第二章實數(shù)

1認(rèn)識實數(shù)（第1課時）

一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級（上冊）第二章“實數(shù)”的第一節(jié)第1

課時。從整體課程內(nèi)容看，屬于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中“數(shù)

與代數(shù)”領(lǐng)域，課標(biāo)內(nèi)容要求為：了解無理數(shù)和實數(shù)，知道實數(shù)由有理數(shù)和無理

數(shù)組成，了解實數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)。能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實數(shù)，能比較實

數(shù)的大小。會求實數(shù)的相反數(shù)和絕對值。能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍。

本節(jié)內(nèi)容分2個課時，實數(shù)是繼有理數(shù)之后，在中學(xué)階段學(xué)習(xí)的數(shù)系的又一

次擴(kuò)充。引入無理數(shù)后，有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算規(guī)律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立。

相關(guān)學(xué)習(xí)活動涉及類比學(xué)習(xí)及歸納推理，為后續(xù)高中階段學(xué)習(xí)從實數(shù)向復(fù)數(shù)的數(shù)

系擴(kuò)展再次積累活動經(jīng)驗。第1課時讓學(xué)生感悟數(shù)系的擴(kuò)充，辯證認(rèn)識無理數(shù)的

存在，初步建立無理數(shù)的印象，結(jié)合勾股定理，會根據(jù)要求畫線段；借助計算器

感受無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，會判斷一個數(shù)是不是有理數(shù)。第2課時主要是讓

學(xué)生知道實數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)組成，并能對實數(shù)按要求進(jìn)行不同的分類，同時

了解實數(shù)范圍內(nèi)相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義，讓學(xué)生在動手操作中明確實數(shù)和

數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，結(jié)合勾股定理知識，在數(shù)軸上確定無理數(shù)的位置。

本節(jié)課是第1課時，學(xué)生將在具體的實例中，通過操作、估算、分析等活動，

感受無理數(shù)的客觀存在性和引入的必要性，并能判斷一個數(shù)是不是有理數(shù)。

二、學(xué)生起點(diǎn)分析

學(xué)生知識技能基礎(chǔ)：數(shù)系隨著現(xiàn)實生活及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需求不斷擴(kuò)充，這體現(xiàn)

了新數(shù)產(chǎn)生的必要性。代數(shù)運(yùn)算的核心是研究數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則及運(yùn)算律，學(xué)

生已經(jīng)經(jīng)歷過一次數(shù)系擴(kuò)充，即七年級在引入負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)中，將數(shù)的研究范圍擴(kuò)

充到有理數(shù)。利用數(shù)軸探究有理數(shù)的運(yùn)算法則中體現(xiàn)的分類討論、從特殊到一般、

數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想為實數(shù)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。在前一章“勾股定理”的學(xué)習(xí)中，

學(xué)生已經(jīng)掌握勾股數(shù)的概念，但在探究過程中發(fā)現(xiàn)，并不是所有的直角三角形的

邊長都是勾股數(shù)，甚至有些直角三角形的邊長連有理數(shù)都不是。這為引入“新數(shù)”

奠定了必要性，同時，勾股定理的學(xué)習(xí)也為學(xué)生提供了數(shù)形結(jié)合的思考方法。

學(xué)生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在相關(guān)知識的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生己經(jīng)經(jīng)歷了一些拼圖操

作、網(wǎng)格畫線段和借助計算器估算的活動，也具各與同學(xué)合作交流的經(jīng)驗。在負(fù)

數(shù)的引入、意義及有理數(shù)加法的學(xué)習(xí)中，充分結(jié)合生活實際，在理解意義的基礎(chǔ)

上獲取新知；在經(jīng)歷“觀察、比較、分析、歸納”的合作交流過程中，積累了用

數(shù)學(xué)的眼光觀察問題、用數(shù)學(xué)的思維分析問題、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)和解次問題的

經(jīng)驗。尤其是第一章用等積法說明勾股定理，解決了一些簡單的現(xiàn)實問題，感受

到了數(shù)系擴(kuò)充的必要性和作用，獲得了認(rèn)識實數(shù)所必需的一些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.在有理數(shù)認(rèn)識的基礎(chǔ)上，結(jié)合圖形判斷正方形的邊長是不是有理數(shù)，感受

客觀世界中無理數(shù)的存在；能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍。

2.通過拼圖活動，感受無理數(shù)產(chǎn)生的實際背景，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的

能力。同時，借助計算器探索無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，并利用計算器估算，培

養(yǎng)估算能力，發(fā)展抽象概括能力，并從中體會無限逼近的思想。

3.滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、特殊與一般的思想，培養(yǎng)代數(shù)推理能力。

4.在拼圖和網(wǎng)格紙中作出無理數(shù)表示線段長度的過程中，發(fā)展分析問題和解

決問題的能力，積累從圖形的特征思考數(shù)學(xué)問題的思維經(jīng)驗。

教學(xué)重點(diǎn)：對數(shù)系擴(kuò)充合理性的理解，意識到確實存在某些數(shù)，既不是整數(shù)

也不是分?jǐn)?shù)，它們具有無限不循環(huán)的特征。

教學(xué)難點(diǎn)：認(rèn)識到無理數(shù)既不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù)，是無限不循環(huán)小數(shù)。

四、教學(xué)過程設(shè)計

【第一環(huán)節(jié)】回顧置疑

1.活動內(nèi)容

思考：(1)一個整數(shù)的平方一定是整數(shù)嗎？

(2)一個分?jǐn)?shù)的平方一定是分?jǐn)?shù)嗎？

2.活動目的

進(jìn)行必要的知識回顧，為第二環(huán)節(jié)埋下伏筆，便于后續(xù)問題的說理。

【第二環(huán)節(jié)】課題引入

1.活動內(nèi)容

圖1中是兩個邊長為1的小正方形，剪一剪、拼一拼，設(shè)法得到一個大的正

方形。設(shè)大正方形的邊長為4,。滿足什么條件？它是我們學(xué)過的數(shù)嗎？（要求:

不允許有多余部分，所得的正方形不允許有空缺）

圖I

嘗試-思考

（1）如圖2,以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是多少？

（2）設(shè)該正方形的邊長為46滿足什么條件？它是我們學(xué)過的數(shù)嗎？

2.活動目的

通過動手操作，初步感知客觀存在的“無理數(shù)”實例，讓學(xué)生深刻感受“數(shù)

不夠用了”。

3.注意事項

無理數(shù)的學(xué)習(xí)標(biāo)志著學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)從有理數(shù)范疇拓展到實數(shù)范疇，是一次

重要的數(shù)系擴(kuò)充。由于學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識是從現(xiàn)實生活需求出發(fā)的，遵循“自然數(shù)

一整數(shù)一有理數(shù)一實數(shù)”的脈絡(luò)不斷拓展和豐富。學(xué)生對有理數(shù)的認(rèn)識是具象可

感的，是可以“數(shù)出來”“量出來”的，但無理數(shù)是抽象的“想出來”的。以學(xué)

生現(xiàn)有經(jīng)驗的有限性去認(rèn)識無理數(shù)概念的“無限性”，存在理解上的困難。因此，

對無理數(shù)的認(rèn)識要從現(xiàn)實需求出發(fā)，讓學(xué)生直觀感知其客觀存在性，讓學(xué)生在實

驗操作中引發(fā)思考，通過思考感知問題中的eb確實存在，但不是有理數(shù)。

【第三環(huán)節(jié)】新知釋疑

1.活動內(nèi)容

思考-交流

面積為2的正方形的邊長。究竟是多少呢?

