18.4整數(shù)指數(shù)塞（第1課時）教學設計

一、內容和內容解析

i.內容

本節(jié)課是在學生已經學習了正整數(shù)指數(shù)暴和分式運算的基礎上，學習負整數(shù)指數(shù)暴的相關知識。

2.內容分析

學生已經學習了正整數(shù)指數(shù)舞的概念和運算性質，本節(jié)課的核心任務是將幫的指數(shù)范圍從正整數(shù)推廣

到全體整數(shù)。負整數(shù)指數(shù)事的引入為科學記數(shù)法的學習鋪平了道路，它使得整數(shù)指數(shù)基的性質可以統(tǒng)一使

用，為后續(xù)學習函數(shù)、方程等內容奠定了基礎。

基于以上分析、確定本節(jié)課的教學重點為：負整數(shù)指數(shù)累的意義。

二、目標和目標解析

1.目標

（1）了解負整數(shù)指數(shù)塞的意義.

（2）了解整數(shù)指數(shù)幕的性質并能運用它進行計算。

2.目標解析

（1）學生需要突破”指數(shù)是重復相乘的次數(shù)”這種原始認知；學生能夠根據(jù)定義，將負整數(shù)指數(shù)累轉

化為正整數(shù)指數(shù)基的倒數(shù)形式。

（2）學生需要知道，正整數(shù)指數(shù)幕的五條運算性質可以推廣到整數(shù)指數(shù)幕，并能熟練、準確地進行整

數(shù)指數(shù)累的混合運算。

三、教學問題診斷分析

問題1：對負整數(shù)指數(shù)暴的意義理解不深刻，產生認知沖突。

應對策略：從同底數(shù)幕的除法和分式的約分入手，引導學生自主體驗負整數(shù)指數(shù)累的意義，這樣理解

會更自然、更深刻。

問題2：符號處理混亂。

應對策略：明確指出，底數(shù)是誰，要看有沒有括號；強調負指數(shù)的意義只作用于它前面緊鄰的那個底

數(shù)；設計對比練習，讓學生在具體計算中體會它們的不同。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點為：熟練運用整數(shù)指數(shù)累的性質進行計算。

四、教學過程設計

（一）復習引入

問題1你們還記得正整數(shù)掛數(shù)幕的意義嗎？正整數(shù)指數(shù)界有哪些運算性質呢？

運算法則指數(shù)的職值范圍

同底數(shù)寐的乘法a"'?a"=q然.〃

mt〃是正整數(shù)

底的乘方(am)n=amn〃?，〃是正整數(shù)

積的乘方(ab>)n=anbn〃是正整數(shù)

同底數(shù)底的除法am4-an=amn((r^0)〃是正整數(shù)，m>n

分式的乘方6*砌〃是正整數(shù)

問題2對于暴的運算，是否可以從正整數(shù)指數(shù)累推廣到更大的范圍呢？下面，我們從追溯事的符號的

演變開始.

小K"，韋達2氤貫IQaa,aa…瑞

3世紀、*17世紀

4

工番圖4口，Acu,Aqq哈里奧特(Harriet.156()—1621)*a\a

問題3"這種第的符號不僅簡明、利于運算，而且有助尸累的運算的推廣.1676年，牛頓提出了一

個設想：”因為數(shù)學家將aaa,〃〃〃〃，...寫成乩/“，所以我將工，—,二一，...寫成“T,

aaaaaa

“T,...”

設計意圖：通過表格形式系統(tǒng)回顧正整數(shù)指數(shù)蕊的意義和運算性質，為后續(xù)推廣到整數(shù)指數(shù)寐奠定知

識基礎。展示繇的符號從古代到逅代的演變歷程，引入數(shù)學史元素，激發(fā)學生的學習興趣，讓學生體會數(shù)

學符號的簡潔性和發(fā)展性。通過牛頓的設想，自然地引出負整數(shù)指數(shù)球的概念，讓學生理解負整數(shù)指數(shù)寐

定義的合理性。

（二）合作探究

思考1你認為牛頓的這個設想合理嗎？也就是說，如果”中的，〃可以是負整數(shù)，那么負整數(shù)指數(shù)累

，嚴表示什么？

由分式的約分可知，當時，

外+小』品..①

推廣同底數(shù)超的除法am4-a〃=m”((#0)/〃，〃是正整數(shù)

a3a5=a3-5=a~2.a

O1

由①②兩式，我們想到如果規(guī)定Q-2=國3工0）,就能使""+/=〃"-"這條性質也適用于像〃3+/這

樣的情形.為使上述運算性質適用范圍更廣，同時也可以更簡便地表示分式，

數(shù)學中規(guī)定：一般地，當〃是正整數(shù)時，a-n=^（a^0）.

