查某種品牌的850顆種子的發(fā)芽率，從中抽取50顆種子進行實驗，利用隨機數(shù)表法抽取種子，先將

850顆種子按001、002、L、850進行編號，如果從隨機數(shù)表第2行第2列的數(shù)開始并向右讀，則抽到的

第4顆種子的編號是.（下面抽取了隨機數(shù)表第1行至第3行）

03474373863696473661469863716233261680456011141095

97749467744281145720425332373227073607512451798973

16766227665650267107329079785313553858598897541410

考點二：求幾個數(shù)的數(shù)字特征及性質(zhì)

【典型例題】

例1.（2023高二下?浙江溫州?學(xué)業(yè)考試）某地區(qū)連續(xù)六天的最低氣溫（單位：。0為：10,9,8,7,6,8,若該

六天最低氣溫的平均數(shù)和眾數(shù)分別為a,b,則a+b=.

例2.（2024高二上?新疆?學(xué)業(yè)考試）數(shù)據(jù)為,9,％的平均數(shù)為8,數(shù)據(jù)%,"的平均數(shù)為員.如果滿

足必=3%+2,%=3尤2+2,%=3x“+2,貝!!3=.

例3.（2024高二下?浙江?學(xué)業(yè)考試）若一組數(shù)據(jù)再處,％的方差是5,則數(shù)據(jù)3%-1,3.7,…,31-1的方

差是__________

于“，后面一空選填“甲”或“乙”）

【即時演練】

1.若一組數(shù)據(jù)為1,1,2,3,2,3,5,4,3,6,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為.

2.國家射擊運動員在某次訓(xùn)練中的8次射擊成績（單位：環(huán)）分別為10,7,8,10,尤，10,8,6,其中

x為整數(shù)，若這8次射擊成績的中位數(shù)為9,則x=（）

A.6B.7C.9D.10

3.已知某組數(shù)據(jù)為x,y,8,10,11.它的平均數(shù)為8,方差為6,則/+/的值為.

4.已知一組數(shù)據(jù)再,x”的平均數(shù)為10,方差為2,若這組數(shù)據(jù)2占-…，2/-1的平均數(shù)為a,

方差為6,貝1J口=b=.

考點三：頻率分布直方圖

頻率

(1)由于頻率分布直方圖中的縱坐標為篇9,因此涉及縱坐標中含參數(shù)的問題，應(yīng)根據(jù)頻率之和為1列式求

組距

解；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖(表)求樣本數(shù)據(jù)在某一區(qū)間內(nèi)的頻率就是樣本數(shù)據(jù)在該區(qū)間內(nèi)的各組頻率的和，而

求解相應(yīng)的頻數(shù)還要根據(jù)頻率乘以樣本容量；

(3)若所求區(qū)間包含頻率分布直方圖中非分組的端點，可以利用“比例法”求解.

【典型例題】

例1.(2023高三上?江蘇徐州?學(xué)業(yè)考試)為了解學(xué)生某月課外閱讀的情況，抽取了〃名學(xué)生進行調(diào)查并根

據(jù)調(diào)查結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，若閱讀時間(單位：小時)在[30,50]的學(xué)生有210人，貝!)〃=

()

頻率

A.300B.360C.400D.480

例2.(2024高二下?云南?學(xué)業(yè)考試)某校為了解今年春季學(xué)期開學(xué)第一周，高二年級學(xué)生參加學(xué)校社團活

動的時長，有關(guān)部門隨機抽查了該校高二年級100名同學(xué)，統(tǒng)計他們今年春季學(xué)期開學(xué)第一周參加學(xué)校社

團活動的時長，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中這100名同學(xué)今年春季學(xué)期開學(xué)第一周參加學(xué)校

社團活動的時長(單位:小時)范圍是[2,12],數(shù)據(jù)分組為[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12].這100名同學(xué)中,

今年春季學(xué)期開學(xué)第一周參加學(xué)校社團活動的時長不少于6小時的人數(shù)為人.

