八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次月考卷

（華東師大版2024）

全解全析

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：新教材華東師大版八年級(jí)上冊(cè)第10章?第13章。

一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。）

1.下列運(yùn)算正確的是（）

A.3a-2a=6aB.（a-3）2=a2-9C.（-ab^=-ab3D.（a+2）（a-2）=a2-4

【答案】D

【解析】解：A.3〃,2a=6/原式計(jì)算錯(cuò)誤，故選項(xiàng)不符合題意；

B.（4-3）2=/—6a+9原式計(jì)算錯(cuò)誤，故選項(xiàng)不符合題意；

C.（-必）3=-//原式計(jì)算錯(cuò)誤，故選項(xiàng)不符合題意；

D.（。+2）（4-2）=/—4原式計(jì)算正確，故選項(xiàng)符合題意；故選：D.

2.下列說法不正確的是（）

A.±R=土;B.-3是9的一個(gè)平方根C.0.4優(yōu)算術(shù)平方根是0.2D.寺予三一3

【答案】C

【解析】解：?.?平方根、算術(shù)平方根和立方根的定義：

正數(shù)有兩個(gè)平方根，互為相反數(shù)：算術(shù)平方根是非負(fù)的；負(fù)數(shù)沒有平方根，但有立方根：立方根與被開方

數(shù)同號(hào)；，A、±括=土;，正確，不符合題意；

B、-3是9的一個(gè)平方根，正確，不符合題意;

c、0.4的算術(shù)平方根是血N,原說法錯(cuò)誤，符合題意；

D、V=27=-3,正確，不符合題意；故選：C.

3.下列命題中，是假命題的是()

A.等腰三角形的兩個(gè)底角相等

B.有一個(gè)角等于60,的等腰三角形是等邊三角形

C.兩邊分別相等且其中一組等邊的對(duì)角相等的兩個(gè)三角形全等

D.到線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上

【答案】C

【解析】解：A選項(xiàng)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，是真命題，故A選項(xiàng)不符合題意；

B選項(xiàng)：有?個(gè)角等于60。的等腰三角形，其余兩角也必為60。，因此是等邊三角形，是真命題，故B選項(xiàng)

不符合題意：

C選項(xiàng)：兩邊及其中一邊的對(duì)角相等(SSA)不能判定三角形全等，是假命題，故C選項(xiàng)符合題意；

D選項(xiàng)：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，是真命題，故D選項(xiàng)不符合題意.故選：C.

4.計(jì)算(2-仆+3/+〃儲(chǔ)卜4.d+x)的結(jié)果不含.一項(xiàng)，那么〃?的值為()

A.-3B.4C.-12D.12

【答案】D

322345234

【解析】(2-"X+3/+mx)(-4x+x)=-8x+4nx-12x-4mx+2x-nx+3x+mx

=-4mx5+WX4-I2X4+4/?X3+3x3-8x2-nx2+2x=-4w.v5+(w-12)x4+(4n+3)x3-(8+w)x2+2A,

?.?(2-〃工+3工2+〃?工,)(-4/+x)的結(jié)果不含/項(xiàng)，...〃?一］2=0,即m=12.故選：D.

5.數(shù)學(xué)服務(wù)于生活，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的問題是需要倡導(dǎo)的重要理念.在日常生活中如取款上

網(wǎng)等都需要有密碼，有?種用“因式分解''法產(chǎn)生的密碼，方便記憶.原理：如多項(xiàng)式因式分解的

結(jié)果為(x—y)(x+y)(r+El,當(dāng)x=9,y=9時(shí)，各因式的值是x-y=0,x+y=\S,x2+/=162,

于是密碼就可以為018162,也可以是180162,對(duì)于多項(xiàng)式9/-號(hào)?，^x=12,y=12時(shí)，密碼不可能

為()

A.124824B.241248C.122448D.482124

【答案】D

【解析】解：9X3-JQ'2=x(9x2-v2)=x(3x-y)(3x+>1),且尤=12,y=l2,

I=12,3x-y=3x12-12=24,3x4-^=3x12+12=48,因式值為12、24、48,

可能密碼有：122448、124824、241248、244812、481224、482412

選項(xiàng)A(124824)、B(241248)、C(122448)均符合,

選項(xiàng)D(482124)無法拆分為12、24、48的任意排列，.?.密碼不可能為D.故選：D.

