期中考點(diǎn)易錯專訓(xùn)（48題）（第21-24章）

一.一元二次方程的定義

1.（2025春?高青縣期中）若3〃-3）5=0是關(guān)于x的一元二次方程，則小的值為（）

A.1B.3C.-1D.±V3

【答案】C

【解答】解：由題意可知：｛"[si，!）？，

解得：〃?=-1?

故選：C.

2.（2025春?安慶期中）若關(guān)于犬的方程（攵-2）必2-2+軌-3二0是一元二次方程，則k=-2.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：???關(guān)于x的方程僅一2）/2-2+鈕一3二0是一元二次方程，

??4-2,（）且3-2=2,

解得〃=-2.

故答案為：-2.

3.（2025春?合肥期中）若關(guān)于x的方程（〃L4）別「2|+2?5=0是一元二次方程，則m=0.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：???方程（w-4）的T+Sx+SE是一元二次方程，

.（m—40

,,l|m-2|=2，

解得m=0.

故答案為：0.

二.一元二次方程的解

4.（2025春?金安區(qū)校級期中）若〃，是一元二次方程x2-4x+2=0的一個(gè)根，則代數(shù)式2020-2混+8〃]的

值為（）

A.2016B.2018C.2022D.2024

【答案】D

【解答】解：???/〃是一元二次方程『-4x+2=0的一個(gè)根，

nr-4〃？+2=0,

/.nr-4〃?=-2?

/.2020-2W2+8W=2020-2(/n2-4w)=2020+4=2024.

I

故選：D.

5.（2025春?金安區(qū)校級期中）如果兩個(gè)一元二次方程/+.什〃=0與3+&+]=（）有且只有一個(gè)根相同，那

么k的值是（）

A.1B.2C.-2D.1或-2

【答案】C

【解答】解：設(shè)它們相同的根為a,

由題意得：。2+。+々=（^,42+或+]=迤），

，①■②得：a-ak+k7=0,

（1?k）a=\-k,

???a有且只有一個(gè)值，

A1-W),

a=1?

把a(bǔ)=l代入①得：l+l+k=0,

解得:k=~2,

故選：C.

6.（2025春?溫州期中）若關(guān)于x的一元二次方程M+b/c=0（a存0）有一根為x=，〃，則關(guān)于x的一元

二次方程ex?-bx+a=0（ac#0）必有一根為（）

【答案】D

【解答】解：是若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（?c#0）的一個(gè)根,

am2+bm+c=0,

11

:?a+~h+—齊=(),

mm2

1,1

:.c(--)2-(一一)b+a~O,

mm

1

——是方程2-bx+a=0(wWO)的一個(gè)根,

mex

故選：D.

7.（2025春?萊州市期中）已知關(guān)于x的一元二次方程如2+隊(duì)+《=0（°、b、c是常數(shù)，且存0）的解是％]二

75+1,X2=V5-1,則方程0(x-2)2+b(x-2)+c=0(g0)的解是()

A.xi=V5+1,X2=V5—1B.xj=V5-Lx2=V5-3

2

C.Xi=V5+3,X2=V5+1D.該方程無解

【答案】C

【解答】解：???關(guān)于x的一元二次方程加+加什c=0(a、機(jī)c是常數(shù)，且存0)的解是;1]=遙+1,冷

=V5-1?

???方程a(x-2)2+b(x-2)+。=0(rz^O)+x-2=V5+l^x-2=V5—1

解得：xi=x^5+3,X2=>/5+1

故選：C.

三.根的判別式

8.(2025?驛城區(qū)模擬)若點(diǎn)(■,〃)在第四象限，則關(guān)于x的一元二次方程--加葉〃=。的根的情況是

()

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.無實(shí)數(shù)根

D.無法判定

【答案】B

【解答】解：方程”-〃?x+〃=0的判別式A=(-m)2-4”，

???點(diǎn)尸(m,n)在第四象限，

:.m>(),〃V0,

(-/H)2>0,

???△=(-W)2?4〃>0,

方程〃?『+x+〃=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：B.

