專(zhuān)題01平面向量的基本運(yùn)算與線(xiàn)性表示【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】知識(shí)點(diǎn)一、向量的有關(guān)概念名稱(chēng)定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或稱(chēng)模）平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為0的向量記作，其方向是任意的單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量的單位向量為平行向量方向相同或相反的非零向量（又叫做共線(xiàn)向量）與任一向量平行或共線(xiàn)相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿幌嗟?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量的相反向量為知識(shí)點(diǎn)二、向量的線(xiàn)性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則（1）交換律：（2）結(jié)合律：減法求與的相反向量的和的運(yùn)算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算（1）；（2）①當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；②當(dāng)時(shí)．的方向與的方向相反；③當(dāng)時(shí)，．結(jié)合律：；分配律：，知識(shí)點(diǎn)三、平面向量基本定理1、平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使，稱(chēng)為的線(xiàn)性組合．知識(shí)點(diǎn)四、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、平面向量坐標(biāo)的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算坐標(biāo)語(yǔ)言加法與減法記，，實(shí)數(shù)與向量的乘積記，則知識(shí)點(diǎn)五、平面向量共線(xiàn)（1）線(xiàn)性表示向量與共線(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得（2）坐標(biāo)表示設(shè)，其中，則知識(shí)點(diǎn)六、兩個(gè)向量的夾角1、定義已知兩個(gè)非零向量和，作，則叫做向量與的夾角．2、范圍向量夾角的范圍是，與同向時(shí)，夾角；與反向時(shí)，夾角．3、向量垂直如果向量與的夾角是，則與垂直，記作．知識(shí)點(diǎn)七、平面向量的數(shù)量積1、已知兩個(gè)非零向量與，則數(shù)量叫做與的數(shù)量積，記作，即，其中是與的夾角．規(guī)定．當(dāng)時(shí)，，這時(shí)2、的幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積．知識(shí)點(diǎn)八、數(shù)量積的運(yùn)算律（1）交換律：．（2）分配律：．（3）對(duì)．知識(shí)點(diǎn)九、向量數(shù)量積的性質(zhì)1、如果是單位向量，則．2、．3、，4、．（為與的夾角）5、．知識(shí)點(diǎn)十、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)，則：1、．2、．3、．4、（為與的夾角）【典型例題】例1．如圖，在中，，，直線(xiàn)交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)圖示可知，三點(diǎn)共線(xiàn)，由共線(xiàn)定理可知，存在實(shí)數(shù)使得,又，所以，又三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，解得，即可得，所以，所以，即，可得，又，即可得.故選：A例2．已知向量，，且，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，，又，所以，解得，所以，則.故選：A例3．已知平面向量，是非零向量，，，則向量在向量方向上的投影為（

）A．? B．1 C．? D．2【答案】A【解析】平面向量是非零向量，，，則.設(shè)與夾角為，則，在方向上投影為.故選：A例4．已知外接圓圓心為，半徑為，，且，則向量在向量上的投影向量為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由知為中點(diǎn)，又為外接圓圓心，，，，，，，∴在向量上的投影為：，向量在向量上的投影向量為：．故選：D．例5．已知，，則（

）A．1 B． C．2 D．或2【答案】C【解析】因?yàn)?，所以?故選：C.例6．（多選）設(shè)，是兩個(gè)非零向量，則下列描述錯(cuò)誤的有（