6.如圖，一棵大樹在離地血6m,IUm兩處折斷成了三段，中間一段4B恰好與地血平行，大樹頂部落在離大

樹底部12m處，則大樹折斷前的高度是()

A.14mB.ImC.18mD.20m

【答案】D

【解析】解：過點(diǎn)8作4E_LC。于點(diǎn)￡則乙始。=90。，

vAB||CD,AD工CD,：./ADC=/BED=/ABE=90。,

???四邊形/BE。是矩形，/.AD=BE=6m,48=OE=10-6=4m,

vCZ)=12m,:.CE=CD-DE=\2-4=Smf

在R^BEC中,a2+b2=c\BC=y]SE2+CE2=762+82=10m?

?二大樹折斷前的高度為力力+力〃+8C=6+4+10=20m.故選：D.

7.如圖，已知△48C,分別以ZB,4C為邊作等腰RtK8和等腰/EAB=4FAC=90。,連

接EF,點(diǎn)H為EF的中點(diǎn),連接〃力并延長交8c于點(diǎn)G,若47=2,4G=5,則△[￡1〃的面積為

().

BGC

A.5B.1（）C.15D.20

【答案】A

【解析】解：延長4H至點(diǎn)D,使AH=DH,連接陽，則力。=24〃=4,

???〃為M的中點(diǎn)，.??￡〃=?，S.AEH=；S"EF，

叉;NFHD=ZEHA,:.^FHD^EAH，:.AE=DF,Z.AEF=Z.DFH，S&FHD=S^EAH,

:.ZAFE+ADFH=4AFE+/AEF=1800-ZEAF,即NDFA+ZEAF=180°,

S&FHD+S.AFH=S曲"+S’AFH，即戶=^^AFD；

?.?等腰RL4E8和等腰RtZX/1尸C,ZEAB=ZFAC=90°,

AB=AE,AC=AFt/EAF+ZBAC=360°-90°-90°=180°,

AB=DF,ZBAC=NDFA，.飛DFA知BAC,

;BC=AD=4,Z.FAD-Z.BCA,StDFA-SaRAC,

:.ZCAG+NACB=NCAG+NFAD=180。一/RIC=90°,

.-.ZJGC=90°,即“GJL6C,=S,c=g8C-4G=gx4＞：5=10,

*',S&AEF=SAAFD='。，：?S&AEH=5S“￡F=5;故選：A.

8.如圖，圓柱形玻璃杯高為17cm,底面周長為16cm,在杯內(nèi)壁離杯底6.5cm的點(diǎn)8處有一滴蜂蜜，此時(shí)

一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4.5cm且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)力處，則螞蟻從外壁力處到內(nèi)壁8處的最

短距離為（）cm.（杯壁厚度不計(jì)）

螞蟻力

A.2>/73B.10C.15D.17

【答案】D

【解析】解：如圖，將圓柱形玻璃杯的側(cè)面展開，延長/。到點(diǎn)E,使EZ)=力。=4.5cm,連接AE交CQ]

點(diǎn)F,連接力戶，???。戶垂直平分力E,.?.力尸="尸，二力"+8"="'+8/=4后，

.??螞蟻從外壁4處到內(nèi)壁8處的最短路程為線段BE的長，作8G1OLJ.?點(diǎn)G,則/8GE=/8GL=90。，

???NL=N8/〃=N8GL=9()。，.?.四邊形4GL〃是矩形，.?.GL=8〃=6.5cm,BG=HL=-x\6=Scm,

2

DL=17cm,.t.EG=ED+DL-GL=4.5+\7-6.5=\5cm,:.BE=EG2+BGZ=J15?+8?=17cm?

???螞蟻從外壁4處到內(nèi)壁8處的最短路程為17cm,故選：D.

