18.4整數(shù)指數(shù)塞（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

i.內(nèi)容

本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正整數(shù)指數(shù)暴和分式運(yùn)算的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)負(fù)整數(shù)指數(shù)暴的相關(guān)知識(shí)。

2.內(nèi)容分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正整數(shù)指數(shù)舞的概念和運(yùn)算性質(zhì)，本節(jié)課的核心任務(wù)是將幫的指數(shù)范圍從正整數(shù)推廣

到全體整數(shù)。負(fù)整數(shù)指數(shù)事的引入為科學(xué)記數(shù)法的學(xué)習(xí)鋪平了道路，它使得整數(shù)指數(shù)基的性質(zhì)可以統(tǒng)一使

用，為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)、方程等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)。

基于以上分析、確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：負(fù)整數(shù)指數(shù)累的意義。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）了解負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的意義.

（2）了解整數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)并能運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)算。

2.目標(biāo)解析

（1）學(xué)生需要突破”指數(shù)是重復(fù)相乘的次數(shù)”這種原始認(rèn)知；學(xué)生能夠根據(jù)定義，將負(fù)整數(shù)指數(shù)累轉(zhuǎn)

化為正整數(shù)指數(shù)基的倒數(shù)形式。

（2）學(xué)生需要知道，正整數(shù)指數(shù)幕的五條運(yùn)算性質(zhì)可以推廣到整數(shù)指數(shù)幕，并能熟練、準(zhǔn)確地進(jìn)行整

數(shù)指數(shù)累的混合運(yùn)算。

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

問(wèn)題1：對(duì)負(fù)整數(shù)指數(shù)暴的意義理解不深刻，產(chǎn)生認(rèn)知沖突。

應(yīng)對(duì)策略：從同底數(shù)幕的除法和分式的約分入手，引導(dǎo)學(xué)生自主體驗(yàn)負(fù)整數(shù)指數(shù)累的意義，這樣理解

會(huì)更自然、更深刻。

問(wèn)題2：符號(hào)處理混亂。

應(yīng)對(duì)策略：明確指出，底數(shù)是誰(shuí)，要看有沒(méi)有括號(hào)；強(qiáng)調(diào)負(fù)指數(shù)的意義只作用于它前面緊鄰的那個(gè)底

數(shù)；設(shè)計(jì)對(duì)比練習(xí)，讓學(xué)生在具體計(jì)算中體會(huì)它們的不同。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：熟練運(yùn)用整數(shù)指數(shù)累的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)引入

問(wèn)題1你們還記得正整數(shù)掛數(shù)幕的意義嗎？正整數(shù)指數(shù)界有哪些運(yùn)算性質(zhì)呢？

運(yùn)算法則指數(shù)的職值范圍

同底數(shù)寐的乘法a"'?a"=q然.〃

mt〃是正整數(shù)

底的乘方(am)n=amn〃?，〃是正整數(shù)

積的乘方(ab>)n=anbn〃是正整數(shù)

同底數(shù)底的除法am4-an=amn((r^0)〃是正整數(shù)，m>n

分式的乘方6*砌〃是正整數(shù)

問(wèn)題2對(duì)于暴的運(yùn)算，是否可以從正整數(shù)指數(shù)累推廣到更大的范圍呢？下面，我們從追溯事的符號(hào)的

演變開(kāi)始.

小K"，韋達(dá)2氤貫IQaa,aa…瑞

3世紀(jì)、*17世紀(jì)

4

工番圖4口，Acu,Aqq哈里奧特(Harriet.156()—1621)*a\a

問(wèn)題3"這種第的符號(hào)不僅簡(jiǎn)明、利于運(yùn)算，而且有助尸累的運(yùn)算的推廣.1676年，牛頓提出了一

個(gè)設(shè)想：”因?yàn)閿?shù)學(xué)家將aaa,〃〃〃〃，...寫成乩/“，所以我將工，—,二一，...寫成“T,

aaaaaa

“T,...”