這就是說，〃”3#0）是/的倒數(shù).

引入負整數(shù)指數(shù)事后，指數(shù)的取值范圍就擴充到全體整數(shù).

（今后，如無特別說明，本書中涉及的負整數(shù)指數(shù)累的底數(shù)均不為0.）

思考2引入負整數(shù)指數(shù)和0指數(shù)后，正整數(shù)指數(shù)幕的運算性質嚴?"（加，〃是正整數(shù)）能否推

廣到“，般是任意整數(shù)的情形?

我們從特殊情形入手進行研究.例如,

32Q3=Q3+(-5).

a?Q-$=靠=*=a~=Q3+(-5).即.a-5

-3.-5±.2_2_-8Q(-3)+(-5),即q-3,=。(-3)+(-5),

a===fl=a-5

abab

a0,a-5=1,W2=a-5=a0+^~5),即a。,a-5=a0+(-5),

Q5Q5

歸納/%"="/"(〃?，〃是整數(shù))

（可以換其他整數(shù)指數(shù)再驗證這個規(guī)律.）

探究類似地，你可以用負整數(shù)指數(shù)基或。指數(shù)幕對于其他四個正整數(shù)指數(shù)系的運算性質進行嘗試，看

看這些性質在整數(shù)指數(shù)暴范圍內是否還適用.

運算法則指數(shù)的取值范圍

*的乘方(am)n=amn/〃，〃是整數(shù)

積的乘方(ab)n=anbn〃是整數(shù)

同底數(shù)麻的除法am4-a"=m"(附))m,〃是整數(shù)

分式的乘方欽磊（厚。）〃是整數(shù)

設計意圖：從同底數(shù)寐的除接出發(fā)，對比“分式約分”和正整數(shù)指數(shù)寐除法性質推廣”兩種路徑的

結果，讓學生直觀理解負整數(shù)指數(shù)寐定義的合理性。以同底數(shù)寐的乘法性質為例，通過多個特殊情形的運

算臉證，讓學生體會正整數(shù)指數(shù)呆的運算性質可以推廣到整數(shù)指數(shù)寐的合理性。這種“從特殊到一般”的

探究方式，培養(yǎng)了學生的歸納概括能力，同時為后續(xù)其他運算性質的推廣做好了方法示范。

（三）典例分析

例1計算：(1)a~2-4-a5；(2)(今一2;

(3)(a-1b2)3：(4)a~2b2?(a2b~2)~3.

解⑴a~2-ra5=a-2-5=a-7=春；

⑵的

(3)(a-1b2)3=a~3b6=

(4)Q-2b2.(小匕-2)-3=a-2b2?6b6=8b8=?

總結根據(jù)整數(shù)指數(shù)鼎的運算性質，當加，〃為整數(shù)時，

am+an=am~n,

am4_a-n=am+(-n)=am-nf

因此am^an=am-a-n,

即同底數(shù)塞的除法d可以轉化為同底數(shù)塞的乘法。嚴?小.

特別地，*=a+b=a?b~r,所以(￡)"=(a,b-1)n,

即商的乘方《尸可以轉化為積的乘方(a?b^y.

設計意圖：通過例題幫助學生熟練掌握整數(shù)指數(shù)賽的運算方法，突破符號處理和指數(shù)運算的難點。通

過推導“同底數(shù)寐的除法可轉化為同底數(shù)寐的乘法”和“商的乘方可轉化為積的乘方”，深化學生對整數(shù)

指數(shù)減運算性質的理解，揭示不同運算性質之間的內在聯(lián)系，幫助學生構建更系統(tǒng)的知識網絡。

(四)鞏固練習

1.填空：

(1)3°=1,3-=-；

9

⑵(-3)°=1，(-3尸二1:

(3)/?°=1b-2=士.

b乙

2.計算：⑴為一3GTy)3；(2)(2蘇C-3)-2.(aW

解⑴￡)廠3.(/-,)3=4-3.-=—3,3+3=尸=：.