9.如圖，在△48C中，按下列步驟作圖：(1)分別以點(diǎn)8,C為圓心，大于;8c的長為半徑畫弧，交AB

于點(diǎn)兩弧相交于￡尸兩點(diǎn)，E尸和4c交于點(diǎn)O；(2)以點(diǎn),4為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)

D；(3)分別以點(diǎn)。，。為圓心，大于gc。的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)連接40,交8C于點(diǎn)

P,且力”和CO交于點(diǎn)N,連接NO并延長至點(diǎn)G,使OG=NO,連接8G.給出卜列結(jié)論，

@AD=BDx②BG〃DNRBG=DN、③0W垂直平分。。；④斐二空.其中正確結(jié)論的序號(hào)是

ACCP

A

A.①②③B.②③C.③④D.②③④

【答案】D

【解析】解：根據(jù)作圖可知，力P平分/歷1C,故垂直平分線線段夕C,

①艱據(jù)條件，無法得出力。=3。，故①錯(cuò)誤，不符合題意:

②?：AP平分NBAC,：.NDAN=NCAN,

又?；AD=AC,AN=AN,：.4DANGACAN(SAS).：,DN=CN；

???斯垂直平分線線段8C,，O8=OC,

又?.0G=ON、ZBOG=/CON,；0BOG%CON(SAS),

"OBG=4OCN,BG=CN、：.BG〃DN，且BG=DN；故②正確，符合題意;

③由②得，ADANACAN,：.DN=CN,NAND=/ANC=90°,

???力〃垂直平分CO,故③正確，符合題意；

④力/＞平分/BAC，，點(diǎn)P到AB和AC的距離相等，

?.?沁=^=整，故④正確，符合題意；綜上，正確選項(xiàng)為②③④，故選：D.

2/PC力C

10.如圖，MBC中,/比iC=90。，AB=AC=\0,AD1BC,垂足為。.點(diǎn)E、尸分別在48、AC邊

上，連接OF、DF、EF,若NEDF=90°,以下結(jié)論：①△AEDzACFD；②BE?+CF?=EF?；

③S四邊形力￡。尸=25；④小的最小值為5&.其中正確的是（）

A

A.①B.①②C.①②③D.①②③④

【答案】D

【解析】解：-8=47,/氏4c=90。，是ZUBC的角平分線，

:.ADJ.BC,BD=CD=AD=-BC,/BAD=NCAD=NC=NB=45。，

2

/.ZEDF=ZADC=90°,:./ADE=NCDF,ZBDE=Z.ADF,

ZADE=/CDF

在△力￡7）和△<:〃￡>中，\AD=CD.-.A/4ED^ACFD（ASA）,故①正確：

ZEAD=^FCD

??.AE=CF,：.BE=AF,?:NBAC=90。，BE2+CF2=EF2,故②正確；

,:AAED三ACFD、：.SJDE=S.CDF，

金邊形/曲=S/DF+S.CDF==gADDC=g-DC2=~,~BC，="?（48?+"''）=25,故③正確.

?*BE=AF=x,則/1E=1O—x,

222：

vAF+AE=EF,AEF=^2+（10-.￥）2=^2（^-5）+50,

當(dāng)z=5時(shí)，E尸的最小值為5近，故④正確.綜上：①②③④都正確，故選：D.

二、填空題（本題共8小題，每小題4分，共32分.）

11.如果4/）產(chǎn)+（_2</『=y,那么/=..

【答案】49

【解析】解：???4//+『=，.?.4/y1+4x2ft/=y,

，2b=4,。=7,.?.6=2,.?./=72=49，故答案為：49.

12.利用表格中的數(shù)據(jù)計(jì)算師+（4」2『的近似值是一（結(jié)果保留整數(shù)）.

E□H

N289

HEE3

【答案】19

【解析】解：由表格可知,當(dāng)。=17時(shí),6=4.12所以（4.12）2=17

又因?yàn)镴曲=18,所以J疝=18因此Jn?+（4.12『=L8+I7=18.8a19.故答案為：19.

13.如圖.在△力8c中，點(diǎn)。在4。上，BD平分NABC、/iB+AD=BC.若/4=88°,則/43。二

A

D

【答案】24

【解析】解：如圖1所示，在線段8C上截取"=4。，.?.8E+CE=8C,

-AB+AD=BC,：.BE=AB,ZABD=ZEBD=-ZABC,

2

又?:BD=BD，：.AABD會(huì)AEBD0網(wǎng)，：.AD=DE,N4EO=4=88°,

DE=CE,：.ZC=ZCDE=-ZBED=44°,

2

圖I

.?.Z45Z)=1z^C=ix(I80o-ZJ-ZC)=24o,故答案為：24.

