專題3.5函數(shù)的應(yīng)用（一）（舉一反三講義）

【人教A版】

題型歸納

【題型1一次函數(shù)模型的應(yīng)用】..................................................................1

【題型2二次函數(shù)模型的應(yīng)用】...................................................................4

【題型3鼎函數(shù)模型的應(yīng)用】.....................................................................6

【題型4分段函數(shù)模型的應(yīng)用】...................................................................8

【題型5分式型函數(shù)模型的應(yīng)用】................................................................11

【題型6“對(duì)勾”函數(shù)模型的應(yīng)用】................................................................15

【題型7函數(shù)模型的選擇問(wèn)題】..................................................................18

舉一反三

知識(shí)點(diǎn)1一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的應(yīng)用

1.實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)建模的基本步驟

⑴審題:弄清題意，分清條件和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型.

（2）建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的函數(shù)模型.

⑶求解:根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征正確求得函數(shù)模型的解.

（4）還原：應(yīng)用問(wèn)題不是單純的數(shù)學(xué)問(wèn)題，既要符合數(shù)學(xué)學(xué)科背景又要符合實(shí)際背景，因此解出的結(jié)果要代

入原問(wèn)題中進(jìn)行檢驗(yàn)、評(píng)判，最后得出結(jié)論，作出回答.

2.一次函數(shù)模型的應(yīng)用

一次函數(shù)模型：flx）=kx+b（k.b為常數(shù),后0）.

一次函數(shù)是常見(jiàn)的一種函數(shù)模型，在初中就已接觸過(guò).

3.二次函數(shù)模型的應(yīng)用

二次函數(shù)模型：f（x）=ax2+bx+c（a.b,c為常數(shù),點(diǎn)0）.

二次函數(shù)為生活中常見(jiàn)的一種數(shù)學(xué)模型，因二次函數(shù)可求其最大值（或最小值），故最優(yōu)、最省等最值問(wèn)題常

用到二次函數(shù)模型.

【題型1一次函數(shù)模型的應(yīng)用】

【例1】（24-25高一上?北京?期中）果蔬批發(fā)市場(chǎng)批發(fā)某種水果，不少于100千克時(shí)，批發(fā)價(jià)為每千克2.5

元，小王攜帶現(xiàn)金3000元到市場(chǎng)采購(gòu)這種水果，并以此批發(fā)價(jià)買(mǎi)進(jìn)，如果購(gòu)買(mǎi)的水果為x千克，小王付款

后剩余現(xiàn)金為y元，則％與y之間的函數(shù)關(guān)系為（）

A.y=3000-100x（100<x<1200）

B.y=3000-lOOx（100<x<1200）

1/23

C.y=3000-2.5x(100<x<1200)

D.y=3000-2.5x(100<x<1200)

【答案】C

【解題思路】根據(jù)題意，直接列式，根據(jù)題意求x的最小值和最大值，得到x的取值范圍.

【解答過(guò)程】由題意可知函數(shù)關(guān)系式是y=3000-2.5x,

由題意可知最少買(mǎi)100千克，最多買(mǎi)竿=1200千克，所以函數(shù)的定義域是[100,1200].

故y=3000-2.5%：xG[100,12C0]

故選:C.

【變式1-1](24-25高一上?浙江?期中)網(wǎng)上購(gòu)物常常看到下面這樣一張表，第一行可以理解為腳的長(zhǎng)度,

第二行是我們習(xí)慣稱呼的“鞋號(hào)為了穿得舒適，鞋子不能擠腳，也不能過(guò)長(zhǎng).

SIZE尺碼對(duì)照表

中國(guó)鞋碼實(shí)際標(biāo)注

220225230235240245250255260265

(同國(guó)際碼)mm

中國(guó)鞋碼習(xí)慣叫法

34353637383940414243

(同歡碼)

?個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員的腳長(zhǎng)為282mm,則從表格數(shù)據(jù)可以推算出，他最適合穿的鞋號(hào)是()

A.45B.46C.47D.48

【答案】C

【解題思路】設(shè)出一次函數(shù)y=/cx+b,采用待定系數(shù)法求出k/,令y=282即可求解.

【解答過(guò)程】設(shè)腳長(zhǎng)為ymm,鞋號(hào)為%碼，由數(shù)據(jù)可知，腳長(zhǎng)和鞋號(hào)符合一次函數(shù)關(guān)系：y=kx+b,將

(34,220),(35,225)代入可得y=5r+50,當(dāng)y=282時(shí)，x=46.4,故他最適合穿的鞋號(hào)是47碼.

故選：C.

【變式1-2](24-25高一上?湖北武漢?期中)從裝滿10升純酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水將容器加

滿，再倒出2升酒精溶液，再用水將容器加滿，照這樣的方法繼續(xù)下去，設(shè)倒完第k次后，前上次共倒出純

酒精工升，倒完第九+1次后，前R+1次共倒出純酒精/■(%)升，則/'(X)的解析式是()

A./(x)=-(x+2)B./(%)=]+2

41

c.f(x)=5^+2D./(x)=-x

2/23

【答案】C

【解題思路】求出第k次倒出酒精后容器中含純酒精的質(zhì)量，然后可得第Z+1次倒出的純酒精的質(zhì)量，然后

可得倒k+1次共倒出的純酒精.

【解答過(guò)程】???第k次時(shí)共倒出了純酒精“升，

??悌k次倒出后容器中含純酒精力（10-%）升

第k+1次倒出的純酒精是等-2升

所以倒出第k+1次時(shí)，共倒出了純酒精/（乃=%+甯?2=（戈+2

故選：C.