9.(2025春?肥東縣校級期末)關(guān)于x的一元二次方程/+〃?/〃=0,下列說法：①若小-2〃=1,則方程一

定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②若布-2〃<(),則方程沒有實(shí)數(shù)根；③若〃是方程/十十〃一0的一個(gè)根,

則〃?+〃=-1；④若x=/(厚0)是方程/+加什〃=0的一個(gè)根，則％是方程〃『+〃?什]=0的一個(gè)根.其

中正確的是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解答】解：①對于方程/+如+〃=0,

3

/.A=/zr-4x1xn=nr-4〃，

若m-2n=1,貝l］加=2〃+l,

/.A=Z7?2-4〃=(2〃+l)2-4n=4n2+4n+\-4n=4n2+\>0,

???方程f+s+〃=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；故①正確：

②由①可知，△=加2?4〃，

若〃?2?2〃V0,則蘇V2〃，BP2n>m2>Q,貝ij4〃>2〃>〃心卻，

??.△=〃?2-4/?<0,

???方程沒有實(shí)數(shù)根；故②正確；

④若X=f(年0)是方程式2+必+〃=0的一個(gè)根，

.??及+〃升+〃=0,

.?.產(chǎn)+機(jī)/十〃=0兩邊同除以產(chǎn)得，1十7nq十八總'=0，

121

即九(彳)+m；+l=0,

.?.無=I是方程〃/+加"1=0的一個(gè)根，故④正確；

③若n是方程，+?7/〃=0的一個(gè)根，則n~-m〃+〃=0,即n(〃+/〃+1)=0,

/.n=0或〃+〃?+l=0,即〃=()或m+n=-1,故③錯誤；

綜上可知，①?④正確，共3個(gè).

故選：C.

四.根與系數(shù)的關(guān)系

11.(2025秋?九龍坡區(qū)校級月考)設(shè)”，〃為方?程F+x-2020=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a3+/+3a+2023〃的值

為()

A.2024B.-2024C.2023D.-2023

【答案】D

【解答】解：??力，力為方程W+x-2020=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

a2+a=2020,a+b=-1,

?,?“2+34+2023/)

=(a~+a)。+3。+2023人

=20204+34+20236

=2023（。+。）

4

=-2023,

故選：D.

11

12.（2025?山東校級二模）已知七、必是方程7-6入-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則；一+==（）

兀1*2

11

A.-2B.——乙C.2D.乙~

【答案】A

【解答】解：???勺、/是方程，-6x-3=（）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

X]+^2=6,4]》2=-3,

11X1+X26

:.—+-==-—2,

X1X2XiX23

故選：A.

cc2024

13.（2024秋?寶應(yīng)縣期末）已知方程『?2024%+1=0的兩根分別為〃?、〃，則加2—7一的值為（）

A.-2024B.-1C.1D.2024

【答案】B

【解答】解：方程*?2024聲4=0的兩根分別為小〃，

/.tn2-2024/〃+1=0,nin=1,

,1

...〃/=2024〃L1,一=m,

n

,2024

:.m2----------=2024m-1-2024m=-1.

n

故選：B.

14.（2025?臨沐縣一模）已知犯，必是一元二次方程，+（2〃什1）x+〃?2?1=。的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且

虜+送+工1%2—17=0,則加的值是（）

555

A.弓或一3B.-3C.-D.

-3

【答案】c

【解答】解：根據(jù)題意得△=（2〃?+1）2-4（混-1）>（）,

5

解得〃?>

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系的勺+'2=-根m+1）,x\X2=m2-1,

VXj+xl+X1X2—17=0,

:.（X]+》2）2■X]X2-17=0,

???（2m+l）2-3〃2-1）-17=0,

5

-5

整理得3/M+4/”-15=0,解得四=鼻，〃?2=-3,

5

*：m>

4

5

m的值為1

故選：C.

15.(2024秋?海港區(qū)期末)已知修，是方程?x?2024=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式看一2024修+超

的值為()

A.4049B.4048C.2024D.1

【答案】A

【解答】解：??5]，X2是方程N(yùn)-x-2024=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

%?—2024=%-x\X2=-2024,勺+X2=1，

2

后—2024X1+x2=Xi(xi-2024)+君=/+君=(%j+x2)—2xix2=1—2x(—2024)=4049.

故選:A.

