第05講最優(yōu)化問(wèn)題

=【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解概念：初步理解“最優(yōu)化”的含義，即在解決問(wèn)題時(shí)，通過(guò)合理安排和規(guī)劃，達(dá)到“時(shí)間

最少”、“效率最高”、“用料最省，，或“費(fèi)用最低”等目標(biāo)。

2.分析關(guān)鍵：學(xué)會(huì)分析問(wèn)題中的關(guān)鍵因素，如哪些事情可以同時(shí)進(jìn)行，如何合理分配資源（如

時(shí)間、空間、人力等）。

3.掌握方法：掌握解決常見(jiàn)最優(yōu)化問(wèn)題（如燒水、煎餅、收割、過(guò)河等）的基本思路和方法。

4.解決問(wèn)題：能夠運(yùn)用所學(xué)方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際最優(yōu)化問(wèn)題，培養(yǎng)邏輯思維能力和解決問(wèn)題

的能力。

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一、燒水問(wèn)題（時(shí)間優(yōu)化）

1.核心思想：在等待某項(xiàng)任務(wù)完成（如燒水）的同時(shí)，合理安排做其他事情，以達(dá)到節(jié)省總

時(shí)間的目的。關(guān)鍵在于“同時(shí)進(jìn)行”。

2.例題特點(diǎn)：通常涉及一系列需要完成的任務(wù)，其中某項(xiàng)任務(wù)耗時(shí)較長(zhǎng)，且在其進(jìn)行過(guò)程中

可以穿插進(jìn)行其他耗時(shí)較短或不需要持續(xù)關(guān)注的任務(wù)。

3.解題關(guān)鍵：

（1）明確各項(xiàng)任務(wù)的先后順序和所需時(shí)間。

（2）找出耗時(shí)最長(zhǎng)的“主線”任務(wù)（如燒水）。

（3）將其他可以在“主線”任務(wù)進(jìn)行期間完成的任務(wù)安排在這段時(shí)間內(nèi)進(jìn)行。

4.解題步驟（示例）：

（1）例：小明要燒水（10分鐘），同時(shí)需要洗杯子（2分鐘）、找茶葉（1分鐘）。最快多

久能喝到水？

（2）分析：燒水的10分鐘內(nèi)，可以同時(shí)洗杯子和找茶葉。

（3）解答：最少需要10分鐘。

5.方法總結(jié)：優(yōu)先處理耗時(shí)最長(zhǎng)的任務(wù)，并將其他可并行的任務(wù)安排在其執(zhí)行期間，從而縮

短總時(shí)間。

知識(shí)點(diǎn)二、煎餅問(wèn)題（資源利用與時(shí)間優(yōu)化）

1.核心思想：在煎餅時(shí)，充分利用鍋的容量（通常是一次能放幾張餅），合理安排煎餅的順

序和翻面，以達(dá)到在最短時(shí)間內(nèi)煎好所有餅的目的。

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2.例題特點(diǎn)：已知鍋每次最多能煎a張餅，煎熟一張餅需要煎兩面，每面需要b分鐘，問(wèn)煎

n張餅最少需要多少分鐘？

3.解題關(guān)鍵：

（1）盡量讓鍋每次都放滿餅（除非剩下的餅不足一鍋）。

（2）合理安排餅的翻面和取出，避免空鍋等待。

4.解題方法與公式（針對(duì)一次最多煎2張餅的情況，這是最基礎(chǔ)也是四年級(jí)最常見(jiàn)的）：

（1）當(dāng)n=l時(shí)：時(shí)間=2b（正反面各一次）。

（2）當(dāng)n[2時(shí):

①如果每次能煎2張餅，每面時(shí)間b分鐘，那么煎熟n張餅最少需要的時(shí)間=nxb（前提

是nN2,且每次鍋里都有2張餅在煎）。

②解釋：因?yàn)?張餅同時(shí)煎，每面b分鐘，2張餅共需2b分鐘，相當(dāng)于1張餅b分鐘。所

以n張餅（n>2）就是nxb分鐘。

③經(jīng)典“3張餅”問(wèn)題：先煎1號(hào)餅正面和2號(hào)餅正面（b分鐘），然后拿出2號(hào)餅，放入3

號(hào)餅正面，同時(shí)1號(hào)餅煎反面（b分鐘），此時(shí)1號(hào)餅熟。最后煎2號(hào)餅反面和3號(hào)餅反面

（b分鐘）。總共3b分鐘，符合nxb公式（3xb）。

5.方法總結(jié)：對(duì)于一次煎2張餅的問(wèn)題，記住公式：總時(shí)間=餅的張數(shù)x每面所需時(shí)間（n

>L當(dāng)n=l時(shí)為2b,可視為特殊情況單獨(dú)記憶，或理解為1x2b）。核心是保證鍋的利用率最

大化。

-*-知識(shí)點(diǎn)三、收割問(wèn)題（多人/多機(jī)器協(xié)作效率優(yōu)化）

1.核心思想：多個(gè)勞動(dòng)者（或機(jī)器）共同完成一項(xiàng)任務(wù)（如收割莊稼、加工零件等），如何

合理分配工作，使得在最短時(shí)間內(nèi)完成任務(wù)，或者在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成最多任務(wù)。

2.例題特點(diǎn)：通常會(huì)給出每人/每臺(tái)機(jī)器的工作效率（如每小時(shí)收割幾畝地），以及總的工作

量，求最少需要多少人/機(jī)器，或求幾人/機(jī)器合作需要多少時(shí)間?；蛘呤遣煌实娜?機(jī)器

如何組合最優(yōu)化。

3.解題關(guān)鍵：

（1）明確工作總量、單一效率、參與人數(shù)/機(jī)器數(shù)、工作時(shí)間之間的關(guān)系。

（2）基本公式：工作總量=效率x時(shí)間x人數(shù)（或機(jī)器數(shù)）。（有時(shí)效率是“每人每小時(shí)”，

則公式為工作總量=每人每小時(shí)效率x人數(shù)x時(shí)間）

（3）當(dāng)涉及到不同效率的人時(shí)，可能需要考慮讓效率高的人承擔(dān)更核心或更多的工作。

4.解題步驟（示例）：

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（1）例：一塊地有12畝，1個(gè)農(nóng)民1小時(shí)能收割2畝。如果要在3小時(shí)內(nèi)收割完，需要幾

個(gè)農(nóng)民？

（2）分析：1個(gè)農(nóng)民3小時(shí)能收割2x3=6畝。12畝需要12+6=2個(gè)農(nóng)民。

（3）解答：需要2個(gè)農(nóng)民。

5.方法總結(jié)：靈活運(yùn)用工作總量、效率、時(shí)間、人數(shù)（機(jī)器數(shù)）之間的關(guān)系。對(duì)于多人協(xié)作，

通常先計(jì)算單位效率下的總工作量，再進(jìn)行分配。

-：去知識(shí)點(diǎn)四、過(guò)河問(wèn)題（安全與效率優(yōu)化）

1.核心思想：一群人要過(guò)河，只有一條船，船有最大載人數(shù)限制，且劃船需要人（通常需要

有人把船劃回來(lái)）。如何安排過(guò)河順序和劃船人員，使得所有人過(guò)河的總時(shí)間最短（或次數(shù)