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)表格形式系統(tǒng)回顧正整數(shù)指數(shù)蕊的意義和運(yùn)算性質(zhì)，為后續(xù)推廣到整數(shù)指數(shù)寐奠定知

識(shí)基礎(chǔ)。展示繇的符號(hào)從古代到逅代的演變歷程，引入數(shù)學(xué)史元素，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)

學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔性和發(fā)展性。通過(guò)牛頓的設(shè)想，自然地引出負(fù)整數(shù)指數(shù)球的概念，讓學(xué)生理解負(fù)整數(shù)指數(shù)寐

定義的合理性。

（二）合作探究

思考1你認(rèn)為牛頓的這個(gè)設(shè)想合理嗎？也就是說(shuō)，如果”中的，〃可以是負(fù)整數(shù)，那么負(fù)整數(shù)指數(shù)累

，嚴(yán)表示什么？

由分式的約分可知，當(dāng)時(shí)，

外+小』品..①

推廣同底數(shù)超的除法am4-a〃=m”((#0)/〃，〃是正整數(shù)

a3a5=a3-5=a~2.a

O1

由①②兩式，我們想到如果規(guī)定Q-2=國(guó)3工0）,就能使""+/=〃"-"這條性質(zhì)也適用于像〃3+/這

樣的情形.為使上述運(yùn)算性質(zhì)適用范圍更廣，同時(shí)也可以更簡(jiǎn)便地表示分式，

數(shù)學(xué)中規(guī)定：一般地，當(dāng)〃是正整數(shù)時(shí)，a-n=^（a^0）.

這就是說(shuō)，〃”3#0）是/的倒數(shù).

引入負(fù)整數(shù)指數(shù)事后，指數(shù)的取值范圍就擴(kuò)充到全體整數(shù).

（今后，如無(wú)特別說(shuō)明，本書中涉及的負(fù)整數(shù)指數(shù)累的底數(shù)均不為0.）

思考2引入負(fù)整數(shù)指數(shù)和0指數(shù)后，正整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)嚴(yán)?"（加，〃是正整數(shù)）能否推

廣到“，般是任意整數(shù)的情形?

我們從特殊情形入手進(jìn)行研究.例如,

32Q3=Q3+(-5).

a?Q-$=靠=*=a~=Q3+(-5).即.a-5

-3.-5±.2_2_-8Q(-3)+(-5),即q-3,=。(-3)+(-5),

a===fl=a-5

abab

a0,a-5=1,W2=a-5=a0+^~5),即a。,a-5=a0+(-5),

Q5Q5

歸納/%"="/"(〃?，〃是整數(shù))

（可以換其他整數(shù)指數(shù)再驗(yàn)證這個(gè)規(guī)律.）

探究類似地，你可以用負(fù)整數(shù)指數(shù)基或。指數(shù)幕對(duì)于其他四個(gè)正整數(shù)指數(shù)系的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行嘗試，看

看這些性質(zhì)在整數(shù)指數(shù)暴范圍內(nèi)是否還適用.

運(yùn)算法則指數(shù)的取值范圍

*的乘方(am)n=amn/〃，〃是整數(shù)

積的乘方(ab)n=anbn〃是整數(shù)

同底數(shù)麻的除法am4-a"=m"(附))m,〃是整數(shù)

分式的乘方欽磊（厚。）〃是整數(shù)

設(shè)計(jì)意圖：從同底數(shù)寐的除接出發(fā)，對(duì)比“分式約分”和正整數(shù)指數(shù)寐除法性質(zhì)推廣”兩種路徑的

結(jié)果，讓學(xué)生直觀理解負(fù)整數(shù)指數(shù)寐定義的合理性。以同底數(shù)寐的乘法性質(zhì)為例，通過(guò)多個(gè)特殊情形的運(yùn)

算臉證，讓學(xué)生體會(huì)正整數(shù)指數(shù)呆的運(yùn)算性質(zhì)可以推廣到整數(shù)指數(shù)寐的合理性。這種“從特殊到一般”的

探究方式，培養(yǎng)了學(xué)生的歸納概括能力，同時(shí)為后續(xù)其他運(yùn)算性質(zhì)的推廣做好了方法示范。

（三）典例分析

例1計(jì)算：(1)a~2-4-a5；(2)(今一2;

(3)(a-1b2)3：(4)a~2b2?(a2b~2)~3.

