隨機(jī)過程綜合練習(xí)題

一、填空題(每空3分)

第一章

1.X1,X?,…X”是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，Xj的特性函數(shù)為g(/),則

X1+X?+…+X”的特性函數(shù)是o

2.￡{E(X|y)}=。

3.X的特性函數(shù)為g"),丫=蘇(：+〃，則丫的特性函數(shù)為。

4.條件期望E(X|y)是的函數(shù)，(是or不是)隨機(jī)變量。

5.X「X2,…X”是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，X：的特性函數(shù)為a(/),貝IJ

X1+X?+…+X”的特性函數(shù)是。

6.n維正態(tài)分布中各分量的互相獨(dú)立性和不有關(guān)性o

第二章

7.寬平穩(wěn)過程是指協(xié)方差函數(shù)只與有關(guān)。

8.在獨(dú)立反復(fù)試驗(yàn)中，若每次試驗(yàn)時(shí)事件A發(fā)生的概率為p(OVpVl),以X(〃)記進(jìn)行

到〃次試驗(yàn)為止A發(fā)生的次數(shù)，貝I{=0,1,2,???)是過程。

9.正交增量過程滿足的條件是o

10.正交增量過程的協(xié)方差函數(shù)Cx(s")=。

第三章

11.{X⑴,120}為具有參數(shù)2>0的齊次泊松過程，其均值函數(shù)為；

方差函數(shù)為O

12.設(shè)抵達(dá)某路口的綠、黑、灰色的汽車的抵達(dá)率分別為4,4,4且均為泊松過程，它

們互相獨(dú)若把這些汽車合并成單個(gè)輸出過程(假定無長(zhǎng)度、無延時(shí))，相鄰綠色汽車之間

的不一樣抵達(dá)時(shí)間間隔的概率密度是，汽車之間的不一樣抵達(dá)時(shí)刻間

隔的概率密度是.

13.{X⑴,t20}為具有參數(shù)4>0的齊次泊松過程，

p{x（t+s）-X（s）=n}=on=0,1,…

14.設(shè){X（t）,120}是具有參數(shù)4>0的泊松過程，泊松過程第n次抵達(dá)時(shí)間Wn的數(shù)學(xué)期望

是。

15.在保險(xiǎn)的索賠模型中，設(shè)索賠規(guī)定以平均2次/月的速率的泊松過程抵達(dá)保險(xiǎn)企業(yè).若

每次賠付金額是均值為10000元的正態(tài)分布，求一年中保險(xiǎn)企業(yè)的平均賠付金

額。

16.抵達(dá)某汽車總站的客車數(shù)是一泊松過程，每輛客車內(nèi)乘客數(shù)是一隨機(jī)變量.設(shè)各客車內(nèi)

乘客數(shù)獨(dú)立.同分布，且各輛車乘客數(shù)與車輛數(shù)N⑴互相獨(dú)'Z,則在［0,t］內(nèi)抵達(dá)汽車總站的

乘客總數(shù)是（復(fù)合or非齊次）泊松過程.

17.設(shè)顧客以每分鐘2人的速率抵達(dá)，顧客流為泊松流，求在2min內(nèi)抵達(dá)的顧客不超過3

人的概率是.

第四章

18.無限制隨機(jī)游動(dòng)各狀態(tài)的周期是o

19.非周期正常返狀態(tài)稱為。

20.設(shè)有獨(dú)立反復(fù)試驗(yàn)序列以X”=1記第n次試驗(yàn)時(shí)事件A發(fā)生，且

尸{X“=l}=p,以X〃=0記第n次試驗(yàn)時(shí)事件A不發(fā)生，且P{X〃=0}=1-〃，若有

丫“=X'女，〃之1，則{%,〃N1）是鏈。

答案

一、填空題

1.g"H)；2.EX；3.eib,g(at)4.y；是5.n^.(/)；6.等價(jià)

7.時(shí)間差；8.獨(dú)立增量過程；

9.E(X(/2)-X(r,)lx(r4)-x(/3)]|=o10.erJ(min{5,r})