（1）如圖3,三個正方形的邊長之間有怎樣的大小關(guān)系？說說你的理由。

圖3

（2）邊長。的整數(shù)部分是幾？十分位是幾？百分位呢？千分位呢？……借

助計算器進(jìn)行探索。

（3）小明將他的探索過程整理如下：

邊長a面積S

\<a<21<5<4

1.4<?<1.5L96Vs<2.25

1.41<^<1.421.988l<S<2.0164

1.414<a<1,4151.999396Vs<2.002225

1.4142<t/<1.41431.99996164<5<2.00024449

還可以繼續(xù)算下去嗎？〃可能是有限小數(shù)嗎？

（4）面積為5的正方形的邊長b的值是多少？h可能是有限小數(shù)嗎？與同

伴進(jìn)行交流。

2.活動目的

上一環(huán)節(jié)的“嘗試?思考”讓學(xué)生感知mb確實存在，但不是有理數(shù)，本

環(huán)節(jié)的“思考一交流”則意在讓學(xué)生感受b的大小。如何感知？這里借助了

計算器進(jìn)行逼近和估計，在這一過程中，可以初步感受4,8的大小，同時也讓

學(xué)生感受到這樣的逼近過程可以一直重復(fù)下去，進(jìn)而感知無理數(shù)是無限不循環(huán)小

數(shù)。

3.注意事項

(1)這里采用了“呈現(xiàn)小明的探究”方式進(jìn)行問題研究，在實際授課中,

教師可以讓學(xué)生進(jìn)行類似的操作，然后呈現(xiàn)學(xué)生的解答。

(2)活動最后，教師需要明晰:事實上,61=1.41421356-^=2.23606797-,

它們都不是有理數(shù)，都是無限不循環(huán)小數(shù)。

【第四環(huán)節(jié)】知識鞏固

1.活動內(nèi)容

(1)在圖4的正方形網(wǎng)格中，分別畫出滿足以下條件的兩個正方形：

①面積為9,且正方形的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上；

②面積為13,且正方形的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上。

(2)在圖5的正方形網(wǎng)格中分別畫出以下四個三拊形

①三邊長都是有理數(shù);

②只有兩邊長是有理數(shù);

③只有一邊長是有理數(shù);

I5JS

④三邊長都不是有理數(shù)。A

(3)如圖6,等邊三角形48C的邊長為2,高為人h

可能是有理數(shù)嗎?

(4)同一個正方形的邊長和對角線的長度可能都是整B

數(shù)嗎？RAA

2.活動目的

前面2個方格紙畫圖問題，增添知識的趣味性、關(guān)聯(lián)性和層次性，讓學(xué)生初

步學(xué)會辨別有理數(shù)和無理數(shù)，進(jìn)一步感受“新數(shù)”的存在，培養(yǎng)靈活運(yùn)用知識的

能力。后面2個問題，是對本節(jié)課開始問題的變式，加深對“新知”的理解。

3.注意事項

(1)問題(2)的答案不唯一。

(2)在解決問題(1)(2)的過程中，需將本章內(nèi)容與勾股定理的內(nèi)容進(jìn)

行聯(lián)系。

【第五環(huán)節(jié)】課堂小結(jié)

1.活動內(nèi)容

(1)通過本課學(xué)習(xí)，你收獲了哪些數(shù)學(xué)知識和能力？

(2)通過本課學(xué)習(xí)，你提升了哪些數(shù)學(xué)思維能力？

(3)通過本課學(xué)習(xí)，你掌握了哪些數(shù)學(xué)語言的表達(dá)方式？

(4)除了本課所認(rèn)識的非有理數(shù)外，你還能找到其他的數(shù)嗎？

2.活動目的

通過課堂小結(jié)，理清本節(jié)課的知識脈絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。引導(dǎo)學(xué)生用

數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實世界，主要表現(xiàn)為抽象能力和幾何直觀；幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)思維

思考現(xiàn)實世界，主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力和推理能力；實現(xiàn)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世

界，主要表現(xiàn)在應(yīng)用意識。

3.注意事項

學(xué)生總結(jié)，教師補(bǔ)充，幫助學(xué)生逐步深化對無理數(shù)的認(rèn)識和理解。

【第六環(huán)節(jié)】布置作業(yè)

1.活動內(nèi)容

基礎(chǔ)作業(yè)：習(xí)題2.1第5、第6題；

拓展作業(yè)：利用網(wǎng)格紙設(shè)計格點(diǎn)正方形，正方形面積小于100,共有多少種

情況？(注：面積相同的不同畫法均視為同一種情況)

實踐作業(yè)：查閱相關(guān)資料，進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)史上無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷程。完成數(shù)

學(xué)小論文“我對數(shù)系擴(kuò)充的再認(rèn)識”。

2.活動目的

設(shè)計不同難度、不同類別的作業(yè)，加強(qiáng)對本課時學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解，為不同層

次學(xué)生的發(fā)展提供有力支持。

五、教學(xué)反思

1.概念是學(xué)習(xí)新知識的基本內(nèi)容，每個知識點(diǎn)都是從概念教學(xué)開始的。概念教學(xué)不是告

知學(xué)生結(jié)果去記憶就行，而是要讓學(xué)生體驗知識的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程。從認(rèn)知的過程

來講，形成概念是從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識的過程，艮J由特殊到一般的總結(jié)和歸納；而鞏

固概念則是加深理解和靈活運(yùn)用的過程，即從一般到特殊的應(yīng)用過程。因此概念教學(xué)與應(yīng)用

是一個有機(jī)的整體、一個完美的閉環(huán)。

本節(jié)課借助尋找正方形邊長這一“現(xiàn)實生活中的實例”，讓學(xué)生通過估計、計算器進(jìn)行

探索、討論等，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣和無限逼近的數(shù)

學(xué)思想，從而得到無理數(shù)的概念；在教學(xué)實施過程中，對基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生，這i探索過程

所需時間較長，可能會影響后面環(huán)節(jié)的進(jìn)行，但感知過程是學(xué)生理解無理數(shù)這一抽象概念所

必需的，絕對不能淡化。

2.保持以研究的態(tài)度看待教學(xué)，以謙虛的態(tài)度研究教學(xué)，緊跟時代要求豐富教學(xué)手段。

基于數(shù)學(xué)課堂做研究，基于對數(shù)學(xué)、學(xué)生、教學(xué)的理解尋找切入點(diǎn)，在常態(tài)課中將信息技術(shù)

與數(shù)學(xué)適當(dāng)融合，將抽象的知識形象化，幫助學(xué)生加深對知識的理解，豐富體驗，促進(jìn)學(xué)生

個性化發(fā)展。同時，引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知、探索新知，形成一定的數(shù)學(xué)探究能力，進(jìn)一步培養(yǎng)

學(xué)生的分類和歸納思想，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打卜.堅實基礎(chǔ)。

第二章實數(shù)

1認(rèn)識實數(shù)（第2課時）

一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學(xué)（八年級上冊）第二章“實數(shù)”的第一節(jié)第2課時。本節(jié)課

主要學(xué)習(xí)實數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)組成，并能對實數(shù)按要求進(jìn)行不同的分類，同時了解實數(shù)范

圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)和絕對值的意義，讓學(xué)生在動手操作中明確實數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對

應(yīng)的，結(jié)合勾股定理知識，在數(shù)軸上確定無理數(shù)的位置。

二、學(xué)生起點(diǎn)分析

學(xué)生知識技能基礎(chǔ):通過七年級數(shù)軸的學(xué)習(xí)，學(xué)生已系統(tǒng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、

絕對值等概念，會利用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)。在前一章“勾股定理”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生積累

了已知兩直角邊長度均為整數(shù)時求斜邊平方的運(yùn)算基礎(chǔ),在本章的第一課時學(xué)生也已經(jīng)初步

感知了無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)），這為利用數(shù)軸上的點(diǎn)表示無理數(shù)奠定了基礎(chǔ)。勾股定理

的學(xué)習(xí)也為學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法提供了思考路徑。

學(xué)生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：第1課時，構(gòu)造直角三角形產(chǎn)生無理數(shù)是具體的經(jīng)驗，為如何在數(shù)

軸上標(biāo)出無理數(shù)提供了一種辦法；研究有理數(shù)時使用的分類、運(yùn)算等學(xué)習(xí)經(jīng)驗，在實數(shù)這里

依然可以進(jìn)行類比學(xué)習(xí)。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.了解實數(shù)的意義，能對實數(shù)按要求進(jìn)行分類；了解實數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，能根