頻率

A組距

X一一

1

14二二

2

1

0.05

0.04

O24681012小時

例3.(2024高二下?天津南開?學(xué)業(yè)考試)為了研究網(wǎng)民的上網(wǎng)習(xí)慣，某機構(gòu)隨機抽取了年齡在10歲到60

歲的網(wǎng)民進行問卷調(diào)查，按年齡分為5組，即[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60],并繪制出頻

率分布直方圖，如圖所示.若按分層抽樣的方法，從上述網(wǎng)民中抽取“人做采訪，其中年齡在［30,40）中被

例4.（2023高二上?山西?學(xué)業(yè)考試）某高校為了解學(xué)習(xí)貫徹習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想主題教育

的學(xué)習(xí)情況，對全體黨員進行了黨史知識測試，從中隨機抽取200名黨員的測試成績，進行適當分組（每

組為左閉右開的區(qū)間），整理得到如下的頻率分布直方圖，則成績在［70,90）內(nèi)的頻率為.

【即時演練】

1.2020年第1期深圳車牌搖號競價指標共6668個，某機構(gòu)從參加這期車牌競拍且報價在1-8萬元的人員

中，隨機抽取了若干人的報價，得到的部分數(shù)據(jù)整理結(jié)果如下：

報價區(qū)間

［1，2）[2,3)[3,4：

（單位：萬元）

頻數(shù)103640

頻率/組距

0.30iii11

Vn.ZJiii11

i1

___i___1

0.20i1

1

0.15---

0.10

0.05

十i、

O12345678報價/萬元

則在這些競拍人員中，報價不低于5萬元的人數(shù)為()

A.30B.42C.54D.80

2.從某高中高三年級1000名隨機選取100名學(xué)生一次數(shù)學(xué)統(tǒng)測測試成績，分為6組：[65,70),[70,75),

[75,80),[80,85),[85,90),[90,95],繪制了頻率分布直方圖如圖所示,按此圖估計，則高三年級全體學(xué)

生中，成績在區(qū)間[70,85)內(nèi)的學(xué)生有()

A.600名B.650名C.60名D.65名

3.某中職學(xué)校為了解全校學(xué)生國慶小長假期間閱讀古典名著的時間的情況，抽查了1000名學(xué)生，將他們

的閱讀時間進行分組：[2,4),[4,6),[68),[8,10)口0,12].抽樣結(jié)果繪成的頻率分布直方圖如圖所示.則實數(shù)

a=.這1000名學(xué)生閱讀古典名著的時間不少于8小時的人數(shù)為.

頻率

Anr-

o5

o4

。24681012閱讀時間/小時

4.某市為了了解學(xué)生的體能情況，從全市所有高一學(xué)生中按90:1的比例隨機抽取200人進行一分鐘跳繩測

試，將所得數(shù)據(jù)整理后，分為6組畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，由于操作失誤，導(dǎo)致第一組和第二組

的數(shù)據(jù)丟失，但知道第二組頻率是第一組的2倍.

⑴求。和6的值；

(2)若次數(shù)在120以上(含120次)為優(yōu)秀，試估計全市高一學(xué)生的優(yōu)秀率是多少？全市優(yōu)秀學(xué)生的人數(shù)約為

多少？

考點四：頻率分布直方圖的數(shù)字特征

用頻率分布直方圖估計總體數(shù)字特征的方法：

(1)眾數(shù)：最高小長方形底邊中點的橫坐標；

(2)中位數(shù)：平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標；

(3)平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘小長方形底邊中點的橫坐標之和.

