《集合的概念》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.初步了解集合與元素的特性，能準(zhǔn)確使用符號(hào)表示集合與元素間的關(guān)系，用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎炯希?.在集合概念學(xué)習(xí)的過程中，從直觀到抽象，逐步了解集合語言的抽象，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶攸c(diǎn)，學(xué)會(huì)用集合的語言表述數(shù)學(xué)的研究對(duì)象；3.基于集合知識(shí)的學(xué)習(xí)，積累抽象思維的經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。教學(xué)重點(diǎn)：認(rèn)識(shí)元素與集合間的關(guān)系，準(zhǔn)確使用符號(hào)語言刻畫集合.教學(xué)難點(diǎn)：選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?zhǔn)確表示集合.教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)2分鐘15分鐘4分鐘3分鐘新課引入新課講解三例題與練習(xí)四課堂小結(jié)五課后作業(yè)方程是否有解？所有到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成何種圖形？通過大家討論我們達(dá)成共識(shí)：方程在有理數(shù)范圍內(nèi)無解，但在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解．在平面內(nèi)，所有到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成一個(gè)圓；而在空間中，所有到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成一個(gè)球面．因此，明確研究對(duì)象、確定研究范圍是研究數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ).問題1：如何簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)對(duì)象及研究范圍呢？我們看下面幾個(gè)例子：（1）1～11之間的所有偶數(shù)；（2）地球上的四大洋；（3）不等式的解集；（4）較小的數(shù)．例（1）中，我們把1～11之間的每一個(gè)偶數(shù)作為研究對(duì)象，即是研究范圍．在小學(xué)和初中，我們已經(jīng)接觸過一些集合．例如，自然數(shù)的集合，同一平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（即圓）等．在我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)中，我們利用集合語言簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)問題．為了更有效地使用集合語言，我們需要進(jìn)一步了解集合的有關(guān)知識(shí).【教師講解1】一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素（element），把一些元素組成的總體叫做集合（set）（簡(jiǎn)稱為集）．給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個(gè)集合，那么一個(gè)元素在或不在這個(gè)集合中就確定了．例如，“1～11之間的所有偶數(shù)”構(gòu)成一個(gè)集合，2，4，6，8，10是這個(gè)集合的元素，1，3，5，7，9，…不是它的元素．一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個(gè)集合是相等的．問題2：上面的例（2）到例（4）也都能組成集合嗎？它們的元素分別是什么？顯然例（2），（3）能組成集合，而“較小的數(shù)”不能構(gòu)成集合，因?yàn)榻M成它的元素是不確定的．【教師講解2】我們通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小寫拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．如果是集合A的元素，就說屬于（belongto）集合A集合，記作；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于（notbelongto）集合A，記作．問題3：若用A表示前面例（1）中“1～11之間的每一個(gè)偶數(shù)”組成的集合，分別與集合A有何種關(guān)系呢？易知，．追問1：與的數(shù)學(xué)含義相同嗎？一般的，表示一個(gè)數(shù)字，一個(gè)元素，而表示一個(gè)集合，這個(gè)集合里只有一個(gè)元素.追問2：如何用數(shù)學(xué)語言表述與之間關(guān)系呢？基于上述分析，與是元素與集合的關(guān)系，元素屬于集合，記作.【教師講解4】數(shù)學(xué)中一些常用的數(shù)集及其記法全體非負(fù)整數(shù)組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；全體正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記作N*或N+；全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作Z；全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作Q；全體實(shí)數(shù)組成的集合稱為實(shí)數(shù)集，記作R．【教師講解3】集合論是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾于19世紀(jì)末創(chuàng)立的．當(dāng)時(shí)，康托爾在解決涉及無限量研究的數(shù)學(xué)問題時(shí)，越過“數(shù)集”限制，提出了一般性的“集合”概念．關(guān)于集合論，希爾伯特贊譽(yù)其為“數(shù)學(xué)思想的驚人的產(chǎn)物，在純粹理性的范疇中人類活動(dòng)的最美的表現(xiàn)之一”，羅素描述其為“能是這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最偉大的工作”集合論的創(chuàng)立過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的背景和客觀需求，數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程充滿著數(shù)學(xué)家的想象力、創(chuàng)造力和不屈不饒、精益求精的精神，展現(xiàn)了人類理性思維的巨大作用．