第一章第3節(jié)函數(shù)的奇偶性、周期性與對(duì)稱性[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.結(jié)合具體函數(shù),了解奇偶性的概念和幾何意義.2.結(jié)合函數(shù)的周期性、最小正周期的含義,判斷應(yīng)用函數(shù)的周期性.積累·必備知識(shí)01回顧教材,夯實(shí)四基奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果?x∈D,都有-x∈D,且

,那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于

對(duì)稱奇函數(shù)一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果?x∈D,都有-x∈D,且

,那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于

對(duì)稱1.函數(shù)的單調(diào)性f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)y軸原點(diǎn)函數(shù)存在奇偶性的前提條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù):一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得對(duì)每一個(gè)x∈D,都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的

正周期.最小1.奇偶性的四個(gè)重要結(jié)論(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義,即f(0)有意義,那么一定有f(0)=0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(-x)=f(|x|).(3)若函數(shù)滿足f(x)=0或解析式可化簡(jiǎn)為f(x)=0(x∈D),其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集,則函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(4)在公共定義域內(nèi)有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.2.周期性的常用結(jié)論設(shè)函數(shù)y=f(x),x∈R,a>0.(1)若f(x+a)=f(x-a),則函數(shù)的一個(gè)周期為2a.(2)若f(x+a)=-f(x),則函數(shù)的一個(gè)周期為2a.(3)若f(x+a)=,則函數(shù)的一個(gè)周期為2a.(4)若f(x+a)=,則函數(shù)的一個(gè)周期為2a.3.對(duì)稱性的四個(gè)常用結(jié)論(1)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x).(2)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱,即f(b+x)+f(b-x)=0或f(x)+f(2b-x)=0.(3)若函數(shù)y=f(x)滿足f(m)=f(n),且m+n=p(常數(shù)),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱.1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”).(1)函數(shù)y=x2在x∈(0,+∞)上是偶函數(shù).(

)(2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則一定有f(0)=0.(

)(3)若T是函數(shù)的一個(gè)周期,則nT(n∈Z,n≠0)也是函數(shù)的周期.(

)(4)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f(a+x)=-f(b-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱.(

)××√√√443.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)=2x3-3x+1,則f(3)=

.

解析:由題意可得,f(3)=-f(-3)=-(-54+9+1)=44.4.已知定義在R上的函數(shù)f(x)在[-2,+∞)上單調(diào)遞減,且f(-2-x)=f(-2+x),則f(-4)與f(1)的大小關(guān)系為

.

解析:因?yàn)閒(-2-x)=f(-2+x),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱,又f(x)在[-2,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(-4)=f(0)>f(1),故f(-4)>f(1).f(-4)>f(1)5.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2+x-1,則函數(shù)f(x)的解析式為

.

解析:設(shè)x<0,則-x>0,由題意可知f(-x)=(-x)2-x-1=x2-x-1,因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù),所以f(x)=-f(-x)=-x2+x+1,且f(0)=0.02提升·關(guān)鍵能力類分考點(diǎn),落實(shí)四翼考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷[例1](多選題)(2024·山東臨沂統(tǒng)考一模)已知f(x)=x3g(x)為定義在R上的偶函數(shù),則函數(shù)g(x)的解析式可以為(

)√√√判斷函數(shù)的奇偶性,其中包括兩個(gè)必備條件(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,否則為非奇非偶函數(shù).(2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關(guān)系,在判斷奇偶性的運(yùn)算中,可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù)))是否成立.[針對(duì)訓(xùn)練](1)已知函數(shù)f(x)=sinx,g(x)=ex+e-x,則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)√解析:(1)選項(xiàng)A,f(x)g(x)=(ex+e-x)sinx,f(-x)g(-x)=(e-x+ex)sin(-x)=-(ex+e-x)sinx=-f(x)g(x),是奇函數(shù),A錯(cuò)誤;選項(xiàng)B,|f(x)|g(x)=|sinx|(ex+e-x),|f(-x)|g(-x)=|sin(-x)|(e-x+ex)=|sinx|(ex+e-x)=|f(x)|g(x),是偶函數(shù),B錯(cuò)誤;選項(xiàng)C,f(x)|g(x)|=|ex+e-x|sinx,f(-x)|g(-x)|=|e-x+ex|sin(-x)=-|ex+e-x|sinx=-f(x)|g(x)|,是奇函數(shù),C正確;選項(xiàng)D,|f(x)g(x)|=|(ex+e-x)sinx|,|f(-x)g(-x)|=|(e-x+ex)sin(-x)|=|(ex+e-x)sinx|=|f(x)g(x)|,是偶函數(shù),D錯(cuò)誤.故選C.(2)下列函數(shù)是奇函數(shù)的是

(填序號(hào)).