據(jù)實數(shù)在數(shù)軸上的位置比較大小。了解實數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義和有理數(shù)

范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義完全一樣。

2.在認(rèn)識“實數(shù)”這一新知識時，運(yùn)用已有的“有理數(shù)”的相關(guān)概念及運(yùn)算律類比解決

“實數(shù)”的相關(guān)概念及運(yùn)算律，從而獲取解決實數(shù)相關(guān)問題的基本方法，發(fā)展分析問題、解

決問題的能力。

3.在感受實數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)的過程中，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合思想。

4.感悟類比思想的經(jīng)驗，了解數(shù)系擴(kuò)充對人類認(rèn)識發(fā)展的必要性。

教學(xué)重點(diǎn)：實數(shù)的意義，實數(shù)和數(shù)釉上的點(diǎn)??對應(yīng)。

教學(xué)難點(diǎn)：能將實數(shù)按要求進(jìn)行分類。

四、教學(xué)過程設(shè)計

【第一環(huán)節(jié)】回顧引入

1.活動內(nèi)容

（1）什么是有理數(shù)？

（2）如果把有理數(shù)寫成小數(shù)，這時的小數(shù)有什么特征呢？

⑶把下列各數(shù)表示成小數(shù)：3,%.

討論后明晰：無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)。

2.活動目的

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。現(xiàn)在出現(xiàn)了新的數(shù)，它既不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù)，上節(jié)課指出

這樣的數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)。因此，本節(jié)課苜先探討有理數(shù)和小數(shù)的關(guān)系。從研究手法上看，

直接問這樣的問題太抽象，F(xiàn)是從特殊的、具體的對象進(jìn)行研究，設(shè)計了將具體有理數(shù)轉(zhuǎn)化

成小數(shù)的問題。

3.注意事項

這里通過具體的數(shù)字轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生積累經(jīng)驗，通過自己的計算發(fā)現(xiàn)，有理數(shù)總可以用有

限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)表示；反過來，任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)。那些不

是有理數(shù)的數(shù)，用小數(shù)表示是無限不循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù)。揭示無理數(shù)后，

可以再舉一些實例，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解和感知無理數(shù)。

【第二環(huán)節(jié)】探究新知

1.活動內(nèi)容

例下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)？

3.14,—%0.57,0.1010001000001-（相鄰兩個I之間0的個數(shù)逐次加2）。

教師總結(jié)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)。

嘗試-思考

無理數(shù)和有理數(shù)一樣，也有正、負(fù)之分。

（1）請你把上面例題中的各數(shù)填入下面相應(yīng)的集合內(nèi)。

（2）還記得有理數(shù)的分類方法嗎？你能用類似的方法對實數(shù)進(jìn)行分類嗎？

思考-交流

上節(jié)課討論的兩個正方形，邊長分別是兒且滿足『=2,川=5。

（1）如圖，OA=OB,數(shù)軸上點(diǎn)力對應(yīng)a,。中的哪個數(shù)？

（2）你能在數(shù)軸上找到另一個數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)嗎？與同伴進(jìn)行交流。

B

2.活動目的

在第一環(huán)節(jié)，教材明晰了無理數(shù)的概念，這一環(huán)節(jié)則是進(jìn)一步加深學(xué)生對無理數(shù)的理解。

首先，例題讓學(xué)生判斷哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)，這是對無理數(shù)概念的進(jìn)一步辨析。有

了數(shù)的概念以后，我們通常會討論數(shù)的運(yùn)算。其次，設(shè)計了“嘗試?思考”，一方面類比有

理數(shù)，對實數(shù)進(jìn)行分類：另?方面在討論完分類后，進(jìn)?步明晰在實數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒

數(shù)、絕對值的意義與在有理數(shù)范圍內(nèi)的意義一樣。實數(shù)和有理數(shù)一樣，可以進(jìn)行加、減、乘、

除、乘方運(yùn)算，而且有理數(shù)的運(yùn)算法則與運(yùn)算律對實數(shù)仍然適用；最后，“思考?交流”則

是對有理數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系的補(bǔ)充，揭示實數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的。

3.注意事項

（1）關(guān)于實數(shù)的分類，可以有不同的分類方法，但是每次只能按照同一標(biāo)準(zhǔn)，旦也要

注意不重不漏。

（2）通過與有理數(shù)類比的方式，得出實數(shù)意義下的相關(guān)概念、運(yùn)算律，不用解釋道理，

可以通過具體例子理解和感悟。

【第三環(huán)節(jié)】知識鞏固

1.活動內(nèi)容

（1）下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)？

0.4583,3.7?—TC?一；,18。

（2）比較一3.14和一兀的大小。

（3）判斷正誤：

①所有無限小數(shù)都是無理數(shù)；（）

②所有無理數(shù)都是無限小數(shù)；（）

③有理數(shù)都是有限小數(shù)；（）

④不是有限小數(shù)的數(shù)不是有理數(shù)。（）

（4）回答問題：

①一3的相反數(shù)是什么？它的倒數(shù)是什么？它的絕對值是什么？

②n的相反數(shù)是什么？它的倒數(shù)是什么？它的絕對值是什么？

③。是一個實數(shù)，它的相反數(shù)和絕對值如何表示？若。工0,則它的倒數(shù)如何表示？

2.活動目的

通過教科書的一些練習(xí)題，加深學(xué)生對相關(guān)概念的理解，檢測學(xué)生對實數(shù)相關(guān)知識的

掌握情況。

【第四環(huán)節(jié)】課堂小結(jié)

1.活動內(nèi)容

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你收獲了哪些數(shù)學(xué)知識和能力？

（2）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你提升了哪些數(shù)學(xué)思維能力？

（3）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會了哪些數(shù)學(xué)語言表達(dá)？

2.活動目的

鼓勵學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)談自己的收獲。通過課堂小結(jié)，理清本節(jié)的知識脈絡(luò)，培養(yǎng)

學(xué)生的核心素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實世界，本節(jié)課的數(shù)學(xué)眼光主要表現(xiàn)為抽象能

力、兒何直觀；幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實世界，本節(jié)的數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力、

推理能力；實現(xiàn)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界，本節(jié)的數(shù)學(xué)語言主要表現(xiàn)為應(yīng)用意識。

3.注意事項

學(xué)生交流，互相補(bǔ)充，完成本節(jié)知識的梳理。學(xué)生對問題解決過程的回顧和反思，實現(xiàn)

知識建構(gòu)、方法融合、思想領(lǐng)悟和思維的自覺。

【第五環(huán)節(jié)】布置作業(yè)

I.活動內(nèi)容

（1）基礎(chǔ)作業(yè)：

（注：根據(jù)教材習(xí)題2.1第1題改編）

下列各數(shù)中，一段，3.97,-234.10101010…（相鄰兩個1之間有1個0）,

180

0.12345678910111213…（小數(shù)部分由相繼的正整數(shù)組成）。

①寫出所有有理數(shù)：

②寫出所有無理數(shù)；

③分別寫出這些數(shù)的相反數(shù)、絕對值；

④把這些數(shù)按由小到大的順序排列起來，并用符號連接。

（2）拓展作業(yè)：

把下列小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：①3.25：@0.5：③0.試。

（3）實踐作業(yè)：課題學(xué)習(xí)“探索有理數(shù)轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)的方法”。

課題探索有理數(shù)轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的方法

類型主題實踐性作業(yè)

有理數(shù)總可以用有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)表示，你知道它的原理嗎？你

內(nèi)容

能總結(jié)有理數(shù)轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的?般方法嗎？

工具

運(yùn)用所學(xué)知識解釋理由，小組合作歸納總結(jié)模型，并能發(fā)散思維，尋求

要求

一題多解，形成報告。

核心素養(yǎng)運(yùn)算能力、推理能力

策略

應(yīng)用知識

過程

反思

C合格:能夠利用所學(xué)知識解釋其中的道理.，并進(jìn)行證明，對于拓展應(yīng)用

有一定的難度，需要在教師指導(dǎo)或同學(xué)合作下進(jìn)行設(shè)計。

自我評價B良好:能夠利用所學(xué)知識解釋其中的道理，并做出完整的證明，對于拓

展應(yīng)用活動，nJ■以獨(dú)立完成設(shè)計操作，并可寫出一種或一種以上的方法。

A優(yōu)秀:在良好等級的基礎(chǔ)上，思維更敏捷、開闊，更加富有創(chuàng)造力，能

把每一個問題的理由都描述得清楚準(zhǔn)確：對于拓展應(yīng)用活動，能夠獨(dú)立完成

設(shè)計操作，并可提供出兩種及以上的方法。

2.活動目的

通過作業(yè)進(jìn)一步鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容；設(shè)置不同層次的作業(yè)，為不同層次的學(xué)生提供不