【變式1-3]（2025高一?全國(guó)?專題練習(xí)）南通至通州的某條公共汽車線路收支差額y與乘客量上的函數(shù)關(guān)系

如圖所示（收支差額=車票收入-支出費(fèi)用）.由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩條建議：

建議（I）不改變車票價(jià)格，減少支出費(fèi)用；建議（II）不改變支出費(fèi)用，提高車票價(jià)格.下面給出的四個(gè)

C.①反映了建議（I）,③反映了建議（II）

D.④反映了建議（I）,②反映了建議（II）

【答案】C

【解題思路】根據(jù)題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)判斷不同方案下參數(shù)的變化對(duì)圖象的影響，即可確定正確選項(xiàng).

【解答過(guò)程】設(shè)目前車票價(jià)格為的，支出費(fèi)用為仇，貝。=的％-瓦，

對(duì)于建議（I），設(shè)建議后的支出先用為西（b2<bt）,則丫=用％-82，

顯然建議后，直線斜率不變，在J軸上的截距變大，故圖象①反映了建議（I）；

對(duì)于建議（II）,設(shè)建議后的車票價(jià)格為七（七>的），則y=^x—bi，

顯然建議后，直線斜率變大，在j軸上的截距不變，故圖象③反映了建議（II）.

故選：C.

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【題型2二次函數(shù)模型的應(yīng)用】

【例2】（24-25高一上?遼寧大連?期末）從甲地到乙地的距離為240km,經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)得到一輛汽車每小時(shí)

耗油量Q（單位：L）與速度V（單位：km/h）（0WVW120）的關(guān)系式為Q=0.0000262_0.00416V2+

0.291475V,從甲地到乙地這輛車的總耗油最少時(shí)，其速度V為（）

A.60B.80C.100D.110

【答案】B

【解題思路】根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系，即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

【解答過(guò)程】由題意可得總耗油量為/'（V）=（2竿=（0.000026V3-0.00416V2+0.2914757）^=

240（0.000026V2-0.00416V+0.291475）,

由于/1（V）為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為-7■需看=80G（0420）

ZXU.UUZoXZ

故速度為80km/h時(shí)，總耗油量最小，

故選：B.

【變式2-1］（24-25高一上?四川南充?開(kāi)學(xué)考試）如圖，用一段長(zhǎng)為120米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠堵的矩形

菜園，己知墻長(zhǎng)80米，則菜園面積的最大值為（）平方米.

/〃///////////////〃//

A.1800B.1750C.1700D.1600

【答案】A

【解題思路】設(shè)8c長(zhǎng)為x米，利用面積公式求出菜園面積，將二次函數(shù)的解析式化成頂點(diǎn)式，結(jié)合圖像開(kāi)

口方向以及x的取值范圍即可確定面積的最大值.

【解答過(guò)程】

D

81---------------]C

設(shè)BC長(zhǎng)為x米，：,AB=CD=1(120-x),

由矩形的面積公式得：y=AB-BC=1(120-x)x=-1x2+60%,

4/23

與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-1必+60x,0<x<80；

y=-1x2+60x=一；(X-60)2+1800,

V-i<0,拋物線開(kāi)II向下，對(duì)稱軸為直線％=60,

???當(dāng)x=60時(shí)，y有最大值，最大值為1800平方米.

故選：A.

【變式2-2](24-25高一上?吉林長(zhǎng)春?期末)某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬(wàn)元/

輛，出廠價(jià)為1.2萬(wàn)元/輛，年銷售量為10000輛，本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃適度增加投入成本，提高

產(chǎn)品的檔次.若每輛車投入成本增加的比例為％(0V%V1)，則出廠價(jià)相應(yīng)的提高比例為0.75,同時(shí)預(yù)計(jì)年

銷售量增加的比例為0.6工

(1)寫(xiě)出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例》的關(guān)系式；

(2)投入成本增加的比例多大時(shí)，本年度預(yù)計(jì)的年利澗最大？最大值是多少？

【答案】(l)y=200(-3%2+%+10),0V1

(2)投入成本增加的比例為;時(shí)，本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)最大，最大值是等萬(wàn)元

65

【解題思路】(1)根據(jù)“年利潤(rùn)=(出廠價(jià)一投入成本)X銷售量”公式即可求得解析式；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出最大值.

【解答過(guò)程】(1)y=[1.2(1+0.75x)-(14-x)]x10000(1+0.6%)=200(-3x2+x+10),0<x<1.

(2)函數(shù)丫=200(-3%2+%+10)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線“

6

.??當(dāng)”加，y取得最大值等.

???投入成本增加的比例為:時(shí)，本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)最大，最大值是絲盧萬(wàn)元.

【變式2-3](24-25高一上?浙江?階段練習(xí))臨近新年，車?yán)遄?、榴槌等高檔水果受到人們青睞.老張水果店

瞄準(zhǔn)商機(jī)，準(zhǔn)備新進(jìn)一大批車?yán)遄觼?lái)滿足市場(chǎng)需求，同時(shí)為提高銷售量，老張水果店特準(zhǔn)備舉辦一場(chǎng)車?yán)?/p>

子促銷活動(dòng).據(jù)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每斤車?yán)遄拥氖蹆r(jià)定為%元時(shí)，銷售量為(120-0.8%)斤.現(xiàn)批發(fā)商為配合老

張水果店的活動(dòng)，將供貨價(jià)格分為固定價(jià)格與浮動(dòng)價(jià)格兩部分，即：供貨價(jià)格=固定價(jià)格+浮動(dòng)價(jià)格，其

中固定價(jià)格為50元/斤，浮動(dòng)價(jià)格(單位：元)與銷售量(單位：斤)成反比，比例系數(shù)為20.

