1.1菱形的性質(zhì)與判定同步訓(xùn)練

一、單選題

1.下列結(jié)論中，菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是()

A.對(duì)邊相等B.對(duì)角線相等C.四條選相等D.對(duì)角線互相平分

2.如圖，圖48C0的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,RAC1BD.若4力BC=60。，BC=4,則80

的長(zhǎng)為().

A.4B.8C.4V3D.2^3

3.如圖，按以下步驟作四邊形HBCD：(1)畫乙M4V；(2)以點(diǎn)力為圓心，1個(gè)單位長(zhǎng)為半

徑畫弧，分別交4M,AN于點(diǎn)B,D；(3)分別以點(diǎn)B,。為圓心，1個(gè)單位長(zhǎng)為半徑畫弧，

兩弧交于點(diǎn)。；(4)連接EC,CD,BD.若乙48。=68。，則乙。的度數(shù)是()

A.56°B.50°C.44°D.34°

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形0ABe的頂點(diǎn)8在X軸上，連接力C,交匯軸于點(diǎn)D,若。8=8,

AD=3,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()

A.(3,-4)B.(-3,4)C.(4,-3)D.(-4,3)

5.如圖，在菱形中，P是對(duì)角線4c上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PEJ.BC于點(diǎn)E,PF148于點(diǎn)

F.若菱形4BC0的周長(zhǎng)是10,面積是12.則PE+P尸的值是()

A

D

P

BC

E

A.4C.6D.48

6.如圖，兩張等寬的紙條交又重疊在一起，重疊的部分為四邊形48cA測(cè)得A、C兩點(diǎn)之

間的距離為12cm,B、。兩點(diǎn)之間的距離為16cm,則這兩張紙條的寬為（）

A.9.2cmB.10cmC.4.8cmD.9.6cm

7.如圖，在菱形4BCO中，Z-B=60°,E是CD上一點(diǎn),將△/WE沿折疊，點(diǎn)/）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

為D',力。與8C交于點(diǎn)尸，若尸為8c中點(diǎn)，則41EO的度數(shù)為（）

D'

A.45°B.60°C.75°D.90°

二、填空題

8.如圖，在矩形為8C0中，點(diǎn)凡尸分別在BC,4。上，AF=EC,不添加任何字母與輔助線,

添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件,使四邊形力ECF是菱形.

9.如圖所示的木質(zhì)活動(dòng)衣帽架是由三個(gè)全等的菱形組成，根據(jù)實(shí)際需要可調(diào)節(jié)4E間的距

離，已知菱形/BCD的邊長(zhǎng)為20cm,若A,E間的距離調(diào)節(jié)到60cm時(shí)，則這個(gè)活動(dòng)衣帽架所

圍成的面積為cm?.

D

10.如圖為汽車常備的一種千斤頂?shù)脑韴D，其基本形狀是一個(gè)菱形，中間通過(guò)螺桿連接，

轉(zhuǎn)動(dòng)手柄可改變，BCD的大小，(菱形的邊長(zhǎng)不變).若乙BCD=52°,則484c的度數(shù)為

11.如圖，四邊形4BCD沿直線2對(duì)折后重合，連接8。，交I于點(diǎn)0,若A。IIBC,則下列結(jié)論:

Q)ABIICD：?AB=CD：?AB1/?C：?AO=OC.其中正確的是.(只填序號(hào))

三、解答題

12.如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E,產(chǎn)分別在邊8C,CD上,Z-AEB=Z-AFD,求證：AE=AF.

13.如圖，菱形4BCD中的兩條對(duì)角線BD,AC相交于點(diǎn)。，其中8。=8,^ACD=23°,延

長(zhǎng)CD至點(diǎn)E,使。E=CD,連接力￡

(1)求力E的長(zhǎng)度；

(2)求乙E的度數(shù).

14.如圖，zx/lBC中，Z.BAC=45°,AB=AC,將△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△力DE,連

接BD,CE交于點(diǎn)F,E.

E

(1)求證：/-CEA=Z.BDA.

⑵求"/D的度數(shù)；

(3)若力B=4,四邊形ABFE是菱形，求FC的長(zhǎng)度.

15.如圖，在菱形ABC。中，對(duì)角線4C,8。相交于點(diǎn)O,E為8C的中點(diǎn)，延長(zhǎng)48到點(diǎn)F,

使3尸=泄，連接OE,EF.

(1)求證：四邊形08FE是平行四邊形；

(2)若8。=6,A8=5,求平行四邊形08/E的面積.

參考答案

1.c

【分析】本題考杳平行四邊形的性質(zhì)與菱形的性質(zhì)，熟記平行四邊形的性質(zhì)與菱形的性質(zhì)是

解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

菱形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì)，但四條邊相等是菱形特有的性質(zhì)，

不是所有平行四邊形都具有，從而得到答案.

【詳解】A、對(duì)邊相等是平行四邊形與菱形均具有的性質(zhì)，不符合題意；

B、對(duì)角線相等既不是菱形的性質(zhì)，也不是平行四邊形的性質(zhì)，不符合題意；

C、四條邊相等是菱形性質(zhì)，不是平行四邊形性質(zhì)，符合題意；

D、對(duì)角線互相平分是平行四邊形與菱形均具有的性質(zhì)，不符合題意；

故選：C.

