2025?2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大版八年級(jí)期末必刷常考題

之認(rèn)識(shí)證明

一.選擇題（共8小題）

1.（2025秋?舟山期中）下列語(yǔ)句不是命題的是（）

A.對(duì)頂角相等

B.連結(jié)A8,并延長(zhǎng)至點(diǎn)C

C.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

D.等角的補(bǔ)角相等

2.（2024秋?任丘市期末）用反證法證明命題“在△ABC中，/IBWAC,則N8WNC”時(shí)，首先應(yīng)該假設(shè)

（）

A.AB=ACB.ZB=ZC

C.A8=AC且N8=NCD.AB=AC且N8WNC

3.（2025春?松江區(qū)校級(jí)期末）下列各命題的逆命題成立的是（）

A.直角都相等

B.如果4=2,那么/二房

C.對(duì)頂角相等

D.兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互撲

4.（2025秋?龍華區(qū)期中）下列畬題是真命題的是（）

A.相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角

B.若同=1,則”=1

C.內(nèi)錯(cuò)角相等

D.三角形的內(nèi)角和等于180°

5.（2025秋?朝陽(yáng)區(qū)期中）舉反例說(shuō)明命題―,則JAM”是假命題時(shí)，可舉的反例是（）

A.a=2,b=-1B.a=2,b=0C.。=2,b=1D.a=-2,b=-3

6.（2025秋?瑞安市期中）已知命題“如果J>4,那么〃>2"，能說(shuō)明該命題是假命題的一個(gè)反例可以是

（）

A.。=4B.a=2C.a=-2D.a=-4

7.（2025秋?南閔區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)。是△/WC的重心，連接人。并延長(zhǎng)交于點(diǎn)。，則下列命題

中正確的是（）

A

A.AO是NBA。的平分線

B.A。是8c邊上的高

C.A。是8c邊的垂直平分線

D.八。是BC邊上的中線

8.（2025秋?唐山期中）下列命題的逆命題是真命題的是（）

A.若〃=2,則1=8

B.如果〃=〃，那么招二房

C.鈍角三角形中有兩個(gè)銳角

D.如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等

二.填空題（共4小題）

9.（2025秋?舟山期中）命題”內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”的逆命題是：；該命題是

命題（填“真”或“假”）.

10.（2025秋?榆陽(yáng)區(qū)期中）命題“互為余角的兩個(gè)角之和等于90°”的逆命題為.

11.（2025秋?天河區(qū)校級(jí)期中）下列命題的逆命題是假命題的有.（填序號(hào)）

①對(duì)頂角相等；②兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；③全等三角形的周長(zhǎng)相等；④若4=〃，則〃2=房.

12.（2025秋?長(zhǎng)春期中）命題“如果。=仇那么/=廬"，該命題是命題.（填“真”或"假”）

三.解答題（共4小題）

13.（2025秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）對(duì)于有理數(shù)小b定義一種幕的新運(yùn)算:"〃◎〃=（岫）（。+6）叫其

中〃7,〃是正整數(shù)，請(qǐng)利用這種運(yùn)算規(guī)則解決下列問(wèn)題：

（1）1?2的值為；

（2）若2?2-1=80,求/的值；

（3）這種運(yùn)算是否滿(mǎn)足結(jié)合律，即（"〃◎〃）?c^=^?（/◎（〃）成立嗎？如果成立，清說(shuō)明理由；

如果不成立，請(qǐng)舉一個(gè)反例.

14.（2025秋?閔行區(qū)期中）探究并解決問(wèn)題：

定義一種新的運(yùn)算，叫做“十”運(yùn)算.按照“十”運(yùn)算的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算:

①(+2)十(+3)=+5；

②(?2)十(+3)=-5；

③(-2)十(-3)=+5：

④(+2)?(-3)=-5：

⑤。十(+5)=5；

?(+4)?0=4；

⑦(-5)十0=5；

⑧。十(?3)=3.

(1)觀察上面的算式，請(qǐng)類(lèi)比有理數(shù)的運(yùn)算法則的學(xué)習(xí)，歸納“十”運(yùn)算的運(yùn)算法則：

兩數(shù)進(jìn)行“十”運(yùn)算時(shí)，;

一個(gè)數(shù)與。進(jìn)行“十”運(yùn)算時(shí)，.