(1)試將總利潤(rùn)y表示成關(guān)于％的函數(shù)：

(2)當(dāng)每斤車?yán)遄邮蹆r(jià)定為多少時(shí)，總利潤(rùn)最大，為多少？

【答案】(l)y=0.8/?160%6020(SOVxV150).

5/23

(2)10()元，1980元.

【解題思路】(1)由每斤車?yán)遄拥氖蹆r(jià)定為4元時(shí)，銷售量為(120-0.8%)斤和供貨價(jià)格=固定價(jià)格+浮動(dòng)

價(jià)格求解；

(2)由(1)的結(jié)論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

【解答過(guò)程】(1)解：設(shè)每斤車?yán)遄拥氖蹆r(jià)定為x元時(shí)，總利潤(rùn)為y,

■(120—0.8x>0,z?_..

叫x>50,得SA0v*vl1,0A,

/20\、

y=x-50--—―xz(120-0.8x)

)\120-0.8%/

=-0.8x2+160%-6020(50<A<ISO).

(2)總利潤(rùn)y=(x-50-—^—)x(120-0.8x),

\IZU-U.oX/

=-0.8x2+160x—6020,

所以當(dāng)售價(jià)％=-100元時(shí)，總利潤(rùn)y達(dá)到最大：

總利潤(rùn)y=-0.8x(1002)+160x100-6020=1980元，

即每斤車?yán)遄邮蹆r(jià)定為100元時(shí)，車?yán)遄涌偫麧?rùn)最大，為1980元.

知識(shí)點(diǎn)2黑函數(shù)模型的應(yīng)用

1.器函數(shù)模型的應(yīng)用

昂函數(shù)模型應(yīng)用的求解策略：

(1)給出含參數(shù)的困數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，確定函數(shù)關(guān)系式.

(2)根據(jù)題意，直接列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

【題型3幕函數(shù)模型的應(yīng)用】

【例3】(24-25高一上?湖北荊州?期中)為響應(yīng)國(guó)家退耕還林的號(hào)召，某地的耕地面積在最近50年內(nèi)減少

了20%,如果按照此規(guī)律，設(shè)2024年的耕地面積為〃?，則2029年的耕地面積為()

A.(1-O.225o)mB.(1-0.8^)m

C.0.8250mD.0.8宗m

【答案】D

【解題思路】設(shè)某地的耕地面積每年減少匕依題列出方程(1-x)50=1-20%,再進(jìn)行整體代入巾(1-x)5,

即得2029年的耕地面積.

【解答過(guò)程】設(shè)某地的耕地面積每年減少工,因在最近50年內(nèi)減少了20%,則有(1-乃5。=1-20%,

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故（1-%）5=0.810,

由題意，2029年的耕地面積為771（1-X）5,即0.8m771.

故選：D.

【變式3-1]（2025?廣西?模擬預(yù)測(cè)）異速生長(zhǎng)規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通

常以幕函數(shù)形式表示.比如，某類動(dòng)物的新陳代謝率y與其體重又滿足y=其中k和a為正常數(shù)，該類動(dòng)

物某一個(gè)體在生長(zhǎng)發(fā)育過(guò)程中，其體重增長(zhǎng)到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍,

則a為（）

A1B-c-n-

'4"2'3*4

【答案】D

【解題思路】初始狀態(tài)設(shè)為（與,力），變化后為。2，力），根據(jù)修,必，力,力的關(guān)系代入后可求解.

【解答過(guò)程】設(shè)初始狀態(tài)為（％1，月），則工2=16小，y2=Oyi?

a

又力=kx^,y2=k球，即8yl=/c（16x1）=k?16或以,

也=1^2,16a=8,24a=23,4a=3,a=

yikxf4

故選：D.

【變式3-2]（24-25高一上?青海西寧?期末）為了預(yù)防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過(guò)程中都需

要對(duì)文件加密，有一種加密密鑰密眄系統(tǒng)（PrivateKeyCryptosystem）,其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文

―密文（加密），接收方由密文一明文.現(xiàn)在加密密鑰為、=kR,如“4”通過(guò)加密后得到密文“2”，若接受

方接到密文“與”，則解密后得到的明文是（）

/5b

A.|B.：C.2D.之

【答案】A

【解題思路】根據(jù)題意中給出的解'密密鑰為y=k爐，利用其加密、解密原理，

求出k的值，解方程即可求解.

【解答過(guò)程】由題可知加密密鑰為y=k%3,

由己知可得，當(dāng)％=4時(shí)，y=2,

所以2=kx43,解得k=^=*

故，'=卷好,顯然令、=意即全=浜3,

7/23

解得爐=[,即“"

故選：A.

【變式3?3】（25?26高一上?全國(guó)?單元測(cè)試）遺忘曲線（又稱“艾賓浩斯遺忘曲線”）是由德國(guó)心理學(xué)家艾賓

浩斯（H.Ebbinghaus）研究發(fā)現(xiàn)，描述了人類大腦對(duì)新事物遺忘的規(guī)律.陳同學(xué)利用信息技術(shù)擬合了“艾賓

浩斯遺忘曲線”，得到記憶率p與初次記憶經(jīng)過(guò)的時(shí)間x（單位：時(shí)）的大致關(guān)系：y=1-O,6x006,若陳同

學(xué)需要在明天15：00考語(yǔ)文時(shí)擁有梵月背誦記憶的42%,則他明天復(fù):月背誦的時(shí)間需大約在（）參考數(shù)

zix0.06zo\0.06

據(jù)：、09593（0?1.025,2006?1.0425.