14.如圖，△初C中，JC=5C,ZC=90°,BD為N/8C的平分線.若點(diǎn)力到直線3。的距離力。為5,則

BE長為.

解：延長力。、BC交于點(diǎn)產(chǎn),

???80平分/48C,ADtBD,N4cB=90°,ZABD=ZFBD,NADB=NFDB=900,

?;BD=BD,:.“BDaFBD(ASZ),；.AD=FD=5,AF=AD+FD=\0.

?.?4C4=9()。，/.ZBEC+ZCBE=90°,又+:.NF=NBEC,

又?.4C8=4C/7=9O°,AC=BC,/.△JCF^A^CE(ASA),BE=AF=\O.故答案為：10.

15.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是用八個(gè)全等

的直角三角形拼接而成，記圖中正方形力區(qū)力，正方形EFGH,正方形"VK7的面積分別為S-S?,

S3.若E+S2+g=21,則S?的值是.

【答案】7

【解析】解：:圖中正方形48CD,正方形EFGH,正方形以\￡丁的面積分別為S”S,,

222

..CG=NG,CF=DG=NF,：.51=(CG+DG)=CG+DG”+2CG-DG=G?+2CG?DG，

1222

Sz=GF,S3=(NG-NF)=NG+NF-2NG?NF,

?;S”Ss=2'=GF'ZCG?DG+GF，+NG?+NF?-2NG-NF=3GF2,

?..S?的值是：7.故答案為：7.

16.定義：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)相，〃的平方差，且利-〃=2,則稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧優(yōu)

數(shù)”.例如，當(dāng)〃?=3,〃=1時(shí)，8=3?-『，8是一個(gè)“智慧優(yōu)數(shù)”，若將“智慧優(yōu)數(shù)”從小到大排列，第

2025個(gè)智慈優(yōu)數(shù)是.

【答案】8104

【解析】解：一〃=2,二〃?=〃+2,一/=(〃+2)~—〃，=4〃+4=4(〃+1),

即智慧優(yōu)數(shù)為4(〃+1),〃21,所以，第2025個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為4x(2025+1)=4x2026=8104.故答案為:

8104.

17.如圖，長方形"CO中，AB=6,8C=8,點(diǎn)后是8c邊上一點(diǎn)，連接力上，把N4沿4?折疊，使點(diǎn)“

落在點(diǎn)8'處，若ACE*恰好為直角三角形，則CE的長為

【答案】5或2

【解析】解:當(dāng)N8EC=90。時(shí)，如圖：??./8砧'=90°,

?.?長方形48co沿力上折疊，使點(diǎn)4落在點(diǎn)"處，

ZBEA=ZB'EA=45°=ZBAE=ZffAE,:.BE=AB=6,:.CE=BC-BE=2,

?.?長方形力8。短沿力￡■折售，使點(diǎn)、B落在點(diǎn)《處，.?.NB=N4B'E=90。,EB=EB',AB'=AB=6,

???點(diǎn)A、B\C共線，即點(diǎn)8'在,4。上，CS=AC-4B，=4,

設(shè)8E=x,則E*=x,C￡=8-x,在RSCE9中，EB>2+CB11=CE2,

即：/+4?=(8-力］，解得x=3,；.BE=3,；.CE=BC-BE=5,故答案為：5或2.

18.如圖，在RtZX/14。中，4C=3,8C=4,4C'B=90。，點(diǎn)P,。分別是邊力8和8C上的動(dòng)點(diǎn)，始終保持

AP=BQf連接40,CP,則40+。產(chǎn)的最小值為一.

【答案】V34

【解析】解：如圖，過點(diǎn)4作使得8M=/C,連接

二ZABM=9Q0/QBM+Z.ABC=90°,

?.ZJC5=90°,.?.ZPJC+ZJ5C=90°.Z05.V=ZPJC,

-；BM=ACyBQ=AP,：.^QBM=^PAC(SAS),：.MQ=CPf：.AQ+CP=AQ+MQ,

當(dāng),4,0,同三點(diǎn)共線時(shí)，40+M0=4M取得最小值，

...AC=yBC=4,/ACH-90°,AB=A/AC2IBC2=732I42=5-

vBM=AC=3/4BM=90°，二4M=dAB?+BM?=y)52+32=南，

即N0+CP的最小值為后.故答案為：V34.