解⑴a~2-ra5=a-2-5=a-7=春；

⑵的

(3)(a-1b2)3=a~3b6=

(4)Q-2b2.(小匕-2)-3=a-2b2?6b6=8b8=?

總結(jié)根據(jù)整數(shù)指數(shù)鼎的運(yùn)算性質(zhì)，當(dāng)加，〃為整數(shù)時(shí)，

am+an=am~n,

am4_a-n=am+(-n)=am-nf

因此am^an=am-a-n,

即同底數(shù)塞的除法d可以轉(zhuǎn)化為同底數(shù)塞的乘法。嚴(yán)?小.

特別地，*=a+b=a?b~r,所以(￡)"=(a,b-1)n,

即商的乘方《尸可以轉(zhuǎn)化為積的乘方(a?b^y.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題幫助學(xué)生熟練掌握整數(shù)指數(shù)賽的運(yùn)算方法，突破符號(hào)處理和指數(shù)運(yùn)算的難點(diǎn)。通

過(guò)推導(dǎo)“同底數(shù)寐的除法可轉(zhuǎn)化為同底數(shù)寐的乘法”和“商的乘方可轉(zhuǎn)化為積的乘方”，深化學(xué)生對(duì)整數(shù)

指數(shù)減運(yùn)算性質(zhì)的理解，揭示不同運(yùn)算性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生構(gòu)建更系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

(四)鞏固練習(xí)

1.填空：

(1)3°=1,3-=-；

9

⑵(-3)°=1，(-3尸二1:

(3)/?°=1b-2=士.

b乙

2.計(jì)算：⑴為一3GTy)3；(2)(2蘇C-3)-2.(aW

解⑴￡)廠3.(/-,)3=4-3.-=—3,3+3=尸=：.

(2)(2加，3)-2.3-2與3=(24%-%6H(a~53)=2-232，,3c6=2-2a%TcV^

3.填空：

(1)若(〃-3)-2有意義，則”的取值范圍為“W3:

b2

（2）14-?_|=a；crcf2=1；（-ab~］）~2=—.

-------a2~

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識(shí)后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新知的記憶，加深學(xué)生對(duì)新知

的理解，還可以及時(shí)反饋學(xué)習(xí)情比，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，幫助教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。

（五）歸納總結(jié)

運(yùn)算法則指數(shù)的取值范圍

同底數(shù)兄的乘法",，〃是整數(shù)

察的乘方(am)n=amn/〃，〃是如數(shù)

積的乘方(ab)n=anbn〃是整數(shù)

mnmn

同底數(shù)箱的除法a4-a=a((r^Q)mt〃是整數(shù)

分式的乘方鈔事厚。）〃是整數(shù)

一般地，當(dāng)〃是正整數(shù)時(shí)，。一"=，（QH0）.

負(fù)整數(shù)指數(shù)幕

（六）感受中考

1.（2024.山東淄博）下列運(yùn)算結(jié)果是正數(shù)的是（A）

A.3-1B.-32C.-|-3|D.-V3

2.（2025?四川瀘州）下列運(yùn)算正確的是（C）

B.(2a尸二C.(3/)2=946D.(a-b)2=a2-b2

A.44-3。=1a

3.（2021?江蘇南京）計(jì)算（M）3口江的結(jié)果是（B）

A.a2B.a3C.a5D.