乙八J(4+4，+4)eFL壯0

11.力；At；12.=<1/(0=S=c

[or<00/<0

(At)"一力ii—71

13.〃14.—15.24000016.復(fù)合；17.—e

n\23

18.2；19.遍歷狀態(tài);20.齊次馬爾科夫鏈;

二、判斷題（每題2分）

第一章

1.gj，a=12…"）是特性函數(shù),⑺不是特性函數(shù)。（）

1=1

2.n維正態(tài)分布中各分量的互相獨(dú)立性和不有關(guān)性等價(jià)。（）

3.任意隨機(jī)變量均存在特性函數(shù)。（）

4.扁⑺1,2,…〃）是特性函數(shù)，立.（1）是特性函數(shù)。（）

1=1

5.設(shè)（X，X2，X3，X4）是零均值的四維高斯分布隨機(jī)變量，則有

E（X,X2X3X4）=E（X{X2）E（X3X4）+E（X,X3）E（X2X4）+E（X,X4）E（X2X3）（）

第二章

6.嚴(yán)平穩(wěn)過程二階矩不一定存在，因而不一定是寬平穩(wěn)過程。（）

7.獨(dú)立增量過程是馬爾科夫過程。（）

8.維納過程是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程。（）

第三章

9.非齊次泊松過程是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程。（）

第四章

10.有限狀態(tài)空間不可約馬氏鏈的狀態(tài)均常返。（）

11.有限齊次馬爾科夫鏈的所有非常返狀態(tài)集不也許是閉集。（）

12.有限馬爾科夫鏈，若有狀態(tài)k使limp?=0,則狀態(tài)k即為正常返的。（）

13.設(shè)ieS,若存在正整數(shù)n,使得>0,p/D>0,則i非周期。（）

14.有限狀態(tài)空間馬氏鏈必存在常返狀態(tài)。（）

15.i是正常返周期的充要條件是limp仍不存在。（）

〃一KO

16.平穩(wěn)分布唯一存在的充要條件是：只有一種基本正常返閉集。（）

17.有限狀態(tài)空間馬氏鏈不一定存在常返狀態(tài)。（）

18.i是正常返周期的充要條件是limp仍存在。（）

19.若icj,則有4=d,()

20.不可約馬氏鏈或者全為常返態(tài)，或者全為非常返態(tài).（）

答案

二、判斷題

1.X2.V3.J4.V5.V

6.J7,V8.J9.X

10.V11.V12.V13.V14.J15.V

16.V17.X18.X19.V20.J

三、大題

第一章

1.（10分）一（易）設(shè)》,~區(qū)（九〃），求X的特性函數(shù)，并運(yùn)用其求上X。

2.（10分）一（中）運(yùn)用反復(fù)拋擲硬幣的試驗(yàn)定義一種隨機(jī)過程，

fcos^r,出現(xiàn)正面

X（f）=〈,-oo<z<+oo

[2右出現(xiàn)反面

出現(xiàn)正面和背面的概率相等，求X。）的一維分布函數(shù)尸（x,1/2）和戶（占1）,X"）的二維

分布函數(shù)萬（與/2口/2」）.

3.（10分）一（易）設(shè)有隨機(jī)過程X（f）=>0,其中A與B是百相獨(dú)立的隨機(jī)

變量，均服從原則正態(tài)分布，求X（Z）的一維和二維分布。

第二章

4.（10分）一（易）設(shè)隨機(jī)過程X（t）=Vt+b,te（0,+8）,b為常數(shù),V服從正態(tài)分布N（0,

1）的隨機(jī)變量，求x（l）的均值函數(shù)和有關(guān)函數(shù)。

5.（10分）一（易）已知隨機(jī)過程X⑴的均值函數(shù)m4）和協(xié)方差函數(shù)Bx-，g⑴為一般

函數(shù)，令Y（t）=X⑴+g（t）,求隨機(jī)過程Y⑴的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。