(2)計(jì)算：(-3)⑼2十(-4)1；

(3)有理數(shù)加法有結(jié)合律，結(jié)合律在有理數(shù)的“十”運(yùn)算中還適用嗎？請(qǐng)你判斷并舉例驗(yàn)證(注：如

果不適用，舉出一個(gè)反例即可).

6(2024秋?沙坪壩區(qū)期末)學(xué)習(xí)了等腰三角形后，小渝進(jìn)行了拓展性探究.他發(fā)現(xiàn)，如果作等腰三角形

兩底角的平分線且與兩腰相交，那么等腰三角形的這兩條角平分線的長(zhǎng)度相等.其解決思路是通過(guò)證明

對(duì)應(yīng)線段所在的兩個(gè)三角形全等得出結(jié)論.請(qǐng)根據(jù)他的思路完成以下作圖與填空：

用直尺和圓規(guī)，作N人“C的平分線，交4c于點(diǎn)￡(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)

己知：如圖，在△ABC中，A8=AC,BE平分NABC交AC于點(diǎn)E,C。平分N4CB交4B于點(diǎn)O.

求證：BE=CD.

證明：在△ABC中，

*：AB=AC,

A?,

又平分NACO平分

AZEBC=^LABCt②=^ACB.

:?NEBC=NDCB.

XVBC=?,

???△EBC絲△OCB(ASA).

：,BE=CD.

小渝進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，等腰三角形兩腰上的高線均有此特征.請(qǐng)你依照題意完成下面命題:

等腰三角形兩腰上的高線的長(zhǎng)度④.

16.(2025春?黃石期末)如圖，有三個(gè)條件：①N1=N2,②/C=N￡>,③NA=NF,從中任選兩個(gè)作

為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，可以組成3個(gè)命題，例如：

以③作為結(jié)論的命題是：如圖，已知NI=N2,/C=/。，求證：ZA=ZF.

(1)請(qǐng)按要求寫(xiě)出命題：

以①作為結(jié)論的命題是：:

以②作為結(jié)論的命題是：：

(2)請(qǐng)證明以②作為結(jié)論的命題.

ABC

2025?2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）八年級(jí)期末必刷常考題

之認(rèn)識(shí)證明

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

題號(hào)12345678

答案BBDDDDDA

一.選擇題（共8小題）

1.（2025秋?舟山期中）下列語(yǔ)句不是命題的是（）

A.對(duì)頂角相等

B.連結(jié)A8,并延長(zhǎng)至點(diǎn)C

C.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

D.等角的補(bǔ)角相等

【考點(diǎn)】命題與定理.

【專(zhuān)題】其他問(wèn)題；模型思想.

【答案】B

【分析】判斷?件事情的語(yǔ)句，叫做命題.由此即可判斷.

【解答】解：A、C、。中的語(yǔ)句是命題，故A、C、。不符合題意；

B、該語(yǔ)句不是命題，故4符今題意.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳命題和定理，關(guān)鍵是掌握命題的定義.

2.（2024秋?任丘市期末）用反證法證明命題“在△48。中，4BWAC,則N8WNC”時(shí)，首先應(yīng)該假設(shè)

（）

A.AB=ACB.ZB=ZC

C.A3=A。且N3=NCD.A3=4。且N8WNC

【考點(diǎn)】反證法；三角形內(nèi)角和定理.

【專(zhuān)題】反證法；推理能力.

【答案】B

【分析】反證法的步驟中，第步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立.

【解答】解：川反證法證明命題“若在△4BC中，AB^AC,則/8WNC時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)NB=NC,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟.在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考

慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一

否定.

3.（2025春?松江區(qū)校級(jí)期末）下列各命題的逆命題成立的是（）

A.直角都相等

B.如果4=匕，那么〃2=房

C.對(duì)頂角相等

D.兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)

【考點(diǎn)】命題與定理；對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角；平行線的性質(zhì).

【專(zhuān)題】實(shí)數(shù)；線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】D

【分析】分別寫(xiě)出原命題的逆命題后判斷正誤即可.

【解答】解：A、逆命題為相等的角都是直角，不成立，不符合題意；

B、逆命題為如果/=扇，那么。=從不成立，不符合題意；

a逆命題為相等的角是對(duì)頂角，不成立，不符合題意：

4逆命題為同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，西直線平行，成立，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)的定義及定理，難度不大.