最少）。

2.例題特點(diǎn)：已知人數(shù)、船的最大載人數(shù)、每個(gè)人劃船過(guò)河所需的時(shí)間（或所有人劃船速度

相同，只考慮次數(shù)）。

3.解題關(guān)鍵：

（1）讓劃船最快的人（或其中之一）承擔(dān)來(lái)回劃船的任務(wù)，以節(jié)省往返時(shí)間。

（2）每次過(guò)河盡量載滿（除非剩下的人數(shù)不足一船）。

（3）考慮“送船人”的安排，即誰(shuí)劃船回來(lái)接剩下的人。

4.解題步驟（示例，假設(shè)所有人劃船速度一樣，或只考慮次數(shù)）：

（1）例：3個(gè)人要過(guò)河，船每次最多載2人，需要幾趟才能全部過(guò)河？（一趟指一個(gè)單程）

（2）分析：

①第一趟：2人過(guò)去，1人劃船回來(lái)。（此時(shí)1人已過(guò)河，2人在對(duì)岸，1人劃船回原岸）

②第二趟：剩下的2人一起過(guò)去。

③總共需要3趟（過(guò)去、回來(lái)、過(guò)去）。

（3）更復(fù)雜情況（考慮時(shí)間）：如A、B、C、D四人過(guò)河，船每次最多2人，A需1分鐘，

B需2分鐘，C需5分鐘，D需10分鐘。

①策略：讓最快的A和B先過(guò)，A回；然后讓最慢的C和D一起過(guò)，B回；最后A和B一

起過(guò)?？倳r(shí)間：2+1+10+2+2=17分鐘。

5.方法總結(jié)：遵循“快者往返，慢者同船”的原則。即讓劃船最快的人負(fù)責(zé)接送，讓兩個(gè)劃船

最慢的人一起過(guò)河，以減少慢人單獨(dú)過(guò)河的次數(shù)，從而節(jié)省總時(shí)間。

-■-知識(shí)點(diǎn)五、其他最優(yōu)問(wèn)題（如：購(gòu)物省錢、資源分配等）

1.核心思想：這類問(wèn)題涉及的情境更廣泛，核心仍是“選擇最優(yōu)方案”。可能包括：

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2.購(gòu)物省錢問(wèn)題：比較不同的促銷方案（如買幾送一、滿減等），選擇最省錢的購(gòu)買方式。

3.簡(jiǎn)單資源分配問(wèn)題：將有限的資源分配給不同的對(duì)象，以達(dá)到某種目標(biāo)的最大化（如利潤(rùn)

最高、產(chǎn)量最大等）或最小化（如成本最低）。

4.解題關(guān)鍵：

（1）購(gòu)物省錢：分別計(jì)算不同方案所需的費(fèi)用，然后進(jìn)行比較，選擇費(fèi)用最低的方案。注

意考慮“單價(jià)”、“數(shù)量”以及“優(yōu)惠條件”。

（2）資源分配（簡(jiǎn)單）：嘗試不同的分配方案，計(jì)算每種方案的結(jié)果，選擇最優(yōu)的那個(gè)。

四年級(jí)通常不涉及復(fù)雜算法，以嘗試法和比較法為主。

5.例題（購(gòu)物省錢）：某種飲料5元一瓶，買4送1。小明想買10瓶，最少花多少錢？

（1）分析：買4送1,即付4瓶的錢得5瓶。10瓶里面有2個(gè)5瓶。

（2）所以只需買4x2=8瓶，送2瓶，共10瓶?；ㄙM(fèi)8x5=40元。

6.方法總結(jié)：針對(duì)不同情境，具體問(wèn)題具體分析。多思考幾種可能的方案，通過(guò)計(jì)算和比較，

選出最佳方案。培養(yǎng)“多方案比較”的意識(shí)。

唱例題講解

唱一、燒水問(wèn)題（時(shí)間優(yōu)化）

【例題1】小明想喝熱牛奶，他需要做以下幾件事：燒開(kāi)水（10分鐘），洗杯子（2分鐘），

取牛奶（1分鐘），熱牛奶（5分鐘，熱牛奶需要在水開(kāi)后進(jìn)行）。小明最少需要多少分鐘才

能喝到熱牛奶？

【答案】15分鐘。

【解析】首先燒開(kāi)水（10分鐘）。在燒水的10分鐘內(nèi)，小明可以同時(shí)洗杯子（2分鐘）和取

牛奶（1分鐘），這兩件事共耗時(shí)2+1=3分鐘，完全可以在燒水的10分鐘內(nèi)完成。水開(kāi)后，

再熱牛奶5分鐘。總時(shí)間為：10+5=15分鐘。

【分析】本題關(guān)鍵在于“燒開(kāi)水”這個(gè)過(guò)程耗時(shí)最長(zhǎng)，且在等待水開(kāi)的時(shí)間里，可以合理安排

洗杯子和取牛奶這兩項(xiàng)不需要用到開(kāi)水的任務(wù)。熱牛奶必須在水開(kāi)之后，所以只能放在最后。

易錯(cuò)點(diǎn)是容易將所有時(shí)間簡(jiǎn)單相加：10+2+1+5=18分鐘，而忽略了可以并行處理的部分。

【例題2】媽媽讓小明給客人燒水沏茶。洗水壺需要1分鐘，燒開(kāi)水需要15分鐘，洗茶壺需

要1分鐘，洗茶杯需要1分鐘，拿茶葉需要2分鐘。為了使客人早點(diǎn)喝上茶，小明應(yīng)該怎樣

合理安排？最少需要多少分鐘？

【答案】最少需要16分鐘。

【解析】洗水壺（1分鐘）：這是準(zhǔn)備工作的第一步，必須先做，沒(méi)有水壺?zé)o法燒開(kāi)水。

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燒開(kāi)水（15分鐘）：在燒開(kāi)水的這15分鐘內(nèi)，小明可以同時(shí)做其他事情，因?yàn)闊_(kāi)水不需

要一直盯著。

同時(shí)進(jìn)行：洗茶壺（1分鐘）、洗茶杯（1分鐘）、拿茶葉（2分鐘）。這三件事總共需要1+1+2

=4分鐘，完全可以在燒開(kāi)水的15分鐘內(nèi)完成。

總時(shí)間：洗水壺的1分鐘+燒開(kāi)水的15分鐘=16分鐘。

【分析】本題的關(guān)鍵在于“燒開(kāi)水”是耗時(shí)最長(zhǎng)的環(huán)節(jié)，且在燒開(kāi)水的過(guò)程中，小明有空閑時(shí)

間去完成其他準(zhǔn)備工作（洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉）。這些準(zhǔn)備工作不需要用到正在燒開(kāi)水

的水壺，因此可以并行處理。如果一件件單獨(dú)做，總時(shí)間會(huì)是1+15+1+1+2=20分鐘，而合理

安排后只需16分鐘。核心是找出可以并行處理的任務(wù)。

嚏二、煎餅問(wèn)題（資源利用與時(shí)間優(yōu)化）

【例題1】一個(gè)平底鍋每次最多能煎2張餅，每張餅需要煎兩面，每面煎2分鐘。煎3張餅

最少需要多少分鐘？

【答案】6分鐘。

【解析】第1-2分鐘：煎餅A正面和餅B正面。

第3-4分鐘：煎餅A反面和餅C正面。（餅A煎好）

第5-6分鐘：煎餅B反面和餅C反面。（餅B、C煎好）共3張餅，每面2分鐘，總時(shí)間3

面x2分鐘/面=6分鐘。

【分析】本題關(guān)鍵在于當(dāng)餅的數(shù)量不是鍋容量的整數(shù)倍時(shí)（3不是2的整數(shù)倍），如何巧妙

安排，使鍋在每一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)都盡可能充分利用（即每次盡量煎2面）。如果簡(jiǎn)單地兩張