6.（10分）一（中）設(shè)是實(shí)正交增量過程，T=[0,8）,X（0）=0,4是一服

從原則正態(tài)分布的隨機(jī)變量，若對(duì)任一f之0,X（t）都與J互相獨(dú)立，求

Y(t)=X?)+J/s[0,oo)的協(xié)方差函數(shù)。

7.（io分）一（中）設(shè){z?）=x+y￡,-8V￡v+8},若已知二維隨機(jī)變量（x,y）的協(xié)

方差矩陣為a,<，求Z（E）的協(xié)方差函數(shù)。

LP巧」

8.（10分）一（難）設(shè)有隨機(jī)過程{X?）“GT}和常數(shù)。，試以X。）的有關(guān)函數(shù)表達(dá)隨

機(jī)過程Y（t）=X（t+。）-eT的有關(guān)函數(shù)。

第三章

9.（10分）一（易）某商店每日8時(shí)開始營(yíng)業(yè)，從8時(shí)到11時(shí)平均顧客抵達(dá)率線性增長(zhǎng).在

8時(shí)顧客平均抵達(dá)率為5人/時(shí)，11時(shí)抵達(dá)率到達(dá)最高峰20人/時(shí),從11時(shí)到13時(shí)，平均顧

客抵達(dá)率維持不變，為20人/時(shí)，從13時(shí)到17時(shí)，顧客抵達(dá)率線性卜.降，到17時(shí)顧客抵

達(dá)率為12人/時(shí)。假定在不相重置的時(shí)間間隔內(nèi)抵達(dá)商店的顧客數(shù)是互相獨(dú)立的，問在8：

30-9：30間無顧客抵達(dá)商店的概率是多少？在這段時(shí)間內(nèi)抵達(dá)商店的顧客數(shù)學(xué)期望是多

少？

10.（15分）一（難）設(shè)抵達(dá)某商店的顧客構(gòu)成強(qiáng)度為/的泊松過程，每個(gè)顧客購(gòu)置商品的

概率為p,且與其他顧客與否購(gòu)置商品無關(guān)，求（0,t）內(nèi)無人購(gòu)置商品的概率。

II.（15分）一（難）設(shè)Xi⑴和X?⑴是分別具有參數(shù)友和4的互相獨(dú)立的泊松過程，證

明：Y⑴是具有參數(shù)4+乙的泊松過程。

12.（10分）一（中）設(shè)移民到某地區(qū)定居的戶數(shù)是一泊松過程，平均每周有2戶定居.即

2=2o假如每戶的人口數(shù)是隨機(jī)變量，一戶四人的概率為1/6,一戶三人的概率為1/3,一

戶兩人的概率為1/3,一戶一人的概率為1/6,并且每戶的人口數(shù)是互相獨(dú)立的，求在五周

內(nèi)移民到該地區(qū)人口的數(shù)學(xué)期望與方差。

4A

13.（10分）一（難）在時(shí)間【內(nèi)向電話總機(jī)呼喊k次的概率為p,（k）=—e-\k=0,1,2,…，

k\

其中之>0為常數(shù).假如任意兩相鄰的時(shí)間間隔內(nèi)的呼喊次數(shù)是互相獨(dú)立的，求在時(shí)間2t

內(nèi)呼喊n次的概率尸2,（〃）

14.（10分）一（易）設(shè)領(lǐng)客到某商場(chǎng)的過程是泊松過程，巳知平均每小時(shí)有30人抵達(dá)，

求下列事件的概率：兩個(gè)顧客相繼抵達(dá)的時(shí)間間隔超過2min

15.（15分）一（中）設(shè)進(jìn)入中國(guó)上空流星的個(gè)數(shù)是一泊松過程，平均每年為10000個(gè).每

個(gè)流星能以隕石落于地面的概率為0.0001，求一種月內(nèi)落于中國(guó)地面隕石數(shù)W的EW、varW

和P{W22}.