）A．若，則存在實(shí)數(shù)，使得.B．若，則.C．若，則，反向.D．若，則，一定同向【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)，由向量加法的意義知，方向相反且，則存在實(shí)數(shù)，使得，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)，則以，為鄰邊的平行四邊形為矩形，且和是這個(gè)矩形的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，則，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)，由向量加法的意義知，方向相同，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，則，同向或反向，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；綜上所述：選項(xiàng)ACD錯(cuò)誤，故選：ACD.例7．如圖,在平行四邊形中,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),點(diǎn)F為線(xiàn)段BD上的一個(gè)三等分點(diǎn),且,若,則______.【答案】【解析】解:由題知點(diǎn)F為線(xiàn)段BD上的一個(gè)三等分點(diǎn),所以,所以,因?yàn)椴还簿€(xiàn),所以,故.故答案為:例8．設(shè)非零向量，滿(mǎn)足，，則與的夾角為_(kāi)_______.【答案】【解析】，，又，代入上式得：，解得：，又，.故答案為：.例9．在中，點(diǎn)，分別在邊和邊上，且，，交于點(diǎn)，設(shè)，.(1)若，試用，和實(shí)數(shù)表示；(2)試用，表示；(3)在邊上有點(diǎn)，使得，求證：，，三點(diǎn)共線(xiàn).【解析】（1）由題意，所以，①（2）設(shè)，由，，②由①、②得，，所以，解得，所以；（3）由，得，所以，所以，因?yàn)榕c有公共點(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線(xiàn).例10．已知非零向量，不共線(xiàn)．(1)如果，，，求證：，，三點(diǎn)共線(xiàn)；(2)欲使和共線(xiàn)，試確定實(shí)數(shù)的值．【解析】（1）證明：，，，，，且有公共點(diǎn)，故，，三點(diǎn)共線(xiàn)；（2）和共線(xiàn)，存在實(shí)數(shù)，使得，且，可得．例11．已知向量，，．(1)求；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．【解析】（1）因?yàn)?，，．所以?（2）由已知可得，，因?yàn)?，則，解得.例12．已知：、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，其中．(1)若且與垂直，求與的夾角；(2)若且與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由得，即，所以，得，又，所以；（2）因?yàn)?，，所以所以，則，由得，由與與的夾角為銳角，所以【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．已知向量，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，所以；若，則，解得，得不出.所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A.2．設(shè)向量，，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】或或，故選：B．3．如圖，在等腰梯形ABCD中，，AD=2，AB=BC=CD=1，E為AD的中點(diǎn)．則下列式子不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，并且四邊形ABCE和四邊形BCDE都是平行四邊形，即，對(duì)于A(yíng)，，正確；對(duì)于B，，正確；對(duì)于C，，錯(cuò)誤；對(duì)于D，，正確；故選：C.4．在正三角形△ABC中，，M，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題知，，，向量，的夾角為150°，所以.故選：A．5．在中，D為AB邊的中點(diǎn)，記，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)镈為AB邊的中點(diǎn)，所以，即，所以．故選：D6．已知向量，，，若與共線(xiàn)，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】由題意向量，，，則，由于與共線(xiàn)，則，故選：D7．我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意,即，所以故選：A.8．已知，，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，f（x）有最小值，則在上的投影向量為（

）A． B． C．－ D．－【答案】C【解析】由題意得，,，當(dāng)時(shí)，有最小值，即，則在上的投影向量為，故選：C二、多選題9．已知是直線(xiàn)l上的一個(gè)單位向量，與都是直線(xiàn)l上的向量，且，，則（