A.14：30B.14：00C.13：30D.13：00

【答案】A

【解題思路】利用函數(shù)模型求出需要記憶的時(shí)間，即可推斷出考前復(fù)習(xí)背誦的時(shí)間在幾點(diǎn)開(kāi)始.

【解答過(guò)程】令1一0.6m°6=0.42,則%也。6￡2?0.97.

=*JV

/<\0.06zo\0.06

???6）=0.9593,=1.025,2006?1.0425,

???%的估計(jì)值可取0.5,即他復(fù)習(xí)背誦的時(shí)間需大約在14:30.

故選:A.

知識(shí)點(diǎn)3分段函數(shù)模型的應(yīng)用

1.分段函數(shù)模型的應(yīng)用

由于分段函數(shù)在不同區(qū)間上具有不同的解析式,因此分段函數(shù)在研究條件變化前后的實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛

的應(yīng)用.

【題型4分段函數(shù)模型的應(yīng)用】

【例4】（24-25高二下?北京朝陽(yáng)?期末）某研究所開(kāi)發(fā)一種新藥，據(jù)監(jiān)測(cè)，一次性服藥t（0WtW12）小時(shí)后

每毫升血液中的含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間近似滿足圖中所示的曲線關(guān)系.據(jù)測(cè)定，每亳升血液

中含藥量不少于4亳克時(shí)治療疾病有效，則12小時(shí)內(nèi)藥物在體內(nèi)對(duì)治療疾病一直有效所持續(xù)的時(shí)長(zhǎng)為（）

【答案】A

【解題思路】首先求出函數(shù)解析式，再令yN4求出相應(yīng)的￡的取值范圍，即可得解.

8/23

【解答過(guò)程】當(dāng)0工tW3時(shí)?，則y=1t=2t,

當(dāng)3VCW12時(shí)，設(shè)函數(shù)為、="+b,

2

將（3,6）,（12,0）代入可得｛:二普;1，解得"二石，所以y=—|t+8,

\b=3

一2t,0<t<3

所以y=_：t+8,3VY12'

3

要使y叁4,則fC'或卜尹，"，解得2MtM3或3VtM6,

綜上所述：2<t<6,

所以有效所持續(xù)的時(shí)長(zhǎng)為6-2=4個(gè)小時(shí).

故選：A.

【變式4?1】（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）某重裝企業(yè)的裝配分廠舉行裝配工人技術(shù)比賽，根據(jù)以往技術(shù)

-^=,n<M

資料統(tǒng)計(jì)，某工人裝配第〃件工件所用的時(shí)間（單位：分鐘）A”）大致服從的關(guān)系為/'5）=｛字（k,M

忌，"

為常數(shù)）.已知該工人裝配第9件工件用時(shí)20分鐘，裝配第M件工件用時(shí)12分鐘，那么可大致推出該工人裝

配第4件工件所用的時(shí)間是（）

A.40分鐘B.35分鐘

C.3（）分鐘D.25分鐘

【答案】C

【解題思路】由工人裝配第9件工件用時(shí)20分鐘，裝配第M件工件用時(shí)12分鐘，求得k=60..M=25,可

60

，代入〃=4即可求得答案.

｛12,n>25

【解答過(guò)程】由題意工人裝配笫9件工件用時(shí)20分鐘，裝配第M件工件用時(shí)12分鐘，

所以當(dāng)n=M時(shí),4==12,

當(dāng)九=9時(shí),親=20,解得A=60,M=25,

60

后”o2c5,

（12,n>25

因?yàn)閚=4<25,所以/（4）=,=30,

即可大致推出該工人裝配第4件工件所用的時(shí)間是30分鐘.

故選：C.

【變式4-2］（25-26高一上?湖南衡陽(yáng)?期末）某學(xué)習(xí)機(jī)公司生產(chǎn)學(xué)習(xí)機(jī)的年固定成本為20萬(wàn)元，每生產(chǎn)1

9/23

萬(wàn)部還需另投入16萬(wàn)元.設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)x萬(wàn)部并全部銷售完，每萬(wàn)部的銷售收入為R(x)

fa—4x,0<x<15

萬(wàn)元，且R(x)=5300b丫、.當(dāng)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)8萬(wàn)部并全部銷售完時(shí)，年利潤(rùn)為

XXL

1196萬(wàn)元；當(dāng)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)20萬(wàn)部并全部銷售完時(shí)，年利潤(rùn)為2960萬(wàn)元.

⑴求a,b；

(2)寫(xiě)出年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)部)的函數(shù)解析式;

(3)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)部時(shí)，公司在該款學(xué)習(xí)機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).

【答案】(l)a=200,/?=40000

f-4x2+184x-20,0<x<15

(2)IV=

16x4-5280,x>15

(3)當(dāng)年產(chǎn)量為50萬(wàn)部時(shí)所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為3680萬(wàn)元.

【解題思路】(1)根據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b的方程組求解出結(jié)果.

(2)根據(jù)利潤(rùn)的計(jì)算公式分別考慮當(dāng)0<%工15,%>15時(shí)W的解析式，由此可求解出結(jié)果.

(3)利用二次函數(shù)性質(zhì)分析0<xW15時(shí)的最大值，利用基本不等式分析15時(shí)的最大值，由此可確定

出結(jié)果.

8(a-32)-20-8x16=1196,?_

【解答過(guò)程】⑴依題意，20嚴(yán)一上)—20.20x16=296。，所以｛之；9溫nn?