16.（10分）一（易）通過某十字路口的車流是一泊松過程.設(shè)Imin內(nèi)沒有車輛通過的概

率為0.2,求2min內(nèi)有多于一輛車通過的概率。

17.（10分）一（易）設(shè)顧客到某商場(chǎng)的過程是泊松過程，巳知平均每小時(shí)有30人抵達(dá)，

求下列事件的概率：兩個(gè)頤客相繼抵達(dá)的時(shí)間間隔短于4min

18.（15分）一（中）某刊物郵購(gòu)部的顧客數(shù)是平均速率為6的泊松過程，訂閱1年、2年

或3年的概率分別為1/2、1/3和1/6,且互相獨(dú)立.設(shè)訂一年時(shí)，可得1元手續(xù)費(fèi)：訂

兩年時(shí)，可得2元手續(xù)費(fèi)；訂三年時(shí)，可得3元手續(xù)費(fèi).以X⑴記在［0,口內(nèi)得到的總手續(xù)

費(fèi),求EX⑴與varX（l）

19.（10分）一（易）設(shè)顧客抵達(dá)商場(chǎng)的速率為2個(gè)/min,求（1）在5min內(nèi)抵達(dá)顧客數(shù)

的平均值：（2）在5min內(nèi)抵達(dá)顧客數(shù)的方差；（3）在5min內(nèi)至少有一種顧客抵達(dá)的概率.

20.（10分）一（中）設(shè)某設(shè)備的有效期限為，在前5年內(nèi)平均2.5年需要維修一次，后5

年平均2年需維修一次，求在有效期限內(nèi)只維修過I次的概率.

21.（15分）一（難）設(shè)X（t）和Y⑴（t20）是強(qiáng)度分別為4*和；ly的泊松過程，證明：在

X⑴的任意兩個(gè)相鄰事件之間的時(shí)間間隔內(nèi)，Y⑴恰好有k個(gè)事件發(fā)生的概率為

P=

第四章

22.（10分）一（中）已知隨機(jī)游動(dòng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為

0.50.50

p=00.50.5

0.500.5

求三步轉(zhuǎn)移概率矩陣內(nèi)）及當(dāng)時(shí)始分布為

P{X°=l}=P{X°=2}=0,P{XO=3}=1

時(shí)，經(jīng)三步轉(zhuǎn)移后處在狀態(tài)3的概率。

23.（15分）一（難）將2個(gè)紅球4個(gè)白球任意地分別放入甲、乙兩個(gè)盒子中，每個(gè)盒子放

3個(gè)，現(xiàn)從每個(gè)盒子中各任取一球，互換后放回盒中（年盒內(nèi)取出的球放入乙盒中，乙盒內(nèi)

取出的球放入甲盒中），以X（n）表達(dá)通過n次互換后甲盒中紅球數(shù)，則{X（n）,n2（）}為齊次

馬爾可夫鏈，求（1）一步轉(zhuǎn)移概率矩陣；（2）證明：{X（n）,n20}是遍歷鏈；（3）求

=0,1,2o

n—>oo”

24.（10分）一（中）已知本月銷售狀態(tài)的初始分布和轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：

0.80.1O.f

pr（0）=（0.4,0.2,0.4）P=（）.10.70.2

0.20.20.6

求下一、二個(gè)月的銷售狀態(tài)分布。

25.（15分）一（難）設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間1={1,2,…，7},轉(zhuǎn)移概率矩陣為

0.40.20.100.10.1O.f

0.10.20.20.20.10.10.1

000.60.4000

p=000.400.600

000.20.50.300

000000.30.7

000000.80.2

求狀態(tài)的分類及各常返閉集的平穩(wěn)分布。

26.（15分）一（難）設(shè)河流每天的BOD（生物耗氧量）濃度為齊次馬爾可夫鏈，狀態(tài)空間1={1,

2,3,4}是按BOD濃度為極低，低、中、高分別表達(dá)的，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣（以一天為單

位）為

若BOD濃度為高，則稱河流處在污染狀態(tài)。（1）證明該鏈?zhǔn)潜闅v鏈；（2）求該鏈的平穩(wěn)分布:

⑶河流再次到達(dá)污染的平均時(shí)間出O

27.（10分）一（易）設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間I={0,1,2,3},轉(zhuǎn)移概率矩陣為

1/21/200-

1/21/200

P=

1/41/41/41/4

0001

求狀態(tài)空間的分解。

28.（15分）一（難）設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間為1=[1,2,3,4}.轉(zhuǎn)移概率矩陣為

1000

000

1/32/300

1/41/401/2

討論limp；?