五.一元二次方程的應(yīng)用

16.(2025?濟(jì)寧校級三模)某商店經(jīng)銷一種銷售成本為20元/個(gè)的商品，當(dāng)售價(jià)為每個(gè)30元時(shí)，每月可售

出1000個(gè)，根據(jù)市場分析，每漲價(jià)1元，每月要少售出100個(gè)；每降價(jià)1元，則每月多售出100個(gè).當(dāng)

該商品的小價(jià)定為()元/個(gè)時(shí)，月利潤為9600元

A.32B.28C.32或36D.32或28

【答案】D

【解答】解：設(shè)銷售價(jià)應(yīng)定為每件x元，根據(jù)題意根據(jù)市場分析，每漲價(jià)I元，每月要少售出100個(gè)；

每降價(jià)1元，則每月多售出100個(gè)可得：

(x-20)[1000-100(x-30)]=9600,

整理得f-60x+896=0,

(x-32)(x-28)=0,

x=32或x=28,

答:該商品的售價(jià)定為32或28元/個(gè)時(shí),月利潤為9600元.

故選：

17.(2025秋?寶安區(qū)校級月考)在歐幾里得的《幾何原本》中提到，形如『+”=力2(〃>(),/,>())的方

程的圖解法是：如圖，以5和6為直角邊作Rt△48C,再在斜邊上截取CO=今則的長為所求方程

6

的正根.若關(guān)于X的一元二次方程/+加￥=225,CD：力0=8：9,那么〃?的值為（)

A.10B.16C.18D.20

【答案】B

【解答】解：由題意得可知，BC=CD=\,AB=>/225=15,

設(shè)CQ=C4=8y,貝IJ/1O=9y,

：,AC=CD+AD=\7yf

在RtZUB。中，由勾股定理得：BC2^AB2=AC2,

即（8y）2+匕2=（17y）2,

整理得：爐=1,

解得：刈=1,力=-1（不符合題意，舍去），

CQ=8y=8,

1

...56=8,

解得：〃?=16,

即m的彳電為16,

故選：B.

18.（2025秋?錦江區(qū)校級月考）為迎接師一學(xué)校第二十六屆運(yùn)動會，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一款紀(jì)念版吉祥物.某

商店該吉祥物的售價(jià)為64元/人，為了促銷，商店決定進(jìn)行兩次降價(jià)調(diào)整，最終售價(jià)為49元/個(gè)，每天能

售出50個(gè).

（1）求該吉祥物兩次降價(jià)的平均百分率；

（2）若該吉祥物每個(gè)的成本價(jià)為2（）元，臨近運(yùn)動會，為了減少庫存，決定再次進(jìn)行降價(jià)箱售，經(jīng)調(diào)查

發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)2元，每天可多售20件，若每天利潤為2730元，則每件降價(jià)多少元？

【答案】（I）該吉祥物兩次降價(jià)的平均百分率為12.5%；

（2）每個(gè)降價(jià)16元.

【解答】解：（1）設(shè)每次降價(jià)的百分率為工，

由題意列一元二次方程得：64（1-x）2=49,

整埋得，64.V2-128.V-15=0,

7

解得：X]=0.125=12.5%,x2=1.875(不合題意，舍去)，

答：該吉祥物兩次降價(jià)的平均百分率為12.5%；

(2)設(shè)每個(gè)商品應(yīng)降價(jià)y元，

由題意列一元二次方程得：

20

<49-y-20)(50+—y)=2730,

解得為=8,歹2=16,

為了減少庫存，應(yīng)取y=l6,

答：每個(gè)降價(jià)16元.

六.配方法的應(yīng)用(共5小題)

19.(2025春?東臺市期中)已知實(shí)數(shù)〃?，〃滿足m-“2=2,則代數(shù)式層+2〃2+羯-3的最小值等于()

A.9B.6C.-8D.-16

【答案】A

【解答】解：??"L〃2=2,

2>0,w>2,

w2+2/r+4/?-3

=m2+2m-4+4,n-3

=m2+6fn+9-16

=(w+3)2-16,

則代數(shù)式序+2〃2+4/〃-3的最小值等于(2+3)2-16=9.

故選:A.

20.(2025春?濱湖區(qū)期中)已知x2■的+2爐?6尸>9=0,求的值為()

A.3B.6C.9D.27

【答案】D

【解答】解：由題意，???x2-2x;v+2爐-6盧9=(),

：.x2-Ixy+^+y2-6y+9=0.