兩張煎，會(huì)需要8分鐘（先煎A、B兩面4分鐘，再煎C兩面4分鐘），但通過(guò)上述“交替煎”

的方法，節(jié)省了2分鐘。

【例題2】媽媽用平底鍋煎餃子，每次最多煎4個(gè)餃子，每個(gè)餃子要煎2分鐘（每面1分鐘）。

煎10個(gè)餃子最少需要多少分鐘？

【答案】5分鐘。

【解析】10個(gè)餃子，共20個(gè)面。每次能煎4個(gè)面。

總時(shí)間=（20面-4面/次）x1分鐘/面=5次x1分鐘=5分鐘。

具體安排（部分示例）：

1分鐘：餃子1-4正面

1分鐘：餃子1-4反面一1-4完成（2分鐘）

1分鐘：餃子5-8正面

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1分鐘：餃子5-6反面，餃子9-10正面

1分鐘：餃子7-8反面，餃子9-10反面-5-10完成（5分鐘）

【分析】本題進(jìn)一步鞏固“總面數(shù)+每次可煎面數(shù)x每面時(shí)間”的公式。10個(gè)餃子，鍋容量4個(gè)，

不是整數(shù)倍，但通過(guò)合理組合，依然可以達(dá)到理論上的最少時(shí)間。

【例題3】一只平底鍋每次最多煎2張餅，煎1張餅的1面需要3分鐘（兩面都要煎）。請(qǐng)

問(wèn)煎2026張餅最少需要多少分鐘？

【答案】最少需要6078分鐘。

【解析】每張餅需煎2面，每面3分鐘，故1張餅單獨(dú)煎需3x2=6分鐘；但2張餅同時(shí)

煎，每面3分鐘，兩面共需3x2=6分鐘。2026張餅為雙數(shù)，可直接按“每次煎2張”分組，

每組2張餅同時(shí)煎，總組數(shù)為2026+2=1013組。每組2張餅煎制時(shí)間為6分鐘（兩面各

3分鐘），故總時(shí)間為1013x6=6078分鐘。

【分析】雙數(shù)張餅無(wú)需“交叉煎制”，因每次可煎2張（鍋無(wú)空閑），直接分組煎制即可。若

分開(kāi)煎1張餅需6分鐘，2026張單獨(dú)煎需2026x6=12156分鐘，而分組后利用鍋的最大

容量（每次2張），總時(shí)間減半，為6078分鐘。

關(guān)鍵：當(dāng)餅數(shù)為雙數(shù)且每次最多煎2張時(shí)，總時(shí)間=（餅數(shù)（2）x每面時(shí)間x2（兩面）。

唱三、收割問(wèn)題（多人/多機(jī)器協(xié)作效率優(yōu)化）

【例題1】小明、小紅、小李、小王四個(gè)人同時(shí)到一個(gè)農(nóng)機(jī)站使用一臺(tái)收割機(jī)收割莊稼。他

們各自的莊稼地需要收割的時(shí)間分別是：小明5小時(shí)，小紅3小時(shí)，小李2小時(shí)，小王4小

時(shí)。請(qǐng)安排合理的收割順序，使他們四人花在等待和收割上的總時(shí)間最少。這個(gè)最少的總時(shí)

間是多少小時(shí)？

【答案】最少需要30小時(shí)。

【解析】按“用時(shí)短優(yōu)先”原則，收割順序應(yīng)為：小李一小紅一小王一小明。

小李：第一個(gè)收割，無(wú)需等待?？倳r(shí)間=自己的收割時(shí)間=2小時(shí)。

小紅：需等待小李收割完（2小時(shí)），再加上自己的收割時(shí)間（3小時(shí)）。總時(shí)間=2+3=5小

時(shí)。

小王：需等待小李和小紅收割完（2+3=5小時(shí)），再加上自己的收割時(shí)間（4小時(shí)）。總時(shí)間

=5+4=9小時(shí)。

小明：需等待小李、小紅、小王收割完（2+3+4=9小時(shí)），再加上自己的收割時(shí)間（5小時(shí)）。

總時(shí)間=9+5=14小時(shí)。

總時(shí)間=小李總時(shí)間+小紅總時(shí)間+小王總時(shí)間+小明總時(shí)間=2+5+9+14=30小時(shí)。

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【分析】四人的總時(shí)間由“每個(gè)人的等待時(shí)間+自己的收害IJ時(shí)間”組成。等待時(shí)間=前面所有人

的收割時(shí)間之和。因此，總時(shí)間可表示為：

總時(shí)間=小李時(shí)間+（小李+小紅）時(shí)間+（小李+小紅+小王）時(shí)間+（小李+小紅+小王+小

明）時(shí)間

=2+（2+3）+（2+3+4）+（2+3+4+5）

=2+5+9+14=30小時(shí)。

【例題2】小明、小紅、小華三人同時(shí)去醫(yī)務(wù)室找李醫(yī)生看病。小明打針要5分鐘，小紅換

紗布要3分鐘，小華點(diǎn)眼藥水要1分鐘。李醫(yī)生如何安排治療順序，才能使他們?nèi)肆粼卺t(yī)

務(wù)室的總時(shí)間（治療時(shí)間+等候時(shí)間）最少？最少總時(shí)間是多少？

【答案】治療順序：小華一小紅一小明；最少總時(shí)間：14分鐘。

【解析】要使總停留時(shí)間最少，同樣按“用時(shí)短的優(yōu)先”。順序：小華（1分鐘）一小紅（3

分鐘）一小明（5分鐘）

小華停留時(shí)間：1分鐘（治療時(shí)間，無(wú)等待）

小紅停留時(shí)間：等待小華的1分鐘+自己治療3分鐘=1+3=4分鐘

小明停留時(shí)間：等待小華和小紅的1+3=4分鐘+自己治療5分鐘=4+5=9分鐘總停留時(shí)

間：1+4+9=14分鐘。

【分析】總停留時(shí)間是每個(gè)人從進(jìn)入到離開(kāi)的時(shí)間之和。讓治療時(shí)間短的人先治療，可以顯

著減少其他人的等待時(shí)間，從而降低總停留時(shí)間。

【例題3】一個(gè)維修師傅要修理5臺(tái)機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器的修理時(shí)間分別是12分鐘、8分鐘、18

分鐘、6分鐘、10分鐘。每臺(tái)機(jī)器停產(chǎn)一分鐘都會(huì)造成一定的經(jīng)濟(jì)損失。為了使總的停產(chǎn)損

失最小（即所有機(jī)器的停產(chǎn)時(shí)間總和最少），師傅應(yīng)按怎樣的順序修理機(jī)器？最少的總停產(chǎn)

時(shí)間是多少分鐘？

【答案】按6分鐘—8分鐘一10分鐘一12分鐘T8分鐘的順序修理；最少總停產(chǎn)時(shí)間是158

分鐘。

【解析】要使總停產(chǎn)時(shí)間最少，即按修理時(shí)間從短到長(zhǎng)的順序修理。最優(yōu)順序?yàn)椋?分鐘一8

分鐘一10分鐘一12分鐘一18分鐘（假設(shè)這五臺(tái)機(jī)器分別為A、B、C、D、E）。

總停產(chǎn)時(shí)間=各機(jī)器停產(chǎn)時(shí)間之和（每臺(tái)機(jī)器的停產(chǎn)時(shí)間為從它出故障等待到修理完畢所用