4.（2025秋?龍華區(qū)期中）下列命題是真命題的是（）

A.相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角

B.若同=1,則4=1

C.內(nèi)錯(cuò)角相等

D.三角形的內(nèi)角和等于180°

【考點(diǎn)】命題與定理；絕對(duì)值；對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角；同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角；平行線的性質(zhì)；三角形

內(nèi)角和定理.

【專(zhuān)題】三角形；推理能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)對(duì)頂角、絕對(duì)值、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理判斷即可.

【解答】解：A、相等的兩個(gè)角不一定是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)令題是假命題，不符合題意；

B、若同=1,則。=±1,故本選項(xiàng)命題是假命題，不符合題意：

C、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，故本選項(xiàng)命題是假命題，不符合題意；

。、三角形的內(nèi)角和等于180°,是真命題，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題與定理，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關(guān)

鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

5.（2025秋?朝陽(yáng)區(qū)期中）舉反例說(shuō)明命題“若心兒則標(biāo)>廬”是假命題時(shí)，可舉的反例是（）

A.。=2,b=-1B.a=2,b=0C.a=2,b=1D.a=-2,b=-3

【考點(diǎn)】命題與定理.

【專(zhuān)題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】由。、人的值計(jì)算出/、層的值，即可得到答案.

【解答】解：A、a>b,/=4,序=1,〃2>從，不能說(shuō)明命題“若心b,則〃2>/自，是假命題，故人

不符合題意：

B、a>b,-=4,伊=0,（r>b2,不能說(shuō)明命題“若a>e則/>了”是假命題,故s不符合題意;

C、a>b,J=4,b2=\,a2>b2,不能說(shuō)明命題“若a>b,則廬”是假命題,故C不符合題意;

B,a>b,-=4,乒=9,Jv廬，能說(shuō)明命題“若”>從則乂”是假命題,故。符合題意.

故選：。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題與定理，關(guān)鍵是由得到/V及.

6.（2025秋?瑞安市期中）已知命題“如果J>4,那么〃>2"，能說(shuō)明該命題是假命題的一個(gè)反例可以是

（）

A.。=4B.a=2C.a=-2D.a=-4

【考點(diǎn)】命題與定理.

【專(zhuān)題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】。

【分析】求出M的值，即可舉出反例.

【解答】解：A、〃2=16>4,42,不能說(shuō)明該命題是假命題，故4不符合題意；

B、『=4,不能說(shuō)明該命題是假命題，故8不符合題意；

C、『=%不能說(shuō)明該命題是假命題，故C不符合題意；

D、a2=l6>4,a<2,能說(shuō)明該命題是假命題，故。符合題意.

故選：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題與定理，關(guān)鍵是求出/的值.

7.（2025秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)。是A/WC的重心，連接40并延長(zhǎng)交8C于點(diǎn)。，則下列命題

中正確的是（）

B.是8c邊上的高

C.A。是8c邊的垂直平分線

D.AO是8C邊上的中線

【考點(diǎn)】命題與定理：三角形的角平分線、中線和高；三角形的重心；線段垂直平分線的性質(zhì).

【專(zhuān)題】三角形；應(yīng)用意識(shí).

【答案】D

【分析】根據(jù)重心的定義進(jìn)行判斷即可.

【解答】解:由題知,

因?yàn)辄c(diǎn)。是△A8C的重心，

所以點(diǎn)。是△ABC三條中線的交點(diǎn)，

則入。是8c邊上的中線，

顯然只有D選項(xiàng)符合題意.

故選：

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了命題與定理、三角形的角平分線、中線和高、三角形的重心及線段垂直平分線

的性質(zhì)，熟知三角形重心的定義是解題的關(guān)鍵.

8.（2025秋?唐山期中）下列命題的逆命題是真命題的是（）

A.若a=2,則/=8

B.如果。=2,那么〃2=〃2

C.鈍角三角形中有兩個(gè)銳角

D.如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等

【考點(diǎn)】命題與定理.

【專(zhuān)題】閱讀型；推理能力.

【答案】A

【分析】先寫(xiě)出逆命題，后逐一判斷正誤即可.