【典型例題】

例1.(2023高二下?浙江溫州?學(xué)業(yè)考試)某游泳館統(tǒng)計了2022年8月1日到30日某小區(qū)居民在該游泳館

的鍛煉天數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖(將頻率視為概率)，則下列說法正確的是()

A.估計該小區(qū)居民在該游泳館的鍛煉天數(shù)的平均值為14

B.估計該小區(qū)居民在該游泳館的鍛煉天數(shù)的眾數(shù)為18

C.已知天數(shù)在區(qū)間［15,20］鍛煉人數(shù)為30人，則總共鍛煉了500人

D.估計該小區(qū)居民在該游泳館的鍛煉天數(shù)的中位數(shù)約為14.255

例2.(2023高二下?浙江杭州?學(xué)業(yè)考試)為了解某地兒童生長發(fā)育情況,抽查了100名3周歲女童的身高(cm),

將統(tǒng)計結(jié)果繪制成頻率分布直方圖如圖，則可以估計這100名女童身高的平均值為cm.

頻率

例3.(2012高一下?江蘇淮安?學(xué)業(yè)考試)為了了解某校女生視力情況，某中學(xué)對女生視力進行了一次測量,

所得數(shù)據(jù)整理后列出了頻率分布表如下:

組別頻數(shù)頻率

[0.85,0.95)10.02

[0.95,1.05)40.08

[1,05,1.15)200.40

[1.15,1.25)150.30

[1,25,1.35)80.16

[1,35,1.45]mn

合計MN

「頻率/組距

3.

2.

1?

O0.850.951.051力

(1)求出表中優(yōu)，n,M,N所表小的數(shù)分別是多少？

(2)將頻率分布直方圖補充完整；

(3)利用組中值計算女生視力的平均值.

例4.(2023高一?全國?學(xué)業(yè)考試)某市司法部門為了宣傳《中華人民共和國憲法》舉辦法律知識問答活動,

從該市18?68歲的人群中隨機抽取一個容量為〃的樣本，并將樣本按年齡分成五組：［18,28)、［28,38)、

［38,48)、［48,58)、［58,68］,再將其按從左到右的順序分別編號為第1組，第2組，L,第5組，繪制了樣

本的頻率分布直方圖.對回答問題的情況進行統(tǒng)計后，結(jié)果如下表所示.

組號分組回答正確的人數(shù)回答正確的人數(shù)占本組的比例

第1組[18,28)50.5

第2組[28,38)18a

第3組[38,48)270.9

第4組[48,58)X0.36

第5組[58,68]30.2

⑴分別求出。、x的值；

⑵從第2、3、4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，則第2、3、4組各應(yīng)抽取多少人?

(3)根據(jù)頻率分布直方圖估算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù).

【即時演練】

1.某校組織50名學(xué)生參加慶祝中華人民共和國成立75周年知識競賽，經(jīng)統(tǒng)計這50名學(xué)生的成績都在區(qū)

間[50,100]內(nèi)，按分數(shù)分成5組：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方

B.成績不低于80分的學(xué)生所占比例為50%

C.50名學(xué)生成績的極差為50

D.50名學(xué)生成績的平均分小于中位數(shù)

2.某車間從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機抽取了1000個零件進行一項質(zhì)量指標的檢測，整理檢測結(jié)果得此項質(zhì)

量指標的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是()

B.估計這批產(chǎn)品該項質(zhì)量指標的眾數(shù)為45

C.估計這批產(chǎn)品該項質(zhì)量指標的中位數(shù)為60

D.從這批產(chǎn)品中隨機選取1個零件，其質(zhì)量指標在[50,70)的概率約為0.5

3.某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名，將其物理成績（均為整數(shù)）分成六段［40,50）,［50,60）,

…，［90,100］后畫出如圖所示的頻率分布直方圖.觀察圖中的信息，設(shè)估計這次考試的物理成績的平均分為

N（用"＞或＜或="作答）

4.某校抽取100名高二學(xué)生期中考試的語文成績，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組

區(qū)間為：[40,50),[50,60),..[80,90),[90,100].

（1）求頻率分布直方圖中a的值;

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學(xué)生語文成績的眾數(shù)和平均數(shù).

考點五：百分位數(shù)的估計

（1）求一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)時,一定要先將該組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖計算樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)，首先要理解頻率分布直方圖中各組數(shù)據(jù)頻率的計算方法,

其次估計百分位數(shù)在哪一組，再應(yīng)用方程的思想方法及比例法，設(shè)出百分位數(shù)，利用比例列方程求解.