,204007

(2)當(dāng)0<x工15時(shí)，W=xR(x)-(20+16%)=x(200-4x)-(20+16x)=-4x2+184%-20,

當(dāng)x>15時(shí)，W=x/?(x)-(204-16%)=x(專-1^)_QO+16%)=--16x+5280,

-4X2+184%-20,0<x<15

所以所求函數(shù)解析式為卬=

_40000_16x+5280,x>15,

(3)當(dāng)0<%W15時(shí)，W=-4x2+184x-20=-4(x-23)2+2096,

此時(shí)由二次函數(shù)單調(diào)性可知Wmax=W(15)=-4(15-23)2+2096=1840；

當(dāng)x>15時(shí)，W=-^^-16%+5280=-(16x+^^)+5280<-216x?+5280=3680,

XXVX

當(dāng)且僅當(dāng)16%=""，即％=50時(shí)取等號(hào),

因?yàn)?840<3680,

所以當(dāng)年產(chǎn)展為50萬(wàn)部時(shí)所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為3680萬(wàn)元.

【變式4-3](24?25高一上?貴州黔南?期末)在遼闊的中華大地匕農(nóng)村的醫(yī)療服務(wù)一直是國(guó)家關(guān)注的焦點(diǎn).

隨著時(shí)代的進(jìn)步和社會(huì)的發(fā)展，國(guó)家正致力于提高農(nóng)村醫(yī)療服務(wù)水平，以保障廣大農(nóng)民的健康權(quán)益.某公司

為了滿足市場(chǎng)需求，進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃自主研發(fā)新型基礎(chǔ)型C7機(jī).已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成

本為400萬(wàn)元，最大產(chǎn)能為200臺(tái).每生產(chǎn)x臺(tái)，需另投入成本G(x)萬(wàn)元，.且G(x)=

10/23

x2—2x,0<x<80

151%+典_620080V%V200.由市場(chǎng)調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺(tái)的售價(jià)為匕。萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品

當(dāng)年能全部銷售完.

(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)WQ)(單位：萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位：臺(tái))的函數(shù)解析式.(利潤(rùn)=銷售收入一成本)

(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，該公司所獲年利潤(rùn)WQ)最大？最大年利潤(rùn)是多少？

-x2+152x-400,0<x<80

【答案】(l)W(x)=r-需+5800,80<3200

(2)15()臺(tái)，5420萬(wàn)元

【解題思路】(1)根據(jù)投入成本及銷售收入寫(xiě)出利潤(rùn)函數(shù)即可；

(2)分段分別利用二次函數(shù)配方法和基本不等式求最值，再比較大小得解即可.

【解答過(guò)程】(1)當(dāng)0<%W80時(shí)，WM=150x-(x2-2x)-400=-x2+152x-400：

當(dāng)80cxM200時(shí)，WM=150x-(151x+-6200)-400

\x+80/

(-x2+152x-400,0<x<80

則W(x)=-x-筆+5800,80<x<200"

(2)當(dāng)0<無(wú)三80時(shí)，WM=-x2+152x-400=-(x-76)24-5376,

當(dāng)x=76時(shí),H/(￡)max=S376萬(wàn)元.

當(dāng)80<%W200時(shí)，WM=-(x+80++5880

\x+80/

<-2"F80)］空罌+5880=5420萬(wàn)元.

\x+80

當(dāng)且僅當(dāng)％+80=筆，即x=150時(shí)，上式等號(hào)成立.

又5420>5376,則當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為150臺(tái)時(shí),

該公司所獲年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)是5420萬(wàn)元.

【題型5分式型函數(shù)模型的應(yīng)用】

【例5】(24-25高一上?山東聊城?期中)某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)為19元/件的商品，在市場(chǎng)試銷中發(fā)現(xiàn)，此商

品的銷售單價(jià)%(單位：元)與日銷售量y(單位：件)之間有如下表所示的關(guān)系.

%...24313949...

11/23

y???44302012???

根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，可用函數(shù)丫=士+/％>0)來(lái)近似刻畫(huà)、與工之間的變化規(guī)律.

(1)求y與％之間的函數(shù)解析式；

(2)設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷售利潤(rùn)為P(單位：元)，寫(xiě)出P關(guān)于％的函數(shù)解析式，并求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，才

能獲得最大日銷售利潤(rùn)？

【答案】(l)y=翳-20,XG(19,79)：

(2)P=1980-弓等-20%,xG(19,79),銷售單價(jià)39元.

【解題思路】(1)取數(shù)據(jù)對(duì)代入求出即可求出解析式.

(2)求出日銷售利潤(rùn)函數(shù)，再利用基本不等式求解.

—+/?=44

【解答過(guò)程】(1)取數(shù)據(jù)對(duì)(24,44),(49,12),則《字,解得k=1600,b=-20.

2+匕=12

\50

(x>19

由實(shí)際意義知，20>0,解得19Vx<79,

lx+1

所以y與％之間的函數(shù)解析式y(tǒng)=翳-20,XG(19,79).

(2)由(1)得，日銷售利潤(rùn)。=[3-19)丫=(%-19)(翳-20)=1980-干等一20%,%€[19,79),

P=2000-20[-^Y+(X4-1)]<2000-20x2?(x4-1)=400,當(dāng)且僅當(dāng)粵=x+l,即％=39時(shí)

4I4人1JI414

取等號(hào)，

所以當(dāng)銷售單價(jià)為39元時(shí)，獲得最大日銷售利潤(rùn)400元.

【變式5-1](24-25高二下?全國(guó)?期中)為了在夏季降溫和冬季供曖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需

要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用32年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬(wàn)元.該建筑物

每年的能源消耗費(fèi)用。(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位；cm)滿足關(guān)系：C(x)=^(l<%<10),

設(shè)/(%)為隔熱層建造費(fèi)用與32年的能源消耗費(fèi)用之和.

