一、引言：試商——除法運(yùn)算的“關(guān)鍵鎖芯”演講人01引言：試商——除法運(yùn)算的“關(guān)鍵鎖芯”02試商錯(cuò)誤的典型類型：從“現(xiàn)象庫(kù)”到“問(wèn)題清單”03試商錯(cuò)誤的歸因分析：從“現(xiàn)象層”到“認(rèn)知層”的深度解碼04教學(xué)改進(jìn)策略：“精準(zhǔn)干預(yù)”助力試商能力提升05結(jié)語(yǔ)：試商錯(cuò)誤——成長(zhǎng)路上的“診斷燈”目錄2025小學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)除法試商錯(cuò)誤歸因分析課件01引言：試商——除法運(yùn)算的“關(guān)鍵鎖芯”引言：試商——除法運(yùn)算的“關(guān)鍵鎖芯”作為深耕小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)12年的一線教師，我始終記得第一次帶四年級(jí)時(shí)的困惑：當(dāng)學(xué)生熟練掌握表內(nèi)乘除法后，三位數(shù)除以兩位數(shù)的除法卻成了“攔路虎”，而問(wèn)題的核心往往集中在“試商”環(huán)節(jié)。試商是除法運(yùn)算中確定商的首位或后續(xù)各位數(shù)值的關(guān)鍵步驟，如同打開(kāi)除法運(yùn)算大門的“鎖芯”——試商準(zhǔn)確，后續(xù)的乘減步驟才能順利推進(jìn)；試商失誤，整個(gè)計(jì)算過(guò)程就會(huì)偏離正確軌道。在2023-2024學(xué)年的教學(xué)實(shí)踐中，我對(duì)所帶兩個(gè)班級(jí)（共86名學(xué)生）的除法作業(yè)進(jìn)行了為期三個(gè)月的追蹤統(tǒng)計(jì)：在三位數(shù)除以兩位數(shù)的計(jì)算中，82.6%的錯(cuò)誤源于試商環(huán)節(jié)；其中，同一道題重復(fù)試商錯(cuò)誤的學(xué)生占比達(dá)41%。這些數(shù)據(jù)讓我意識(shí)到：僅僅糾正表面的計(jì)算錯(cuò)誤遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，必須深入分析試商錯(cuò)誤的類型及背后的成因，才能幫助學(xué)生真正突破這一難點(diǎn)。02試商錯(cuò)誤的典型類型：從“現(xiàn)象庫(kù)”到“問(wèn)題清單”試商錯(cuò)誤的典型類型：從“現(xiàn)象庫(kù)”到“問(wèn)題清單”通過(guò)課堂觀察、作業(yè)批改和個(gè)別訪談，我將四年級(jí)學(xué)生在除法試商過(guò)程中常見(jiàn)的錯(cuò)誤歸納為四大類，每一類都對(duì)應(yīng)著不同的認(rèn)知偏差或操作漏洞。初商偏差：“一步錯(cuò)，步步錯(cuò)”的起點(diǎn)失誤初商是試商的第一步，即根據(jù)被除數(shù)的前兩位（或前三位）與除數(shù)的關(guān)系，初步估計(jì)商的數(shù)值。這一步的常見(jiàn)錯(cuò)誤有兩種：初商過(guò)大：典型表現(xiàn)為“商與除數(shù)的乘積超過(guò)被除數(shù)”。例如計(jì)算84÷21時(shí)，有學(xué)生將商試為5（5×21=105＞84），正確商應(yīng)為4（4×21=84）；再如196÷28，有學(xué)生試商7（7×28=196）看似正確，但實(shí)際計(jì)算中若被除數(shù)是186，試商7就會(huì)導(dǎo)致7×28=196＞186，需調(diào)小為6。初商過(guò)?。罕憩F(xiàn)為“商與除數(shù)的乘積明顯小于被除數(shù)，且余數(shù)仍大于或等于除數(shù)”。例如計(jì)算135÷15時(shí)，有學(xué)生試商7（7×15=105），余數(shù)30（135-105=30），而30＞15，說(shuō)明商應(yīng)調(diào)大至9（9×15=135）；再如272÷34，正確商是8（8×34=272），但有學(xué)生試商7（7×34=238），余數(shù)34（272-238=34），此時(shí)余數(shù)等于除數(shù)，商應(yīng)加1。