高考新動向1數(shù)學(xué)歸納法和圖像法解決多次碰撞問題

當兩個物體之間或物體與擋板之間發(fā)生多次碰撞時，因碰撞次數(shù)較多，過程復(fù)雜，在求

解多次碰撞問題時，通?？捎玫揭圆穬煞N方法：

先利用所學(xué)知識把前兒次碰撞過程理順，分析透徹，根據(jù)前兒次數(shù)據(jù)，利用

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)歸納法，可寫出以后碰撞過程中對應(yīng)規(guī)律或結(jié)果，然后可以計算全程的

歸納法

路程等數(shù)據(jù)

通過分析前幾次碰撞情況，畫出物體對應(yīng)的。一/圖像，通過圖像可使運動過

圖像法

程清晰明了，并且可通過圖像所圍面積把物體的位移求出

例1(2022?山東日照市一模)如圖所示，質(zhì)量加i=L9kg的靶盒A靜止在固定平臺上的。點

(未畫出)，輕彈簧的一端固定，另一端靠著靶盒(不連接)，此時彈簧處于自然長度，彈簧的勁

度系數(shù)4=184N/m.長度，=2.25m、質(zhì)量儂=1.0kg的木板8靜止在光滑的水平面上,木板

上表面與平臺等高，且緊靠平臺右端放置，距離平臺右端d=4.25m處有豎直墻壁.某射擊

者根據(jù)需要瞄準靶盒，射出一顆水平速度的=100m/s、質(zhì)量〃?o=O.lkg的子彈，當子彈從靶

盒右端打入靶盒后，便留在盒內(nèi)(在極短的時間內(nèi)子彈與靶盒達到共同速度)，最終靶盒恰好

沒有從木板的右端脫離木板.已知靶盒與平臺、與木板上表面間的動摩擦因數(shù)〃均為0.2,

最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，木板與墻壁碰撞沒有能量損失，靶

盒與子彈均可視為質(zhì)點，取g=10m/s，彈簧的彈性勢能可表示為：廝=//，女為彈簧的勁

度系數(shù)，x為彈簧的形變量)求：

“墻壁

平臺光滑水平面

(1)子彈射入靶盒的過程中，系統(tǒng)損失的動能；

(2)靶盒剛離開彈簧時的動能；

(3)。點到平臺右端的距離；

(4)木板運動的總路程.

答案(1)475J(2)21J(3)3m(4)3.125m

解析(1)子彈射入靶盒的過程中，由動量守恒定律有"Wo=。川+mo)v,得。=5m/s

系統(tǒng)損失的動能

△Ek=品0如2--(w)+/Mo爐,

解得AEk=475J;

(2)子彈進入靶盒后，設(shè)靶盒向左運動的最大距離為上由能量守恒定律有

1(/H|+tfio)v2=4?！↖+mo)gx+^kx1,

解得A=0.5m,

靶盒再次返回到。點時離開彈黃，設(shè)此時動能為Ek,

由動能定理有

-2Mmi+"io)gx=反一；(〃??+wo)/,

解彳導(dǎo)比=21J:

(3)設(shè)。點到平臺右端的距離為s,靶盒A離開。點后僅在摩擦力的作用下做勻減速直線運動，

滑上木板后，木板與墻壁多次碰撞，最終靶盒停在木板右端，

由能量守恒定律得反=〃(也+mo)g(s+1),

解得5=3m：

(4)設(shè)耙盒滑上長木板時的速度大小為。1,由動能定理有

一"(〃?i+mo)gs=?+m()}vI2-Ek,

解得Vi=3m/s,

設(shè)之后靶盒與木板達到共同速度,("h+〃?())0=Q"i+〃?o+〃?2)Oi',

解得S'=2m/s,該過程中木板的位移為si,

木板的加速度為4,+〃“)%=〃?2〃，

2

根據(jù)。J=2as\t

解得$i=0.5m<d—/,

說明木板與墻壁碰撞之前已經(jīng)與靶盒達到共同速度，木板第一次與墻壁碰撞之后向左減速，

經(jīng)位移大小si速度減為0,再向右加速，設(shè)與靶盒達到共同速度S,以向右為正方向(U同),

1

有(如+〃幻)。|'—m2V\=(W|+〃而+〃12)。2,可得'，

木板第二次與墻壁碰撞之后向左減速，經(jīng)位移大小S2速度減為0,再向右加速022=2。&,設(shè)

第二次與墻壁碰撞之后，把盒與木板達到共同速度仍，

(5?+iru))V2-m2s=(〃?i+rn()+〃”)。3,

11..