的總時(shí)間）。

第一臺(tái)（6分鐘）：6分鐘

第二臺(tái)（8分鐘）：6（等待）+8=14分鐘

第三臺(tái)（10分鐘）：6+8（等待）+10=24分鐘

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第四臺(tái)（12分鐘）：6+8+10（等待）+12=36分鐘

第五臺(tái)（18分鐘）：6+8+10+12（等待）+18=54分鐘

總停產(chǎn)時(shí)間=6+14+24+36+54=134分鐘?；蛘撸嚎偟却龝r(shí)間+總修理時(shí)間?？傂蘩?/p>

時(shí)間=6+8+10+12+18=54分鐘。總等待時(shí)間=0+6+（6+8）+（6+8+10）+（6+8+10+12）=

0+6+14+24+36=80分鐘。總停產(chǎn)時(shí)間=80+54=134分鐘。

【分析】本題將“等待時(shí)間”與“經(jīng)濟(jì)損失”掛鉤，更具實(shí)際意義。核心思想依然是通過(guò)“最短修

理時(shí)間優(yōu)先”來(lái)最小化所有機(jī)器的總停產(chǎn)時(shí)間（等待+修理）。這與之前的題目邏輯一致，只

是換了一個(gè)應(yīng)用場(chǎng)景。

唱四、過(guò)河問(wèn)題（安全與效率優(yōu)化）

【例題1】有4個(gè)人要過(guò)一條河，只有一條小船，船上每次只能坐2個(gè)人。已知甲劃船最快，

需1分鐘；乙次之，需2分鐘；丙需5分鐘；丁需10分鐘。他們最少需要多少分鐘才能全部

過(guò)河？（注：劃船過(guò)河時(shí)間以慢者為準(zhǔn)，且每次過(guò)河后需有人把船劃回來(lái)接其他人）

【答案】17分鐘。

【解析】最優(yōu)步驟：甲和乙先過(guò)河（2分鐘），甲劃船回來(lái)（1分鐘）。（此時(shí)：甲、丙、

丁在左岸；乙在右岸）共3分鐘。

丙和丁一起過(guò)河（10分鐘），乙劃船回來(lái)（2分鐘）。（此時(shí)：甲、乙在左岸；丙、丁在右

岸）共12分鐘，累計(jì)3+12=15分鐘。

甲和乙最后一起過(guò)河（2分鐘）。（所有人到右岸）累計(jì)15+2=17分鐘。

【分析】本題的關(guān)鍵在于讓兩個(gè)用時(shí)最長(zhǎng)的人（丙和?。┮黄疬^(guò)河，這樣他們的總耗時(shí)只算

一次（10分鐘），而不是分開(kāi)過(guò)河的5+10=15分鐘。雖然乙劃船回來(lái)需要2分鐘，但相比甲

分別送丙和丁節(jié)省了1+5-2=4分鐘。

【例題2】一個(gè)農(nóng)夫帶著一只狼、一只羊和一筐白菜要過(guò)河。河邊只有一條小船，農(nóng)夫每次

只能帶一樣?xùn)|西過(guò)河。如果農(nóng)夫不在，狼會(huì)吃掉羊，羊會(huì)吃掉白菜。請(qǐng)問(wèn)：農(nóng)夫最少需要幾

次才能將所有東西安全地帶過(guò)河？（注：從河的一岸到另一岸算一次，來(lái)回算兩次。）

【答案】最少需要7次。

【解析】為了保證安全，關(guān)鍵在于不能讓狼和羊單獨(dú)在一起，也不能讓羊和白菜單獨(dú)在一起。

我們可以按以下步驟操作：

第一次：農(nóng)夫帶羊過(guò)河。（此時(shí)河對(duì)岸：羊；此岸：農(nóng)夫、狼、白菜。安全）

第二次：農(nóng)夫獨(dú)自返回。（此時(shí)河對(duì)岸：羊；此岸：農(nóng)夫、狼、白菜。安全）

第三次：農(nóng)夫帶狼過(guò)河。（河對(duì)岸：狼；此岸：農(nóng)夫、羊、白菜。安全）

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第四次：農(nóng)夫帶羊返回。（此時(shí)河對(duì)岸：狼；此岸：農(nóng)夫、羊、白菜。安全）

第五次：農(nóng)夫帶白菜過(guò)河。（此時(shí)河對(duì)岸：狼、白菜；此岸：農(nóng)夫、羊。安全，因?yàn)槔遣怀?/p>

白菜）

第六次：農(nóng)夫獨(dú)自返回。（此時(shí)河對(duì)岸：狼、白菜；此岸：農(nóng)夫、羊。安全）

第七次：農(nóng)夫帶羊過(guò)河。（此時(shí)河對(duì)岸：狼、羊、白菜、農(nóng)夫。全部安全過(guò)河）

【分析】本題的核心是“找出關(guān)鍵沖突物”——羊。羊既不能和狼單獨(dú)在一起，也不能和白菜

單獨(dú)在一起。因此，羊必須是第一個(gè)被帶過(guò)去，并且在運(yùn)送其他物品時(shí)，需要根據(jù)情況將羊

暫時(shí)帶回，以避免沖突。這體現(xiàn)了“安全第一”的原則。如果不注意這一點(diǎn)，直接帶狼或白菜，

就會(huì)導(dǎo)致留在岸邊的物品發(fā)生沖突。整個(gè)過(guò)程需要多次往返，看似繁瑣，但每一步都是為了

保證安全，并最終達(dá)到全部過(guò)河的目的。這類問(wèn)題需要學(xué)生有清晰的邏輯和耐心，逐步推演。

唱五、其他最優(yōu)問(wèn)題（如：購(gòu)物省錢、資源分配等）

【例題1】學(xué)校要為四年級(jí)240名學(xué)生購(gòu)買鉛筆，每盒鉛筆有12支，A商店售價(jià)：每盒15

元；B商店售價(jià)：每盒16元，但買3盒送1盒。請(qǐng)問(wèn)，到哪個(gè)商店購(gòu)買更省錢？至少需要多

少錢？

【答案】B商店，至少需要288元。

【解析】A商店：總需求：240支。每盒12支，需要購(gòu)買盒數(shù)：240?12=20（盒）。每

盒15元，總價(jià)：20x15=300（元）。

B商店：優(yōu)惠是“買3盒送1盒”，即付3盒的錢可以得到4盒。4盒共有鉛筆：4x12=48

（支）。240支里面有幾個(gè)48支：240+48=5（組）。每組需付錢購(gòu)買3盒，所以共需購(gòu)

買：5x3=15（盒）。每盒16元，總價(jià)：15x16=240（元）。

240元（B商店）＜300元（A商店）。

答：到B商店購(gòu)買更省錢，至少需要240元。

【分析】本題屬于“購(gòu)物省錢”問(wèn)題。關(guān)鍵在于理解B商店“買3送1”的含義，即花3盒的錢

能得到4盒。需要先計(jì)算出240支鉛筆按照B商店的優(yōu)惠方式，實(shí)際需要購(gòu)買多少盒，再計(jì)

算總價(jià)進(jìn)行比較。

【例題2】四年級(jí)（1）班組織去看電影，全班有45人。電影院售票方式：?jiǎn)稳似泵繌?0元；

團(tuán)體票（10人及以上）每張25元。請(qǐng)問(wèn)怎樣購(gòu)票最省錢？最少需要多少錢？

【答案】買4張團(tuán)體票和5張單人票最省錢，最少需要H50元。

【解析】團(tuán)體票單價(jià)：25元/人（10人及以上）。

單人票單價(jià)：30元/人。團(tuán)體票更便宜。

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方案一：買4張團(tuán)體票（40人）和5張單人票：總價(jià)：4x10x25+5x30=1000+150=1150