同的發(fā)展空間。

五、教學(xué)反思

1.重視類比的數(shù)學(xué)思想滲透

實數(shù)是有理數(shù)的擴(kuò)張，其具體研究內(nèi)容與有理數(shù)完全類似。因此，在本課時的教學(xué)設(shè)計

中，特別關(guān)注前后知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，關(guān)注運(yùn)用類比的思想學(xué)習(xí)新的知識，這是本課設(shè)計

中一個十分顯著的特點(diǎn)。實際上，類似的問題在其他知識學(xué)習(xí)中同樣存在，注意體會。

2.轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)

本節(jié)課通過畫圖操作，讓學(xué)生經(jīng)歷畫圖的過程，將“無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)”中抽象

的“無限”通過圖形來直觀展示，并用數(shù)軸上的點(diǎn)表示。同時也解決了生活實際與教學(xué)內(nèi)部

發(fā)展的需求，化解了生活實際與數(shù)學(xué)現(xiàn)實的認(rèn)知沖突，達(dá)到概念的同化與運(yùn)用。同時讓學(xué)生

掌握概念學(xué)習(xí)的路徑：從生活實際問題中識別、抽象并提取出數(shù)學(xué)概念，再對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行

辨析理解，最后升華到概念的應(yīng)用。讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，即數(shù)學(xué)對象的獲得過程、數(shù)

學(xué)對象的研究過程、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的過程，從而獲得知識，提升能力，養(yǎng)成品質(zhì)，

發(fā)展核心素養(yǎng)。

第二章實數(shù)

2平方根與立方根（第1課時）

一、學(xué)生任務(wù)分析

本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級（上冊）第二章“實數(shù)”第二節(jié)的第1課時。學(xué)習(xí)平

方根和算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)。在運(yùn)算方面，引入了開方運(yùn)算，使學(xué)生掌握的代數(shù)運(yùn)算由

原來的加、減、乘、除、乘方五種獷展到六種，建立起較完善的代數(shù)運(yùn)算體系。本節(jié)內(nèi)容既

是對前面所學(xué)知識的深化和發(fā)展，也是今后學(xué)習(xí)二次根式、實數(shù)的預(yù)備知識，還是用直接開

平方法、公式法解一元二次方程的重要依據(jù)。因此，本節(jié)課處于非常重要的地位，起著承前

啟后的作用。木節(jié)課為第1課時，主要研究算術(shù)平方根。算術(shù)平方根的探究從直角邊長為1

的等腰直角三角形出發(fā)，以該三角形的斜邊為新三角形的直角邊，1為新三角形另一條直角

邊的長作直角三角形，以此類推，得到一系列直角三角形，引發(fā)學(xué)生思考這些直角三角形斜

邊長的值能否表示出來，進(jìn)而引出算術(shù)平方根的概念。

二、學(xué)生起點(diǎn)分析

學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了勾股定理、無理數(shù)，并掌握了乘方運(yùn)算。本節(jié)課

將在這些基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究算術(shù)平方根。

學(xué)生的活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在前面的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)積累了自主探究、合作學(xué)習(xí)的經(jīng)

驗，具有一定的觀察、分析、歸納、概括能力，具備了一定的合作與交流能力。這節(jié)課的教

學(xué)，力求從學(xué)生實際出發(fā)，以他們熟悉的問題情境引入學(xué)習(xí)主題，在關(guān)注現(xiàn)實生活的同時，

更加關(guān)注數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的挑戰(zhàn)性。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.了解算術(shù)平方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的算術(shù)平方根；了解求一個正數(shù)的算術(shù)平

方根與平方是互逆的運(yùn)算，會利用這個互逆運(yùn)算關(guān)系求非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根；了解算術(shù)平方

根的性質(zhì)。

2.經(jīng)歷動手操作、觀察、猜想，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的主動性，發(fā)展表達(dá)和運(yùn)算能力。

3.通過積極參與獲取新知，從中滲透從特殊到一般及類比的觀點(diǎn)，在小組活動中發(fā)展獨(dú)立

思考能力和競爭意識。

4.在概念形成過程中，體會知識的來源與發(fā)展，提高思維能力；在合作交流等活動中，培

養(yǎng)合作精神和創(chuàng)新意識。

教學(xué)重點(diǎn)：了解算術(shù)平方根的概念，知道求一個正數(shù)的算術(shù)平方根與平方是互逆的運(yùn)算。

教學(xué)難點(diǎn)：會用根號表示一個數(shù)的算術(shù)平方根。

四、教學(xué)過程設(shè)計

【第一環(huán)節(jié)】創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考

1.活動內(nèi)容

（1）根據(jù)圖填空：

/=,

r=，

.

M=o

（2）x,y,z,w中哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？你能表示它們嗎？

2.活動目的

帶著問題進(jìn)入這節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)用算術(shù)平方根表示的必要性。

3.注意事項

在活動中，學(xué)生能表示f=2,產(chǎn)=3,i=4,M=5,能求得z=2,但不能求得x,y,w

的值，從而激發(fā)學(xué)生繼續(xù)往下學(xué)習(xí)的興趣，進(jìn)而引入新的運(yùn)算一一開方。

【第二環(huán)節(jié)】理解概念

1.活動內(nèi)容

引出新概念。

X2=2,產(chǎn)=3,z?=4,小=5,已知轅和指數(shù)，你能求出底數(shù)嗎？

在上面思考的基礎(chǔ)上，明晰概念：

一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于即/=〃，那么這個正數(shù)x就叫作〃的算術(shù)平方

根，記作，讀作“根號/'。

特別地，我們規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0,即75=0。

例1求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：

(1)900：(2)49：(3)121；(4)225；

(5)0.09；(6)0.64：(7)0.81；(8)2.25；

49（10）祟

(9)64;(11)14；(12)15。

2.活動目的

讓學(xué)生體驗概念的形成過程，感受到概念引入的必要性，對算術(shù)平方根概念形成認(rèn)識，

并通過例題鞏固學(xué)生對算術(shù)平方根概念的認(rèn)識。體驗求一個正數(shù)的算術(shù)平方根的過程，利用

平方運(yùn)算求一個正數(shù)的算術(shù)平方根的方法，讓學(xué)生明白有的正數(shù)的算術(shù)平方根可以開出來,

有的正數(shù)的算術(shù)平方根只能用根號表示，如14的算術(shù)平方根是g。

3.注意事項

在探索的過程中，可以提出問題“已知暴和指數(shù)，你能求出底數(shù)x嗎？”通過例題，讓

學(xué)生感受一個正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0,負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根。

【第三環(huán)節(jié)】思考交流

L活動內(nèi)容

思考-交流

(1)在上面例1中，一些數(shù)的算術(shù)平方根的結(jié)果沒有“，”了，這些數(shù)有什么特點(diǎn)？

(2)在上面例1中，7900=30,也就是屈=30。一般地，當(dāng)。與0時，病=。成立

嗎？

(3)成立嗎？這里的。是什么數(shù)？你是怎么理解的？與同伴進(jìn)行交流。

例2由靜止自由下落的物體下落的距離s(單位：m)與下落時間/(單位：s)之間的關(guān)

系為$=4.9尸。有一個鐵球從19.6m高的建筑物上由靜止自由下落，到達(dá)地面需要多長時

問？

2.活動目的

(1)通過“思考?交流”，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解平方與開方之間的關(guān)系，深入認(rèn)識算式