【解答】解：A.選項(xiàng)逆命題為：若“3=8,則。=2,則該逆命題是真命題，故A符合題意；

B.選項(xiàng)逆命題為：如果。2=",那么。=從根據(jù)〃和人可能為相反數(shù)，可得該逆命題是假命題，故B

不符合題意：

C.選項(xiàng)逆命題為：有兩個(gè)銳角的是鈍角三角形，根據(jù)三角形可能為直角三角形和銳角三角形，可得該

逆命題是假命題，故C不符合題意；

D.選項(xiàng)逆命題為：如果兩個(gè)角相等，那么它們是直角，兩相等的角可以是非直角，可得該逆命題是假

命題，故。不符合題意.

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題，逆命題，正確寫(xiě)出逆命題，并正確判斷正誤是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共4小題）

9.（2025秋?舟山期中）命題“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”的逆命題是：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等：

該命題是一真命題（填“真”或"假”）.

【考點(diǎn)】命題與定理.

【專(zhuān)題】其他問(wèn)題；模型思想.

【答案】?jī)芍本€平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；真.

【分析】把命題的條件和結(jié)論交換位置，即可得到原命題的逆命題.

【解答】解：命題“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”的逆命題是：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；該命題是真命

題.

故答案為；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；真.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題和定理，關(guān)鍵是掌握寫(xiě)出一個(gè)命題逆命題的方法.

10.（2025秋?榆陽(yáng)區(qū)期中）命題“互為余角的兩個(gè)角之和等于90°”的逆命題為兩個(gè)角之和等于90°,

則這兩個(gè)角G為余角.

【考點(diǎn)】命題與定理；余角和補(bǔ)角.

【專(zhuān)題】幾何圖形；應(yīng)用意識(shí).

【答案】?jī)蓚€(gè)角之和等于90八，則這兩個(gè)角互為余角.

【分析】根據(jù)逆命題的定義：對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的結(jié)論和

條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)命題叫做原命題，另外i個(gè)命題叫做原命題的逆命題，

即可解答.

【解答】解：根據(jù)逆命題的定義：對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的結(jié)

論和條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)命題叫做原命題，則：

???原命題“互為余角的兩個(gè)角之和等于90°”中，條件是“兩個(gè)角互為余角”，結(jié)論是“這兩個(gè)角之和

等于于°”,

???根據(jù)逆命題的定義，交換條件和結(jié)論，得逆命題為“如果兩個(gè)角之和等于90°,那么這兩個(gè)角互為

余角

故答案為：兩個(gè)角之和等于90°,則這兩個(gè)角互為余角.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查逆命題，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵.

II.（2025秋?天河區(qū)校級(jí)期中）下列命題的逆命題是假命題的有①③④.（填序號(hào)）

①對(duì)頂角相等；②兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；③全等三角形的周長(zhǎng)相等；④若“=〃，則”2=戶(hù).

【考點(diǎn)】命題與定理；全等三角形的性質(zhì).

【專(zhuān)題】證明題；推理能力.

【答案】①③④.

【分析】先寫(xiě)出命題的逆命題，再逐一判斷即可求解.

【解答】解：①對(duì)頂角相等的逆命題是相等的角是對(duì)頂角，逆命題是假命題：

②兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)的逆命題是同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，逆命題是真命題；

③全等三角形的周長(zhǎng)相等的逆命題是周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等，逆命題是假命題；

④若則〃2=戶(hù)的逆命題是若〃2=序，則a=b,逆命題是假命題；

綜上所述：逆命題是假命題的是①③④，

故答案為：①③④.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了逆命題及命題的真假，正確寫(xiě)出命題的逆命題是解題的關(guān)鍵.

12.（2025秋?長(zhǎng)春期中）命題“如果。=從那么。2=內(nèi),該命題是真命題.（填“真”或"假”）

【考點(diǎn)】命題與定理.

【專(zhuān)題】三角形；推理能力.

【答案】真.

【分析】根據(jù)平方的性質(zhì)即可判斷.

【解答］解：“如果4=6那么『=6"，

該命題是真命題，

故答案為：真.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了真假命題，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

三.解答題(共4小題)

13.(2025秋?海淀區(qū)校級(jí)期中)對(duì)于有理數(shù)a,J定義一種秋的新運(yùn)算:(ab)m+n+(a+h)叫其

中〃?，〃是正整數(shù)，請(qǐng)利用這種運(yùn)算規(guī)則解決下列問(wèn)題：

(1)1?2的值為7；

(2)若2?2*=80,求/的值；

(3)這種運(yùn)算是否滿(mǎn)足結(jié)合律，即("〃◎〃)◎(〃=/◎(〃◎(〃)成立嗎？如果成立，清說(shuō)明理由；

如果不成立，請(qǐng)舉一個(gè)反例.