:.(x-y)2+(y-3)2=0.

???x-y=0,y-3=0.

^?x=y=3?

3

：.Xy=3=27.

8

故選：D.

21.(2025春?碑林區(qū)校級期中)已知x=4a2+4a/rH4,y=b2-6b-12a,則x+y的最小值是()

A.14B.5C.9D.不存在

【答案】B

【解答】解：根據(jù)題意得：x+y=4a2+4ab+\4+b2-6b-\2a

=(4a2+4ab+b2)-6(b+2a)+14

=[(2a+b)2-6(力+2。)+9]+5

=(2。+〃-3)2+5.

V(29-3)2>0,

?'?x+y的最小值是5.

故選:B.

22.(2025春?大豐區(qū)期中)設(shè)”=4〃2?4“+3,N=3〃2?1.其中〃為實(shí)數(shù),則，“與N的大小關(guān)系是()

A.\f>NB.M>NC.M<ND.M=N

【答案】A

【解答】解：???M-N=4『-4a+3-(3a2-1)

—cr-4a+4

=(4-2)2>0,

:,卜色N,

故選:A.

23.(2024春?廣陵區(qū)期中)若M=25+x,N=x2-3x-2,則”與N的大小關(guān)系為()

A.M>NB.M=.VC.M<ND.無法確定

【答案】。

【解答】解：由題意，作差：A/-N=(2X2+X)-(--3X-2)

一/十4x+2

=(x+2)2-2.

令A(yù)/-N=0,

J(x+2)2-2=0.

:?x=-2士企.

考查函數(shù)曠=(x+2)2-2,

V?=l>0,

9

???當(dāng)xV2一&或x>2+其時(shí)，y>0；

當(dāng)x=-2士&時(shí)，y=0；

當(dāng)2-&<xV2+四時(shí)，yVO.

???當(dāng)xV2-?或x>2+VI時(shí)，A/>N：

當(dāng)x=-2土魚時(shí)，M=N；

當(dāng)2-7IVXV2+0時(shí)，MVN.

故選：￡）.

七.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

24.（2025?谷城縣一模）如圖，效物線j，=a/+bx+c的對稱軸是直線x=l,下列結(jié)論，正確的有（）

①abc>0；

②2a+〃=0；

③*~4所>0：

④a-Z?+c>0.

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【解答】解：①根據(jù)拋物線的對稱軸位于y軸右側(cè)知：。、異號，則R）V0.

由拋物線與y軸交于正半軸，則c>（）.

所以abc<0.

故該結(jié)論錯誤；

b

②由該拋物線的對稱軸是直線X=1知，1=一廠=1，則2m

乙（X

故該結(jié)論正確；

③由該拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)知：b=P-4ac>0.

故該結(jié)論正確；

10

④根據(jù)圖示知：當(dāng)x=-1時(shí)，y>0,貝|Ja-b+c>0.

故該結(jié)論正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有3個(gè).

故選：B.

25.（2024秋?棗陽市期末）對稱軸為直線x=l的拋物線》=於2+區(qū)+《（”，b,。為常數(shù)，且。#））如圖所

示，小明同學(xué)得出了以卜結(jié)論：①。%?>0,②房>4",③4a+2Hc>0,④3a+c>0,⑤當(dāng)xV-1時(shí)，y

殖x的增大而減小.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

【答案】C

【解答】解：①由圖象可知：<?>（）,c<0,

:.b=-2a<（）f

:?abc>0,故①正確，符合題意；

②由題意可得：b2-4ac>0,

：.b2>4ac,故②符合題意：

③當(dāng)x=0和x=2時(shí)函數(shù)值相等，都小于0,

.\y=4a+2b+c<0,故③不符合題意；

④當(dāng)x=-1時(shí)，-力+e=a-（-2a）+c>0?

.??3a+c>0,故④符合題意；

⑤由圖象可知，當(dāng)x<-1時(shí)，y隨x的增大而減小，故⑤符合題意.

故選：C.