）A．的坐標(biāo)為 B．C．的坐標(biāo)為5 D．【答案】ABD【解析】對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)椋缘淖鴺?biāo)為，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)?，，所以的坐?biāo)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)?，，的夾角為，所以，所以，故D正確.故選：ABD10．設(shè)，是互相垂直的單位向量，，，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，則B．若，則C．當(dāng)時(shí)，與共線(xiàn)的單位向量是D．當(dāng)時(shí)，在上的投影向量為【答案】ABD【解析】由題意可得：，對(duì)A：若點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，則，則，可得，解得或（舍去），故A正確；對(duì)B：由，可得，解得，故B正確；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，則，與共線(xiàn)的單位向量是，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，可得，則在上的投影向量為，故D正確.故選：ABD．11．已知中，，，若與交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】因?yàn)?，，所以，，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線(xiàn)，故設(shè)，又、、三點(diǎn)共線(xiàn)，設(shè)，所以，解得，所以，即是上靠近的一個(gè)四等分點(diǎn)，即，所以，故C錯(cuò)誤；即，同理可得，所以，即，故D正確；故選：AD12．已知A，B，C，是三個(gè)不同的點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)【答案】ABD【解析】由題可得，，,，故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；由可得，A為公共點(diǎn)，故A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，故D正確.故選：ABD.13．在中，是中線(xiàn)，則下列等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】延長(zhǎng)至，使，如下圖所示，則是平行四邊形，所以，故A正確；因?yàn)?，故B正確，D錯(cuò)誤；分別故作邊的垂線(xiàn)，垂足分別為，如下圖所示：則，又，所以，所以與高之比為，又，的底均為，所以，故C正確.故選:ABC.三、填空題14．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿(mǎn)足，且O是邊AB中點(diǎn)，若AE交DO于點(diǎn)M．且，則______．【答案】【解析】在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿(mǎn)足，且O邊AB中點(diǎn)，所以E是邊DC離近C的三等分點(diǎn)，可得，，所以又，所以，故答案為：.15．設(shè)，是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，若向量與的方向相反，則實(shí)數(shù)k=___.【答案】【解析】因?yàn)橄蛄颗c的方向相反，則存在負(fù)實(shí)數(shù)，使得，即，而，不共線(xiàn)，因此，解得，所以.故答案為：16．已知向量，，且，則__________.【答案】5【解析】由可得，，即，解得，，所以，所以.故答案為：5.17．已知向量，，若，則向量與夾角的余弦值為_(kāi)________.【答案】【解析】因?yàn)橄蛄?，，所以，，由向量的夾角公式可得：，又因?yàn)?，則，所以，故答案為：.18．已知向量，則下列說(shuō)法正確的是___________.（1）（2）（3）向量在向量上投影向量的模長(zhǎng)是（4）與向量方向相同的單位向量是【答案】（1）（4）【解析】由題意，向量，由，則，所以，故（1）正確；由，可得，故（2）錯(cuò)誤；由向量在向量方向上的投影向量為，故其模長(zhǎng)為，故（3）錯(cuò)誤；由，所以與向量方向相同的單位向量是，故（4）正確；故答案為：（1）（4）.四、解答題19．已知的夾角為，，當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，(1)(2)【解析】（1）若，得，即，即解得，．（2）若，則，即，得，，解得．20．設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線(xiàn)．(1)若，，求證三點(diǎn)共線(xiàn)．(2)試確定實(shí)數(shù)，使和共線(xiàn)．【解析】（1）因?yàn)?，，，所以所以，共線(xiàn)，又因?yàn)樗鼈冇泄颤c(diǎn)，所以三點(diǎn)共線(xiàn)；（2）因?yàn)楹凸簿€(xiàn)，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，即.又，是兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量，所以所以，所以或.21．已知向量滿(mǎn)足，且.(1)求；(2)記向量與向量的夾角為，求.【解析】（1）因?yàn)?，所?因?yàn)橄蛄繚M(mǎn)足，所以，所以.所以.（2）因?yàn)?，所?22．已知兩個(gè)不共線(xiàn)的向量、的夾角為，且，，為正實(shí)數(shù)．(1)若與垂直，求；(2)若，求的最小值及對(duì)應(yīng)的的值.【解析】（1）因?yàn)榕c垂直，所以，所以，，所以，；（2），所以時(shí)，取得最小值．23．如圖，在△ABC中，，，，，．(1)設(shè)，求x，y的值，并求；(2)求的值．【解析】（1），，，，.（2）.24．如圖所示，在中，，，與相交于點(diǎn)，設(shè)，.(1)試用向量表示；(2)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)分別交線(xiàn)段于點(diǎn)，記，，求證：不論點(diǎn)在線(xiàn)段上如何移動(dòng)，為定值.【解析】（1）因?yàn)槿?/p>