【典型例題】

例1.（2022高二下?安徽馬鞍山?學(xué)業(yè)考試）高二年級某班甲同學(xué)自進入高中以來，每次數(shù)學(xué)考試成績情況

如下：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101

計算出學(xué)生甲的第25,50百分位數(shù)（）

A.86,98B.85,98.5C.85,97.5D.86,99

例2.（2020高二下?山東?學(xué)業(yè)考試）一組數(shù)據(jù)：W,3,5,5,l,l,x,y,其中xj為正整數(shù)，且力九若該組

數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為2.5,則該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為（）

A.1B.3C.5D.7

例3.（2022高二下?河北?學(xué)業(yè)考試）某校為了解高一年級學(xué)生的體育健康標準測試（簡稱“體測”）成績的

分布情況，從該年級學(xué)生的體測成績（規(guī)定滿分為100分）中，隨機抽取了80名學(xué)生的成績，并進行分組:

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],繪制成如下頻率分布直方圖，該校高一年級學(xué)生體測成績

例4.（2023高二?安徽?學(xué)業(yè)考試）某校為了解學(xué)生課外閱讀情況，對該校學(xué)生的年閱讀量（單位：本）進

行抽樣調(diào)查，將調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)所在的區(qū)間為

（）

【即時演練】

1.已知一組數(shù)據(jù)為：1,1,2,4,5,3,3,2,3,2,則這組數(shù)據(jù)（）

A.中位數(shù)為2B.眾數(shù)為2C.70百分位數(shù)為3D.平均數(shù)為3

2.某市九月份30天的空氣質(zhì)量指數(shù)如下:

54515362525250586160

63625957581718302931

40558473447067444684

則將該市空氣質(zhì)量指數(shù)按照從低到高的順序排列，其80%分位數(shù)是（）

A.61B.62C.61.5D.62.5

3.某省教育廳對全省高三學(xué)生采用分層抽樣的方式抽取了1000名學(xué)生參加化學(xué)，物理和英語三大學(xué)科的

抽樣考試，目的是為了更好地應(yīng)對新高考的改革來調(diào)整日常教學(xué)同時檢查各個學(xué)校的教學(xué)成果，考試結(jié)束

后對這1000名同學(xué)的化學(xué)成績進行統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間

中間值作為代表值，則這些同學(xué)化學(xué)成績的上四分位數(shù)約為（）

A.79.5分B.82.5分C.81分D.82分

4.某市為了了解該市的“全民健身運動”的開展情況，從全體市民中隨機調(diào)查了100位市民每天的健身運動

時間（健身運動時間是考查“全民健身運動”情況的重要指標），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間［5,40］（單位：分鐘）中,

其頻率直方圖如圖所示，估計市民健身運動時間的樣本數(shù)據(jù)的70百分位數(shù)是（）

A.29分鐘B.27分鐘C.29.5分鐘D.30.5分鐘

考點六：古典概型的計算

（1）判斷是否為古典概型，關(guān)鍵是看它是否同時滿足兩個特征:有限性和等可能性；

（2）計算古典概型事件的概率步驟：①算出樣本點的總個數(shù)n；②求出事件A所包含的樣本點個數(shù)左；

③代入公式求出概率尸（Z）.

【典型例題】

例1.（2024高二下?福建?學(xué)業(yè)考試）某高中開設(shè)7門課，3門是田徑，某學(xué)生從7門中選一門，選到田徑

的概率為（）

1134

A.—B.-C.—D.—

7377

例2.（2022高二下?河北?學(xué)業(yè)考試）從長度為1,2,3,4,5的5條線段中任取3條，則以這三條線段為邊能構(gòu)

成一個三角形的概率是（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

例3.（2022高二下?河北?學(xué)業(yè)考試）從2名男生和2名女生中任意選出兩人參加冬奧知識競賽，則選出的

兩人恰好是一名男生和一名女生的概率是（）

211

A.—B.—C.—D.~

3234

例4.（2021高二上?新疆?學(xué)業(yè)考試）同時擲兩個骰子一次，計算向上的點數(shù)，求：

（1）點數(shù)之和是7的概率；

（2）點數(shù)中恰有一個奇數(shù)和一個偶數(shù)的概率.