11

26.（2024秋?鄲城縣期末）如圖，己知二次函數(shù)丁=?！?及+。la,b,c是常數(shù)且存0）的圖象關(guān)于直線》=

1對稱，則下列四個(gè)結(jié)論：①2。+/?=0：②%>0；③5a+什c>0；④若存1,則a（.k2-1）+b（k-1）>

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【解答】解：由圖象可知，拋物線的開口向上，對稱軸為直線x=—白=1,與卜軸交于負(fù)半軸，

Aa>0,b=-2a<0,c<0,

：.2a+b=0,ahc>0,故①②止確；

由圖象可知：當(dāng)x=-l時(shí)，?-6+c>0,

/.a+b~2方+c>0,

":b=-2a,

/.a+b-2b+c=a+Z?+4a+c=5a+6+c>0；故③正口角：

???拋物線的開口向上，對稱軸為直線x=l,

???當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)值最小為"b+a

當(dāng)x=￡（后1）時(shí)，y=ak2+bk^c>a+b+c,

ak2-a+bk-b>0,

??a（A2-1）+b（Zr-1）>0；故④正確；

故選：O.

27.（2025秋?朝陽區(qū)校級月考）已知二次函數(shù)^=0？+小。（存0）的圖象如圖，有下列結(jié)論：①%>0；

②人2%ac；③9a+3方+c>0；④2a+b=（）；⑤3"+cV0.正確的結(jié)論是①④⑤（填序號）.

12

【答案】①④?.

【解答】解—：由于拋物線的開口向上，則。>0,由于拋物線的對稱軸在卜軸右邊，則a、b異號，所以b

<0,由于拋物線與y軸的交點(diǎn)在歹軸負(fù)半軸，則cVO,故而c>0,故①正確；

由于拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則方2-4℃>0,所以廬>4〃c,故②錯誤；

當(dāng)x=3時(shí)，y=9a+3b+c<0,故③錯誤；

b___

因?yàn)閷ΨQ軸為X=—丁=1,則/>=2a,所以2alz>=（）,故④正確；

2a

當(dāng).丫=-1時(shí)，y=a-b+c<0,貝！1a+2a+c<Q,即3a+c<（）?故⑤正確；

故答案為：①?⑤.

八.二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共5小題）

28.（2025?晉中二模）若點(diǎn)力（-1,刃）,B（2,y3>，C（3,乃）都在二次函數(shù)y=?-4x-〃的圖象上,

則歹1，N2，V3的大小關(guān)系是（）

A.y\<yi<yyB.y3<yi<y\C.為〈刈〈以D.y2<y3<y]

【答案】。

【解答】解：Vy=x2-4x-n,

???拋物線的開口向上，對稱軸為直線％=—三=2,

???拋物線上的點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，

V|-1-2|>|3-2|>|2-2|,

??少2勺3〈刃；

故選：D.

29.（2024秋?勉縣校級期末）拋物線y=2（x-1）2+°過（-2,,（0,九），A，為）三點(diǎn)，則

為，》2，為大小關(guān)系是（）

A.以>力>刈B.y\>V2>yyC.y2>y\>nD.刈>為>歹2

【答案】D

【解答】解：拋物線y=2（x-1）2+。的開口向上，對稱軸是直線x=l,當(dāng)xVl時(shí)，y隨x的增大而減

小，

??,點(diǎn)（-2,刃）、（0,力）、（5,V3）是拋物線尸2（x-1）2+c上的三點(diǎn)，

5…1

，點(diǎn)（5，乃）關(guān)于對稱軸x=l的對稱點(diǎn)是（一予心），

13

1

V-2＜-r＜0,

乙

，月＞為＞及，

故選：D.

2

30.(2024秋?萊陽市期末)設(shè)函數(shù)yi=—。一機(jī))2,y2=-(x-n),直線x=l與函數(shù)y，龍的圖象分別

交于點(diǎn)4(1,〃]),8(1,Q2)，得()

A.若則B.若則。[＜。2

C.若加V1V“，貝D.若則

【答案】B

【解答】解：如圖所示，若lVm〈，i,則卬＞。2，

故力不符合題意；

如圖所示，若〃1V1V〃,則。]＞刀2或4]V、2,

故選：B.