問題4：從上面的例子看到，我們可以用自然語言描述一個(gè)集合．除此之外，還可以用什么方式表示集合呢？“方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解”只有，兩個(gè)，可以表示為，“1～11之間的所有偶數(shù)”組成的集合可以表示為，“地球上的四大洋”組成的集合可以表示為｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝．【教師講解5】像這樣把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號(hào)括起來表示集合的方法叫做列舉法．【練習(xí)1】用列舉法表示集合：大于1且小于6的整數(shù)；方程所有實(shí)數(shù)根組成的集合.追問1：“在平面內(nèi)所有到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成何種圖形”，“不等式的解集”能用列舉法表示嗎？不等式的解是，因?yàn)榈膶?shí)數(shù)有無數(shù)個(gè)，所以的解集無法用列舉法表示．追問2：當(dāng)集合中元素個(gè)數(shù)有無數(shù)個(gè)，我們?nèi)绾伪硎灸?？我們可以利用解集中元素的共同特征，即x是實(shí)數(shù)，且，把解集表示為．【教師講解6】一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，我們把集合A中所有具有共同特征的元素x所組成的集合表示為．這種表示集合的方法稱為描述法．有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線，寫成或．追問3：整數(shù)集Z可以分為奇數(shù)集和偶數(shù)集．我們?nèi)绾斡妹枋龇ū硎酒鏀?shù)集？我們思考一下奇數(shù)集合中元素所有具有共同特征是什么呢？對(duì)于每一個(gè)，如果它能表示為的形式，那么x除以2的余數(shù)為1，它是一個(gè)奇數(shù)；反之，如果x是一個(gè)奇數(shù)，那么x除以2的余數(shù)為1，它能表示為的形式．所以，是所有奇數(shù)的一個(gè)共同特征，于是奇數(shù)集可以表示為．追問4：你能用這樣的方法表示偶數(shù)集嗎？．追問5：我們?nèi)绾斡妹枋龇ū硎居欣頂?shù)集？例1選擇恰當(dāng)方式表示下列集合：（1）小于10的所有自然數(shù)組成的集合；（2）方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合．解：（1）設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A，那么．由于元素完全相同的兩個(gè)集合相等，而與列舉的順序無關(guān)，因此一個(gè)集合可以有不同的列舉方法．例如，例1（1）的集合還可以寫成．我們還可以用描述法表示集合．（2）設(shè)方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為B，由于集合B中只有兩個(gè)元素，那么可以用列舉法表示為．也可以用描述法表示為．我們約定，如果從上下文的關(guān)系看，，是明確的，那么可以省略，只寫其元素x．練習(xí)試分別用描述法和列舉法表示下列集合：（1）方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合A；（2）由大于10且小于20的所有整數(shù)組成的集合B．解：（1）設(shè)，則x是一個(gè)實(shí)數(shù)，且．因此，用描述法表示為．方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，因此，用列舉法表示為．（2）設(shè)，則x是一個(gè)整數(shù)，即，且．因此，用描述法表示為．大于10且小于20的整數(shù)有，因此，用列舉法表示為.本節(jié)課在小學(xué)和初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上引入集合的含義及其表示，通過本節(jié)學(xué)習(xí)，我們?cè)诹私饧虾x的基礎(chǔ)上，會(huì)用符號(hào)語言刻畫集合，并能判斷元素與集合之間的關(guān)系．本節(jié)的新概念，新符號(hào)較多，我們要明確符號(hào)代表的意義，熟悉不同的符號(hào)的表示形式，多用、多回歸到概念，建立起符號(hào)和數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系．高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的抽象程度提高了，我們要以更加積極主動(dòng)的態(tài)度，刻苦鉆研的精神，采取多樣化學(xué)習(xí)方式，注重基礎(chǔ)，拾級(jí)而上，按學(xué)習(xí)規(guī)律辦事，逐步總結(jié)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，盡早適應(yīng)高中學(xué)習(xí)．1.認(rèn)真閱讀本節(jié)教材，完成課后練習(xí)；2.查閱“集合論”創(chuàng)立相關(guān)資料，與同學(xué)分享.課后篇鞏固提升合格考達(dá)標(biāo)練1.(2021廣東廣州廣雅中學(xué)高一月考)下列關(guān)系中正確的是()A.2?R B.0∈N*C.13∈Q D.π2答案C解析2屬于實(shí)數(shù),因此A選項(xiàng)錯(cuò)誤;N*是正整數(shù)集,因此0?N*,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;13是有理數(shù),因此C選項(xiàng)正確;由于π2=π是無理數(shù),Z是整數(shù)集,因此D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選2.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,則a可以是()A.3.14 B.-5 C.37 D.答案D解析7是實(shí)數(shù),但不是有理數(shù),故選D.3.若集合A只含有元素a,則下列各式正確的是()A.0∈A B.a?AC.a∈A D.a=A答案C解析由題意知A中只有一個(gè)元素a,∴0?A,a∈A,元素a與集合A的關(guān)系不應(yīng)該用“=”,故選C.4.(多選題)由a2,2-a,4組成一個(gè)集合A,且集合A中含有3個(gè)元素,則實(shí)數(shù)a的取值不可能是()A.1 B.-2 C.-1 D.2答案ABD解析由題意知a2≠4,2-a≠4,a2≠2-a,解得a≠±2,且a≠1,結(jié)合選項(xiàng)知a不可能是ABD.5.(2021山東榮成高一期中)由實(shí)數(shù)x,-x,|x|,-x2,3A.2 B.3 C.4 D.5答案A解析由題意可知-x2=-|x|,3x3=x且|x|=±x,所以以實(shí)數(shù)x,-x,|x|,-x2,3x3為元素所組成的集合,最多含有6.已知集合A中含有2個(gè)元素x+2和x2,若1∈A,則實(shí)數(shù)x的值為.