平方根的概念，進(jìn)而得到以下結(jié)論：

當(dāng)時，yfa^=a,=a'當(dāng)4vo時，，口=一。。

(2)設(shè)置例2,用算術(shù)平方根的知識解決實際問題。

3.注意事項

對于當(dāng)。＜0時，必=一。的討論，可以通過舉例、歸納等方式進(jìn)行，從而明確算術(shù)平

方根的雙重非負(fù)性。

【第四環(huán)節(jié)】嘗試運(yùn)用，鞏固概念

1.活動內(nèi)容

隨堂練習(xí)：

1.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：

(1)36；(2)1蓋；(3)15：(4)0.64：(5)10~6；(6)x/225o

2.下列說法正確的是()。

A.5是25的算術(shù)平方根B.±4是16的算術(shù)平方根

C.-6是(-6)2的算術(shù)平方根D.O.OI是().1的算術(shù)平方根

3.正數(shù)一的平方為皆；（-5）2的算術(shù)平方根為。

4.若一個數(shù)的算術(shù)平方根是石，則這個數(shù)是。

5.在△月8C中，ZC=90°,8c=3,AC=5,求48的長。

6.如圖，從帳篷支撐桿"的頂部力向地面拉一根繩子4C固定帳篷。若繩子的長度為8m,

地面固定點(diǎn)C到帳篷支撐桿底部B的距離為6.4m,則帳篷支撐桿的高是多少？

2.活動目的

旨在檢測學(xué)生對算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)的掌握情況，以便根據(jù)學(xué)生情況調(diào)整教學(xué)進(jìn)程,

練習(xí)的梯度性由淺入深，一步步加深對算術(shù)平方根的概念以及性質(zhì)的認(rèn)識。同時對學(xué)生的回

答，教師要給予評價和點(diǎn)評。

【第五環(huán)節(jié)】課堂小結(jié)，布置作業(yè)

1.活動內(nèi)容

圍繞以下內(nèi)容進(jìn)行課堂小結(jié)：

（1）算術(shù)平方根的概念。

（2）算術(shù)平方根的性質(zhì)：一個正數(shù)的算術(shù)平方根是一個正數(shù)；0的算術(shù)平方根是0；負(fù)

數(shù)沒有算術(shù)平方根。

（3）求一個正數(shù)的算術(shù)平方根的運(yùn)算與平方運(yùn)算是互逆的運(yùn)算，可以利用這個互逆運(yùn)算

關(guān)系求非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根。

布置作業(yè)

①習(xí)題2.2第1題、第3題（1）~（8）、第16~18題。

②查找算術(shù)平方根的相關(guān)資料，與同伴分享交流。

2.活動目的

依照本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)課的知識要點(diǎn)，強(qiáng)化算術(shù)平方根的概念和

性質(zhì)。通過作業(yè)讓學(xué)生進(jìn)一步加強(qiáng)對本課知識的理解和掌握。

五、教學(xué)設(shè)計反思

1.細(xì)講概念、強(qiáng)化訓(xùn)練

要想讓學(xué)生掌握算術(shù)平方根的概念，需要讓學(xué)生經(jīng)歷由淺入深、不斷深化的過程。概念

是由具體到抽象、由特殊到一般，經(jīng)過分析、綜合去掉非本質(zhì)特征，保持本質(zhì)屬性而形成的。

概念的形成過程也是思維過程，加強(qiáng)概念形成過程的教學(xué)，有利于提高學(xué)生的思維水平。概

念教學(xué)過程中要做到：講清概念，加強(qiáng)訓(xùn)練，逐步深化。

“講清概念”就是通過具體實例揭露算術(shù)平方根的本質(zhì)特征。算術(shù)平方根的本質(zhì)特征就

是定義中指出的“如果一個正數(shù)X的平方等于即/=〃，那么這個正數(shù)X就叫作，的算

術(shù)平方根”的“正數(shù)X”，即被開方數(shù)是正的，由平方的意義可知。也是正數(shù)，因此算術(shù)平

方根也必須是正的。當(dāng)然零的算術(shù)平方根是零。

“加強(qiáng)訓(xùn)練”不但指要加強(qiáng)求算術(shù)平方根的基本訓(xùn)練，使練習(xí)題達(dá)到一定的質(zhì)和量，也

包括書寫格式的訓(xùn)練，如在求正數(shù)的算術(shù)平方根時，不是直接寫出算術(shù)平方根，而是通過平

方運(yùn)算來求算術(shù)平方根，非平方數(shù)的算術(shù)平方根只能用根號來表示。

“逐步深化”是指將運(yùn)用算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)的題目按不同的“梯度”組成題組，

在教學(xué)的不同階段按由淺入深的原則加以使用，幫助學(xué)生逐步深化概念的理解和運(yùn)用。

2.發(fā)展思維、適度拓展

在教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生的實際情況，在學(xué)有余力的情況下，可以對。的雙重非負(fù)性的知識

進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣埂?/p>

第二章實數(shù)

2平方根與立方根（第2課時）

一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級（上冊）第二章“實數(shù)”第二節(jié)的第2課時。平方根

是對算術(shù)平方根的深化與拓展。學(xué)生已經(jīng)掌握算術(shù)平方根的概念，并且具有強(qiáng)烈的好奇心和

學(xué)習(xí)熱情。但抽象意識不足，缺乏對現(xiàn)有知識的遷移應(yīng)用意識，還缺乏對知識體系進(jìn)行整合

和建構(gòu)的意識。因此，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計在對教學(xué)內(nèi)容的深入理解和對學(xué)情的精準(zhǔn)把握的基

礎(chǔ)上，從學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)類比學(xué)習(xí)新知，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)精心設(shè)計合理且有效的教學(xué)活動，

使學(xué)生經(jīng)歷層次清晰的、完整的抽象過程，在學(xué)習(xí)活動中發(fā)現(xiàn)知識、形成技能、發(fā)展核心素

養(yǎng)。

二、學(xué)生起點(diǎn)分析

學(xué)生的知識技能基礎(chǔ):了解數(shù)的算術(shù)平方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的算術(shù)平方根。

能在具體的例子中抽象出概念，發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力。學(xué)生還具備了乘方運(yùn)算的基礎(chǔ),

并能熟練計算任何一個非負(fù)數(shù)的平方根。

學(xué)生的活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在前面的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)枳累了自主探究、合作學(xué)習(xí)的經(jīng)

驗，具有一定的觀察、分折、歸納、概括能力，具備了一定的合作與交流能力。這節(jié)課的教

學(xué)，力求從學(xué)生.實際出發(fā)，以他們熟悉的問題情境引入學(xué)習(xí)士題，在關(guān)注現(xiàn)實生活的同時，

更加關(guān)注數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的挑戰(zhàn)性。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.了解數(shù)的平方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的平方根；會求一個正數(shù)的平方根；了

解平方根的性質(zhì)。

2.經(jīng)歷動手操作、觀察、猜想，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的主動性，發(fā)展表達(dá)和運(yùn)算能力。

3.通過積極參與獲取新知，從中滲透從特殊到一般及類比的觀點(diǎn)，在小組活動中發(fā)展獨(dú)

立思考的能力。

4.通過主動參與，勇于面對困難并能夠解決困難，發(fā)展合作交流意識。

教學(xué)重點(diǎn)：了解數(shù)的平方根的概念，會求一個正數(shù)的平方根，了解平方根的性質(zhì)。

教學(xué)難點(diǎn)：會求一個正數(shù)的平方根。

四、教學(xué)過程設(shè)計

【第一環(huán)節(jié)】復(fù)習(xí)舊知，引入新知

1.活動內(nèi)容

（1）3的平方是9,還有其他數(shù)的平方也是9嗎？

4

（2）平方等于去的數(shù)有幾個？平方等于（）.64的數(shù)呢？

一般地，如果一個數(shù)x的平方等于m即那么這個數(shù)X就叫作。的平方根（也

叫作二次方根）。

2.活動目的

讓學(xué)生形成“平方根”的概念。在列舉一些具體數(shù)據(jù)的感性認(rèn)識基礎(chǔ)上，由平方運(yùn)算反

推出平方根的概念和定義，并讓學(xué)生熟練地進(jìn)行平方運(yùn)算和平方根運(yùn)算之間的互化，并明白

它們之間的互逆關(guān)系。

3.注意事項

這里也可以借助上一課時中的例子，拋開實際情境，問i=4,除了2以外，還有其他數(shù)