31.（2025?廣州校級模擬）已知點(diǎn)月（X,,乃），B（》2,及）是二次函數(shù)y=/-6+c的圖象上任意兩點(diǎn),

設(shè)M-xi=Z,若當(dāng)-2Vxi<2且-1VZ>V4時(shí)，都有及>力，則/的取值范圍是（）

A.Y-4或>7B./<-5或/>8

C.1V-5或>7D.TV-4或>8

【答案】B

【解答】解：???二次函數(shù)y=x2-加+如

—bb

???圖象開口向上，對稱軸為直線工=一4=5，

ZXA乙

V-1<6<4,

15

1b

—-<―<2

22

*.*X2-X|=/,-2<xi<2,

A/-2<X2</+2,

-4+工2<什4,

???點(diǎn)/5,J”），B（X2,及）是二次函數(shù)y=x2-bx+c的圖象上任意兩點(diǎn)，設(shè)/-.盯一，若當(dāng)-2<修<

2且-IV8<4時(shí)，都有為>為，

X1+X2

?,?當(dāng)」時(shí),點(diǎn)/（，為），（）的中點(diǎn)在對稱軸的右側(cè)，則—即修+必>%

>0X2>X],XIBX2,.2乙>2,

?./-4>4,

X1+X21

當(dāng)/<（）時(shí)，/〈修，點(diǎn)、4（修，力），B（X2,J，2）的中點(diǎn)在對稱軸的左側(cè)，則一下一〈一5，即町+'2<

-1.

A/+4<-1,

/./<-5,

綜上，/的取值范圍是V?5或>8,

故選:B.

32.（2025?費(fèi)縣二模）已知二次函數(shù)》=-〃后+2（〃]+1）/3的圖象上有四個(gè)點(diǎn)：A（a,p）,B（b,

p）,C（C,q）,D（d,夕），其中.〈夕，下列結(jié)論一定不正確的是（）

A.若則a+6+c+d>0B.若/則dVaV/jVc

C.若，〃<-1,Ma+b+c+d>0D.若〃】<-1,則cVbVqVd

【答案】D

2（m4-l）m+l

【解答】解：由解析式可知拋物線對稱軸為直線％=—一4"^=——，

—Zmm

當(dāng)〃?>1時(shí)，則-加V0,

???函數(shù)的圖象開口向下，

m+l

???---->0,

m

此時(shí)對稱軸在工軸的正半軸，拋物線的開口方向向下，

???越靠近對稱軸的x所對應(yīng)的函數(shù)值越大，

A（a,p）,B（h,p）,C（e,q）>D（d,q）>

：?點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對稱軸對稱，點(diǎn)。與點(diǎn)力關(guān)于對稱軸對稱,

16

a+bc+d

A-r->0,-y>0,

a+bc+d

—+—>0>

即a+b+c+d>0,故A選項(xiàng)不符合題意;

由條件可知d〈a〈b〈c或d<b<a<c或c〈b<a〈d或c<a<b<d,

故8選項(xiàng)不符合題意;

當(dāng)m<?1時(shí)，貝I]0>w+l,

m+1

------>0,

m

此時(shí)對稱軸在x軸的正半軸，拋物線的開口方向向上,

??.越靠近對稱軸的x所對應(yīng)的函數(shù)值越小,

由條件可知點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對稱軸對稱，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于對稱軸對稱,

a+bc+d

-^->0,—z->0,

a+bc+d

亍+丁>°,

即a+b+c+d>(),故C選項(xiàng)不符合題意;

?：p〈q,越靠近對稱軸的式所對應(yīng)的函數(shù)值越小，

.\a<d<c<b或a<c<d<b或b<c<d<a或b<d<c<ch

故。選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

九.二次函數(shù)的最值

33.(2024秋?納溪區(qū)期末)已知二次函數(shù)〃的圖象經(jīng)過點(diǎn)/(-3,0),當(dāng)-3W爛0時(shí)，y的最

小值為-4,則〃?的值為()

5

A.-2或10B.10或2C.2D.-

【答案】C

【解答】解：???二次函數(shù)〃的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(-3,0),

代入，得0=9-3〃?+“，即3m-9=〃，

bm

二次函數(shù)x寸稱軸為直線.V=--=-y,

然后分情況討論：

m

①對稱軸為直線x=-3■工一3,即“26,

17

此時(shí)在-3*0上，y隨x的增大而增大，

???當(dāng)x=-3時(shí)，y有最小值0,不符合題意，舍去；

mm

②對稱軸為直線工=一；■滿足-3<—弓<0時(shí)，即0</n<6,

此時(shí)二次函數(shù)的頂點(diǎn)在?3/0范圍內(nèi)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為最小值?4,