三、解答題(本題共8小題，共78分.其中：19-20題9分，21?22題8分，23?24題每題10分，25-26題

每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

19.(9分)計(jì)算與解方程：

⑴必酶+(兀+五)°；

(2)2_2|+卜3)、癇;

⑶(x-2)'-27=0。

【答案】(1)2；(2)1—JJ；(3)x=5.

【解析】(1)解：郎-冊(cè)+

=3-2+1(2分)

=1+1

=2：(3分)

(2)解：2_2卜卜3)2-病

=2-73+3-4（5分）

=1-石；（6分）

（3）解：（X-2）3-27=0,

移項(xiàng)得:（X-2）3=27,

兩邊直接開立方得：x-2=3,（8分）

解得：x=5.（9分）

20.（9分）因式分解與化簡求值

（1）因式分解：a2+2ab+b1-9.

（2）化簡：（3x+l）（3x-l）-（2x-l）2.

（3）先化簡，再求值：[3y（x-y）+（x+y）（3x-y）+4j/]+x,其中》=一2,y=4.

【答案】（1）（。+6+3）（。+力-3）；（2）5X2+4X-2（3）3x+5y,14

【解析】⑴解：原式=（/+2而+〃）-9

=（。+力『一3?（1分）

=（a+H3）（a+b-3）.（2分）

（2）（3x+l）（3x-l）-（2x-l）2

=（9X2-1）-（4A-2-4X+I）（3分）

=9x2-l-4x2+4x-l（4分）

=5/+4x-2.（5分）

（3）解：[3y（..y）+（x+y）（3x-y）+4jJ]+x

=（3孫-3V+3--xy+3xy-y2+4y1）4-x（6分）

=（3』+5⑹+x

=3x+5y,（7分）

代入x=-2,y=4,

原式=3x（-2）+5x4=-6+20=14.（9分）

21.（8分）已知乙〃用=100。，。加平分-4?！ǎ?。為。必上一定點(diǎn)（點(diǎn)。與點(diǎn)。不重合），過點(diǎn)C作

ZPC0=80°,分別與直線a,08相交于點(diǎn)。，E.

圖1圖2

⑴如圖1,當(dāng)/尸。。繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，滿足NC7X）=9（）。時(shí)，CE與08的位置關(guān)系是CQ與CE的

數(shù)最關(guān)系是

（2汝口圖2,當(dāng)/PC。繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CP與a的反向延長線相交時(shí)，猜想CQ與CE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）垂直：相等（2）相等，證明見解析

【解析】（1）解：根題意，在四邊形OEC。中，^DOE+ACDO+ZDCE+ACEO=360°,

即100。+90。+80。+/CEO=360。，ZC￡O=90°,即CE_LO4,

?「OM平分ZAOB,/COD=ZCOE,

NCDO=/CEO=90。

在△COO和ACOE中，ZCOD=ZCOE,:.KODaCOE,CD=CE,

OC=OC

故答案為：垂直：相等；（2分）

（2）解：CD=CE,證明如卜：過C作CG=CO交。1于G,（3分）

圖2

vZJ05=100°,平分/4O8,:"COG=COE=500,（4分）

?;CG=CO,/.ZCOG=COE=50°,/.ZOCG=180°-ZOCG-ZCGO=80°,（5分）

?/ZPC（2=80°,:.NGCO+NOCD=NECD+NOCD,EPZGCZ）=Z.OCE,（6分）

4CGD=OCE

在AGCQ和△XE中，CG=CO,.-.AGCD^A（?C￡（ASA）,..CD=CE.（8^＞）

ZGCD=ZOCE

22.（8分）先閱讀下面的文字，再回答問題：大家知道&是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此0

的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是小明用力-1來表示五的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法

嗎？事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的.因?yàn)榫艿恼麛?shù)部分是1，所以將近減去其整數(shù)部分，所得

的差就是血的小數(shù)部分.例如：?.?衣,即2＜萬＜3..??行的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為療—2.