29.（10分）一（易）設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為

1/21/20

P=1/201/2

01/21/2

求其平穩(wěn)分布。

30.（15分）一（難）甲乙兩人進(jìn)行一種比賽，設(shè)每局比賽甲勝的概率是p,乙勝的概率是

q,和局的概率為r,且p+q+r=l.設(shè)每局比賽勝者記1分，負(fù)者記一1分.和局記零分。當(dāng)

有一人獲得2分時(shí)比賽結(jié)束.以X“表達(dá)比賽至n局時(shí)甲獲得的分?jǐn)?shù)，則｛X“,1｝是齊

次馬爾可■夫鏈.

（1）寫出狀態(tài)空間I；（2）求出二步轉(zhuǎn)移概率矩陣；

（3）求甲已獲1分時(shí)，再賽兩局可以結(jié)束比賽的概率.

31.（10分）一（中）（天氣預(yù)報(bào)問題）設(shè)明天與否有雨僅與今天的天氣有關(guān)，而與過去的

天氣無關(guān).又設(shè)今天下雨而明天也下雨的概率為a,而今天無雨明天有雨的概率為￡,規(guī)

定有雨天氣為狀態(tài)0,無雨天氣為狀態(tài)1。因此問題是兩個(gè)狀態(tài)的馬爾可夫鏈.設(shè)

。=0.7,4=0.4,求今天有雨且第四天仍有雨的概率.

32.（10分）一（中）設(shè)｛X“，〃21｝是一種馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間上｛a,b,c｝,轉(zhuǎn)移概

率矩陣為

1/21/41/4

2/301/3

3/52/50

求(1)P{Xx=h.X2=c,X.=a9X4=c,X5=a,X6=c9X7=b\X。=c}

(2)P{Xn+2=c\Xn=b}

33.（15分）一（難）設(shè)馬爾可夫鏈｛X“，〃之0｝的狀態(tài)空間I=｛l,2,…，6｝,轉(zhuǎn)移概率

矩陣為

-001000-

000001

000010

P=

1/31/301/300

100000

01/20001/2

試分解此馬爾可夫鏈并求出各狀態(tài)的周期。

答案

三、大題

f01）

I.解：引入隨機(jī)變量Xj?i=l,2…〃..............................................（I分）

2P）

=EeaXi=e""夕+e"/p=pe'1+q（3分）

X=ExrBUi,p)(4分)

i=l

”(力匕)?

(p(t)=Eeax=EeM=口Ee%=(pc"+q)n(6分)

i=l

夕'(0)=iEX(B分)

ltn

EX=一則(0)=-1[(pe4-q)\=-Z[M(pe"+q)""?pe"?i]

r-0

(10分)

2.解：依題意知硬幣出現(xiàn)正背面的概率均為1/2

(1)當(dāng)t=l/2時(shí)，X(1/2)的分布列為PjX(5)=0H嗎

0x<0

1

其分布函數(shù)為尸(*)=—OVxvl(3分)

2

x>l

同理，當(dāng)t=I時(shí)X(l)的分布列為P{x(l)=-l}=p{x(l)=2}=i

2

0X<

1

-1<X<2IZ5分

其分布函數(shù)為尸(l;x)=2--V

2

->

(2)由于在不一樣步刻投幣是互相獨(dú)立的，故在1=1/2,t=l時(shí)的聯(lián)合分布列為

pJx(l)=O,X⑴=-11=P，xd)=O,X⑴=2,

2JI2

=p|x(i)=l,X⑴=7=尸卜(；)=1,X(l)=2卜

故聯(lián)合分布函數(shù)為

0占<0or占<T

1/40<X1<1and-1<x2<2

F(1,l;x,,x2)=1/2分)