的平方也是4嗎？

【第二環(huán)節(jié)】形成概念，辨析概念

1.活動內(nèi)容

嘗試?思考

（1）平方根和算術(shù)平方根有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

（2）一個正數(shù)有幾個平方根？0有幾個平方根？負(fù)數(shù)呢？

一個正數(shù)有兩個平方根；。只有一個平方根，它是（）本身；負(fù)數(shù)沒有平方根。

相同點(diǎn)：

1.只有非負(fù)數(shù)才有平方根和算術(shù)平方根。

2.0的平方根是。，算術(shù)平方根也是0o

不同點(diǎn)：個數(shù)不同。一個正數(shù)有兩個平方根，但只有一個算術(shù)平方根。

明晰概念

正數(shù)。有兩個平方根，一個是。的算術(shù)平方根右，另一個是-G，他們互為相反數(shù)。

這兩個平方根合起來可以記作土讀作“正、負(fù)根號。

求一個數(shù)。的平方根的運(yùn)算，叫作開平方，a叫作被開方數(shù)。

2.活動目的

“嘗試?思考”辨析“平方根”與“算術(shù)平方根”概念的區(qū)別與聯(lián)系，使之與上一課時

緊密聯(lián)系，同時也為明晰概念奠定了基礎(chǔ)。

3.注意事項

這里從具體問題入手，遵循了從具體到抽象的過程，并和原有的概念進(jìn)行了比較與辨析,

幫助學(xué)生厘清算術(shù)平方根和平方根之間的關(guān)系。

【第三環(huán)節(jié)】嘗試運(yùn)用，鞏固概念

L活動內(nèi)容

例題示范

例1求下列各數(shù)的平方根：

(1)64：(2)—；(3)0.0004；(4)(-25)-；(5)11。

解：（1）因為（±8）2=64,所以64的平方根是±8,即±病二±8；

<7Y494971~49~7

（2）因為土'=—,所以一的平方根是土一，即±』;丁=±—；

（\\）12112111V12111

（3）因為（±0.02）2=0.0004,所以0.0004的平方根是士0.02,即±J0.0004=±0.02:

（4）因為（±25（-25『，所以（-25『的平方根是±25,即±J（-25『=±25；

（5）11的平方根是±JTT。

例2求下列各式的值：

（1）V225-：⑵；⑶7（-8）2。

解：（1）V225=715?=15：

⑵狎Yf冶；

（3）7（-S）2=8o

隨堂練習(xí)

1.求下列各數(shù)的平方根：

1.44,0,8,—,441,196,1CT4。

49

2.25的平方根是,1的平方根是,病的平方根是；

3.7^5?=____，廚=，（-石］二。

鞏固練習(xí)

1.下列說法正確的是o

①-3是病的平方根

②25的平方根是5

③-36的平方根是-6

④平方根等于0的數(shù)是0

⑤6的算術(shù)平方根是8

2.下列說法不正確的是o

A.0的平方根是0

B.-22的平方根是2

C.非負(fù)數(shù)的平方根互為相反數(shù)

D.一個正整數(shù)的算術(shù)平方根一定大于這個數(shù)的相反數(shù)

3.已知一個自然數(shù)的算術(shù)平方根是Q,則該自然數(shù)的下一個自然數(shù)的算術(shù)平

方根是（）。

A.Q+1B.y/a+\

C.a2+lD.J1+1

2.活動目的課本上的例題，要求學(xué)生能正確掌握平方根的文字說理及符號化的表達(dá)。

能熟練地求出一個非負(fù)數(shù)的平方根，然后由題中的數(shù)探索出正數(shù)、0、負(fù)數(shù)的平方根的個數(shù)。

圍繞本節(jié)課的重點(diǎn)知識（平方根）做適當(dāng)?shù)木毩?xí)，在不同的變式練習(xí)中加深對平方根意義的

理解。

3.注意事項

通過對例題的詳解，希望學(xué)生能準(zhǔn)確地書寫表達(dá)，規(guī)范平方根的書寫格式，掌握正確的

符號化語言。

【第四環(huán)節(jié)】課堂小結(jié)，布置作業(yè)

1.活動內(nèi)容

課堂小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本課時的知識、方法。

布置作業(yè)

習(xí)題2.2知識技能：第2,4,5題。問題解決：第19,20,21,22題。

2.活動目的

讓學(xué)生對所學(xué)的知識進(jìn)行梳理，使之思路清晰。既鞏固了有關(guān)知識，又培養(yǎng)了學(xué)生良好

的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

五、教學(xué)設(shè)計反思

1.情境教學(xué)，經(jīng)歷知識形成的過程

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，教學(xué)活動應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在真實情境中發(fā)

現(xiàn)問題和提出問題，利用觀察、猜測等方法分析問題和解決問題。本課時設(shè)計了一個課前熱

身環(huán)節(jié)，是在學(xué)生已有的乘方運(yùn)算的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生感受到新運(yùn)算和平方運(yùn)算是互逆運(yùn)算。

同時尊重教材，在求直角三角形斜邊長的問題基礎(chǔ)上，增加了兩個實際問題。在解決實際問

題中,創(chuàng)設(shè)信息化的學(xué)習(xí)環(huán)境，提升學(xué)生的探究熱情，激發(fā)學(xué)生的想象力。本節(jié)課，我們要

教的不僅僅是開平方運(yùn)算，更要讓學(xué)生經(jīng)歷從實際問題中抽象出來的過程，感悟數(shù)學(xué)思想方

法，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，這有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

2.樹土整體觀念，明確知識的來龍去脈

章建躍博士認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一個整體，思維是一個系統(tǒng)。課堂教學(xué)應(yīng)注重整體性設(shè)計，提

升學(xué)生的系統(tǒng)思維水平?！翱此坪唵巍钡恼n，絕不是獨(dú)立的，它一定是后續(xù)深入學(xué)習(xí)的起點(diǎn)。

在本節(jié)課的概念建構(gòu)時，引導(dǎo)學(xué)生對平方根的命名進(jìn)行解讀，引發(fā)學(xué)生思考，為后續(xù)學(xué)習(xí)立

方根的命名作鋪墊。小結(jié)仄節(jié)采用類比學(xué)習(xí)，為后續(xù)概念課的學(xué)習(xí)提供范式，整體性的學(xué)習(xí)，

有助于為學(xué)生建立前后一致、邏輯連貫的數(shù)學(xué)認(rèn)知建構(gòu)。

3.立意深遠(yuǎn)，關(guān)注學(xué)生的發(fā)展

本課的核心目標(biāo)是育人。從情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生經(jīng)歷情境數(shù)學(xué)化的過程；從

情境中建立方程模型，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)模型的魅力；從探究概念的過程中，挖掘出背后隱藏

的“生長點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”，提升了學(xué)生的思維力。本節(jié)課基于情境，始終圍繞著發(fā)現(xiàn)問題、

提出問題、分析問題和解決問題的過程展開，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識，還提高了學(xué)生的

綜合應(yīng)用能力。

從平方根的概念、性質(zhì)到應(yīng)用可以看出，教材編寫遵循“三會”的過程。學(xué)生建構(gòu)新知

的過程也遵循“三會”的過程，學(xué)生解決問題的過程也遵循“三會”的過程。因此，教師在

教學(xué)設(shè)計時，應(yīng)依據(jù)“觀察一思考一表達(dá)”的基本流程和主要環(huán)節(jié)，為學(xué)生設(shè)計活動，注重

培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)。將簡單的課上出滿滿的數(shù)學(xué)味道，有效實現(xiàn)過程與結(jié)果的有機(jī)統(tǒng)一。

第二章實數(shù)