【考點(diǎn)】命題與定理；有理數(shù)的混合運(yùn)算；哥的乘方與積的乘方.

【專(zhuān)題】實(shí)數(shù)；推理能力.

【答案】(1)7；

(2)1；

(3)不成立.當(dāng)a=l,b=-1,c=0,m=n=l,"◎見(jiàn)◎c。#""?(力〃?才).

【分析】(1)根據(jù)所給規(guī)定進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)根據(jù)題意，建立關(guān)于/的等式，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)利用反例等式不成立，若〃=1,b=-1,c=0,m=n=I.

【解答】解：(1)由題知，

1?2=(1X2),+,+(1+2),X,=22+3,=7.

故答案為：7；

(2)由2?2廿1=80得,

(2X2),+/+1+(2+2),x(什「=80,

貝|」4什2+4汁1=80,

5X4'+l=80,

4什1=16,

所以r=l；

(3)不成立.

設(shè)4=1,b=-1,c=0,m=n=1,

(-I)=(-IXi),+1+(1-1)"i=l+0=l，

1?01=（1X0）1+,+（1+0）lx,=0+l=l,

即（"”◎〃）◎，=1;

（-1）?0=（-1X0）,+,+（-1+0）2=0+1=1,

（川?犬）=1?1=）=（1X1）,+,+（1+1）,xl=i+2=3

所以中〃"◎（二◎以）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題，任何一個(gè)命題非真即假.要說(shuō)明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證,

而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可.也考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算、塞的乘方與積的乘方.

14.（2025秋?閔行區(qū)期中）探究并解決問(wèn)題：

定義一種新的運(yùn)算，叫做“十”運(yùn)算.按照“十”運(yùn)算的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算：

①（+2）十（+3）=+5：

②（-2）十（+3）=-5；

③（-2）十（-3）=+5；

④（+2）十（-3）=-5；

⑤。十（+5）=5；

⑥（+4）十0=4：

⑦（-5）十0=5；

⑧0十（-3）=3.

C）觀察上面的算式，請(qǐng)類(lèi)比有理數(shù)的運(yùn)算法則的學(xué)習(xí)，歸納“十”運(yùn)算的運(yùn)算法則：

兩數(shù)進(jìn)行“十”運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，再把絕對(duì)值相加；

一個(gè)數(shù)與0進(jìn)行“十”運(yùn)算時(shí)，正數(shù)與0“十”運(yùn)算的它本身，負(fù)數(shù)與0“G”運(yùn)算得它的相反數(shù).

（2）計(jì)算：（?3）十[2十（-4）1；

（3）有理數(shù)加法有結(jié)合律，結(jié)合律在有理數(shù)的“十”運(yùn)算中還適用嗎？請(qǐng)你判斷并舉例驗(yàn)證（注：如

果不適用，舉出一個(gè)反例即可）.

【考點(diǎn)】命題與定理；：行理數(shù)的混介運(yùn)算.

【專(zhuān)題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】（1）同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，再把絕對(duì)值相加，正數(shù)與0“十”運(yùn)算的它本身，負(fù)數(shù)與0“十”

運(yùn)算得它的相反數(shù)；

（2）9；

（3）結(jié)合律在有理數(shù)的“十”運(yùn)算中不適用，舉例見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)題意得到“十”運(yùn)算的運(yùn)算法則即可；

(2)根據(jù)“十”運(yùn)算的運(yùn)算法則計(jì)算即可；

(3)根據(jù)“十”運(yùn)算的運(yùn)算法則判斷即可.

【解答】解：⑴“十”運(yùn)算的運(yùn)算法則：

兩數(shù)進(jìn)行“十”運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，再把絕對(duì)值相加，

一個(gè)數(shù)與0進(jìn)行“十”運(yùn)算時(shí)，正數(shù)與0“十”運(yùn)算的它本身，負(fù)數(shù)與0“十”運(yùn)算得它的相反數(shù).或：

等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值；

故答案為：同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，再把絕對(duì)值相加，正數(shù)與0“十”運(yùn)算的它本身，負(fù)數(shù)與0“十”運(yùn)

算得它的相反數(shù)；

(2)(-3)?|2?(-4)]

=(-3)十(-6)

=9；

(3)結(jié)合律在有理數(shù)的“十”運(yùn)算中不適用.