04X]<1andx2>2(10

0rxi21and-1<x2<2

%]N1andx22

3.解：對(duì)于任意固定的t￡T,X(l)是正態(tài)隨機(jī)變量，故

￡[X")]=E(A)+E(B)f=O

D[X(/)]=D(4)+D(B)t2=1+產(chǎn)

因此X(t)服從正態(tài)分布N(O,1+〃)...................................(3分)

另一方面任意固定的0,G￡7，X(tl)=A+Bti,X(t2)=A+Bt2

則依n維正態(tài)隨機(jī)向量的性質(zhì)，X(G))服從二維正態(tài)分布，且

E[X(4)]=E[X(G)]=0

D[X(ti)]=l+tlaX(G)]=l+4....................(8分)

Coy(XG),X(/2))=E[X(rl)X(Z2)]=l+r1/2

因此二維分布是數(shù)學(xué)期望向量為(0,0),協(xié)方差為1+01+03的二維正態(tài)分布。

1+‘也1+，2

.........................(10分)

4.解：X(t)=Vt+b,y~N(0,l),故X(f)服從正態(tài)分布，

E[X(O]=+b]=tEV+b=b

Z>[x(o]=D\yt+b]=t2DV=t2

均值函數(shù)為/；!(/)=E[x(/)]=Z>...................................(4分)

有關(guān)函數(shù)為R(ti9t2)=EX(t.)X(1.)=E[V/1+bW?+H

222

=E\ytlt2+V(tl+t2)b+b]=t.t2+b............(10分)

5.解：mY(t)=EY(t)=E[X(t)+g(t)]=mx(/)+g(t)

.....................................(4分)

BY(小G)=J，G)一叫(4)叫(G)

=EY(tx)Y(t2)mY(t2)

m

=E[X(4)+g(ti)][X(f2)+g(—)]-l-(G+g(。)Hmx(f2)+g(G)]

=Rx(tvt2)-mx(ti)mx(t2)=Bx(/,,t2)

(10分)

6.解：由于｛X")"eT｝是實(shí)正交增量過程，故￡|X(/)|=0

J服從原則正態(tài)分布，因此EJ=O,D^=\...............................(2分)

E[Y(t)]=E[X(t)]-hE^=O...............................(4分)

又由于12o,x(t)都與g互相獨(dú)立

cw(s),y(oi=可丫⑸丫⑴]=旦[x(s)+如乂⑴+尋}............(6分)

=E[X(s)X(O]+EIX⑸/+E[X(t)^\+E鏟

=Co\{X(s),X(t)]+l................................(S分)

=cy\(min{.5,/})+1...............................(10分)

7.解：運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可得，

cz($,/)=E{[(x+Ys)_(〃x+"yS)I(X+Yt)-(JUX+〃“)]}..........(2分)

=E.X_4)+(心-〃")1(X—4)+(%—〃“)]}

=E(X—〃x尸+E[(X—〃xMY-Ar)]

+E[(X-//X)s(y_A)]+Et(y_,y>.......(g分)

=DX+(s+“Cov(X,r)+stDY

=cr；+(s+t)p+st(y1...........................(10分)

8.解：Ry(Z.,/2)=E{[X(/,+a)-X(tx)irX(t2^a)-X(t2)]}..........(2分)

=E[X(t}-}-a)X(t2+a)]-E[X(t^a)X(t2)]-E[X(ti)X(t2^a)]^E[X(tl)X(t2)]

=Rx(，i+Q，G+。)-+Q42)-RX?I/2+〃)+Rx(，i，G)........(10分)

9.解：根據(jù)題意知顧客囪抵達(dá)率為

5+5/0</<3

2034f<5...................................(3分)

(20-2(/-5)5</<9

/nv(1.5)-wv(05)=(5+5/)^7/=10...................................(6分)

P{X(l.5)-X(0.5)=0}=eT°....................(10分)

10.解：設(shè)｛X?)"NO｝表達(dá)抵達(dá)商店的顧客數(shù)，多表達(dá)第i個(gè)顧客購(gòu)物與否，即

［1第，個(gè)顧客購(gòu)物

1=10第i個(gè)顧客不購(gòu)物

則由題意知統(tǒng)獨(dú)立同分布.且與X(f)獨(dú)立

P(4=l)=p,P砥=0)=1—〃

X(t)

因此，y?)=E4是復(fù)合泊松過程，表達(dá)(0,D內(nèi)購(gòu)置商品的顧客數(shù)，......(5分)

4=1

由題意求

?￥(1)]00f*”)

￡&=。卜=2用工4=&x(t)=k-

{r-lA,0Ii-1

8k

=2尸{牙(力=々}尸{24=°1............................(i°分)

*=?L=i

-力q(4qt)A

Jt!