2平方根與立方根（第3課時）

一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級（上冊）第二章“實數(shù)”第二節(jié)的第3

課時。立方根是數(shù)與式中重要的知識點(diǎn)之一，立方根的計算有著廣泛的應(yīng)用，兒

何體的計算經(jīng)常涉及開立方。學(xué)習(xí)立方根，學(xué)生可以更加深入地了解無理數(shù)，為

后面學(xué)習(xí)實數(shù)奠定基礎(chǔ)。

以求小立方塊的棱長問題為情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察其空間結(jié)構(gòu)，引出立方根的

概念。通過對立方根與平方根的類比，探索兩者之間的聯(lián)系和區(qū)別。因此，除了

具體的知識技能（如知道一個數(shù)的立方根的意義，會用根號表示一個數(shù)的立方根,

掌握立方根的運(yùn)算等）學(xué)習(xí)以外，還要引導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用類比等數(shù)學(xué)方法，并在

過程中不斷發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

二、學(xué)生起點(diǎn)分析

學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)：學(xué)生己經(jīng)學(xué)習(xí)了平方根，并較為熟練地掌握了平方根

的概念和性質(zhì)，了解了平方運(yùn)算與開平方互為逆運(yùn)算，學(xué)會了求一個非負(fù)數(shù)的平

方根和算術(shù)平方根的計算方法。學(xué)生在七年級上冊已經(jīng)學(xué)過數(shù)的立方的計算，并

通過類比平方根的學(xué)習(xí)，能夠更好地進(jìn)行立方根的探究。

學(xué)生的活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了平方根知識的學(xué)習(xí)探索，體驗了用根

號表示非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根和平方根。運(yùn)用類比的思想，可以為立方根的探究提

供?定的學(xué)習(xí)路徑。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.了解立方根的概念，能用根號表示一個數(shù)的立方根；能用立方運(yùn)算求某些

數(shù)的立方根，體會一個數(shù)的立方根的唯一性;理解立方根與平方根的區(qū)別和聯(lián)系。

2.經(jīng)歷對立方根的探究過程，在探究中學(xué)會解決立方根問題的一些基本方法

和策略，培養(yǎng)逆向思維能力和分類討論的意識。

3.利用類比思想，學(xué)習(xí)立方根。在開立方與立方互為逆運(yùn)算的探究過程中，

滲透從特殊到一般的思想，并培養(yǎng)運(yùn)用逆向思維解決問題的能力。

教學(xué)重點(diǎn)：了解立方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的立方根。

教學(xué)難點(diǎn)：能用立方運(yùn)算求某些數(shù)的立方根，了解開立方和立方互為逆運(yùn)算。

四、教學(xué)過程設(shè)計

【第一環(huán)節(jié)】情境引入，提出問題

1.活動內(nèi)容

圖1是由大小相同的小立方塊搭成的幾何體，如果這個兒

何體的體積為216cm3,那么每個小立方塊的棱長是多少？

提問：這個幾何體是由幾個小立方塊搭成的？每個小立方

塊的體積是多少？怎樣求出小立方塊的棱長呢？

讓我們通過解決這些問題來學(xué)習(xí)新知識。

2.活動目的

通過問題情境引入，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)新知的必要性，激發(fā)學(xué)生的求知欲望。

3.注意事項

設(shè)置上述幾個問題，引導(dǎo)學(xué)生思考：這個幾何體的邊長可能是多少？引導(dǎo)學(xué)

生通過猜想得到幾何體棱長為6cm,進(jìn)而得到小立方塊棱長為2cm。另外也可

以發(fā)現(xiàn)幾何體由27個小立方塊組成，每個小立方塊的體積是8cm3'從而得到小

立方塊棱長是2cm。

【第二環(huán)節(jié)】理解概念，汲取新知

1.活動內(nèi)容

提問：什么數(shù)的立方等于8?

追問：你能類比平方根的定義給出立方根的定義嗎？

概念歸納：

一般地，如果一個數(shù)x的立方等于。，即/二小那么這個數(shù)x就叫作。狗立

方根（也叫作三次方根）。如2是8的立方根，是-白的立方根，0是0的立

327

方根。

2.活動目的

通過情境問題的解決，引出立方根的概念，為后面研究立方根的性質(zhì)做好鋪

墊。

【第三環(huán)節(jié)】初步探究

1.活動內(nèi)容

嘗試-思考

怎樣求下列括號內(nèi)的數(shù)？各題中已知什么數(shù)？求什么數(shù)？

(1)()3=8；(2)()3=0；(3)()3=-27O

(2)一個數(shù)的平方根可能有兩個，一個數(shù)的立方根可能有幾個呢？

(3)正數(shù)有幾個立方根？0有幾個立方根？負(fù)數(shù)呢？

2.活動目的

通過具體的計算練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步了解求一個數(shù)的立方與求一個數(shù)的立方

根互為逆運(yùn)算,感受一個數(shù)的立方根的唯一性，算式中對。的取值分別選為正數(shù)、

負(fù)數(shù)、Oo這樣的設(shè)計可以幫助學(xué)生滲透分類討論的思想方法。

設(shè)計問題串是為了方便平方根與立方根的對比，幫助學(xué)生弄清兩者的區(qū)別和

聯(lián)系。

3.注意事項

在上面的基礎(chǔ)上明晰下列內(nèi)容，對所學(xué)知識進(jìn)行梳理。

(1)每個數(shù)。都有一個立方根,記作“會”，讀作“三次根號0”。例如:

當(dāng)爐=7時，x是7的立方根，記作x="。與數(shù)的平方根的表示比較，數(shù)的立方

根中根號前沒有“土”符號，但根指數(shù)3不能省略。

(2)正數(shù)的立方艱是正數(shù)，0的立方根是0,負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。

(3)求一個數(shù)。的立方根的運(yùn)算叫作開立方，。叫作被開方數(shù)。開立方與

立方互為逆運(yùn)算。

【第四環(huán)節(jié)】嘗試反饋，鞏固練習(xí)

1.活動內(nèi)容

例1求下列各數(shù)的立方根：

Q

(1)-27；(2)—；(3)0.216；(4)-5。

解：(1)因為J)』-27,所以-27的立方根是-3,即乎方=-3；

（2）因為UY=_L所以專的立方根是，即德得

⑸125

(3)因為(0.6)3=0.216,所以0.216的立方根是0.6,即抽記=0.6;

(4)-5的立方根是行。

2.活動目的

本例讓學(xué)生根據(jù)定義求立方根，鞏固對立方根概念的理解。通過按照立方根

的定義表述解題過程，促進(jìn)學(xué)生理解立方根的概念。

3.注意事項

教師可以先行示范，規(guī)范書寫要求，學(xué)生在熟練以后可以簡化寫法。

【第五環(huán)節(jié)】思考交流，深入探究

1.活動內(nèi)容

思考-交流

(1)在例1中，一些數(shù)的立方根的結(jié)果沒有“丁”了，這些數(shù)有什么特點(diǎn)？

(2)在例1中，尸7=—3,也就是"二方=一3。一般地，江=。成立嗎？

(3)(必)3=4成立嗎？與同伴進(jìn)行交流。

例2求下列各式的值：

(1)(2)《0.064;(3)；(4)的丫。

解：(1)"二((—2)3=—2；(2)V0.064=\/047=0.4;

⑶-儡=-崎=5⑷㈣'=9。

鞏固練習(xí)

(1)求下列各式的值：

W.008；7^64；-病方；(5/16)\

(2)一個正方體，它的體積是棱長為3cm的正方體體積的8倍，這個

正方體的棱長是多少？

2.活動目的

“思考?交流”環(huán)節(jié)進(jìn)一步討論如何對各式進(jìn)行化簡，求立方根。例2則根

據(jù)“思考?交流”的所學(xué)內(nèi)容求立方根，進(jìn)一步鞏固立方根的求法。

3.注意事項

學(xué)生通過練習(xí)掌握立方根的概念和計算方法，并通過對計算結(jié)果的分析得出

立方根的性質(zhì)，若學(xué)生不能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，教師可以再給出幾個例子，引導(dǎo)學(xué)生觀察