（元）。

方案二：買5張團(tuán)體票（50人，多買5張）：總價(jià)：5x10x25=1250（元）。

1150元<1250元。

答：買4張團(tuán)體票和5張單人票最省錢，最少需要1150元。

【分析】本題屬于“購(gòu)物省錢”問(wèn)題。核心是比較團(tuán)體票和單人票的單價(jià)，優(yōu)先購(gòu)買單價(jià)低的

團(tuán)體票。但由于總?cè)藬?shù)不是團(tuán)體票人數(shù)的整數(shù)倍，需要考慮是買足額的團(tuán)體票再補(bǔ)單人票，

還是多買幾張團(tuán)體票湊整，哪種更劃算。

./考點(diǎn)練習(xí)

/一、燒水問(wèn)題（時(shí)間優(yōu)化）

1.媽媽要做一頓飯，需要做以下事情：淘米（2分鐘），用電飯鍋煮飯（20分鐘），洗菜（5

分鐘），切菜（3分鐘），炒菜（10分鐘）。媽媽最快多少分鐘可以讓全家吃上飯？

【答案】22分鐘。

【解析】首先淘米（2分鐘），然后開(kāi)始煮飯（20分鐘）。在煮飯的20分鐘內(nèi)，媽媽可以同

時(shí)進(jìn)行洗菜（5分鐘）、切菜（3分鐘）和炒菜（10分鐘）。洗菜、切菜、炒菜總共需要5+3+10=18

分鐘，這18分鐘可以在煮飯的20分鐘內(nèi)完成。所以總時(shí)間為淘米的2分鐘加上煮飯的20分

鐘，共2+20=22分鐘。

【分析】本題核心是“煮飯”這個(gè)耗時(shí)較長(zhǎng)的過(guò)程。淘米是煮飯的前置步驟，必須先做。而洗

菜、切菜、炒菜這一系列準(zhǔn)備工作可以與煮飯同時(shí)進(jìn)行，因?yàn)樗鼈儾恍枰玫诫婏堨?。關(guān)鍵

在于判斷這些準(zhǔn)備工作的總時(shí)間（18分鐘）是否小于或等于煮飯時(shí)間（20分鐘），如果是，

則可以完全并行，總時(shí)間就是淘米+煮飯時(shí)間。

2.小李要為客人泡茶，他需要做的事有：洗水壺（2分鐘），燒開(kāi)水（10分鐘），洗茶壺（1

分鐘），洗茶杯（2分鐘），拿茶葉（1分鐘），泡茶（1分鐘）。小李至少要多少分鐘才能

泡好茶？

【答案】13分鐘。

【解析】首先必須洗水壺（2分鐘），因?yàn)闆](méi)有洗水壺就無(wú)法燒開(kāi)水。然后燒開(kāi)水（10分鐘）。

在燒開(kāi)水的10分鐘內(nèi)，可以同時(shí)進(jìn)行洗茶壺（1分鐘）、洗茶杯（2分鐘）和拿茶葉（1分

鐘），這三件事總共需要1+2+1=4分鐘，完全可以在燒水的10分鐘內(nèi)完成。水開(kāi)后，泡茶

（1分鐘）?？倳r(shí)間：2（洗水壺）+10（燒開(kāi)水，同時(shí)洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉）+1（泡茶）

=13分鐘。

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【分析】本題的關(guān)鍵是“洗水壺”是“燒開(kāi)水”的前置必要步驟，必須最先完成。而燒開(kāi)水過(guò)程

中可以完成其他所有準(zhǔn)備工作。這是一個(gè)典型的“工序優(yōu)化”問(wèn)題，識(shí)別出關(guān)鍵路徑（洗水壺

一燒開(kāi)水一泡茶）是解題的核心。

3.小明要完成以下家務(wù)：擦桌子（5分鐘），拖地（10分鐘），用洗衣機(jī)洗衣服（30分鐘，

包括注水、洗滌、排水），晾衣服（5分鐘）。小明最少需要多少分鐘才能完成所有家務(wù)？

【答案】35分鐘。

【解析】用洗衣機(jī)洗衣服（30分鐘）是耗時(shí)最長(zhǎng)的，且在洗衣機(jī)自動(dòng)工作的這30分鐘內(nèi)，

小明可以同時(shí)進(jìn)行擦桌子（5分鐘）和拖地（10分鐘）。這兩項(xiàng)家務(wù)共需5+10=15分鐘，可

以在洗衣的30分鐘內(nèi)輕松完成。洗衣機(jī)洗完衣服后，還需要晾衣服（5分鐘）?？倳r(shí)間：30

（洗衣服，同時(shí)擦桌子、拖地）+5（晾衣服）=35分鐘。

【分析】本題的關(guān)鍵是“用洗衣機(jī)洗衣服”這個(gè)過(guò)程是自動(dòng)化的，不需要人持續(xù)操作，因此可

以利用這段時(shí)間集中處理其他耗時(shí)較短的家務(wù)。晾衣服必須在衣服洗完之后進(jìn)行，所以是后

續(xù)步驟。這是典型的“利用等待時(shí)間”進(jìn)行優(yōu)化的問(wèn)題。

，二、煎餅問(wèn)題（資源利用與時(shí)間優(yōu)化）

1.一個(gè)電餅鐺每次最多能烙2張餅，每張餅每面需要烙3分鐘。烙5張餅最少需要多少分鐘？

【答案】15分鐘。

【解析】5張餅共10個(gè)面。電餅鐺每次能烙2個(gè)面。總面數(shù)?每次烙面數(shù)=10+2=5次。

每次3分鐘，共5x3=15分鐘。具體操作:

3分鐘：餅1正,餅2正

3分鐘：餅1反,餅2反餅1、2完成（6分鐘）

3分鐘：餅3正,餅4正

3分鐘：餅3反,餅5正一餅3完成（12分鐘）

3分鐘：餅4反,餅5反一餅4、5完成（15分鐘）

【分析】本題考查當(dāng)餅數(shù)較多且不是鍋容量整數(shù)倍時(shí)的優(yōu)化。核心思想是總面數(shù)除以每次能

烙的面數(shù)（鍋的容量），得到所需的“批次”，再乘以每面時(shí)間。關(guān)鍵在于具體操作時(shí)如何組

合，確保每次都烙2個(gè)面。

2.一口平底鍋每次能同時(shí)煎3個(gè)荷包蛋，每個(gè)荷包蛋煎熟需要2分鐘（正、反面各1分鐘）。

媽媽要煎6個(gè)荷包蛋，最少需要多少分鐘？

【答案】4分鐘。

【解析】6個(gè)荷包蛋，每次能煎3個(gè)，剛好是鍋容量的2倍

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第1分鐘：煎蛋1、2、3的正面。

第2分鐘：煎蛋1、2、3的反面。（此時(shí)前3個(gè)蛋煎好）

第3分鐘：煎蛋4、5、6的正面。

第4分鐘：煎蛋4、5、6的反面。（此時(shí)后3個(gè)蛋煎好）總時(shí)間：4分鐘?；蛘?，更高效

地思考：每個(gè)蛋2分鐘，6個(gè)蛋共12個(gè)面。鍋每次能煎3個(gè)面（每個(gè)荷包蛋一面），所以需

要12+3=4分鐘。

【分析】當(dāng)餅（蛋）的數(shù)量是鍋容量的整數(shù)倍時(shí)，計(jì)算比較簡(jiǎn)單?？偯鏀?shù)=餅數(shù)X2,每次

