第3節(jié)二項(xiàng)式定理[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.積累·必備知識(shí)01回顧教材,夯實(shí)四基1.二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理:(a+b)n=

(n∈N*).(2)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng):Tk+1=

,它表示通項(xiàng)為展開式的第

項(xiàng).k+1(3)二項(xiàng)式系數(shù):二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)(k=0,1,2,…,n).二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為n+1.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n,即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列,從第一項(xiàng)開始,次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零;字母b按升冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)遞增遞減3.楊輝三角下面的數(shù)表稱為楊輝三角:其中第n行是

.1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”).×(1)

an-kbk是(a+b)n的展開式中的第k項(xiàng).(

)(2)(a+b)n的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a,b無關(guān).(

)√(3)通項(xiàng)公式Tk+1=

an-kbk中的a和b不能互換.(

)√(4)(a+b)n某項(xiàng)的系數(shù)是該項(xiàng)中非字母部分,包括符號(hào)等,與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)一般是不同的.(

)√2.(選擇性必修第三冊P30例2改編)在(-x)4的展開式中,x2的系數(shù)為(

)A.-1 B.1 C.-4 D.4√3.(2022·北京卷)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則a0+a2+a4等于(

)A.40 B.41 C.-40 D.-41√解析:法一(賦值法)依題意,令x=1,可得1=a4+a3+a2+a1+a0,令x=-1,可得81=a4-a3+a2-a1+a0,以上兩式相加可得82=2(a4+a2+a0),所以a0+a2+a4=41.故選B.法二(通項(xiàng)公式法)二項(xiàng)式(2x-1)4的通項(xiàng)為Tr+1=(2x)4-r(-1)r,令r=4,2,0,可分別得a0=1,a2=24,a4=16,所以a0+a2+a4=41.故選B.4.若(x+

)n的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為

.

20解析:因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)之和2n=64,所以n=6,02提升·關(guān)鍵能力類分考點(diǎn),落實(shí)四翼考點(diǎn)一求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)系數(shù)[例1](1)(2024·湖北孝感模擬)若()n的展開式中項(xiàng)的次數(shù)為整數(shù)的有且僅有5項(xiàng),則其常數(shù)項(xiàng)為(

)A.第8項(xiàng) B.第7項(xiàng)

C.第6項(xiàng) D.第5項(xiàng)√(2)(2024·福建廈門模擬)(ax+y)5的展開式中x2y3項(xiàng)的系數(shù)等于80,則實(shí)數(shù)a等于(

)A.2 B.±2√(1)第m項(xiàng):此時(shí)k+1=m,直接代入通項(xiàng).(2)常數(shù)項(xiàng):即這項(xiàng)中不含“變元”,令通項(xiàng)中“變元”的冪指數(shù)為0建立方程.(3)有理項(xiàng):令通項(xiàng)中“變元”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程.注意:解題時(shí)注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件.使用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)時(shí)要注意:①通項(xiàng)表示的是第r+1項(xiàng),而不是第r項(xiàng);②通項(xiàng)中a和b的位置不能顛倒.[針對訓(xùn)練]√(2)在二項(xiàng)式(x-)4的展開式中,有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為(

)A.4 B.3 C.2 D.1√考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的性質(zhì)角度一二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和A.a0=64B.a0+a2+a4+a6=365C.a5=12D.a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=-6√√√對(x-1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6兩邊求導(dǎo),得6(x-1)5=a1+2a2(x+1)+3a3(x+1)2+…+6a6(x+1)5,令x=0,則a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=6×(0-1)5=-6,故D正確.故選ABD.(1)二項(xiàng)式系數(shù)和可直接利用性質(zhì)=2n.(2)系數(shù)和可利用賦值法.一般地,對于多項(xiàng)式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,則(a+bx)n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1),(a+bx)n的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為[g(1)+g(-1)],(a+bx)n的展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為[g(1)-g(-1)].(3)求特殊結(jié)構(gòu)的和式需要靈活變形(包括逆用公式)或賦值.角度二二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的最值問題[例3](1)關(guān)于(a-b)11的說法,錯(cuò)誤的是(

)A.展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2048B.展開式各項(xiàng)系數(shù)和為0C.展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D.展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最小√解析:(1)可得展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為211=2048,故A正確;令a=1,b=1,可得展開式各項(xiàng)系數(shù)和為0,故B正確;展開式共12項(xiàng),其中中間第6、7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,故C錯(cuò)誤;(2)(2024·湖北襄陽模擬)已知(1+3x)n的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為79,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為(

)A.第7項(xiàng) B.第8項(xiàng) C.第9項(xiàng) D.第10項(xiàng)√因?yàn)閞∈N,故r=9,因此,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第10項(xiàng).故選D.設(shè)展開式中第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大,(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大值直接利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解.(2)二項(xiàng)展開式系數(shù)最大項(xiàng)的求法常采用不等式法.如求(a+bx)n(a,b∈R,n∈N*)的展開式系數(shù)最大的項(xiàng),一般是先用待定系數(shù)法,設(shè)展開式各項(xiàng)系數(shù)分別為A1,A2,…,An+1,且第k項(xiàng)系數(shù)最大,應(yīng)用不等式組從而解出k來.(3)求系數(shù)最小項(xiàng)注意結(jié)合系數(shù)的符號(hào)與絕對值進(jìn)行分析.[針對訓(xùn)練](1)(角度二)(2024·山東青島模擬)在(x-)n的展開式中,只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為(

)A.-126 B.-70 C.-56 D.-28√解析:(1)因?yàn)橹挥械?項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,所以展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與相應(yīng)奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)相等,偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與相應(yīng)偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù),而展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,因此展開式中第4項(xiàng)和第6項(xiàng)的系數(shù)相等且最小,為(-1)3=-56.故選C.(2)(角度一)(多選題)已知(1-2x)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024,下列命題中正確的是(

)A.展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為22024√√√考點(diǎn)三多項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問題角度一幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開式[例4](2024·山東濰坊模擬)設(shè)(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)7+(1+x)8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8,則a2等于(

)A.84 B.56 C.36 D.28√角度二幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式[例5](2024·福建福州模擬)已知(3x-1)(x+1)n的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為64,則展開式中含x4的項(xiàng)的系數(shù)為(

)A.20 B.25 C.30 D.35√角度三三項(xiàng)展開式[例6](x2+x+2)4的展開式中x3的系數(shù)為(

)A.42 B.56 C.62 D.66√(1)對于幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開式中的特定項(xiàng)問題,就是分別展開然后合并同類項(xiàng)問題,求系數(shù)和時(shí)注意利用組合數(shù)的性質(zhì).(2)對于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題,可以分別展開,再根據(jù)多項(xiàng)式乘法展開后合并同類項(xiàng),但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法,以免重復(fù)或遺漏.(3)對于三項(xiàng)式問題一般先變形為二項(xiàng)式再解決,或利用展開式的原理求解,利用展開式原理求解比較簡單.(4)以上三種題型的特殊結(jié)構(gòu)都可以先化簡,以使計(jì)算過程更加簡單.[針對訓(xùn)練](1)(角度三)(2024·浙江嘉興模擬)(x-2y+3z)6的展開式中x3y2z的系數(shù)為(

)A.-60 B.240 C.-360 D.720√解析:(1)展開式中的x3y2z項(xiàng)可以看成在