調(diào)商滯后：“該變不變”的操作慣性調(diào)商是初商偏差后的修正步驟，但部分學(xué)生因缺乏“動(dòng)態(tài)調(diào)整”意識(shí)，常出現(xiàn)調(diào)商不及時(shí)或調(diào)商過(guò)度的問(wèn)題：調(diào)商不及時(shí)：如計(jì)算324÷36時(shí)，初商8（8×36=288），余數(shù)36（324-288=36），此時(shí)余數(shù)等于除數(shù)，本應(yīng)將商調(diào)為9，但學(xué)生直接寫余數(shù)36，導(dǎo)致錯(cuò)誤；調(diào)商過(guò)度：如計(jì)算432÷48時(shí)，初商9（9×48=432）正確，但有學(xué)生因之前多次遇到需要調(diào)小的情況，誤將初商試為8（8×48=384），余數(shù)48（432-384=48），又調(diào)商為9，雖然最終正確，但增加了不必要的步驟。數(shù)位混淆：“位置錯(cuò)位”的空間感知缺陷除法運(yùn)算中，商的每一位都需與被除數(shù)的對(duì)應(yīng)數(shù)位對(duì)齊，但部分學(xué)生因?qū)Α俺侥囊晃?，商就寫在哪一位”的?guī)則理解不深，常出現(xiàn)：高位商寫低位：如計(jì)算612÷18時(shí)，正確步驟是先用61÷18試商3（3×18=54），商3寫在十位上；但有學(xué)生將3寫在個(gè)位，導(dǎo)致商的十位空缺，結(jié)果錯(cuò)誤；低位商寫高位：如計(jì)算144÷12時(shí)，正確商是12（十位1，個(gè)位2），但有學(xué)生將個(gè)位的2寫在十位，得到21，混淆了商的位置。算理模糊：“知其然不知其所以然”的深層障礙部分錯(cuò)誤看似是計(jì)算失誤，實(shí)則反映出對(duì)除法算理的理解偏差：余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系混淆：如計(jì)算256÷32時(shí)，正確商是8（8×32=256），余數(shù)0；但有學(xué)生得到商7，余數(shù)32（7×32=224，256-224=32），卻認(rèn)為余數(shù)32合理，未意識(shí)到“余數(shù)必須小于除數(shù)”；除法與乘法的逆運(yùn)算脫節(jié)：如計(jì)算435÷29時(shí)，正確商是15（15×29=435），但有學(xué)生試商14（14×29=406），余數(shù)29（435-406=29），此時(shí)應(yīng)意識(shí)到“余數(shù)等于除數(shù)，商應(yīng)加1”，但學(xué)生因未關(guān)聯(lián)“商×除數(shù)+余數(shù)=被除數(shù)”的公式，無(wú)法自主檢驗(yàn)。03試商錯(cuò)誤的歸因分析：從“現(xiàn)象層”到“認(rèn)知層”的深度解碼試商錯(cuò)誤的歸因分析：從“現(xiàn)象層”到“認(rèn)知層”的深度解碼這些看似零散的錯(cuò)誤現(xiàn)象，實(shí)則是學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)、認(rèn)知發(fā)展、學(xué)習(xí)習(xí)慣與教學(xué)策略共同作用的結(jié)果。通過(guò)問(wèn)卷調(diào)研（86份有效問(wèn)卷）、個(gè)案追蹤（選取12名典型錯(cuò)誤學(xué)生）和教學(xué)反思，我將歸因歸納為四大維度。知識(shí)基礎(chǔ)：“地基不牢，地動(dòng)山搖”的底層制約表內(nèi)乘除法熟練度不足：?jiǎn)柧盹@示，37%的學(xué)生“7-9的乘法口訣”不能達(dá)到“3秒內(nèi)脫口而出”，29%的學(xué)生“兩位數(shù)乘一位數(shù)”計(jì)算錯(cuò)誤率超過(guò)15%。例如計(jì)算28×6時(shí)，有學(xué)生錯(cuò)誤得出168（正確168），但計(jì)算28×7時(shí)錯(cuò)誤得出196（正確196），看似正確，實(shí)則是機(jī)械記憶，缺乏對(duì)“28×7=28×(5+2)=140+56=196”的分解理解，導(dǎo)致試商時(shí)無(wú)法快速估算。