能煎的面數(shù)=鍋容量?？倳r(shí)間=（總面數(shù)+每次能煎的面數(shù)）x每面時(shí)間。本題每面時(shí)間是

1分鐘。

3.一個(gè)烤架上最多能同時(shí)烤2塊牛排，每塊牛排需要烤4分鐘（每面各2分鐘）。現(xiàn)在有99

塊牛排，至少需要多少分鐘才能全部烤好？

【答案】至少需要198分鐘。

【解析】烤架每次最多烤2塊牛排，無(wú)空閑時(shí)效率最高。每塊牛排需烤2面，每面2分鐘，

故1塊牛排單獨(dú)烤需2X2=4分鐘；但同時(shí)烤2塊牛排時(shí)，每面2分鐘，兩面共需2x2=4

分鐘（與單獨(dú)烤1塊時(shí)間相同，因充分利用烤架容量）。99為單數(shù)，可拆分為“雙數(shù)部分（96

塊）+單數(shù)核心部分（3塊）”，分別計(jì)算時(shí)間后相加。雙數(shù)塊牛排可直接按“每次烤2塊”

分組，每組2塊需4分鐘（兩面各2分鐘）。組數(shù)：96+2=48組，總時(shí)間：48X4=192分

鐘。3塊牛排需用“交叉烤制法”，避免烤架空閑。設(shè)3塊牛排為A、B、C,每塊分正反面（正

1/反1,正2/反2,正3/反3）：

第1個(gè)2分鐘：烤A正、B正（烤架滿，2塊正面）；

第2個(gè)2分鐘：烤A反、C正（A翻面，B取出，放入C正面，A反熟后A完成）；

第3個(gè)2分鐘：烤B反、C反（B和C剩余反面同時(shí)烤，B、C完成）。

3塊牛排總時(shí)間：3x2=6分鐘（共3個(gè)2分鐘）。

總時(shí)間：雙數(shù)部分時(shí)間+3塊時(shí)間=192+6=198分鐘。

【分析】單數(shù)塊牛排的關(guān)鍵是處理最后剩余的3塊，通過(guò)“交叉替換”確?？炯苁冀K無(wú)空閑（每

次烤2面），避免單獨(dú)烤最后1塊導(dǎo)致時(shí)間浪費(fèi)。公式：總時(shí)間=總面數(shù)-每次最多烤面

數(shù)x每面時(shí)間?？偯鏀?shù)=99x2=198面，每次最多烤2面（每次烤2塊，每塊1面），

每面2分鐘，故總時(shí)間=198+2x2=198分鐘，與上述分步計(jì)算結(jié)果一致。

，三、收割問(wèn)題（多人/多機(jī)器協(xié)作效率優(yōu)化）

1.甲、乙、丙三人同時(shí)到一個(gè)水龍頭處接水。甲接滿一桶水需要4分鐘，乙接滿一壺水需要1

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分鐘，丙接滿一盆水需要2分鐘。要使三人等候的總時(shí)間最少，應(yīng)該怎樣安排接水順序？三

人最少的等候總時(shí)間是多少分鐘？（只計(jì)算等候時(shí)間，不包括接水本身的時(shí)間）

【答案】按乙一丙一甲的順序接水；最少等候總時(shí)間是5分鐘。

【解析】最優(yōu)接水順序?yàn)椋阂遥?分鐘）一丙（2分鐘）一甲（4分鐘）。

只計(jì)算等候時(shí)間：

乙：第一個(gè)接水，無(wú)需等候，等候時(shí)間0分鐘。

丙：等待乙接水的1分鐘，等候時(shí)間1分鐘。

甲：等待乙和丙接水的1+2=3分鐘，等候時(shí)間3分鐘。

三人等候總時(shí)間=0+1+3=4分鐘。

【分析】本題是最經(jīng)典的“水龍頭接水”問(wèn)題，明確要求只計(jì)算等候時(shí)間?！白疃虝r(shí)間優(yōu)先”能

最小化總等候時(shí)間。如果按甲一丙一乙的順序，總等候時(shí)間將是0（甲）+4（丙等甲）+（4+2）=6

（乙等甲丙）-0+4+6=10分鐘，遠(yuǎn)大于4分鐘。

2.一家理發(fā)店只有一位理發(fā)師，同時(shí)來(lái)了甲、乙、丙、丁、戊五位顧客。他們理發(fā)所需的時(shí)

間分別是：甲10分鐘，乙15分鐘，丙5分鐘，丁20分鐘，戊8分鐘。怎樣安排他們的理發(fā)

順序，才能使這五位顧客理發(fā)和等候所用的總時(shí)間最少？最少總時(shí)間是多少分鐘？

【答案】按丙一戊一甲一乙一丁的順序；最少總時(shí)間是137分鐘。

【解析】最優(yōu)順序?yàn)椋罕?分鐘）一戊（8分鐘）一甲（10分鐘）一乙（15分鐘）一丁（20

分鐘）。

丙：無(wú)需等待，等待時(shí)間0分鐘。

戊：等待丙理發(fā)的5分鐘，等待時(shí)間5分鐘。

甲：等待丙和戊理發(fā)的5+8=13分鐘，等待時(shí)間13分鐘。

乙:等待丙、戊、甲理發(fā)的5+8+10=23分鐘，等待時(shí)間23分鐘。

T：等待丙、戊、甲、乙理發(fā)的5+8+10+15=38分鐘，等待時(shí)間38分鐘。

總等待時(shí)間=0+5+13+23+38=79分鐘。

總服務(wù)時(shí)間=5+8+10+15+20=58分鐘。

總時(shí)間=79+58=137分鐘。

【分析】本題進(jìn)一步鞏固“最短時(shí)間優(yōu)先”原則。通過(guò)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，總服務(wù)時(shí)間是固定不變

的（所有顧客理發(fā)時(shí)間之和），因此要減少總時(shí)間，關(guān)鍵在于減少總等待時(shí)間。讓理發(fā)時(shí)間

短的顧客先理，能顯著降低后面顧客的等待累積。

3.某玩具廠有一個(gè)包裝小組，負(fù)責(zé)包裝玩具?，F(xiàn)有四個(gè)批次的玩具需要包裝，每個(gè)批次的包

裝時(shí)間分別是：甲批次要7分鐘，乙批次要3分鐘，丙批次要5分鐘，丁批次要2分鐘。包

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裝機(jī)一次只能包裝一個(gè)批次。請(qǐng)問(wèn)：如何安排包裝順序，才能使這四個(gè)批次的玩具從開(kāi)始包

裝到全部包裝完成所用的總時(shí)間最短？最短需要多少分鐘？（這里的“總時(shí)間”指的是從第一

個(gè)批次開(kāi)始包裝到最后一個(gè)批次包裝完成所經(jīng)過(guò)的總時(shí)長(zhǎng)）

【答案】按丁一乙一丙一甲的順序；最短總時(shí)長(zhǎng)是2+3+5+7=17分鐘（即最后一個(gè)批次包裝

完成的時(shí)間）。

【解析】如果題目問(wèn)的是“從第一個(gè)批次開(kāi)始包裝到最后一個(gè)批次包裝完成所經(jīng)過(guò)的總時(shí)長(zhǎng)”，