①②③④③顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí),-x>0,則f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);當(dāng)x>0時(shí),-x<0,則f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).綜上可知,對(duì)于定義域內(nèi)的任意x,總有f(-x)=-f(x)成立,所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).考點(diǎn)二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用角度一利用奇偶性求值(求參)[例2](1)(2023·全國(guó)乙卷)已知f(x)=是偶函數(shù),則a等于(

)A.-2 B.-1 C.1 D.2√又因?yàn)閤≠0,且a≠0,可得ex-e(a-1)x=0,即ex=e(a-1)x,則x=(a-1)x,即1=a-1,解得a=2.故選D.(2)(2024·河南模擬)已知函數(shù)f(x)=ax5+bsinx-c,若f(-8)+f(8)=2,則c等于(

)A.-1 B.0 C.1 D.√解析:(2)因?yàn)閒(-x)=a(-x)5+bsin(-x)-c=-ax5-bsinx-c,所以f(x)+f(-x)=-2c,所以f(-8)+f(8)=-2c=2,解得c=-1.故選A.角度二利用奇偶性求解析式C.0 D.-1√解析:由函數(shù)f(x)是奇函數(shù),函數(shù)g(x)是偶函數(shù),f(x)-g(x)=xsinx,①故f(-x)-g(-x)=-xsin(-x),即-f(x)-g(x)=xsinx,②[例4](2024·江西南昌統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)=,若對(duì)于任意的x∈[2,3],不等式f(x)+f(a-2x)≤1恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-∞,2) B.(-∞,2]C.(-∞,4) D.(-∞,4]角度三利用奇偶性解不等式√(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值,求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式,利用方程思想求參數(shù)的值.(2)對(duì)于利用奇偶性解不等式問題,也可利用函數(shù)的奇偶性畫出函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的圖象,利用數(shù)形結(jié)合求解.[針對(duì)訓(xùn)練](1)(角度一)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)ln為偶函數(shù),則a等于(

)A.-1 B.0 C. D.1√(2)(角度三)(2024·陜西統(tǒng)考一模)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(1)=0,則不等式xf(x)<0的解集為(

)A.(-∞,0)∪[1,+∞) B.(-1,0)∪(0,1)C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-1,0]∪[0,1)√解析:(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在(-∞,0)上也單調(diào)遞增,又因?yàn)閒(1)=0,所以f(-1)=0,(3)(角度二)(2024·廣東湛江統(tǒng)考)已知奇函數(shù)f(x)=則g(x)=

.

解析:(3)當(dāng)x>0時(shí),-x<0,f(x)=g(x)+1=-f(-x)=-[(-x)2-3-(-x)]=-x2+3x,則g(x)=-x2+3x-1.-x2+3x-1考點(diǎn)三函數(shù)周期性及其應(yīng)用[例5](1)(2024·河南安陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(4x+3)的周期為1,則(

)A.f(x+2)-f(x-2)=0 B.f(x+1)-f(x)=0C.f(x+2)+f(x-2)=0 D.f(x+1)+f(1-x)=0√解析:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(4x+3)的周期為1,則f(4x+3)=f(4(x+1)+3)=f((4x+3)+4).令4x+3=t,則f(t)=f(t+4),得f(x)的周期為4,則f(x+4)=f(x)?f(x+2)=f(x-2)?f(x+2)-f(x-2)=0,故A正確,C錯(cuò)誤.又由f(x+4)=f(x),可得f(x+1)=f(x-3)=f(x+5),故B,D錯(cuò)誤.故選A.(2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(x+3)=-f(x),且當(dāng)x∈(0,]時(shí),f(x)=x2-6x+8,則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(100)等于(

)A.6 B.3 C.0 D.-3解析:(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,恒有f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函數(shù)f(x)是以6為周期的周期函數(shù),又f(x)為定義在R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,f(3)=-f(0)=0,√所以f(1)=3,f(2)=f(-1+3)=-f(-1)=f(1)=3,f(4)=f(1+3)=-f(1)=-3,f(5)=f(2+3)=-f(2)=-3,所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(100)=[f(0)+f(1)+f(2)+…+f(5)]×16+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0×16+3=3.故選B.(1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問題,應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義,求出函數(shù)的周期.(2)利用函數(shù)的周期性,可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問題,轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,進(jìn)而解決問題.[針對(duì)訓(xùn)練](1)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(1-x),則f(2022)等于(

)A.-1B.0C.1D.2解析:(1)由f(x+1)=f(1-x)及f(x)是奇函數(shù)得f(2+x)=f(-x)=-f(x),f(0)=0,所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期函數(shù),周期為4,f(2022)=f(2)=f(0)=0.故選B.√√解析:(2)因?yàn)閒(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2),所以f(x)=f(x+4),所以函數(shù)f(x)的周期為4,所以f(23)=f(4×5+3)=f(3).又因?yàn)閒(x+2)=-f(x),所以f(3)=-f(1),考點(diǎn)四函數(shù)對(duì)稱性[例6](1)(2024·四川雅安一模)已知函數(shù)f(x)=2x+(x∈R),則f(x)的圖象(

)A.關(guān)于直線x=1對(duì)稱

B.關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱C.關(guān)于直線x=0對(duì)稱

D.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱√(2)(2024·河南鄭州模擬)若函數(shù)f(x)滿足f(2-x)+f(x)=-2,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(

)A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1√解析:(2)因?yàn)閒(2-x)+f(x)=-2,所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對(duì)稱,所以將f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=f(x+1)+1的圖象,該函數(shù)的對(duì)稱中心為(0,0),故y=f(x+1)+1為奇函數(shù).故選D.(3)已知函數(shù)y=