【即時演練】

1.從三名男生和兩名女生中任意選出兩人參加冬奧知識競賽，則選出的兩人恰好是一名男生和一名女生的

概率為（）

23612

A.-B.-C.—D.—

552525

2.從標有1,2,3,4,5,6的六張卡片中無放回隨機抽取兩張，則抽到的兩張卡片數(shù)字之積是3的倍數(shù)

的概率為（）

3.某袋子中有大小相同的4個白球和2個紅球，甲乙兩人先后依次從袋中不放回取球，每次取1球，先取

到紅球者獲勝，則甲獲勝的概率（）

,842

A.—B.-C.—D.一

15553

4.人類四種血型與基因類型的對應(yīng)關(guān)系為：0型對應(yīng)基因類型ii,A型對應(yīng)基因類型ai或aa,B型對應(yīng)基

因類型bi或bb,AB型對應(yīng)基因類型ab.其中a和b是顯性基因，i是隱性基因.一對夫妻的血型一個是A

型，一個是B型，則其子女的血型中最可能出現(xiàn)的是_________型，概率值為.

考點七：互斥事件與對立事件

設(shè)事件A與B所含的結(jié)果組成的集合分別為A,B.

①若事件件4與B互斥,則集合Ar>B=0；②若事件件A與B對立,則集合/=0且=

【典型例題】

例1.（2021高二?湖北?學(xué)業(yè)考試）明明同學(xué)打靶時連續(xù)射擊三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）

A.三次均未中靶B.只有兩次中靶

C.只有一次中靶D.三次都中靶

例2.（2023高三?廣東?學(xué)業(yè)考試）某人連續(xù)投籃兩次，則他至少投中一次的對立事件是（）

A.至多投中一次B.兩次都投中

C.只投中一次D.兩次都沒投中

例3.（2023高三?上海?學(xué)業(yè)考試）某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是0.2,0.3,

0.1,則該射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為（）

A.0B.0.3C.0.6D.0.4

例4.（2024高二下?浙江?學(xué)業(yè)考試）已知43是互斥事件，且尸（4）=；,尸（3）=；,則尸（NUB）=.

【即時演練】

173

1.已知隨機事件A,8滿足尸（N）=5，P（B）=M，P（AUB）=~,貝！］尸（NCB）=（）

2.一名射擊愛好者擊中目標的概率是不能擊中目標概率的3倍，設(shè)X表示其擊中目標的次數(shù)，若他射擊一

次，則尸（X=l）的值是（）

11

A.0.33B.-C.0.75D.-

32

3.袋子中有一些大小質(zhì)地完全相同的紅球、白球和黑球，從中任意摸出一球，摸出的球是紅球或白球的概

率為0.56,摸出的球是紅球或黑球的概率為0.68,則摸出的球是白球或黑球的概率為（）

A.0.64B.0.72C.0.76D.0.82

4.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，下列事件與事件“至少一枚硬幣正面朝上”互為對立的是（）

A.至多一枚硬幣正面朝上B.只有一枚硬幣正面朝上

C.兩枚硬幣反面朝上D.兩枚硬幣正面朝上

考點八：事件的相互獨立

求相互獨立事件的概率的步驟：①先用字母表示出事件，再分析題中涉及的事件,并把題中涉及的事件分為若

干個彼此互斥事件的和;②求出這些彼此互斥事件的概率;③根據(jù)互斥事件的概率計算公式求出結(jié)果.