那么這個(gè)總時(shí)長(zhǎng)就是最后一個(gè)批次的完成時(shí)間，等于所有批次包裝時(shí)間之和（因?yàn)闄C(jī)器一直

在工作，沒(méi)有停歇）。無(wú)論順序如何，這個(gè)總時(shí)長(zhǎng)都是固定的：2+3+5+7=17分鐘。但這樣

題目就失去了“最優(yōu)化”的意義。所以更合理的理解是，題目想問(wèn)的依然是“各批次等待和包裝

的總時(shí)間之和”，或者題目可能存在表述歧義。如果按照“各批次等待和包裝的總時(shí)間之和”

來(lái)計(jì)算：最優(yōu)順序?yàn)椋憾。?）一乙（3）一丙（5）一甲（7）?？倳r(shí)間=2+（2+3）+（2+3+5）

+（2+3+5+7）=2+5+10+17=34分鐘。

【分析】本題的表述需要仔細(xì)辨析。如果“總時(shí)間”指的是“流程總耗時(shí)”（即從開(kāi)始到全部結(jié)

束的墻上時(shí)鐘時(shí)間），那么由于機(jī)器不空閑，總耗時(shí)就是所有任務(wù)時(shí)間之和，與順序無(wú)關(guān)。

但如果指的是“各任務(wù)的等待時(shí)間與處理時(shí)間之和”，則順序有關(guān)，且最優(yōu)策略仍是“最短優(yōu)先”。

在實(shí)際應(yīng)用中，我們通常優(yōu)化的是后者（總等待和）或讓盡可能多的任務(wù)早點(diǎn)完成。題目可

能存在歧義，但根據(jù)“最優(yōu)化問(wèn)題”的考點(diǎn)，我們優(yōu)先考慮“各批次等待和包裝的總時(shí)間之和”，

答案應(yīng)為按丁一乙一丙一甲的順序，總時(shí)間34分鐘。如果嚴(yán)格按題目字面“從第一個(gè)批次開(kāi)

始包裝到最后一個(gè)批次包裝完成所用的總時(shí)間”，則答案是17分鐘，順序不影響。這種情況

下，題目可能想考察的是學(xué)生對(duì)“流程總時(shí)間”和“總等待時(shí)間”概念的理解。考慮到四年級(jí)，

可能更偏向于前者，即總等待和包裝時(shí)間之和34分鐘。

4.在一個(gè)加油站，只有一個(gè)加油泵。有四輛汽車同時(shí)來(lái)到加油站加油，它們加油所需的時(shí)間

分別是：A車3分鐘，B車6分鐘，C車2分鐘，D車5分鐘。若要使這四輛車加油和等候

的總時(shí)間最少，應(yīng)如何安排它們的加油順序？最少的總等候時(shí)間是多少分鐘？（注意：這里

問(wèn)的是“總等候時(shí)間”，不包含加油本身的時(shí)間）

【答案】按C-A-D-B的順序；最少總等候時(shí)間是22分鐘。

【解析】最優(yōu)加油順序?yàn)椋篊車（2分鐘）一A車（3分鐘）—D車（5分鐘）一B車（6分

鐘）。

題目明確要求“總等候時(shí)間”，即只計(jì)算各車等待加油的時(shí)間之和，不包含它們自己的加油時(shí)

間。

C車：第一個(gè)加油，無(wú)需等待，等候時(shí)間0分鐘。

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A車：等待C車加油的2分鐘，等候時(shí)間2分鐘。

D車：等待C車和A車加油的2+3=5分鐘，等候時(shí)間5分鐘。

B車：等待C車、A車和D車加油的2+3+5=10分鐘，等候時(shí)間10分鐘。

總等候時(shí)間=0+2+5+10=17分鐘。

【分析】本題特別強(qiáng)調(diào)了“總等候時(shí)間”，需要學(xué)生仔細(xì)審題，區(qū)分“總等候時(shí)間”和“總時(shí)間（等

候+加油）即使只計(jì)算等候時(shí)間，最優(yōu)策略依然是“最短時(shí)間優(yōu)先”，因?yàn)檫@樣能使后續(xù)車

輛的等待累積最小。如果按B—D—A—C的順序，總等候時(shí)間將是0+6+（6+5）+（6+5+3）=

0+6+11+14=31分鐘，遠(yuǎn)大于17分鐘。

5.五名學(xué)生到圖書館借閱同一本暢銷圖書，圖書館只有一本復(fù)本。他們閱讀這本書所需的時(shí)

間分別是：小明10分鐘，小芳15分鐘，小剛5分鐘，小強(qiáng)20分鐘，小麗12分鐘。為了使

五名學(xué)生等候和閱讀的總時(shí)間最少，應(yīng)該怎樣安排他們的閱讀順序？這個(gè)最少的總時(shí)間是多

少？

【答案】按小剛一小明一小麗T小芳T小強(qiáng)的順序；最少總時(shí)間是170分鐘。

【解析】最優(yōu)閱讀順序?yàn)椋盒偅?分鐘）一小明（10分鐘）一小麗（12分鐘）T小芳（15

分鐘）一小強(qiáng)（20分鐘）。

總時(shí)間=各學(xué)生等待和閱讀時(shí)間之和。

小剛：5分鐘

小明：5（等待）+10=15分鐘

小麗：5+10（等待）+12=27分鐘

小芳：5+10+12（等待）+15=42分鐘

小強(qiáng)：5+10+12+15（等待）+20=62分鐘

總時(shí)間=5+15+27+42+62=151分鐘。

或者用總等待時(shí)間+總閱讀時(shí)間：總閱讀時(shí)間=5+10+12+15+20=62分鐘。

總等待時(shí)間=0（小剛）+5（小明）+（5+10）=15（小麗）+（5+10+12）=27（小芳）+（5+10+12+15）=42

（小強(qiáng)）-0+5+15+27+42=89分鐘。

總時(shí)間=89+62=151分鐘。

【分析】本題再次驗(yàn)證了“最短時(shí)間優(yōu)先”策略的有效性。通過(guò)合理排序，總時(shí)間從最長(zhǎng)順序

（小強(qiáng)—小芳一小麗一小明一小剛）的20+（20+15）+（20+15+12）+（20+15+12+10）+

（20+15+12+10+5）=20+35+47+57+62=221分鐘，減少到151分鐘，效果顯著。

6.一個(gè)快遞公司的分揀中心，有一批包裹需要分揀，分揀員只有一位。這些包裹的分揀時(shí)間

分別是：A包裹5分鐘，B包裹3分鐘，C包裹7分鐘，D包裹2分鐘，E包裹4分鐘，F(xiàn)包

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裹6分鐘。為了使所有包裹從開(kāi)始分揀到全部分揀完畢的總時(shí)間（包括每個(gè)包裹的等待和分

揀時(shí)間）最少，應(yīng)該按照什么順序分揀？最少需要多少分鐘？

【答案】按D->B—E-A—F—C的順序分揀；最少總時(shí)間是80分鐘。

【解析】最優(yōu)分揀順序?yàn)椋篋（2分鐘）->B（3分鐘）一E（4分鐘）-A（5分鐘）-F（6

分鐘）—C（7分鐘）。

計(jì)算總時(shí)間（各包裹等待和分揀時(shí)間之和）：

D：2分鐘

B：2（等待）+3=5分鐘

E：2+3（等待）+4=9分鐘

A：2+3+4（等待）+5=14分鐘

F：2+3+4+5（等待）+6=20分鐘

C：2+3+4+5+6（等待）+7=27分鐘

總時(shí)間=2+5+9+14+20+27=77分鐘。

或者：總等待時(shí)間+總分揀時(shí)間。

總分揀時(shí)間=2+3+4+5+6+7=27分鐘。

總等待時(shí)間=0（D）+2（B）+（2+3）=5（E）+（2+3+4）=9（A）+（2+3+4+5）=14（F）+（2+3+4+5+6）=20

（C）-0+2+5+9+14+20=50分鐘。

總時(shí)間=50+27=77分鐘。

【分析】本題有六個(gè)包裹，數(shù)量稍多，但原理不變。依然是“最短時(shí)間優(yōu)先”。通過(guò)排序，我

們可以計(jì)算出總時(shí)間。這個(gè)過(guò)程需要學(xué)生耐心地將每個(gè)包裹的等待和處理時(shí)間相加，或者分

開(kāi)計(jì)算總等待和總處理時(shí)間再相加。這道題能很好地檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的掌握程度和細(xì)心