(2)(2加，3)-2.3-2與3=(24%-%6H(a~53)=2-232，,3c6=2-2a%TcV^

3.填空：

(1)若(〃-3)-2有意義，則”的取值范圍為“W3:

b2

（2）14-?_|=a；crcf2=1；（-ab~］）~2=—.

-------a2~

設計意圖：學完新知識后及時進行課堂鞏固練習，不僅可以強化學生對新知的記憶，加深學生對新知

的理解，還可以及時反饋學習情比，幫助學生查漏補缺，幫助教師及時調整教學策略。

（五）歸納總結

運算法則指數(shù)的取值范圍

同底數(shù)兄的乘法",，〃是整數(shù)

察的乘方(am)n=amn/〃，〃是如數(shù)

積的乘方(ab)n=anbn〃是整數(shù)

mnmn

同底數(shù)箱的除法a4-a=a((r^Q)mt〃是整數(shù)

分式的乘方鈔事厚。）〃是整數(shù)

一般地，當〃是正整數(shù)時，。一"=，（QH0）.

負整數(shù)指數(shù)幕

（六）感受中考

1.（2024.山東淄博）下列運算結果是正數(shù)的是（A）

A.3-1B.-32C.-|-3|D.-V3

2.（2025?四川瀘州）下列運算正確的是（C）

B.(2a尸二C.(3/)2=946D.(a-b)2=a2-b2

A.44-3。=1a

3.（2021?江蘇南京）計算（M）3口江的結果是（B）

A.a2B.a3C.a5D.a9

4.（2024?浙江）計噂：Q）“-我+卜5|

解：（；）”-述+卜51=4-2+5=7.

5.（2025?重慶）若實數(shù)x,y同時滿足x-、/=2,\x\-y=4,則N的值為g

解：?：x-卜卜？，1斗尸4,

*,-A=A'A2>0,|.v|^y+4>0,

A\x\=x=\y\+2=y+49

當把0時，方程無解，

當-4<j<0時，-y+2=y+4,

；?尸-1,

.，?x=/y/+2=3,

?2=3/W；

故答案為:1.

設計意圖：在學習完新知識后加入中考真題練習，不僅可以幫助學生明確考試方向，熟悉考試題型,

檢臉學習成果，提升應考能力，還可以提升學生的學習興趣和動力。

（七）小結梳理

設計意圖：用思維導圖幫助學生梳理知識點之間的聯(lián)系，讓學生直觀感知整數(shù)指數(shù)寐的學習脈絡，構

建清晰、完整的知識網絡，強化對整數(shù)指數(shù)寐學習的整體認知。

（八）布置作業(yè)

1.必做題：習題18.4第2,3,6題.

2.探究性作業(yè)：習題18.4第7題.

五、教學反思

18.4整數(shù)指數(shù)塞（第2課時）教學設計

一、內容和內容解析

1.內容

本節(jié)課是在學生已經學習了負整數(shù)指數(shù)鼎的基礎上，學習用科學記數(shù)法表示一些小于1的正數(shù)。

2.內容分析

本節(jié)課是負整數(shù)指數(shù)事的實際應用，也是科學記數(shù)法概念的一次重要擴充?？茖W記數(shù)法在科學、工程、

醫(yī)學等領域有著廣泛應用。本節(jié)課內容讓學生掌握了完整的科學記數(shù)法知識，為后續(xù)學習和解決實際問題

提供了有力工具。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點為：用科學記數(shù)法表示小于1的正數(shù)。