數(shù)感發(fā)展不均衡：數(shù)感是對(duì)數(shù)字大小、關(guān)系的直覺(jué)判斷能力。42%的學(xué)生在“估計(jì)37×8的結(jié)果”時(shí)，錯(cuò)誤選擇“240”（正確296），反映出對(duì)“37接近40，40×8=320”的估算意識(shí)薄弱。這種薄弱直接影響試商：如計(jì)算336÷42時(shí)，需要估算42×8=336，但數(shù)感弱的學(xué)生可能試商7（42×7=294），余數(shù)42（336-294=42），才意識(shí)到需要調(diào)商。知識(shí)基礎(chǔ)：“地基不牢，地動(dòng)山搖”的底層制約前期除法經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移：三年級(jí)學(xué)習(xí)的“除數(shù)是一位數(shù)的除法”中，試商相對(duì)簡(jiǎn)單（如96÷3，直接用9÷3=3），但部分學(xué)生將“看前一位”的經(jīng)驗(yàn)遷移到“除數(shù)是兩位數(shù)”的除法中，如計(jì)算135÷15時(shí)，錯(cuò)誤地用1÷15試商0，而忽略“看前兩位13”的規(guī)則，導(dǎo)致初商錯(cuò)誤。認(rèn)知特點(diǎn)：“成長(zhǎng)規(guī)律”帶來(lái)的階段性挑戰(zhàn)四年級(jí)學(xué)生（9-10歲）正處于具體運(yùn)算階段向形式運(yùn)算階段過(guò)渡的關(guān)鍵期，認(rèn)知發(fā)展的局限性在試商中體現(xiàn)為：注意力分配能力不足：試商需要同時(shí)關(guān)注“除數(shù)的大小”“被除數(shù)前幾位的數(shù)值”“乘法口訣的調(diào)用”“余數(shù)與除數(shù)的比較”等多個(gè)信息點(diǎn)。觀察發(fā)現(xiàn)，65%的學(xué)生在試商時(shí)會(huì)出現(xiàn)“顧此失彼”——有的盯著除數(shù)忘記看被除數(shù)，有的記住了乘法結(jié)果卻忽略余數(shù)與除數(shù)的比較，導(dǎo)致初商偏差后無(wú)法及時(shí)調(diào)整。思維可逆性較弱：除法是乘法的逆運(yùn)算，試商需要“從商到積”的正向計(jì)算（如試商5，計(jì)算5×除數(shù)）和“從積到商”的逆向驗(yàn)證（如積是否≤被除數(shù)）。但部分學(xué)生只能完成正向計(jì)算，無(wú)法通過(guò)“被除數(shù)-積=余數(shù)”來(lái)驗(yàn)證商的合理性。例如計(jì)算216÷24時(shí)，試商8（8×24=192），余數(shù)24（216-192=24），學(xué)生因無(wú)法逆向思考“余數(shù)24等于除數(shù)，說(shuō)明商小了”，而直接保留錯(cuò)誤的商8。認(rèn)知特點(diǎn)：“成長(zhǎng)規(guī)律”帶來(lái)的階段性挑戰(zhàn)具象思維向抽象思維過(guò)渡的陣痛：四年級(jí)學(xué)生仍依賴具體情境或直觀表象，對(duì)“試商”這一抽象的估算策略理解困難。例如，講解“四舍五入試商法”時(shí)，學(xué)生能記住“把28看作30試商”，但遇到“26÷28”這種需要“五入”但實(shí)際除數(shù)更接近25的情況時(shí)，無(wú)法靈活調(diào)整，導(dǎo)致初商偏差。學(xué)習(xí)習(xí)慣：“細(xì)節(jié)之處”的非智力因素影響良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣是準(zhǔn)確試商的保障，但部分學(xué)生因習(xí)慣缺失放大了錯(cuò)誤：審題不細(xì)致：23%的錯(cuò)誤源于“看錯(cuò)數(shù)字”，如將42看成24，將135看成153，導(dǎo)致試商基準(zhǔn)錯(cuò)誤。例如計(jì)算135÷15時(shí)，有學(xué)生誤看為153÷15，試商10（10×15=150），余數(shù)3，雖然計(jì)算過(guò)程正確，但因?qū)忣}錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。