（1）J歷的整數(shù)部分是,小數(shù)部分是.

（2）如果0的小數(shù)部分為m而的整數(shù)部分為6,求〃+〃-石的值；

【答案】（1）4,719-4（2）1

【解析】（1）（亞，即4VM＜5，

.?.炳的整數(shù)部分為4,小數(shù)部分為J歷-4,故答案為：4,炳-4.（2分）

（2）石＜四，即2＜石＜3，（3分）

???石的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為店-2,即。=石-2（5分）

?:邪＜舊＜屈，即3＜VFT＜4，

;加的整數(shù)部分為3,即6=3,。分）

.??a+6-75=75-2+3-75=1.（8分）

23.（10分）定義：如果三角形中，兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍，那么這個(gè)三角形叫“加倍三角

形

⑴下列三角形一定是“加倍三角形”的是:

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

（2）如圖1,△川5c是“加倍三角形"，且/仍＜4C＜3C.若正方形力和正方形/bG的面積分別是8

和24,求正方形6C?〃的面積;

⑶如圖2,在四邊形/AC。中，AB=BC,N4BC=N4DC=90°.E是四邊形力SCO外一點(diǎn)，且

AE=AB,DE=DC.求證：△力E力是“加倍三角形

【答案】（1）D⑵40⑶證明見詳解

【解析】（1）解：A、設(shè)RtA45C的三邊長分別為。也c,ZC=90°,則由勾股定理可得人+設(shè)=c?,不滿

足“加倍三角形”定義，不符合題意；

B、設(shè)等腰ZU"。二邊長分別為MM。，則二邊平方分別為一,，,[2,他們不一定滿足兩邊的平方和等于笫

三邊平方的2倍，比如某一等腰三角形三邊長分別2,2,3，則4,4,9就不滿足“加倍三角形”定義，不符合題意;

C、設(shè)等腰RtZX/18。的三邊長分別為ZC=90%則由勾股定理可得。，不滿足“加倍三角

形”定義，不符合題意；

D、設(shè)等邊△/5C的邊長為x,則/+/=2/，滿足“加倍三角形”定義，符合題意；故選：D；（2分）

（2）解:???正方形1和正方形力。尸G的面積分別是8和24,AB2=8,AC2=24,（3分）

?.?△48。是“神圣三角形"，且力4＜力。＜4。，.-82+8。2=24。2,（4分）

；=024-8=2瓦,???5正方形85/=8。2=40,故答案為：40；（6分）

（3）解：連接/C,如圖所示:

vZJ5C=ZJDC=90°,.?.△48C和△/。。均為宜角三角形，（7分）

在RtAJ5C中，由勾股定理可得AB2+BC2=AC2;

在Rt"OC中，由勾股定理可得力。2+。。2=4。2,（9分）

vAB=BC=AE,OE=OC,???△4EO是“加倍三角形（10分）

24.（1（）分）如果一個(gè)整數(shù)可以表示為兩個(gè)整數(shù)平方和的形式，那么我們稱這個(gè)整數(shù)為“平方和數(shù)”.例如:

40=22+62.完成下列練習(xí)題：

（1）在5,19,33三個(gè)數(shù)中，平方和數(shù)是；

（2）“平方和數(shù)”53可表示為2和7的平方和，即53=22+72.整數(shù)x也是“平方和數(shù)”.設(shè)％=/+瓜（心

力為正整數(shù)）.發(fā)現(xiàn)53與x的積也是“平方和數(shù)即53X=/+〃2.若m=7a-2b,若〃＞0,求〃（用

含〃，力的式子表示);

(3)證明：兩個(gè)“平方和數(shù)”的積也是“平方和數(shù)”.