2.C

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性

質(zhì)等，理解題意，掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意得出四邊形力BCD是菱形，再由菱形的性質(zhì)及含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出

OC=2,結(jié)合勾股定理求解即可.

【詳解】解：?.?四邊形4BC。是平行四邊形，ACLBD,

二四邊形48CD是菱形，

:.OB=^BD,

-/.ABC=60°,

二乙CBO=Z-ABO=30°,

?:BC=4,

???OC=2,

???OB=y/BC2-OC2=2乃，

...BD=2OB=4V3,

故選：C.

3.C

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理.，可證明四邊

形A8CD是菱形，由等邊對(duì)等角可得〃D8=LABD=68。，由菱形的對(duì)角相等可得“=〃，

據(jù)此求出/A的度數(shù)即可得到答案.

【詳解】解；由作圖方法可得力B=4D=BC=CD,

，四邊形4BCD是菱形,Z.ADB=Z.ABD=68°,

/.Z.C=

又=180°-/-ABD-乙ADB=44°,

?"C=44°,

故選：C.

4.C

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，菱形的性質(zhì)，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得。。=：。8=4,DC=

4。=3,結(jié)合坐標(biāo)系，即可求解.

【詳解】解：???四邊形O4BC是菱形，。8=8,AD=3,

???OD=：OB=4,DC=AD=3,

2

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（4,一3）,

故選：C.

5.B

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.連

接8P,根據(jù)菱形的性質(zhì)得BA=BC=2.5,SRABC=\^ABCD=6,然后利用三角形面積公

式，由5M8C=SAPA8+SAP8C，得到;X2.5XPE十;X2.5XPF=6,再整理即可得解?

【詳解】解：連接8P,如圖，

???菱形A8C0的周長(zhǎng)為10,

=BC=2.5,SAABC=：S菱形488=6,

,S&ABC=S“AB+S^PBC，

X2.5XPE+-X2.5xPF=6,

22

24

：,PE\PF

則PE+PF的值為g

故選：B.

6.D

【分析】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，關(guān)鍵是掌握一組鄰邊相等的

平行四邊形是菱形.作力A_LBC于R,力S1CD于S,根據(jù)題意先證出四邊形48CZ）是平行四

邊形，再由AR=AS得平行四邊形A8C0是菱形，再根據(jù)勾股定理求出A8,由菱形的面枳可

得出答案.

【詳解】解：作力RJLBCfR,AS1CDTS,連接AC、B。交于點(diǎn)。.

由題意知：AD\\BC,ABWCD,

???四邊形4BCD是平行四邊形，

???兩個(gè)矩形等寬，

???AR=AS,

AR-BC=AS-CD,

???BC-CD,

???平行四邊形ABC。是菱形，

???AC1BD,OA=OCyOB=OD,

???點(diǎn)4C之間的距離為12cm,點(diǎn)B,。之間的距離為16cm,

???OA=6cm,OB=8cm,

???AB=>JOA2+OB2=V62+82=10,

:.BC=10,

■:S^ABCD==BC-AR,

Jxl2xl6

:.AR=-———=9.6(cm).

???這兩張紙條的寬為9.6cm,

故選：D.

7.C

【分析】如圖，連接4C,證A48c是等邊三角形，從而可得AF1BC,又由ADII8C可得AF1AD,

再根據(jù)折疊的性質(zhì)得,DAE=LEAF,最后在△中利用三角形的內(nèi)角和定理即可得.

【詳解】解：如圖,連接AC,

???在菱形ABCD中,乙8=60。,

=BC,AD\\BC,/.D=60°,

???△力8。是等邊三角形，

???尸為中點(diǎn),

：.AF1BC（等腰三角形三線合一的性質(zhì)），即44FC=90。,

，匕D4F=180。-90。=90。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），

又由折疊的性質(zhì)得：乙DAE=LEAF,

?"AE=*M=45。，

在△D4E中，由三角形的內(nèi)角和定理得：/.AED=180°-ADAE-Z.D=75°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題是一道較好的綜合題，考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線

的性質(zhì)、圖形折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，利用三線合?的性質(zhì)證出SF18C是解題

關(guān)鍵.

8.AE=AF（答案不唯一）

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，熟練掌握菱形的

判定定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)矩形的性質(zhì)得到4DIIBC,即A/IICE,推出四邊形力ECF是平

行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：這個(gè)條件可以是AE=A?，

理由：???四邊形ABC。是矩形，

：.ADIIBC,即4FIICE,

VAF=EC,

???四邊形AECF是平行四邊形，

vAE=AF,

.??四邊形4ECF是菱形，

故答案為：AE=AF(答案不唯一).

9.600V3

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、三線合一、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握菱形的性質(zhì)和全等

三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

連接AC、BD交于點(diǎn)F,由菱形的性質(zhì)得力。=CD=20cm,AC1BD,AF=CF,BF=DF,

因?yàn)锳C==20(cm),所以AF=CF==10cm,根據(jù)勾股定理求得DF=

10百(cm),則BD=20cm,然后根據(jù)這個(gè)活動(dòng)衣帽架所圍成的面積為3xJc?8。求解即

可.