例如：

[(?3)十(?2)]十0(?3)十[(-2)十0]

=+5十0=(?3)十2

=+5=-5

這時(shí)，|(-3)十(-2)]十0盧(-3)?|(-2)十0],所以結(jié)合律在有理數(shù)的“十”運(yùn)算中不適用.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理，新運(yùn)算，正確地理解新的運(yùn)算的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

15.(2024秋?沙坪壩區(qū)期末)學(xué)習(xí)了等腰三角形后，小渝進(jìn)行了拓展性探究.他發(fā)現(xiàn)，如果作等腰三角形

兩底角的平分線且與兩腰相交，那么等腰三角形的這兩條角平分線的長(zhǎng)度相等.其解決思路是通過(guò)證明

對(duì)應(yīng)線段所在的兩個(gè)三角形全等得出結(jié)論.請(qǐng)根據(jù)他的思路完成以下作圖與填空：

用直尺和圓規(guī)，作NABC的平分線，交AC于點(diǎn)￡(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)

已知：如圖，在△A8C中，AB=AC,平分NA3c交AC于點(diǎn)E,CO平分/AC3交43于點(diǎn)O.

求證；BE=CD.

證明：在中，

f：AB=AC,

A?ZABC=ZACB,

又「BE平分NA8C,平分NAC8,

???NEBC=^ABC,②/BCD=^ACB.

:./EBC=/DCB.

又，??8C=③迤，

:AEBgADCB(ASA).

：.BE=CD.

小渝進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，等腰三角形兩腰上的高線均有此特征.請(qǐng)你依照題意完成下面命題:

等腰三角形兩腰上的高線的長(zhǎng)度④相等.

【考點(diǎn)】命題與定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；作圖一基本作圖.

【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；尺規(guī)作組：推理能力.

【答案】見(jiàn)圖形：ZABC=ZACB,/BCD,CB,相等.

【分析】以4為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交與交BC于N,分別以M、N為圓心，大于長(zhǎng)

為半徑畫(huà)弧，兩弧交于K,過(guò)K作射線8K交AC于民

由等腰三角形的性質(zhì)推出NA8C=NAC8,由角平分線定義得到NE8C0/ABC,/BCD=^ACB,

因此NE4C=NQC8,即可證明△EBCgZXQCB(ASA),BE=CD,進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，等腰三角形

兩腰上的高線均有此特征.即可完成命題.

【解答】如圖所示,BE平分NA80

證明：在△ABC中，

'：AB=AC,

???NABC=ZACB,

又〈BE平分/ABC,CO平分NAC8,

：.^EBC=^ABC,NBCD另乙ACB,

：.ZEBC=ZDCB,

又，：BC=CB,

:?△EBCWADCB(ASA).

：,BE=CD.

小渝進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，等腰三角形兩腰上的高線均有此特征，依照題意完成命題：等腰三角形兩腰上的

高線的長(zhǎng)度相等.

故答案為：ZABC=ZACB,/BCD,CB,相等.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題與定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，作圖-基本作圖，角平分線定義，關(guān)鍵是判

'定二EBCB叢DCB（ASA）.

16.（2025春?黃石期末）如圖，有三個(gè)條件：①N1=N2,②/C=N。，③NA=NF,從中任選兩個(gè)作

為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，可以組成3個(gè)命題，例如：

以③作為結(jié)論的命題是：如圖，已知N1=N2,ZC=ZD,求證：NA=NF.

（1）請(qǐng)按要求寫(xiě)出命題：

以①作為結(jié)論的命題是：如圖，已知NC=NQ,NA=NF,求證：N1=N2.；

以②作為結(jié)論的命題是：如圖，已知N1=N2,NA=NP,求證：NC=NQ.；

（2）請(qǐng)證明以②作為結(jié)論的命題.

【考點(diǎn)】命題與定理.

【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】（I）已知NC=NQ,Z4=ZF,求證：ZI=Z2；已知N1=N2,ZA=ZF,求證：ZC=

ND；

（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)題意要求寫(xiě)出已知求證，寫(xiě)出命題即可求解；

(2)根據(jù)平行線的判定可得。8//EC,3F//AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/QBA=NC,ND=/DBA,

等量代換即可得證.

【解答】解：(1)以①作為結(jié)論的命題是：如圖，已知NC=NO,ZA=ZF,求證：ZI=Z2.