驗(yàn)算意識(shí)薄弱：只有18%的學(xué)生能主動(dòng)用“商×除數(shù)+余數(shù)=被除數(shù)”驗(yàn)算，61%的學(xué)生僅通過(guò)“再算一遍”檢查，且常重復(fù)同樣的錯(cuò)誤。例如計(jì)算272÷34時(shí)，正確商是8（8×34=272），但有學(xué)生試商7（7×34=238），余數(shù)34（272-238=34），若驗(yàn)算7×34+34=272，本應(yīng)意識(shí)到“余數(shù)等于除數(shù)，商應(yīng)加1”，但學(xué)生因未驗(yàn)算而忽略這一問(wèn)題。學(xué)習(xí)習(xí)慣：“細(xì)節(jié)之處”的非智力因素影響畏難情緒干擾：15%的學(xué)生因多次試商錯(cuò)誤產(chǎn)生“試商恐懼癥”，表現(xiàn)為計(jì)算前先緊張，試商時(shí)猶豫，甚至直接放棄。例如面對(duì)“576÷48”這類需要兩次調(diào)商的題目，部分學(xué)生未嘗試就說(shuō)“我不會(huì)”，實(shí)則是畏難情緒導(dǎo)致的認(rèn)知抑制。教學(xué)策略：“教與學(xué)”的互動(dòng)性偏差教師的教學(xué)方法直接影響學(xué)生的試商能力，實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)以下問(wèn)題需重點(diǎn)關(guān)注：情境創(chuàng)設(shè)與算理脫節(jié)：部分課堂過(guò)度依賴生活情境（如“分糖果”），但未及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從“分實(shí)物”抽象到“數(shù)字運(yùn)算”，導(dǎo)致學(xué)生停留在“分28顆糖，每人分5顆，夠分5人嗎”的具體情境，卻無(wú)法理解“28÷5”試商的數(shù)學(xué)本質(zhì)。試商策略的單一化：部分教師僅教授“四舍五入試商法”，而忽略“折半試商法”（如除數(shù)接近被除數(shù)的一半）、“同頭無(wú)除試商法”（如被除數(shù)和除數(shù)首位相同但前兩位不夠除）等多樣化策略，導(dǎo)致學(xué)生面對(duì)不同類型的題目時(shí)缺乏靈活應(yīng)對(duì)能力。分層指導(dǎo)的缺失：對(duì)“表內(nèi)乘除法薄弱”和“數(shù)感較強(qiáng)”的學(xué)生采用同一教學(xué)節(jié)奏，導(dǎo)致前者因基礎(chǔ)不足無(wú)法跟上，后者因內(nèi)容重復(fù)失去興趣。例如，在練習(xí)“168÷24”時(shí)，數(shù)感強(qiáng)的學(xué)生能快速想到24×7=168，而基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生仍需逐次試商5、6、7，耗時(shí)且易出錯(cuò)。04教學(xué)改進(jìn)策略：“精準(zhǔn)干預(yù)”助力試商能力提升教學(xué)改進(jìn)策略：“精準(zhǔn)干預(yù)”助力試商能力提升針對(duì)上述歸因，我在2024年春季學(xué)期嘗試了“三維四步”干預(yù)策略，通過(guò)3個(gè)月的實(shí)踐，所帶班級(jí)試商錯(cuò)誤率從82.6%降至34.2%，學(xué)生的試商信心和準(zhǔn)確率顯著提升。夯實(shí)基礎(chǔ)：構(gòu)建“乘除一體”的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)口訣“活學(xué)活用”：設(shè)計(jì)“口訣接龍”“反向提問(wèn)”游戲（如“哪句口訣的結(jié)果是56？”），強(qiáng)化乘法口訣的雙向調(diào)用；針對(duì)易錯(cuò)的“7、8、9”的口訣，制作“口訣卡片”，要求學(xué)生每天練習(xí)“看結(jié)果說(shuō)口訣，看口訣說(shuō)結(jié)果”各10組。