被開方數(shù)、根指數(shù)及運(yùn)算結(jié)果之間的關(guān)系，從而得出立方根的性質(zhì)；也可以安排

學(xué)生分小組討論，通過交流，展示學(xué)生發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，若學(xué)生的討論不夠深入，可

由教師補(bǔ)充得出結(jié)論。

【第六環(huán)節(jié)】課堂小結(jié)，反思?xì)w納

1.活動內(nèi)容

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你學(xué)到了哪些內(nèi)容？

歸納、總結(jié)學(xué)生的回答，得出下列內(nèi)容：

（1）了解立方根的概念，會用三次根號表示一個數(shù)的立方根，能用立方運(yùn)

算求一個數(shù)的立方根；

（2）在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意以下5點(diǎn)：

①符號折中根指數(shù)“3”不能省略；

②對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負(fù)數(shù)都有一個立方根，即

一個數(shù)的立方根是唯一的；

③平方根和立方根的區(qū)別：正數(shù)有兩個平方根，但只有一個立方根；

負(fù)數(shù)沒有平方根，但卻有一個立方根；

④靈活運(yùn)用公式：（筋）3=m值=〃，-加；

⑤立方與開立方互為逆運(yùn)算?？梢杂昧⒎竭\(yùn)算求一個數(shù)的立方根，或檢驗

一個數(shù)是不是另一個數(shù)的立方根。

2.活動目的

引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)課的知識要點(diǎn)及數(shù)學(xué)方法，使知識系統(tǒng)化。

3.注意事項

通過小結(jié)，對所學(xué)知識進(jìn)行了梳理，學(xué)生進(jìn)一步鞏固了立方根的概念和求解

方法，加深了類比等學(xué)習(xí)方法，有助于學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)的基本知識和基本技

能，形成數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

如有時間，學(xué)生學(xué)有余力，還可以安排學(xué)生探究下列問題：

求下列各式中的X。

(1)64=0；(2)8X3+27=0O

【第七環(huán)節(jié)】布置作業(yè)

L活動內(nèi)容

基礎(chǔ)作業(yè)：

1.求下列各數(shù)的立方根：

18

0.001,-1，—示，8000,石，-512。

2.求下列各式的值：

(1)也了；⑵(V125)3;(3)-歷。

3.一個人每天平均要飲用大約().()015m3的各種液體，按70歲計算，他所飲

用的液體總量大約為40m3。如果用一圓柱形的容器(底面直徑等于高)來裝這

些液體，這個容器大約有多高(月取3.14,結(jié)果精確到1m)?

4.一個正方體的體積變?yōu)樵瓉淼?倍，它的梭長變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦叮矿w積變

為原來的27倍，它的梭長變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦叮矿w積變?yōu)樵瓉淼?000倍呢？體積

變?yōu)樵瓉淼摹ū赌兀?/p>

拓展作業(yè)：

1.求下列各式中的北

(1)9+125=0；(2)64(X-2)3-216=0O

2.已知：V374?7.205,V374-3,344,則0.000374仁。

3.若5x+9的立方根是4,求2r+3的平方根。

2.活動目的

通過對作業(yè)進(jìn)行分層安排，讓不同層次的學(xué)生根據(jù)自己的水平進(jìn)行選擇，使

每個學(xué)生

都能得到不同的提升。

五、教學(xué)設(shè)計反思

1.關(guān)注類比思想的滲透以及學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)

類比是在兩類不同的事物之間進(jìn)行的對比，在找出若干相同或相似點(diǎn)之后，

推測在這兩類事物的其他方面也可能存在相同或相似之處的i種思維方式。當(dāng)然,

類比的結(jié)果是猜測的，不一定可靠，但它作為一種思考問題的方法，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)

學(xué)結(jié)論，溝通數(shù)學(xué)知識，進(jìn)而解決生活中的一些實際問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)

新能力。因此，學(xué)習(xí)過程中要注意類比思想的滲透。實際上，類比學(xué)習(xí)法可以讓

學(xué)生省時省力，在學(xué)習(xí)新知的同時鞏固已學(xué)的知識，通過新舊對比更好地掌握知

識。為此，本節(jié)課通過類比的方法讓學(xué)生自然、順暢地建構(gòu)立方根的概念、性質(zhì)

與運(yùn)算。

2.關(guān)注學(xué)生的個體差異，構(gòu)建學(xué)生探究過程

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的評價理念，教師在課堂教

學(xué)中應(yīng)尊重學(xué)生的個體差異，滿足多樣化的學(xué)習(xí)需要，鼓勵探索方式、表述方式

和解題方法多樣化。在教學(xué)活動中，教師關(guān)注的是學(xué)生的參與程度和表現(xiàn)出來的

思維水平，關(guān)注的是學(xué)生對“嘗試?思考”“思考?交流”的探究情況和學(xué)生反

饋練習(xí)的完成情況。教師要關(guān)注學(xué)生是否能夠理解立方和開立方互為逆運(yùn)算，是

否會用根號正確地表示一個數(shù)的立方根。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)給足學(xué)生思考和

計算的時間，使學(xué)生用原有知識進(jìn)行新知識建構(gòu)。這一過程以學(xué)生自主探究為主

線，讓他們在親歷發(fā)現(xiàn)與建構(gòu)知識的同時，既張揚(yáng)了個性，又切實提升了探究能

力。課堂教學(xué)中，教師要充分發(fā)揮評價的教育功能，對于學(xué)生的回答應(yīng)給予恰當(dāng)

的評價和鼓勵，幫助學(xué)生認(rèn)識自我，建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

3.需要說明的幾個問題

在第四環(huán)節(jié)中的例1中可以補(bǔ)充帶分?jǐn)?shù)的立方根求法。在教學(xué)中只要講明將

帶分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為假分?jǐn)?shù)，再求立方根，學(xué)生就容易掌握相關(guān)知識；例2則為第五環(huán)

節(jié)探究立方根性質(zhì)的3個公式（（設(shè)）3=a,注7=-h）打下了基礎(chǔ)，

若學(xué)生基礎(chǔ)較差，教師也可刪去這3個公式；第六環(huán)節(jié)中的探究與思考，將平方

根、立方根的求法拓展到求四次方根、五次方根的學(xué)習(xí)中，教師在教學(xué)過程中可

以根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況確定是否補(bǔ)充這部分內(nèi)容，也可以留給學(xué)生課后思考，進(jìn)

行分層要求，調(diào)動不同學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。在第七環(huán)節(jié)的作業(yè)安排中，布置不同層

次的作業(yè)，目的是讓不同層次的學(xué)生都能得到不同的提升。

第二章實數(shù)

3二次根式（第1課時）

一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

本節(jié)是北師大版初中數(shù)學(xué)第二章“實數(shù)”的第三節(jié)，主要是通過對二次根式概念、性質(zhì)

和運(yùn)算的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和提升學(xué)生的運(yùn)算能力。本節(jié)共設(shè)計3個課時，旨

在引導(dǎo)學(xué)生通過歸納不同類型二次根式問題的解題方法，掌握二次根式運(yùn)算中的解題技巧。

本節(jié)課是第1課時，主要是讓學(xué)生初步認(rèn)識二次根式的概念，探索二次根式的乘法法則和除

法法則，利用運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的簡單運(yùn)算。

二、學(xué)生起點(diǎn)分析

學(xué)生知識技能基礎(chǔ)：學(xué)生在七年級上學(xué)期已學(xué)習(xí)了有理數(shù)的運(yùn)算，本學(xué)期又

認(rèn)識了實數(shù)，并學(xué)習(xí)了如何求某個有理數(shù)的平方根和立方根。這些都為本課時學(xué)

習(xí)二次根式的運(yùn)算提供了知識基礎(chǔ)。

學(xué)生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：不論是幾何學(xué)習(xí)，還是代數(shù)學(xué)習(xí)，學(xué)生都己經(jīng)積累了從

特殊到一般、從具體到抽象的活動經(jīng)驗，這為本課時學(xué)習(xí)二次根式的