*=0凡?

????(15分)

ii.證明:P{y(r+r)-y(o=w}

=尸{—](￡+=+X2(r+r)-X[(￡)—X2(t)=n]

=pjx.a+r)-^,(/)+x2(/+r)-x2(t)=〃}

n

=ZP{Xi?+r)-Xi?)=i,X2(t+r)-X2(t)=n-i]...............(5分)

f-o

=^P{XI(r+z-)-X1(/)=￡}P{X2(t+T)-X2(t)=n-i］...........(10分)

t=0

,金(4.)'c-w(4')"一：-3

S訂(〃-，)！

=.媯土■應(yīng)1〃=OY…

〃！

故Y⑴是具有參數(shù)人+%的泊松過程.......................(15分)

12.解：設(shè)N(f)為在時(shí)間［0,t］內(nèi)的移民戶數(shù)，其是強(qiáng)度為2的泊松過程，匕表達(dá)每戶的

N(t)

人數(shù)，則在［o,ii內(nèi)的移民人數(shù)萬(力=￡匕是一種復(fù)合泊松過程。

(2分)

匕是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，其分布為

V,1234

￡￡￡1

P

6336

（4分）

m(5)=EN(5)EY=2x5x—=25（7分）

xi6

a(5)=DN(5)-EY；=2x5x—=—（10分）

x63

13.解：以A記時(shí)間2（內(nèi)呼喊n次的事件，記第一時(shí)間間隔內(nèi)呼喊為小,則PM）=￡（%），

第二時(shí)間間隔內(nèi)P（A|HA）=《5-6成立，于是

n〃

（4分）

k=Qk=0K?

一22〃.n!0一22n

=J￡=―4〃支C

(8分)

〃！總砥〃-女)!〃！總

(W-2A

（10分）

14.解：由題意，顧客抵達(dá)數(shù)N⑴是強(qiáng)度為4的泊松過程，則顧客抵達(dá)的時(shí)間間隔{X“,〃21}

服從參數(shù)為4的指數(shù)分布,

30"如x>0

/x(x)=?（4分）

0x<0

2廣+°°l

3()*3。以X=e-（10分）

60

15.解：設(shè)XQ）是t年進(jìn)入中國(guó)上空的流星數(shù)，XQ）為參數(shù)4=10000的齊次泊松過程

U第i個(gè)流星落于地面.01

設(shè)匕=〈即匕~

o,第i個(gè)流星不落于地面”一(0.99990.0001J

X（r）

由題意知，w=Z匕是一種復(fù)合泊松過程（5分）

r=l

EW=EX{t}EY=—xl0000x0.0001=—

x11212

VarW=VarXU)^i2=—xl0000xI2x0.0001=—

1212

W是參數(shù)為=1的泊松過程....................................(10分)

P{W>2}=1-P{W<1}=1-P{W=0}-P{W=1}

=1----12-............（］5分）

0!1!12

16.解：以N⑺表達(dá)在［0"）內(nèi)通過的車輛數(shù)，設(shè)｛N（f）,，20｝是泊松過程，則

P{N(f)=L}=@Le",k=0,1,2,.............................(2分)

k\

P{N(l)=0}=e〃=0.2=>A=ln5.......................(5分)

P{N(2)>1)=1-P{N(2)<1}=1-P{N⑵=0]-P{N(2)=1)

747

=\-e-2A=-------In5...................(10分)

2525

17.M：由題意，顧客抵達(dá)數(shù)N⑴是強(qiáng)度為/l的泊松過程，則顧客抵達(dá)的時(shí)間間隔｛X〃,〃21｝

服從參數(shù)為2的指數(shù)分布,

x>0

（4分）

x<()