程度。

/四、過(guò)河問(wèn)題（安全與效率優(yōu)化）

1.有6個(gè)小朋友要過(guò)河，河邊只有一條能坐3個(gè)人的小船（無(wú)船工）。他們最少需要多少次

才能全部過(guò)河？

【答案】5次（3次去，2次回）

【解析】雖然船能坐3人，但每次過(guò)河后需要至少1人把船劃回來(lái)。3個(gè)小朋友過(guò)河（去程1

次），1個(gè)小朋友劃船回來(lái)（回程1次）。（共2次，3人左，2人右）剩下的3個(gè)小朋友過(guò)河

（去程2次）。（此時(shí)所有人都已過(guò)河，無(wú)需再回）

總次數(shù)：第一次去3人，回1人，左岸還有6-3+1=4人。第二次去3人，回1人，左岸4-3+1=2

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人。第三次去2人?？?cè)コ?次，回程2次，共5次單程。

【分析】本題關(guān)鍵在于理解“劃船次數(shù)指單程次數(shù)”。每次滿載3人過(guò)去，但必須留1人回來(lái)，

所以除了最后一次可以運(yùn)3人，前面每次實(shí)際只能凈運(yùn)2人（3去1回）。6人：最后一次3

人，之前需運(yùn)3人，需要2次（3去1回，3去1回，凈運(yùn)2+2=4人，超過(guò)3人）。所以總?cè)?/p>

程3次，回程2次，共5次。

2.爸爸、媽媽和小明一家三口要過(guò)一條河，河邊只有一條小船，船最多能載60千克的重量。

爸爸重60千克，媽媽重55千克，小明重25千克。他們?cè)鯓硬拍馨踩^(guò)河？最少需要?jiǎng)潕状?/p>

船？

【答案】安全過(guò)河方案見(jiàn)解析；最少需要5次劃船（3次去，2次回）。

【解析】爸爸體重剛好等于船的最大載重量，所以爸爸只能單獨(dú)過(guò)河，且過(guò)河后必須有人（媽

媽或小明）把船劃回來(lái)。方案：

媽媽和小明一起過(guò)河（去程，1次）。

媽媽劃船回來(lái)（回程，1次，共2次）。

爸爸單獨(dú)過(guò)河（去程，2次，共3次）。

小明劃船回來(lái)（回程，2次，共4次）。

媽媽和小明一起過(guò)河（去程，3次，共5次）。這樣所有人都安全過(guò)河，總共劃了5次船（3

次去，2次回）。

【分析】本題的限制條件是“重量”。爸爸不能和任何人一起過(guò)河。因此，必須先讓媽媽和小

明過(guò)河，再讓其中一人回來(lái)，爸爸單獨(dú)過(guò)，然后另一人回來(lái)接剩下的人。關(guān)鍵是設(shè)計(jì)往返順

序。

3.夜晚，四個(gè)人帶著一盞只能照亮17分鐘的手電筒要過(guò)一座小橋。一次最多只能過(guò)兩人，而

且必須有手電筒才能過(guò)橋。四個(gè)人過(guò)橋的時(shí)間分別是1分鐘、2分鐘、5分鐘和10分鐘。兩

人一起過(guò)橋的時(shí)間以較慢的那個(gè)人為準(zhǔn)。他們?cè)鯓影才胚^(guò)橋順序，才能在17分鐘內(nèi)全部過(guò)

橋？

【答案】過(guò)橋順序如下（用時(shí)17分鐘）：

1分鐘和2分鐘的人先過(guò)橋，用時(shí)2分鐘。

1分鐘的人把手電筒送回來(lái)，用時(shí)1分鐘。（此時(shí)累計(jì)3分鐘，對(duì)岸有2分鐘的人，這邊有

1,5,10分鐘的人及手電筒。）

5分鐘和10分鐘的人一起過(guò)橋，用時(shí)10分鐘。（累計(jì)3+10=13分鐘，對(duì)岸有2,5,10分鐘的

人，這邊有1分鐘的人及手電筒。）

2分鐘的人把手電筒送回來(lái)，用時(shí)2分鐘。（累計(jì)13+2=15分鐘，對(duì)岸有5,10分鐘的人，這

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邊有1,2分鐘的人及手電筒。）

1分鐘和2分鐘的人最后一起過(guò)橋，用時(shí)2分鐘。（累計(jì)15+2=17分鐘。）

【解析】關(guān)鍵是讓用時(shí)短的人來(lái)回送手電筒，并且讓用時(shí)最長(zhǎng)的兩個(gè)人一起過(guò)橋，以節(jié)省時(shí)

間。步驟如上，總時(shí)間2+1+10+2+2=17分鐘。

【分析】這是經(jīng)典的“過(guò)橋問(wèn)題”。核心策略是：1.讓最快的兩個(gè)人先過(guò)，快的回來(lái)。2.讓最

慢的兩個(gè)人一起過(guò)，對(duì)岸第二快的回來(lái)。3.最后讓最快的兩個(gè)人一起過(guò)。這樣能最大限度減

少總時(shí)間。

4.有3只羊和3只狼要過(guò)河，只有一條小船，船上每次最多能載2只動(dòng)物。如果岸上的羊的

數(shù)量少于狼的數(shù)量，羊就會(huì)被狼吃掉。如何安排才能讓所有動(dòng)物安全過(guò)河？最少需要渡幾次？

（注：每次過(guò)河后需有動(dòng)物把船劃回來(lái)，假設(shè)狼和羊都會(huì)劃船，但為了安全，盡量讓羊劃船）

【答案】安全過(guò)河方案見(jiàn)解析；最少需要H次渡（單程）。

【解析】這是經(jīng)典的“狼羊過(guò)河”問(wèn)題，核心是任何時(shí)候（兩岸和船上）羊的數(shù)量不能少于狼

的數(shù)量（除非羊的數(shù)量為0）。

2只狼過(guò)河（左3羊1狼，右0羊2狼），1只狼劃船回來(lái)（左3羊2狼，右0羊1狼）。（2

次）

2只狼過(guò)河（左3羊0狼，右0羊3狼），1只狼劃船回來(lái)（左3羊1狼，右0羊2狼）。（2

次，累計(jì)4次）-此步可能導(dǎo)致左岸狼多，但羊是3只，狼1只，羊多，安全。

2只羊過(guò)河（左1羊1狼，右2羊2狼），1只羊和1只狼劃船回來(lái)（左2羊2狼，右1羊1

狼）。（2次，累計(jì)6次）

2只羊過(guò)河（左0羊2狼，右3羊1狼），1只狼劃船回來(lái)（左0羊3狼，右3羊0狼）。（2

次，累計(jì)8次）

2只狼過(guò)河（左0羊1狼，右3羊2狼），1只狼劃船回來(lái)（左0羊2狼，右3羊1狼）。（2

次，累計(jì)10次）

2只狼過(guò)