二、目標和目標解析

1.目標

（1）會利用10的負整數(shù)指數(shù)吊，用科學記數(shù)法表示小于1的正數(shù)。

（2）通過新舊知識對比，體會類比遷移與化繁為簡的數(shù)學思想。

2.目標解析

(1)學生需要理解，?個小于1的正數(shù)用科學記數(shù)法表示為ax10"時，〃是整數(shù)數(shù)位只有一位的正數(shù)，

而是一個負整數(shù)；學生能夠掌握確定〃的方法。

(2)通過對比表示大于1的數(shù)和小于1的數(shù)的科學記數(shù)法，學生能發(fā)現(xiàn)它們的結構都是ax10”，只是

前者〃是正整數(shù)，后者〃是負整數(shù)，并能從中體會”類比”是探索新知識的有效途徑；學生能直觀感受用科學

記數(shù)法表示數(shù)的簡潔性，從而理解“化繁為簡”是數(shù)學的重要追求。

三、教學問題診斷分析

問題I：確定1()的指數(shù)〃時出錯，主要表現(xiàn)為指數(shù)的符號錯誤和數(shù)值錯誤。

應對策略：總結規(guī)律：“大數(shù)小數(shù)點向左移，指數(shù)正；小數(shù)小數(shù)點向右移，指數(shù)負”；歸納“找〃”的

方法：先找到左側第?個非零數(shù)字，然后看小數(shù)點需要移動幾位才能到它的后面，移動的位數(shù)就是指數(shù)的

絕對值，方向決定正負；多進行針對性練習。

問題2：將科學記數(shù)法表示的數(shù)還原成原數(shù)時出借。

應對策略：強調“看指數(shù)，定方向”：指數(shù)是正數(shù)，小數(shù)點就向右移；指數(shù)是負數(shù)，小數(shù)點就向左移；

把還原過程和表示過程放在一起對比教學，讓學生明白它們是互為逆運算的。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點為:在用科學記數(shù)法表示小于1的正數(shù)時，準確判斷10的指數(shù)。

四、教學過程設計

(一)復習引入

問題1整數(shù)指數(shù)易的運算性質：

運算法則指數(shù)的取值范圍

同底數(shù)幕的乘法/〃，〃是整數(shù)

幕的乘方(am)n=amn7/1,〃是整數(shù)

枳的乘方(ab)n=anbn〃是整數(shù)

同底數(shù)秣的除法am4-(40)/〃，〃是終數(shù)

分式的乘方(軟事厚。)〃是整數(shù)

一般地，當〃是正終數(shù)時，a-n=g(QH0).

負弗數(shù)指數(shù)索

問題2已知光速約為30()()0()(XX)m/s,太陽半徑約為69600()km.請將這兩個數(shù)字用科學記數(shù)法表示.

解300000000nVs=3xl08m/s；

696000km=6.96x\(^km.

設計意圖：回顧整數(shù)指數(shù)歙的運算性質，為后續(xù)學習科學記數(shù)法(涉及10的負整數(shù)指數(shù)第)奠定知識

基岫。復習用科學記數(shù)法表示大于1的數(shù)，激活學生對科學記數(shù)法的已有認知，為后續(xù)推廣到表示小于1

的正數(shù)做好鋪墊，通過新舊知識的銜接，讓學生體會科學記數(shù)法的完整性和統(tǒng)一性。

（二）合作探究

1,

探究0.1=—=10-；

10

1

0.01=—=10-；

100

0.001=103；

1000-

]

0.0001=

10000

1

0.00001=1()一5；

100000一

1

0.00-01=

100-0

科學記數(shù)法一般地，小于1的正數(shù)可以用科學記數(shù)法表示為aXl（P的形式，共中iWaVlO,〃足正

整數(shù).這種形式更便于比較數(shù)的大小和運算.

例如自然科學和生活中經常用到的分（d）、厘（c）、亳（m）、微（g、納（n）等國際單位制詞

頭，其中微對應106,納對應10?.微米（pm）、納米（nm）都是長度單位，1pm=106m,1nm=10.

m.

思考對于一個小于1的正小數(shù)，如果小數(shù)點后至第一個非0數(shù)字前有8個0,用科學記數(shù)法表示這個

數(shù)時，10的指數(shù)是多少？如果有用個0呢？

0.000（）0000123=1.23x0.000（）00001=1.23x10-9.