P[X<—]=30e-3()xdx=\-e-2（10分）

60J。

18.解：設(shè)Z⑴為在［0,口內(nèi)來到的顧客數(shù)，Z（￡）為參數(shù)4=6的齊次泊松過程,

匕是每個(gè)顧客訂閱年限的概率分布，且匕獨(dú)立同分布，

Z（Z）

由題意知，*?）=￡匕為［0,t］內(nèi)得到的總手續(xù)費(fèi)，是一種復(fù)合泊松過程

?=1

............................（5分）

1?110

EY=1--+2---1-3?一=

i236

EV,2=l2-+22—+32-=—..............................................(B分)

12366

EX(t)=EZ(t)EY=6/—=10/

i6

VarX(t)=VarZ(t)^EY^=6/—=20/............................(15分)

6

19.解：N(t)表達(dá)在[0,t)內(nèi)抵達(dá)的顧客數(shù),顯然{N⑴，t20}是泊松過程，2=2,則當(dāng)

t=2時(shí)，N(5)服從泊松過程

P{N(5)=A}=^^6-2x5,攵=0,1,2,...........................................(5分)

k\

故同N(5)]=10;D[N(5)]=10

P{N(5)>1}=1-P{^(5)=0}=1-e-,°................................(10分)

20.解：由于維修次數(shù)與使用時(shí)間有關(guān)，因此該過程是非齊次泊松過程，強(qiáng)度函數(shù)

1/2.50</<5

4(f)=<

1/25vf410

則//(10)=+J.—J/=4.5................................(6分)

45，9--

P{AT(10)-AT(O)=1}=e-45—=-e2................................(10分)

1!2

21.證明：設(shè)X(t)的兩個(gè)相鄰事件的時(shí)間間隔為子，依獨(dú)立性有

P{[K(/+r)-Y(t)]=k}=.................(2分)

k\

而X(t)的不一樣抵達(dá)時(shí)刻的概率密度函數(shù)為

2r>0

A(r)=\7.................(4分)

0others

由于X(t)是泊松過程，故Y(t)恰好有k個(gè)事件發(fā)生的概率為

A"；,8k\

ee-^e-^dT=^_（8分）

k+l

k\ax+)

（10分）

22.解:

0.50.500.50.500.50.50

=00.50.50().50.500.50.5

0.500.50.50().50.500.5

0.250.3750.375-

二0.3750.250.375（6分）

0.3750.3750.25

〃3(3)=P3P；；)=1x0.25=0.25（10分）

23.解：由題意知，甲盒中的球共有3種狀態(tài),

X5）表達(dá)甲盒

甲盒乙盒

中的紅球數(shù)

22紅、1白3白

11紅、2白1紅、2白

03白2紅、1白

Poo=尸｛甲乙互換一球后甲盒仍有3個(gè)白球|甲盒有3個(gè)白球）

=P（從乙盒放入甲盒的?球是白球）=1，3

p°i=尸｛甲乙互換一球后甲盒有2個(gè)白球1個(gè)紅球|甲盒有3個(gè)白球｝

二P｛從乙盒放入甲盒的?球是紅球｝=2/3

p02=尸｛甲乙互換一球后甲盒有?個(gè)白球2個(gè)紅球|甲盒有3個(gè)白球｝=0

1/32/30

以此類推，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為尸=2/95/92/9（8分）

02/31/3

（2）由于各狀態(tài)互通，所認(rèn)為不可約有限馬氏鏈,且狀態(tài)。無周期，故馬氏鏈為遍歷鏈。

（1。分）

(3)%=("0，萬1，%2)

252

、.，丸=冗P

解方程組1（13分）

乃0+〃[+%2=1

萬0+笈[+〃2=1

；九、.......(15分)

lim成)=%=￡,limp7=-limp?=='

005*->oo5?-*?>，~5

24.解：

0.80.10.「

PT(1)=Pr(0)P=(0.4,0.2,0.4)-0.1