。3=F2=(?為1,

2

第三次與墻壁碰撞之后，經(jīng)位移大小S3速度減為0,再向右加速，V3=2as3,

第〃次與墻壁碰撞之后，耙盒與木板達到共同速度為+|,如+|=(；)"5’

2

經(jīng)位移大小品速度減為0,再向右加速，v,i+]=2asn+],

木板的路程L=d-/+2sI+2$2+…+2s〃+i,

即L=d-/+^—(1+/+$H------

解得L=3.125m.

例2(2022.山東濰坊市高三期末)如圖所示，在光滑水平面上放置一端帶有擋板的長直木板

4,木板4左端上表面有一小物塊以其到擋板的距離為〃=2m,4、B質(zhì)量均為m=1kg,

不計一切摩擦.從某時刻起，8始終受到水平向右、大小為尸=9N的恒力作用，經(jīng)過一段時

間,3與A的擋板發(fā)生碰撞,碰撞過程中無機械能損失,碰撞時間極短.重力加速度g=10m/s2.

求：

(1)物塊3與A擋板發(fā)生第一次碰撞后的瞬間，物塊B與木板A的速度大小；

(2)由靜止開始經(jīng)多長時間物塊B與木板人擋板發(fā)生第二次碰撞，碰后瞬間人、B的速度大小;

(3)畫出由靜止釋放到物塊8與A擋板發(fā)生3次碰撞時間內(nèi)，物塊B的速度v隨時間/的變化

圖像；

(4)從物塊B開始運動到與木板人的擋板發(fā)生第〃次碰撞付間內(nèi)，物塊8運動的距離.

4

答案6⑵-S

)0m/s3I2m/s6m/s(3)見解析圖(4)[2+4〃(〃-1)]m(〃=2,3,4,…)

解析(1)B從4的左端開始到右端的過程，由動能定理有&/=；〃?加

解得Vo=6m/s

8與A碰撞過程，由動量守恒和能量關(guān)系有

mvo=niV\-\-niV2

解得Pi=0

02=6m/s

(2)第一次碰后A向右以速度s=6m/s做勻速運動，8做初速度為0、加速度為

F

?="=9in/s2的勺加速運動,

則第二次碰撞時有V2t=^at1

4

解

得-

-3

此時8的速度為〃3=卬=12m/s,第二次碰撞時，同樣由動量守恒和能量關(guān)系有

mV2+ntvy=mv4+

斗如2?+J+

解得4、8的速度為。4=12m/s

V5=6m/s

(3)同理第三次碰撞時有

V5t'+刊’2="

4

解得f=5s

此時8的速度為^6=95+a'=18m/s

從開始運動到第一次碰撞的時間

由殍止釋放到物塊B與A擋板發(fā)生3次碰撞時間內(nèi)，物塊8的速度v隨時間，的變化圖像如

圖所示；

(4)由以上分析可知，從第一次碰后，到下一次碰撞，B向前運動的距離都比前一次多8m,

由。一/圖像可知，從8開始運動到第1次碰撞，8運動的距離為2m;

從第1次到第2次碰撞，B運動的距離為8m;

從第2次到第3次碰撞，8運動的距離為8m+8m=16m：

從第3次到第4次碰撞，4運動的距離為16m+8m=24m；

根據(jù)數(shù)學(xué)知識可知從物塊B開始運動到與木板人的擋板發(fā)生第〃次碰撞時間內(nèi)，物塊月運動

的距離

5=2m+(〃-1)X8m+寺”-1)(〃-2)m=[2+4〃(〃-1)]m(〃=2,3,4,,,,)