(1)求f(%)的表達(dá)式；

(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用/(x)達(dá)到最小，并求最小值.

【答案】⑴/?(%)=*+8x(1WxW10)

(2)當(dāng)隔熱層修建6cm厚時(shí)，總費(fèi)用最小，最小值為112萬(wàn)元

【解題思路】(1)由建造費(fèi)與能源消耗費(fèi)求和可得；

12/23

(2)利用基本不等式求解即可.

【解答過(guò)程】(1)每年能源消耗費(fèi)用為。(%)二招，建造費(fèi)用為8%,

/(x)=32c(%)4-8x=翟+8%(1WxW10).

(2)因?yàn)?<%<10,

所以/(%)=^|+8(x+2)-16>2J答x80+2)-16=112,

當(dāng)且僅當(dāng)署=8(%+2),即工=6時(shí)，等號(hào)成立，

所以當(dāng)%=6時(shí),f(%)取得最小值f(6)=112,

，當(dāng)隔熱層修建6cm厚時(shí)，總費(fèi)用最小，最小值為112萬(wàn)元.

【變式5?2】(24?25高二下?北京房山?期中)某公園為了美化游園環(huán)境，計(jì)劃修建一個(gè)如圖所示的總面積為

750m2的矩形花園.圖中陰影部分是寬度為1m的小路，中間4B,C三個(gè)矩形區(qū)域?qū)⒎N植牡丹、郁金香、月

季(其中8,C區(qū)域的形狀、大小完全相同).設(shè)矩形花園的一條力長(zhǎng)為xm,鮮花種植的總面積為Sn?.

(1)用含有％的代數(shù)式表示a：

(2)當(dāng)x的值為多少時(shí)，才能使鮮花種植的總面積最大？

【答案】(l)a=子一|,3Vx<250

⑵25

【解題思路】3)設(shè)矩形花園的長(zhǎng)為ym,結(jié)合盯=750,進(jìn)而求得a關(guān)于高勺關(guān)系式;

⑵由(1)知。二言一|,得到5=等一(3%+雪)，結(jié)合基本不等式，即可求解.

【解答過(guò)程】(1)解：設(shè)矩形花園的長(zhǎng)為ym,

因?yàn)榫匦位▓@的總面積為750m2,所以4=750,可得y=?，

又因?yàn)殛幱安糠质菍挾葹?m的小路，可得2Q+3=里，可得。=竺一目，

xx2

即a關(guān)于X的關(guān)系式為a=—-1,3<x<250.

x2

(2)解：由(1)知，a=-

x2

13/23

則S=（%-2）Q+a—3）Q=（2X-5）Q=（2x-5）x（乎一；）=等一（3x+乎）

三竽-2回*=哈當(dāng)且僅當(dāng)3%=早時(shí)，即x=25時(shí)，等號(hào)成立，

27x2x

所以當(dāng)％=25m時(shí)，才能使鮮花種植的總面積最大，最大面積為皇m2.

【變式5-3]（24-25高一上?廣東?期末）某大學(xué)校園選擇了一個(gè)八邊形區(qū)域力“8CG/7O設(shè)計(jì)一個(gè)校園景觀，

如圖所示，圖中四個(gè)三角形為全等的等腰直角二:角形，主干路總面積（圖中陰影部分和中間白色正方形面

積之和）為1001*,在重合的部分MNPQ處建一正方形特色涼亭，涼亭造價(jià)為600元/m2；在四個(gè)空角（圖

中四個(gè)三角形）建造水池和噴泉，造價(jià)為160（）元/m2；四個(gè)矩形路（圖中陰影部分）不處理，造價(jià)忽略不

計(jì).設(shè)力M長(zhǎng)為y（單位：m）,MN長(zhǎng)為％（單位：m）.

（1）求y關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)校園景觀總造價(jià)為S（單位：元），求S的最小值.

【答案】（1?二弓一：（0VX<10）

（2）40000元

【解題思路】（1）利用面積建立工y的關(guān)系，解得y,并求得“的范圍即可得;

（2）用工表示出S,變形后由基本不等式得最小值.

【解答過(guò)程】（1）由題意可知4到+“2=100,即丫=生一：，

x4

又y=W-￡>0,得空弓>0,解得0〈XV10,

所以y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=§—;（Ovxv10）.

（2）由題意可得，涼亭總造價(jià)為600/元，

水池和噴泉總造價(jià)為1600x4x?2=3200y2元，

L

2

所以校園景觀總造價(jià)S=600x2+3200/=600x2+3200伶一力

14/23

2

625+x25\1=200/016x625

=2003x24-16-l6-T)](-40000

>200x1^-40000=40000.

當(dāng)且僅當(dāng)4必二竺等，即無(wú)二5夜時(shí)等號(hào)成立，經(jīng)檢驗(yàn)5無(wú)€(0,10),

所以當(dāng)％=5魚(yú)時(shí)，S取最小值40000元.

知識(shí)點(diǎn)4”對(duì)勾??函數(shù)模型的應(yīng)用

1.“對(duì)勾”函數(shù)模型的應(yīng)用

對(duì)勾函數(shù)模型是?？嫉哪Ｐ停斡洿祟惡瘮?shù)的性質(zhì)，尤其是單調(diào)性:產(chǎn)妝十:5>0力>0)，當(dāng)x>0時(shí)，在(0,4]

上遞減，在(J],+8)上遞增.另外，還要注意換元法的運(yùn)用.

2.“對(duì)勾”函數(shù)模型的求解方法

(1)利用“對(duì)勾”函數(shù)的單調(diào)性求解:

(2)利用基本不等式求解.