答案1解析由題意得x+2=1或x2=1,所以x=1或x=-1.當(dāng)x=-1時(shí),x+2=x2,不符合題意,所以x=-1舍去;當(dāng)x=1時(shí),x+2=3,x2=1,滿足題意.故x=1.7.(2020上海高一期中)已知集合M中有3個(gè)元素1,m+1,m2+4,如果5∈M,且-2?M,那么m=.

答案4或1或-1解析由題意知,5∈M,且-2?M,所以若m+1=5,解得m=4;若m2+4=5,解得m=±1,經(jīng)驗(yàn)證,均符合題意,所以m的值為4或1或-1.等級(jí)考提升練8.(2020陜西榆林高一期中)設(shè)a,b∈R,集合A中含有3個(gè)元素1,a+b,a,集合B中含有3個(gè)元素0,ba,b.若集合A和集合B是相等的,則b-a=(A.2 B.-1 C.1 D.-2答案A解析由已知,a≠0,故a+b=0,則ba=-所以a=-1,b=1,所以b-a=2.9.若集合A具有以下性質(zhì):(1)0∈A,1∈A;(2)若x∈A,y∈A,則x-y∈A,且x≠0時(shí),1x∈A則稱集合A是“好集”.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()①若集合B中有3個(gè)元素-1,0,1,則集合B是“好集”;②有理數(shù)集Q是“好集”;③設(shè)集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,則x+y∈A.A.0 B.1 C.2 D.3答案C解析①集合B不是“好集”,假設(shè)集合B是“好集”,因?yàn)?1∈B,1∈B,-1-1=-2?B,這與-2∈B矛盾.②有理數(shù)集Q是“好集”,因?yàn)?∈Q,1∈Q,對(duì)任意的x∈Q,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0時(shí),1x∈Q,所以有理數(shù)集Q是“好集”.③因?yàn)榧螦是“好集”,所以0∈A,若x∈A,y∈A,則0-y∈A,即-y∈A,所以x-(-y)∈A,即x+y∈A10.(多選題)已知集合A中有3個(gè)元素2,4,6,且當(dāng)a∈A時(shí),6-a∈A,則a為()A.2 B.4C.0 D.6答案AB解析因?yàn)榧螦中含有3個(gè)元素2,4,6,所以0?A.由題意當(dāng)a∈A時(shí),6-a∈A,所以當(dāng)a=2∈A時(shí),6-a=4∈A,則a=2滿足條件;當(dāng)a=4∈A時(shí),6-a=2∈A,則a=4滿足條件;當(dāng)a=6∈A時(shí),6-a=0?A,則a=6不滿足條件.綜上所述,a=2或4.11.(多選題)下列結(jié)論正確的是()A.若a∈N,則-a?NB.若a∈Z,則a2∈ZC.若a∈Q,則|a|∈QD.若a∈R,則3a∈答案BCD解析A錯(cuò)誤.比如,0∈N,-0∈N.其余均正確.12.已知集合A中含有3個(gè)元素a,0,-1,集合B中含有3個(gè)元素c+b,1a+b,1,且集合A和集合B是相等的,則a=,b=,c=答案1-22解析∵集合A和集合B是相等的,又∵1a+∴a=1,c+b=0,1a+b=-1,∴b=-2,13.集合A中共有3個(gè)元素-4,2a-1,a2,集合B中也共有3個(gè)元素9,a-5,1-a,現(xiàn)知9∈A且集合B中再?zèng)]有其他元素屬于A,能否根據(jù)上述條件求出實(shí)數(shù)a的值?若能,則求出a的值;若不能,則說明理由.解∵9∈A,∴2a-1=9或a2=9.若2a-1=9,則a=5,此時(shí)A中的元素為-4,9,25;B中的元素為9,0,-4,顯然-4∈A且-4∈B,與已知矛盾,故舍去.若a2=9,則a=±3,當(dāng)a=3時(shí),A中的元素為-4,5,9;B中的元素為9,-2,-2,B中有兩個(gè)-2,與集合中元素的互異性矛盾,故舍去.當(dāng)a=-3時(shí),A中的元素為-4,-7,9;B中的元素為9,-8,4,符合題意.綜上所述,滿足條件的a存在,且a=-3.新情境創(chuàng)新練14.設(shè)A是由一些實(shí)數(shù)構(gòu)成