4ac—b2

二次函數(shù)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)公式為y=———,將。=1,b=m,c=3"i-9代入，

可得（〃「2）（w-10）=0,

解得〃？=2或〃？=10,

：0VmV6,

/?m=2；

m

③對稱軸為直線X=-y>0,即"&）,

此時(shí)在-34WO卜j隨x的增大而減小，

:.當(dāng)x=0時(shí)，v有最小值3m-9,

5

令3m-9=4,解得〃?=鼻，不符合題意，舍去；

故答案為”=2,

故選：C.

34.（2024秋?昭通期末）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)y=x2+4x+2的最小值為-1,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.-5B.-1C.-5或7D.-3或?1

【答案】C

【解答】解：當(dāng)。心。+2時(shí)，二次函數(shù)y=/+4x+2的最小值為-1,

當(dāng)^=-1時(shí)，有/+4x+2=-I,

/.X]=-1>12=-3.

*：y=x2+4x+2=（x+2）2-2,

???拋物線開口向上，對稱軸為直線x=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（?2,-2）,

當(dāng)xV?2時(shí)，y隨x的增大而減少，當(dāng)x>-2時(shí)，y隨x的增大而增大，

???當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值-1,

若-2V03+2時(shí)，當(dāng)時(shí)，y的最小值是-1,

??a--1；

若a<^<a+2<-2時(shí)，當(dāng)x=a+2時(shí)，y的最小值是-1,

18

a+2=-3,

a=-5,

故選：C.

35.(2025?連州市三模)已知二次函數(shù)曠=m0+2〃d+1(〃?￥0)在-2人2時(shí)有最小值-4,則用等于()

555

A.5B.-5或三C.5或一6D.-5或一三

OOO

【答案】C

【解答】解：二次函數(shù)？=〃涓+2加r+1=/〃(x+1)2-rn+1,

???對稱軸為直線x=-1，

①加>0,拋物線開口向上，

x=-1時(shí)，有最小值卜=■陽+1=-4,

解得：〃?=5；

②加V0,拋物線開口向卜，

對稱軸為直線x=-1,在-2至2時(shí)有最小值-4,

.*.x=2時(shí)，有最小值y=4/〃+4"?+l=-4,

5

解得：〃？=~

O

故選：C.

36.(2025?新城區(qū)三模)己知二次函數(shù)y=?，+4x+9在隹於什2的范圍內(nèi)的最大值為4,則實(shí)數(shù)/的值為

()

A.-1或5B.-3或5C.-1或7D.-3或7

【答案】B

【解答】解：???將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式可得：y=-、2+4升9=-(x-2)2+13,

???拋物線的開口向下，對稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,13),為最高點(diǎn)，

①當(dāng)爛2時(shí)，拋物線隨x的增大而增大，

???當(dāng)x=/+2W2,即W0,函數(shù)有最大值4,

:.-(t+2)2+4(/+2)+9=4,

???尸土3,

V/<0,

t=-3；

②當(dāng)x>2時(shí)，拋物線隨x的增大而減小,

19

???當(dāng)）=侖2時(shí)，即函數(shù)有最大值4,

:.-Z2+4/+9=4,

z=-1,

???史2,

??/=5；

故選：B.

十.拋物線與x軸的交點(diǎn)

37.（2025?威海一模）如圖，拋物線y=-?+力+川與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為修，必（xi〈X2）.拋物線y=

-『+'.什〃與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為右，M（X3<X4）.已知0<〃7<〃，則下列結(jié)論正確的是（）

C.X]Vx2Vx3Vx4D.X1<X3<X4<X2

【答案】B

【解答】解：由題意可知，拋物線y=?9+川+川與工軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（川，0）,（》2,0）,拋物線y=