【題型6“對(duì)勾”函數(shù)模型的應(yīng)用】

【例6】(24-25高一上?重慶長(zhǎng)壽?期末)某電腦公司為了提高產(chǎn)值，預(yù)計(jì)生產(chǎn)電腦的固定成本為200萬(wàn)元，

每生產(chǎn)力千臺(tái)電腦，需投入成本R(x)萬(wàn)元，/?(%)=700%-北詈-1250.按前幾年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，最少生產(chǎn)0.4

萬(wàn)臺(tái)，最多每年生產(chǎn)1萬(wàn)臺(tái)電腦.已知每臺(tái)電腦的售價(jià)為1.1萬(wàn)元，且假設(shè)全年內(nèi)生產(chǎn)的電腦當(dāng)年能全部銷

售兀.

(I)以利潤(rùn)〃萬(wàn)元)為函數(shù)y,年產(chǎn)量無(wú)(千臺(tái))為自變量，求函數(shù)解析式；

(2)求當(dāng)年利潤(rùn)的取值范圍.

【答案】(l)y=400x+^^+1050(4<x<10)

(2)5050<y<6050

【解題思路】(1)根據(jù)利潤(rùn)=收入一成本即可得結(jié)果：

(2)直接根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【解答過(guò)程】(1)由題意得y=1100x-R(x)-200=400%+更嬰+1050(4<x<10)

(2)由(1)可得：y=400x++1050=400(x+7)+1050(4<x<10),

???函數(shù)在區(qū)間[4,5)單調(diào)遞減，在區(qū)間(5,10]單調(diào)遞增，

當(dāng)年產(chǎn)4000部時(shí)，y=5150,當(dāng)年產(chǎn)10000部時(shí)，y=6050,

15/23

當(dāng)年產(chǎn)5000部時(shí),y=5050,

因此：當(dāng)年產(chǎn)量為10000部時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6050萬(wàn)元，當(dāng)產(chǎn)量為5000部時(shí)，公司所

獲利潤(rùn)最小,最小利潤(rùn)為5050萬(wàn)元,

綜上所述：公司利潤(rùn)取值范圍是：5050<y<6050（單位萬(wàn)元）.

【變式6-1］（24-25高一上?上海楊浦?期中）如圖，某學(xué)校準(zhǔn)備利用一面長(zhǎng)度20米的舊墻建造一間體育活動(dòng)

室，活動(dòng)室為占地224平方米的矩形.工程費(fèi)用情況如下：

20m

----------xm-----------?

①翻修1米舊墻的費(fèi)用為25元；

②建造1米新墻的費(fèi)用為100元；

③拆去1米舊墻，然后用所得的材料修建1米新墻的費(fèi)用為50元.

記利用舊墻的一條矩形邊長(zhǎng)為工米（％6（0,20］）,建造活動(dòng)室圍墻的總費(fèi)用為y元.請(qǐng)問(wèn)如何利用舊墻，能使得

建造活動(dòng)室圍墻的總費(fèi)用最低?并求出最低費(fèi)用.

【答案】保留16米舊墻翻新，拆除4米舊墻修新墻能使建造活動(dòng)室圍墻的總費(fèi)用最低，為4600元.

【解題思路】根據(jù)已知求得矩形另一邊長(zhǎng)為也米，結(jié)合已知分別得到要建新墻、要翻修舊墻、要拆舊墻長(zhǎng)度，

X

進(jìn)而寫(xiě)出總費(fèi)用表達(dá)式，應(yīng)用對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求最小值.即可.得結(jié)論.

【解答過(guò)程】由題設(shè)，一邊為“米，矩形另一邊長(zhǎng)為山米，

X

則要建新墻為％+等米，要翻修舊墻為工米，要拆舊墻為20米，且XW（0,20］,

所以y=25x+100（x+早）—50（20-x）=175x+—-1000>2J175x?1-1000=4600,

當(dāng)且僅當(dāng)％=16G（0,20］時(shí)等號(hào)成立；

綜上，保留16米舊墻翻新，拆除4米舊墻修新墻能使建造活動(dòng)室圍墻的總費(fèi)用最低，為4600元.

【變式6-2］（24-25高一上?遼寧錦州?期末）某廣場(chǎng)欲建一塊2500n?的矩形綠地，在綠地的四周鋪設(shè)2m

寬的人行道，如圖所示.設(shè)矩形綠地的長(zhǎng)為％m,綠地與人行道一共占地yn?.

16/23

（1）試寫(xiě)出y關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式：

（2）求工為何值時(shí)，占地面枳y最小.

【答案】（l）y=等+4%+2516,xe（0,+oo）

（2）x=50

【解題思路】（1）由矩形綠地的長(zhǎng)，求出寬，得到綠地與人行道的總長(zhǎng)與總寬，由面積公式寫(xiě)出y關(guān)于Hl勺

函數(shù)關(guān)系式；

（2）利用基本不等式求最小值.

【解答過(guò)程】（1）由題意，易知綠地與人行道的長(zhǎng)為（％+4）m,寬為（寫(xiě)+4）m,

故》,=（%+4）（卓^+4）=+4%+2516,xG（0,+oo）；

（2）由基本不等式可知，

y=2^22+4%+2516>2+2516=2916,

當(dāng)且僅當(dāng)幽=4%時(shí)，即％=50時(shí)，等號(hào)成立，

X

故％=50m時(shí)，占地面積y的最小值為2916m2.

【變式6-3]（24-25高一上?北京西城?期末）48兩地相距520km,貨車從力地勻速行駛到4地，全程限速

10（）ktn/h.己知貨車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（單位：元）由固定成本和可變成本組成：固定成本為400元，可變

成本與車速x的平方成正比，比例系數(shù)為k（攵>0）.