以②作為結(jié)論的命題是：如圖，已知NI=/2,NA=NF,求證：NC=ND.

故答案為：如圖，己知NC=/O,ZA=ZF,求證：Z1=Z2；

(2)VZ1=Z2

：,DB//EC

：?NDBA=/C

???ZA=ZF

：.DF//AC

：.ZD=ZDBA

，NC=N。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題，平行線的性質(zhì)與判定，掌握平行淺的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.絕對(duì)值

(I)概念：數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值.

①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等；

②絕對(duì)值等于一個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，絕對(duì)值等于0的數(shù)有一個(gè)，沒(méi)有絕對(duì)值等于負(fù)數(shù)的數(shù).

③有理數(shù)的絕對(duì)俏都是#負(fù)數(shù).

(2)如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對(duì)值要由字母。本身的取值來(lái)確定：

①當(dāng)a是正有理數(shù)時(shí)，〃的絕對(duì)值是它本身〃；

②當(dāng)。是負(fù)有理數(shù)時(shí)，。的絕對(duì)值是它的相反數(shù)

③當(dāng)。是零時(shí)，。的絕對(duì)值是零.

即心|=｛。(〃>0)0(a=0)-a(aVO)

2.有理數(shù)的混合運(yùn)算

(I)有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)

算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算.

(2)進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注意各個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過(guò)程得到簡(jiǎn)化.

【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運(yùn)算的四種運(yùn)算技巧

1.轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運(yùn)算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化

為分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分計(jì)算.

2.湊整法：在加減混合運(yùn)算中，通常將和為零的兩個(gè)數(shù)，分尾相同的兩個(gè)數(shù)，和為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)，乘積

為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)分別結(jié)合為一組求解.

3.分拆法：先將帶分?jǐn)?shù)分拆成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和的形式，然后進(jìn)行計(jì)算.

4.巧用運(yùn)算律：在計(jì)算中巧妙運(yùn)用加法運(yùn)算律或乘法運(yùn)算律往往使計(jì)算更簡(jiǎn)便.

3.賽的乘方與積的乘方

(I)新的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

(/')(加，〃是正整數(shù))

注意：①累的乘方的底數(shù)指的是累的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是累的指數(shù)與乘方的指數(shù)相乘，這

里注意與同底數(shù)制的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別.

(2)積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的幕相乘.

(")〃="仿〃(〃是正整數(shù))

注意：①因式是三個(gè)或三個(gè)以上積的乘方，法則仍適用；②運(yùn)川時(shí)數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)乘方的意義，計(jì)

算出最后的結(jié)果.

4.余角和補(bǔ)角

（I）余角：如果兩個(gè)角的和等于90。（直角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角.即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角.

（2）補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角.即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)

角.

（3）性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等.等角的余角相等.

（4）余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián).

注意：余角（補(bǔ)角）與這兩個(gè)角的位置沒(méi)有關(guān)系.不論這兩個(gè)角在哪兒，只要度數(shù)之和滿(mǎn)足了定義，則它

們就具備相應(yīng)的關(guān)系.

5.對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角

（I）對(duì)頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種位置

關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角.

（2）鄰補(bǔ)角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角.

（3）對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等.

（4）鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即和為180°.

（5）鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角成對(duì)出現(xiàn)，在相交直線中，一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè).鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角都是相對(duì)與兩

個(gè)角而言，是指的兩個(gè)角的一種位置關(guān)系.它們都是在兩直線相交的前提下形成的.

6.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角

（1）同位角：兩條直線被第三條直線所載形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線

（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角.

（2）內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線

（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角.

（3）同旁?xún)?nèi)角；兩條直線被第二條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第二條直

線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁?xún)?nèi)角.

（4）三線八角中的某兩個(gè)角是不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁?xún)?nèi)角，完全由那兩個(gè)角在圖形中的相對(duì)位置決

定.在復(fù)雜的圖形中判別三類(lèi)角時(shí)，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直

線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線.同位角的邊構(gòu)成“尸”形，

內(nèi)港角的邊構(gòu)成“Z”形，同旁?xún)?nèi)角的邊構(gòu)成“U”形.

7.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1:兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同位角相等.

定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ).簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ).

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

8.三角形的角平分線、中線和高

（I）從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高.

（2）三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做

三角形的角平分線.

（3）三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線.

（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段.

（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角