【典型例題】

12

例1.（2023高三上?廣西?學(xué)業(yè)考試）甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別是不與7.甲、乙兩人在罰

23

球線各投球1次，假設(shè)兩人投球是否命中互不影響，則甲、乙兩人投球都命中的概率為（）

1111

A.—B.-C.-D.一

3456

例2.（2024高二下?云南?學(xué)業(yè)考試）甲、乙兩名同學(xué)進行投籃練習(xí)，已知甲命中的概率為0.7,乙命中的概

率為0.8,且甲、乙兩人投籃的結(jié)果互不影響，相互獨立.甲、乙兩人各投籃一次，求下列事件的概率：

（1）甲、乙兩人都命中；

（2）甲、乙兩人至少有一人命中.

例3.（2024高二下?湖南?學(xué)業(yè)考試）某射擊運動員在一天的射擊訓(xùn)練中射靶100次，訓(xùn)練成績統(tǒng)計結(jié)果如

圖所示.

(1)請估計這名運動員射擊成績的眾數(shù);

(2)請估計這名運動員射擊一次命中9環(huán)的概率；

(3)如果這名運動員連續(xù)射擊兩次，每次射擊成績互不影響，請估計他兩次命中環(huán)數(shù)都大于8環(huán)的概率.

例4.(2023高二下?遼寧?學(xué)業(yè)考試)某項選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進入

下一輪考核，否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為:，且

各輪問題能否回答正確互不影響.求：

(1)該選手進入第三輪考核才被淘汰的概率；

(2)該選手至多進入第二輪考核的概率.

【即時演練】

1.某大學(xué)選拔新生進“籃球”“舞蹈”“美術(shù)”三個社團，據(jù)資料統(tǒng)計，新生通過考核選拔進入這三個社團成功

與否相互獨立.假設(shè)某新生通過考核選拔進入“籃球”“舞蹈”“美術(shù)”三個社團的概率依次為m,n,已知三

2

17

個社團他都能進入的概率為六，至少進入一個社團的概率為x，則()

189

1121

A.m=—,n=—B.m=—,n=—

3332

2111

C.m=—,n=—D.m=—,n=—

3332

2.某乒乓球隊在長春訓(xùn)練基地進行封閉式集訓(xùn)，甲、乙兩位隊員進行對抗賽，每局依次希頓發(fā)球，連續(xù)贏

21

2個球者獲勝，通過分析甲、乙過去對抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為；，乙發(fā)球甲贏的概率為：，不

34

同球的結(jié)果互不影響，已知某局甲先發(fā)球.則該局打4個球甲贏的概率為（）

A.-B.-C.—D.—

361224

3.甲、乙兩人從九寨溝、峨眉山和青城山這三個景點中各選擇其中一個景點游玩，已知甲、乙兩人選擇三

個景點游玩的概率分別是:，!和;，;，!，則甲、乙兩人選擇相同的景點游玩的概率為_________.

362442

4.是一種數(shù)學(xué)軟件，用于數(shù)據(jù)分析、無線通信、深度學(xué)習(xí)、圖象處理與計算機視覺、信號處理、量

化金融與風險管理、人工智能機器人和控制系統(tǒng)等領(lǐng)域，推動了人類基礎(chǔ)教育和基礎(chǔ)科學(xué)的發(fā)展，某中學(xué)

舉行了科普講座后進行了問答比賽，已知甲乙兩個同學(xué)互不影響地參加比賽，甲、乙答對每一道題

的概率分別為:與。，乙連續(xù)2次答錯的概率為土.

216

⑴求乙答對題的概率；

（2）若甲、乙兩人各回答2次，求兩人共答對3次的概率.

考點九：利用頻率估計概率

頻率是事件Z發(fā)生的次數(shù)加與試驗總次數(shù)"的比值，利用此公式可求出它們的頻率.頻率本身是隨機變量，當

“很大時，頻率總是在一個穩(wěn)定值附近擺動，這個穩(wěn)定值就是概率.

【典型例題】

例1.（2024高二下?湖北?學(xué)業(yè)考試）從某自動包裝機包裝的奶粉中，隨機抽取2