（1）把貨車的全程運(yùn)輸成本y（單位：元）表示為車速％（km/h）的函數(shù)：

（2）為使全程運(yùn)輸成本最小，貨車應(yīng)以多大速度行駛？

【答案】（l）y=520（kx+?）,0<x<100：

（2）答案見(jiàn)解析.

【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，求出貨車每小時(shí)的運(yùn)輸成本及行駛時(shí)間即可得函數(shù)關(guān)系.

（2）借助對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性探討最小值，即可得解.

【解答過(guò)程】（1）依題意，貨車每小時(shí)的運(yùn)輸成本的可變成本為k/,固定成本為400元，行駛時(shí)間型小時(shí),

X

所以y=?（上d+400）=520（履+等），0<x<100.

400

（2）由（1）知，y=520k。+子）在（0,箝上單調(diào)遞減，在爆,+8）上單調(diào)遞增,

而0VXW100,則當(dāng)、工100,即kN卷時(shí)，%=強(qiáng)V取得最小值:

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當(dāng)關(guān)>100,即0</cV*時(shí)，%=100,y取得最小值,

所以當(dāng)心安時(shí)，貨車應(yīng)以稱km/h的速度行駛，全程運(yùn)輸成本最?。?/p>

當(dāng)0V上<裝時(shí)，貨車應(yīng)以I。。km/h的速度行駛，全程運(yùn)輸成本最小.

【題型7函數(shù)模型的選擇問(wèn)題】

【例7】（24-23高一下?寧夏銀川?期木）2023年金年中國(guó)新能源汽車產(chǎn)銷量分別達(dá)到處8.7萬(wàn)輛和949.5萬(wàn)

輛，比分別增長(zhǎng)35.8%和37.9%；我國(guó)新能源汽車產(chǎn)銷量占全球比重超過(guò)60%,連續(xù)9年位居世界第一

位.新能源汽車出口120.3萬(wàn)輛、同比增長(zhǎng)77.2%,均創(chuàng)歷史新高.2024年中國(guó)數(shù)家車企推出多款電動(dòng)新

能源汽車，引起市場(chǎng)轟動(dòng)，電動(dòng)新能源汽車還逐步成為人們購(gòu)車的熱門(mén)選擇.有關(guān)部門(mén)在高速公路上對(duì)某

型號(hào)電動(dòng)汽車進(jìn)行測(cè)試，得到了該電動(dòng)汽車每小時(shí)耗電量P（單位：kw-h）與速度u（單位：km/h）的數(shù)

據(jù)如下表所示：

V60708090100110120

P810.413.216.4202428.4

為描述該電動(dòng)汽車在高速公路上行駛時(shí)每小時(shí)耗電量P與速度〉的關(guān)系，現(xiàn)行以下兩種函數(shù)模型供選擇:

①Pi⑺=k亞+m（k,m€R）,②尸2（〃）=av2+bv+c（a,b,cER）.

（I）請(qǐng)選擇你認(rèn)為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（不需要說(shuō)明理由），并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）李華駕駛一輛同型號(hào)電動(dòng)汽車從銀川出發(fā)經(jīng)高速公路（最低限速60km/h,最高限速120km/h）勻速行

駛到距離為510km/h的甘肅省天水市秦安縣.出發(fā)前汽車電池存量為65kw-h,汽車到達(dá)秦安縣后至少要

保留5kw?h的保障電量（假設(shè)該電動(dòng)汽車從靜止加速到速度為丫的過(guò)程中消耗的電量與行駛的路程都忽略

不計(jì)）.已知該高速公路上服務(wù)區(qū)有功率為18kw的充電樁（充電量=充電功率x充電時(shí)間），若不充電，

該電動(dòng)汽車能否到達(dá)秦安縣？并說(shuō)明理由；若需要充電，求該電動(dòng)汽車從銀川到達(dá)秦安縣所用時(shí)間（即行

駛時(shí)間與充電時(shí)間之和）的最小值（結(jié)果保留一位小數(shù)）

【答案】（1）選擇函數(shù)模型②，解析式為P式g=0.002濟(jì)一0.021；+2

（2）該車不在服務(wù)區(qū)充電不能到達(dá)秦安縣；7.4小時(shí)

【解題思路】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，由增長(zhǎng)速度可知，選擇函數(shù)模型②，代入數(shù)據(jù)計(jì)算系數(shù)可得函數(shù)解析

式；

（2）設(shè)耗電量為八吩,則fQ）=P2（u）￥=1.021；+一一10.2（60工》￡120）,

由單調(diào)性的定義可得/3）在區(qū)間［60,120］單調(diào)遞增，的/（lOmin=八60）=68>65-5,所以該車不在服務(wù)

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區(qū)充電不能到達(dá)秦安縣;設(shè)行駛時(shí)間與充電時(shí)間分別為打總和為3由65+18t2-/(v)>5,可得￡=J+

比+裁+詈—等，利用基本不等式即可求得所用時(shí)間的最小值.

“u1818P18

【解答過(guò)程】(1)由表格中所列數(shù)據(jù):P與1；的函數(shù)關(guān)系，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,

由增長(zhǎng)速度可知，選擇函數(shù)模型②，

(3600a+60b+c=8(a=0.002,

由題意有：4900Q+70b+c=10.4解得：匕=一0.02,

(6400a+80b+c=13.2(c=2,

所以P2⑺=0.002v2-0.02v+2

(2)設(shè)耗電量為/(〃),則/(切=22(3￥=1.02v+3竺一10.2(60WuW120),

任取60<V]<v2<120,

f(q)-/(v2)=1.02%+拶一10.2-(1.02V2+詈一