【答案】(1)5(2)〃=2。+76(3)見解析

【解析】(1)解：根據(jù)題意得，5可以表示為『+22=5,

19不能表示為兩個(gè)整數(shù)的平方和，33也不能表示為兩個(gè)整數(shù)的平方和，

???平方和數(shù)是5.故答案為：5：(2分)

(2)解：由題意得，53=22+72.x=a2+b2,

53x=(22+72)(a2+)=4a2+49b?+49a2+4b2=4a2+49b2+49a2+4b2+2Sab-2Sab

=(4a2+28a/7+49b2)+(49/—28ab+4b?)=(2〃++(7a—2〃)？，(4分)

vm=la-2b，:.53x=(2a+7b)~+nr,

又、53x=/〃2+“2=(2Q+7Z>「，：〃>0,；.〃=2〃+7b,(6分)

(3)證明：設(shè)兩個(gè)平方和數(shù)分別為4=/+〃和8=。2+1(/b,c,"均為整數(shù))，

222222221

.'.AB=^a+b)(c+d)=a-c+bc+a~d~+b~d~=ac~+h-d~+a~d~+Ire+lacbd-lacbd

=(a2c2+2acbd+b~d')+^a~d~-2acbd+Z>2<?2)=(ac+bd)~+(ad-be)2,(8分)

???砒+bd和id-兒均為整數(shù)，.??/〃可以表示為兩個(gè)整數(shù)的平方和，.是平方和數(shù).(10分)

25.(12分)如圖，△4BC中,^BAC=90Q,AB=AC.

⑴問題：如圖I,點(diǎn)。是8c邊上一點(diǎn)(不與8,C重合)，將線段4。繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到/E,

連接EC,試探索線段〃2。之間滿足的數(shù)量關(guān)系.

(2)探索：如圖2,ZUOE是等腰直角三角形，且ND4E=90°,4D=4E,將MDE繞點(diǎn)力旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)。

落在邊上，試探索線段力之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)應(yīng)用：如圖3,在四邊形48CO中，若。。=1,力。=2,8。=3,求/力。。的度數(shù).

【答案】(1)8O=CE；(2)BD2+CD2=2AD2,見解析；(3)45。.

【解析】(1)解：由旋轉(zhuǎn)可知，ZDJ￡=90°,vAB=AC,ZBAC=90°,

ABAC-Z.DAC=ADAC-ZDAC,ABAD=Z.CAE,（1分）

AB=AC

在&加。和ACXE中，＜/BAD=/CAE,；.△BADGACAE（SAS）,（2分）

AD=AE

:.BD=CE,故答案為:BD=CE；（3分）

（2）解：BD2+CD2=2AD2,理由如下：（4分）

由（I）得，4BADACAE,：.BD=CE,^ACE=ZB,（5分）

:.ZDCE=90°,:.CE2+CD2=ED2,（6分）

在中，AD2+AE2=ED\AD=AE,.?.4。2+。。2=2%。2：（7分）

（3）解：如圖，過點(diǎn)力作力七_(dá)L/1。，使得力E=%。，連接CE,DE,（8分）

???NBAC+NCAD=NDAE+ZCAD,/.NBAD=Z.CAE,

vAB=AC,AD=AE,：.^BAD^CAE（SKS）,:.BD=CE,（10分）

?；BD=3,CE=3,vAD=2,AD=AE,ZE/1D=90°,

?.?CO=1,.?.在AECO中，。。2+。E2=1+8=9,EC?=9,（11分）

.?.。2+。爐=慮2,.△EC。為直角三角形，且/CQE=9O。，

?/AD=AE,AEAD=90°,:.ZADE=450,：.^JDC=90°-45°=45°.（12分）

26.（12分）如圖，△48C是等邊三角形，點(diǎn)。為射線8C上一點(diǎn).

（1）當(dāng)點(diǎn)。在線段4c上時(shí):

①如圖1,點(diǎn)、E,尸分別為//,力C上的點(diǎn)，若AE=BD=CF,求證：4BDE@ACFD；

②如圖2,點(diǎn)上為AC中點(diǎn)，點(diǎn)6為/C上的點(diǎn)，且滿足C產(chǎn)=。石，過點(diǎn)。作。G〃4C交力4于點(diǎn)G,

連接￡7LEG,求/尸EG的度數(shù)：

（2）如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在4c的延長線上時(shí)，點(diǎn)G為上一點(diǎn)，且滿足4G=CO,連接OG交月C于點(diǎn)

F.若點(diǎn)、E為BC中點(diǎn),BE=CD+CF,DF=2,求產(chǎn)G的長度.

【答案】⑴①見解析：@120°；（2）273

【解析】（1）解：①?.?18C是等邊三角形，

：.AB=BC=AC,Z5=