數(shù)感“精準(zhǔn)培養(yǎng)”：開(kāi)展“估算小達(dá)人”活動(dòng)，每天課前3分鐘練習(xí)“估一估：38×7≈？”“42×6≈？”，并引導(dǎo)學(xué)生用“接近整十?dāng)?shù)”的方法解釋估算過(guò)程（如38接近40，40×7=280，所以38×7≈266）；結(jié)合生活情境（如“買5本28元的書，帶150元夠嗎？”），讓學(xué)生在解決問(wèn)題中體會(huì)估算的價(jià)值。舊知“溫故知新”：在學(xué)習(xí)“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”前，用2課時(shí)復(fù)習(xí)“除數(shù)是一位數(shù)的除法”，重點(diǎn)對(duì)比“看前一位”與“看前兩位”的區(qū)別，通過(guò)“對(duì)比練習(xí)”（如96÷3vs96÷13）幫助學(xué)生明確試商規(guī)則的變化。優(yōu)化認(rèn)知：構(gòu)建“策略+元認(rèn)知”的雙軌系統(tǒng)多策略試商教學(xué)：除“四舍五入法”外，補(bǔ)充：折半法：當(dāng)除數(shù)接近被除數(shù)前兩位的一半時(shí)（如135÷27，27接近13的一半），直接試商5；同頭法：被除數(shù)和除數(shù)首位相同（如234÷26），前兩位23＜26，試商8或9；倍數(shù)法：利用除數(shù)的倍數(shù)快速試商（如36÷12，12×3=36，直接試3）。元認(rèn)知監(jiān)控訓(xùn)練：教授“試商四步口訣”——“一看（除數(shù)和被除數(shù)前幾位）、二估（估算商的范圍）、三算（計(jì)算商×除數(shù)）、四驗(yàn)（余數(shù)是否小于除數(shù)）”，要求學(xué)生每一步口頭說(shuō)明思維過(guò)程；設(shè)計(jì)“試商思維記錄表”（如表1），記錄試商時(shí)的思考路徑，幫助學(xué)生顯性化思維漏洞。表1：試商思維記錄表優(yōu)化認(rèn)知：構(gòu)建“策略+元認(rèn)知”的雙軌系統(tǒng)|題目|初商|初商依據(jù)（如“把28估成30，30×5=150”）|計(jì)算商×除數(shù)|余數(shù)|余數(shù)是否＜除數(shù)？|調(diào)整后的商||------|------|--------------------------------------|------------|------|------------------|------------||156÷28|5|30×5=150≈156|28×5=140|16|是|5|注意力分配訓(xùn)練：通過(guò)“限時(shí)聽(tīng)算”（教師讀題，學(xué)生快速口答試商結(jié)果）、“雙任務(wù)練習(xí)”（一邊說(shuō)試商思路，一邊寫計(jì)算過(guò)程），逐步提升學(xué)生的注意力分配能力。習(xí)慣養(yǎng)成：從“被動(dòng)糾正”到“主動(dòng)規(guī)范”No.3審題“三確認(rèn)”：要求學(xué)生計(jì)算前“確認(rèn)除數(shù)、確認(rèn)被除數(shù)、確認(rèn)運(yùn)算符號(hào)”，并用熒光筆標(biāo)出關(guān)鍵數(shù)字，減少看錯(cuò)數(shù)的錯(cuò)誤。驗(yàn)算“強(qiáng)制化”：將驗(yàn)算作為作業(yè)的必填項(xiàng)，初期要求用“商×除數(shù)+余數(shù)=被除數(shù)”的公式寫在題目旁，后期鼓勵(lì)用“不同試商方法”驗(yàn)證（如用“四舍五入法”和“折半法”分別試商，看結(jié)果是否一致）。錯(cuò)誤“資源化”：建立“試商錯(cuò)題本”，分類整理“初商過(guò)大”“調(diào)商滯后”等錯(cuò)誤，每周班會(huì)開(kāi)展“錯(cuò)誤分析小講師”活動(dòng)，讓學(xué)生自己講解錯(cuò)誤原因和改進(jìn)方法，變“錯(cuò)誤”為“成長(zhǎng)資源”。No.2No.1教學(xué)優(yōu)化：從“統(tǒng)一推進(jìn)”到“個(gè)性賦能”分層作業(yè)設(shè)計(jì)：將作業(yè)分為“基礎(chǔ)層”（如168÷24，用四舍五入法