高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽市2026屆高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則A的子集的個(gè)數(shù)有（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】B【解析】集合，則集合的子集的個(gè)數(shù)有個(gè).故選：B.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題知，故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.3.若，則恒成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則恒成立等價(jià)于，結(jié)合各選項(xiàng)知恒成立的一個(gè)充分不必要條件為.故選：D.4.已知向量若向量在向量上的投影向量為，則（）A.-1 B. C.1 D.【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄?，則向量在向量上的投影向量為：，故有，解得.故選：C.5.已知不等式的解集是，設(shè)，則函數(shù)的大致圖象不可能為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題知是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得，解得，所以.當(dāng)時(shí)，，故A符合題意；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向上，由，解得或，所以，的零點(diǎn)為0和，且，故B符合題意，而C不符合；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向下，的零點(diǎn)為0和，且，故D符合題意.故選：C.6.已知，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】，①，②①+②得，，則；①-②得，，則.所以.故選：D.7.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，在每相鄰兩項(xiàng)之間插入個(gè)，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則成立的n的最小值為（）A.35 B.36 C.37 D.38【答案】A【解析】由題可知，數(shù)列各項(xiàng)依次為：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以成立的的最小值為35.故選：A.8.教材中給出習(xí)題“已知函數(shù)且a≠1），討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性”，對(duì)上述問題的解決過程，我們獲取了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的判斷原則，據(jù)此可以快速解決復(fù)合函數(shù)的相關(guān)問題.已知函數(shù)，則該函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題目信息，不妨令，則的減區(qū)間即為所求，又，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，公差為，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.沒有最小值 D.【答案】AB【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意有，解得，所以，故AB正確；又最小值為，故C錯(cuò)誤，由于，所以，故D錯(cuò)誤，故選：AB.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.該函數(shù)圖象上始終有兩個(gè)增區(qū)間和一個(gè)減區(qū)間B.若為的極小值點(diǎn)，則的取值范圍為C.若為的極大值點(diǎn)，則的取值范圍為D.若，則過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有兩條【答案】BC【解析】對(duì)A：當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：又，令，解得，由為的極小值點(diǎn)，則，解得，故B正確；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的取值范圍為，故C正確；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，，設(shè)切點(diǎn)，則切線斜率，切線方程為，由切線過點(diǎn)，代入切線方程得，即，解得或，故有三條直線與曲線相切，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知函數(shù)在上恒有，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A.成等差數(shù)列 B.成等比數(shù)列C. D.【答案】ACD【解析】和差化積公式推導(dǎo)：，則；，則.對(duì)A、B：由題，因?yàn)椋傻?，所以，所以，故，解得，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)C：，故C正確；又因?yàn)?，故，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正數(shù)滿足，則的最大值是__________．【答案】【解析】根據(jù)題意，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），即最大值為．故答案為：．13.若是定義在上的偶函數(shù)，且滿足為奇函數(shù)，則__________.【答案】【解析】令，由為奇函數(shù)，得，即，于是，又為偶函數(shù)，，用替換，得，，即4為的周期.根據(jù)，令，得，令，得，又為偶函數(shù)，且，，于是可得：.又余2，.故答案為：.14.設(shè)函數(shù)，若存在唯一整數(shù)使得，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是__________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，舍去；當(dāng)時(shí)，令，得，設(shè)，得，令得，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的極小值點(diǎn)為，不存在極大值點(diǎn).此時(shí)不等式有無窮多解，舍去；當(dāng)時(shí)，得，數(shù)形結(jié)合只需：，解得；綜上.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖①為一個(gè)圓錐形酒杯，圓錐的頂角（即過圓錐的軸的平面截圓錐所得等腰三角形的頂角）為，向酒杯中注水．（1）寫出注入杯中的水量V（單位：mL）關(guān)于水面高度h（單位：cm）的函數(shù)關(guān)系式；（2）圖②的圖象是否能反映第（1）問中的函數(shù)關(guān)系？說明理由．解：（1）如圖所示，由題意可知：該酒杯的縱截面為等腰三角形，又頂角，所以，設(shè)水面半徑為，則，所以；（2）由（1）知，所以定義域內(nèi)單調(diào)遞增，令，即定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故增加的越來越快，即圖象②可以反映這一函數(shù)關(guān)系.其實(shí)杯子下窄上寬，高度每增加一厘米顯然容量增加變大.16.已知的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，角的對(duì)邊分別為，且，，（1）求的值；（2）求的取值范圍.解：（1）由題意，由余弦定理得，又，則，又由正弦定理：，解得.（2）由（1）得，則，，則，方法一：由，解得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），又因?yàn)?，故，從而?方法二：在中，由正弦定理得，即，則，又，則，，即，.17.“生成函數(shù)”是一種將數(shù)列的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程從而簡化運(yùn)算的數(shù)學(xué)工具.已知函數(shù)是數(shù)列的“生成函數(shù)”，且.（1）求；（2）求.解：（1）因?yàn)榍?，所以①，?dāng)可得，當(dāng)時(shí)②，①-②得，顯然當(dāng)時(shí)上式也成立，所以.（2）由題得，，則兩式相減得：，所以.18.已知函數(shù)），若的圖象過三點(diǎn)，其中點(diǎn)為函數(shù)圖象的最高點(diǎn)（如圖所示），將圖象上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮傧蛴移揭苽€(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解：（1）由題意得，得，又，則，所以.由，得，由圖知在上單調(diào)遞增，所以，又，只可能，所以，所以，將圖象上橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到，再向右平移個(gè)單位長度，得到，即.（2）由（1）知，所以不等式可化為：，即對(duì)任意的恒成立，令，則，且，原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，解法一：即對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，易知不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，，即對(duì)恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故，所以的取值范圍為.解法二：設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸在上單調(diào)遞增，要使，只需，解得；當(dāng)時(shí)，由于，故恒成立；當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，只需，解得；綜上所述，.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）求不等式的解集；（3）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰好有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，由，得，則；從而有，故切線方程為：.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，由，可得函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，令，則，且，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因函數(shù)為偶函數(shù)，則即，可得，