專題強化練

1.(2022?湖南岳陽市質(zhì)檢)如圖所示，小滑塊A位于長木板8的左端，現(xiàn)讓小滑塊人和長木

板B一起以相同速度數(shù))=3m/s在光滑的水平面上滑向前方固定在地面上的木樁C.A、B的質(zhì)

量分別為叩=2kg,/〃2=lkg,已知3與C的碰撞時間極短，且每次碰后3以原速率彈回，

運動過程中A沒有與C相碰，人也沒從8的上表面掉下，已知A、8間的動摩擦因數(shù)4=0.1,

(g=10m/s?)求：

C

B

(1)8與。第二次碰前瞬間的速度大小；

(2)欲使A不從B的上表面掉下，8的長度至少是多少;

(3)8與。第一次碰后到最終停止運動，8運動的總路程.

答案(1)1m/s(2)6.75m(3)5.0625m

解析(1)第一次碰后4、B達到共同速度且為B與C第二次碰前瞬間的速度，設(shè)為小，以向

右為正，由動量守恒定律有

/川如一〃?2如=(〃?1+陽2)。1

/加一切21

解得功=而V°=F°=1m/s

(2)全過程由能量守恒定律有pm]gL=/〃??+ni2)v(r

可得乙=6.75m

(3)設(shè)B與C第一次碰后向左運動的最大距離為si,對長木板，由動能定理

一卬〃?1=01520(產(chǎn)

，U2

解得s\=0~c\)=2.25ir

第二次碰后由動量守恒定律有

=(〃?1+m2)。2

解得。2=

m\

設(shè)8與C第二次碰后向左運動的最大距離為$2,對長木坂，由動能定理

—/tm\gS2=0-^miU\2

丁zw,1

可得衣=而中廣=號”

第三次碰后，由動量守恒定律有

m]V2—IJ12V2=(r)1\+機2)。3,可得。3=1^2

設(shè)B與C第三次碰后向左運動的最大距離為S3,對長木版，由動能定理

2

一卬〃?gS3=o—1m2P2

呼得門=迷產(chǎn)=(昴I

Si,S2,S3,…，S”為等比數(shù)列，公比為看,

B運動的總路程5=2-^-j-=5.0625m.

2.（2022?河南省模擬）窗簾上部結(jié)構(gòu)可以簡化為如圖所示的模型：長滑桿水平固定，上有9個

相同的滑環(huán)，滑環(huán)厚度忽略不計，每個滑環(huán)的質(zhì)量均為〃!=0.1kg；每相鄰的兩個滑環(huán)之間由

不可伸長的柔軟輕質(zhì)細線相連，細線長度均為/=0.2m；滑環(huán)與水平滑桿間的動摩擦因數(shù)均

為4=025.開始時所有滑環(huán)可近似地看成挨在一起處于滑桿右側(cè)邊緣處，滑環(huán)間無擠壓；第

9個滑環(huán)被固定在滑桿最右端.現(xiàn)給第I個滑環(huán)?個初速度如，使其在滑桿上向左滑行（可視

為只有平動）：在滑環(huán)滑行的過程中，前、后滑環(huán)之間的細線繃緊后，兩個滑環(huán)立即以共同的

速度向前滑行，細線繃緊的過程用時極短，可忽略不計.取#=10m/s2.

1234...?9

⑴若的=1.25m/s,求第1、2個滑環(huán)間的細線剛剛繃緊瞬間第2個滑環(huán)的速度大小；

（2）若第4個滑環(huán)己被細線拉動，求第3、4個滑環(huán)間的細線繃緊后瞬間整個裝置動能與繃緊

前瞬間整個裝置動能的比值：

（3）為讓所有的細線都被拉直，第1個滑環(huán)至少需要獲得多大的初速度？（計算結(jié)果可用根號表

小)

3

答案(1)0.375m/s2)E

解析（1）設(shè)第1、2個滑環(huán)間的細線剛剛