-F+px+m與直線-〃的交點(diǎn)坐標(biāo)為（.口，m-n）,（必，〃），

V0<w</?,

??m-n<0,

，直線y=〃?-〃與y軸交于負(fù)半軸,

如圖所示，

故選:故

20

38.（2024秋?江陽區(qū)校級期末）己知拋物線丁="2_5d+4a（#0）不經(jīng)過第二象限，與x軸交于力，4兩

點(diǎn),其頂點(diǎn)C.這條拋物線關(guān)于x軸對稱的拋物線頂點(diǎn)為。，若四邊形ZC8C是正方形，則a的值為（）

32322

A.--B.--C.-D.石或一金

【答案】B

【解答】解：???、=。/-5。%+4。=研％—搟）一產(chǎn)

59

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（5，-不0，

???拋物線丁=/-53+4。不經(jīng)過第二象限，與x軸交于4B兩點(diǎn),其頂點(diǎn)為C,

???〃V0,頂點(diǎn)在x軸上方，

99

/.CC'=2x（——a）=——a,

把y=0代入-5ax+4a可得：ax2-5or+4a=0,

解得用=1，X2=4,

：.A8=4-1=3,

V四邊形4C8C是正方形，

：.AB=CC\

9

--ra=3,

乙

2

…一1

故選:B.

39.（2025秋?海安市月考）已婦拋物線y=（x-勺）（x-x2）+1（勺〈工2），拋物線與x軸交于（加，

0）,（?,0）兩點(diǎn)（???</?）,則〃7,”，Xl，X2的大小關(guān)系是（）

A.WZ<XJ<X2<HB.m<x\<X2<-n

C.W<X1<7Z<X2D.x\<m<X2<n

【答案】A

【解答】解：拋物線y=（x-xi）（x-x2）+1（x1Vx2），拋物線與x軸交于（m,0）,（〃，0）兩點(diǎn),

設(shè)了=（X-X1）（X-X2），則X］、工2是函數(shù)V,和X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),

而>?=（X-X|）（X-X2）+1=/+1?

即函數(shù)），'向上平移1個(gè)單位得到函數(shù)y，

21

故選:A.

十一.垂徑定理

40.（2025秋?秦淮區(qū)校級月考）在RtA/18。中，ZC=90°,BC=3,川?=5,。、E分別是WC、8C上的

一點(diǎn)，且?！?3,若以。七為直徑的圓與斜邊力4相交于M、N,則的最大值為（）

【答案】D

【解答】解：如圖，設(shè)?！辍龅闹悬c(diǎn)為O,連接CO并延長交力8于點(diǎn)片連接ON,

???QE為直徑，且。E=3,

13

：,OC=ON=-DE=-,

當(dāng)。/_1_力8時(shí)，CF最小,則弦心距。尸最小，此時(shí)弦MN的值最大，

在RtAJ8C中，ZC=90°,BC=3,48=5,

：.AC=y/AB2-BC2=V52-32=4,

11BCAC3x412

由=-AB?CF=-BC-AC,得。尸==7-=

乙Z/\D□O

9

：.OF=CF-OC=~,

22

:?NF=7ON?-0F2=J（|『一端）2=I，

■:CFLAB,

41.(2025?池州開學(xué))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)G(0,1)為圓心，半徑為2的圓與x軸交于力,

B兩點(diǎn)，與y軸交干。兩點(diǎn),點(diǎn)石為G)G卜一動點(diǎn)，CFUE千點(diǎn)F,則點(diǎn)E在G)G上運(yùn)動過程中,

C.炳+2D.V3+1

【答案】B

【解答】解：如圖，連接4C，過點(diǎn)G作GM_L4C于點(diǎn)"，連接4G.

GOLAB,

：,OA=OB.

23

在Rl△力GO中，AG=2OG,04=72-M=技

???ZGAO=30°,AB=2A0=273,ZJGO=60°.

由條件可知NGC4=NG4C.ZGCA=ZGAC=30°,

「1

：.AC=2A0=2V3,MG=-CG=1.

VCF±JE,

/.Z/IFC=90°,

點(diǎn)尸在以AC為直徑的。A/上運(yùn)動,

：,FM=V3.

當(dāng)點(diǎn)廠在A/G的延長線上時(shí)，WG的長最小，最小值為尸M-MG=d5-l.

故選:B.

十二.扇形面積的計(jì)