如果小數(shù)點后至第一個非。數(shù)字前有8個0,用科學記數(shù)法表示這個數(shù)時，10的指數(shù)是9：如果有m

個0,10的指數(shù)是加+1.

設計意困：通過對小數(shù)轉化為10的負整數(shù)指數(shù)寐（從具體到一般）的探究，讓學生直觀理解用科學記

數(shù)法表示小于1的正數(shù)的原理。同時，結合國際單位制中的實例，體現(xiàn)科學記教法的實際應用價值。通過

“思考”引導學生分析總結出指數(shù)的規(guī)律。這一過程培養(yǎng)了學生的觀察、歸納能力，幫助學生突破了科學

記數(shù)法中確定指數(shù)的難點。

（三）典例分析

例1用科學記數(shù)法表示下列數(shù)：

0.00001,0.0000257,0.0000000257.

解0.00001=1X10-5；

0.0(X)0257=2.57x1O-5：

0.0000000257=2.57x1。色

例2碳納米管是一種前沿納米材料，有很多神奇的特性.它是由呈六邊形排列的碳原子構成的單層或

多層的同軸圓管，其直徑一般為2?20nm.通常一根頭發(fā)絲的直徑約為70pm,一根頭發(fā)絲的直徑大約是碳

納米管直徑的多少倍？

解70|im=70><106m,2nm=2xl09m,20nm=20xl09m.

(70x10-6)*2x109)=3.5x104.

(7()x10-6)^(20x10巧=3.5、103.

因此，一根頭發(fā)絲的直徑是碳納米管直徑的3.5X10,?3.5x104倍.

設計意圖：這兩個例題從基礎概念到實際應用，層層遞進，旨在鄧助學生深入理解科學記教法的概念、

運算規(guī)則及其在實際場景中的應用。

(四)鞏固練習

1.用科學記數(shù)法表示下列數(shù)：

0.000000001,0.0012,0.000000345,0.0000000108.

解0.000000001=1x109；

0.0012=1.2x10-3；

0.000000345=3.45x1()-7；

0.0000000108=1.08x10-8

2.小時候我們用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度約是0.000326亳米，0.000326亳米用科學記數(shù)法表示為

(A)

A.3.26x10“亳米B.0.326x1()4亳米c.3.26乂10一4厘米口.32.6、10一4毫米

3.小聰在用科學記數(shù)法記錄一個較小的數(shù)時，多數(shù)了2個零，結果錯誤地記成了4.03xl(),,正確的結

果應是(B)

A.4.03x106B.4.03x10-6C.4.03x101°D.4.03x10/°

4.已知光的傳播速度為3x10、米/秒，地球到預定軌道間的距離為3.93x105米，則預定軌道處光傳播到

地球的時間為_1.3”10-3_秒

5.中子是組成原子核的粒子之一，中子整體不顯電性.中子的靜止質量為1.6748x1()-27kg,半徑約為0.8

飛米(1飛米=1()/5米)，則0.8飛米用科學記數(shù)法表示為_8x10/6—米.

6.用小數(shù)表示下列各數(shù)：

(1)2.4x10-3；(2)-6.23x10-5

解(1)2.4x1(x3=00024；

(2)-6.23X10-5=-0.0000623.

7.計算:

(1)(2X10-6)X(3.2X10*123)；(2)(axlO^dO-4)3.

解(1)(2x10-6)X(3.2X103)=2x3.2xW6xl03=6.4x103.

(2)(2x106)Ml04)3=(2X106X2X106H1012=4xl0-12xl012=4.

設計意圖：學完新知識后及時進行課堂鞏固練習，不僅可以強化學生對新知的記憶，加深學生對新知

的理解、還可以及時反饋學習情比，幫助學生查漏補塊，幫助教師及時調整教學策略。

(五)歸納總結

科學記數(shù)法

一般地，小于1的正數(shù)可以用科學記數(shù)法表示為0X10-的膨式.其中

1—,〃是正一數(shù).這種形式更便于比較數(shù)的大小和運算.

指數(shù)如果小數(shù)點后至第一個非。數(shù)字前有〃，個0,用科學記數(shù)法表示這個數(shù)

規(guī)律時，10的指數(shù)是制+1.

長度

1um=IO"m,1nm