【詳解】解：連接AC、BD交于點(diǎn)F,如圖所示：

???四邊形48。。是邊長(zhǎng)為20cm的菱形，

：,AD=CD=20cm,AC1BD,AF=CF,BF=DF,

???木質(zhì)活動(dòng)衣帽架是由三個(gè)全等的菱形組成，A,E間的距離為60cm,

?.AC=^AE=20(cm),

：.AF=CF=\AC=10cm,

2

9：^AFD=90°,

ADF=>JAD2-AF2=V202-102=10V3(cm),

：.BD=2DF=2x10>/3=20V3(cm),

J這個(gè)活動(dòng)衣帽架所圍成的面積=3x?8。=3x3x20x20^3=600\/3(cm2).

故答案為：600V3.

10.260/26度

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，根據(jù)菱形的對(duì)角相等，對(duì)角線平分對(duì)角，即可求解.

【詳解】解：?.?四邊形4BCD是菱形，￡BCD=52°,

二乙BAD=乙BCD=52°,

:.ABAC=^Z-BAD=26c,

故答案為：26。.

II.①②④

【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)等知

識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)判定和性質(zhì)定理成為解題的關(guān)鍵.根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和已知條件可證

△力。。三48。0,則力。=8配CO=AO,即④正確；再證四邊形48co為平行四邊形可判

定①?:最后證明四邊形A8CZ)為菱形可判定③.

【詳解】解：???直線/是四力形ABCD的對(duì)稱軸，

???DO=B0.

vAD||BC,

:.Z.DA0=Z.BCO,Z.ADO=Z.CBO.

在△ADO和AC8。中

(Z.DAO=Z-BCO

l^ADO=乙CBO

(DO=BO

ADO三△BCO(AAS).

：,AD=BC,CO=AO.即④正確；

vAD||BC,

四邊形48C0為平行四邊形.

：,ABIICD,AB=CD,即①②正確；

???直線］是四邊形48CD的對(duì)稱軸，

???AB=AD.

???四邊形48CD為菱形.

不一定成立，故③錯(cuò)誤；

故答案為：①②④.

12.見(jiàn)解析

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).根據(jù)菱形的性質(zhì)可得48=

乙B=^D,結(jié)合已知的4AEB=利用“AAS”可證得△A8E三△ADR最后根據(jù)全等三

角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可.

【詳解】證明：?.?四邊形力BC。是菱形，

:.AB=AD,乙B=乙D,

在△A8E和△力OF中，

(Z.B=Z.D

\z-AEB=Z.AFD,

(AB=AD

ABE三△4。/(AAS),

???力￡=".

13.(1)8

(2)67°

【分析】本題考查了利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解，利用菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)，根據(jù)平

行線的性質(zhì)求角的度數(shù)，解題關(guān)鍵是掌握上述知識(shí)點(diǎn)并能運(yùn)用求解.

(1)先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出4B=DC,ABIIDC,再證明四邊形A8DE是平行四邊形，然后

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解；

(2)先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出4c_L8。，即乙COD=90。，從而可求得乙C。。，再根據(jù)平行四

邊形的性質(zhì)得出BOII4E,從而可求得

【詳解】(I)解：:菱形4BCD,

：.AB=DC,AB||DC.

：.ED||AB,

又?：DE=CD,

/.DE=AB,

???四邊形/WOE是平行四邊形，

：.AE=BD.

*：BD=8,

,,AE=BD=8,

??ME的長(zhǎng)度為8；

(2)???菱形ABCD,

:.AC1BD,

即“OD=90°.

\^ACD=23°,

"CDO=180°-90°-23°=67°.

???四邊形48DE是平行四邊形，

：,BD||AE.

AzE=Z.CDO=67°.

14.⑴見(jiàn)解析

(2)4EFD=45°

(3)FC=4V2-4

【分析】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及菱形的性質(zhì)，

(1)結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)證明△CAEZMO(SAS)即可得出結(jié)論：

(2)設(shè)40、交于O,^^/AOE+/OEA+/OAF=180°,/DOF+/ODF+/OFD=

180°,乙40E=N。。4求D結(jié)論即可;

(3)先求出乙C4E=90。，再求出CE=4魚，即可求出結(jié)論.

【詳解】(1)解：???△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AADE,ABAC=45°,

J.Z.DAE=Z.BAC=45°,AD=AB,AE=AC,

：./.DAE+LCAD=Z-BAC+乙CAD,

Z.CAE=Z.BAD,

A△CAE三△BzlD(SAS),

：.Z.CEA=4BDA；

(2)解：設(shè)力D、CE相交于O,如圖，

\^AOE+WEA+WAE=180°,Z-DOF+WDF+^.OFD=180°,^AOE=

LDOF^CEA=Z.BDA,

:mOFD=^OAE=45Z即4￡尸0=45°；

(3)解：f：AC=AB=4,四邊形ABW?是菱形,

???￡'//=AB=AC=AE=