2026復(fù)變函數(shù)解題技巧訓(xùn)練試卷及答案考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復(fù)變函數(shù)解題技巧訓(xùn)練試卷考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科二年級(jí)學(xué)生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-簡(jiǎn)答題（3題，每題4分）總分12分-應(yīng)用題（2題，每題9分）總分18分總分：100分一、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)在D內(nèi)處處可導(dǎo)。2.洛朗級(jí)數(shù)的收斂域一定是圓環(huán)。3.所有解析函數(shù)的實(shí)部都可表示為調(diào)和函數(shù)。4.若函數(shù)f(z)在閉區(qū)域Ω上連續(xù)，則它在Ω上必有最大值和最小值。5.留數(shù)定理適用于任何閉合曲線上的積分計(jì)算。6.若函數(shù)f(z)在z?處有極點(diǎn)，則它在z?處的洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪項(xiàng)的階數(shù)等于極點(diǎn)的階數(shù)。7.所有整函數(shù)都是冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。8.若函數(shù)f(z)在z?處解析，則它在z?的去心鄰域內(nèi)解析。9.所有解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍解析。10.若函數(shù)f(z)在z?處有本性奇點(diǎn)，則它在z?的去心鄰域內(nèi)任意階導(dǎo)數(shù)都存在。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=z2+2z+3在z=1處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的收斂半徑為（）A.1B.2C.∞D(zhuǎn).02.函數(shù)f(z)=e^z在z=-1處的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，-2z的系數(shù)為（）A.1B.-1C.e^-1D.-e^-13.函數(shù)f(z)=1/(z2-1)在z=2處的留數(shù)為（）A.1/3B.-1/3C.1D.-14.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在|z|=2上的積分值為（）A.πiB.-πiC.0D.2πi5.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，z3的系數(shù)為（）A.0B.1/6C.1/3D.-1/66.函數(shù)f(z)=1/(z-2)在|z-1|=1上的積分值為（）A.2πiB.-2πiC.0D.πi7.函數(shù)f(z)=z2在z=1處的導(dǎo)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.48.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=i處的留數(shù)為（）A.1/2iB.-1/2iC.1/2D.-1/29.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，z2的系數(shù)為（）A.1B.1/2C.1/6D.1/310.函數(shù)f(z)=1/(z2+1)在|z|=1上的積分值為（）A.πiB.-πiC.0D.2πi三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在z=0處解析的有（）A.f(z)=z2+2z+3B.f(z)=1/zC.f(z)=sin(z)D.f(z)=z/(z2+1)2.下列函數(shù)中，在z=1處有極點(diǎn)的有（）A.f(z)=1/(z-1)B.f(z)=1/(z2-1)C.f(z)=z/(z-1)2D.f(z)=1/(z-1)33.下列函數(shù)中，在|z|=1上積分值為0的有（）A.f(z)=z2B.f(z)=1/zC.f(z)=z/(z2+1)D.f(z)=1/(z2-1)4.下列函數(shù)中，是整函數(shù)的有（）A.f(z)=e^zB.f(z)=sin(z)C.f(z)=z2+1D.f(z)=1/z5.下列函數(shù)中，在z=0處有本性奇點(diǎn)的有（）A.f(z)=sin(1/z)B.f(z)=e^zC.f(z)=1/z2D.f(z)=tan(z)6.下列函數(shù)中，在z=1處留數(shù)為1的有（）A.f(z)=1/(z-1)B.f(z)=(z2+1)/(z-1)C.f(z)=(z2+1)/(z-1)2D.f(z)=(z2+1)/(z-1)37.下列函數(shù)中，在z=0處泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式中z3的系數(shù)不為0的有（）A.f(z)=z2B.f(z)=z3C.f(z)=z2+z3D.f(z)=z2/z8.下列函數(shù)中，在|z|=2上積分值為2πi的有（）A.f(z)=1/(z-1)B.f(z)=1/(z+1)C.f(z)=1/zD.f(z)=1/(z2+1)9.下列函數(shù)中，是調(diào)和函數(shù)的有（）A.u(x,y)=x2-y2B.u(x,y)=xyC.u(x,y)=e^xcos(y)D.u(x,y)=sin(x)sin(y)10.下列函數(shù)中，在z=0處解析的有（）A.f(z)=z2+2z+3B.f(z)=1/zC.f(z)=sin(z)D.f(z)=z/(z2+1)四、簡(jiǎn)答題（每題4分，共12分）1.簡(jiǎn)述解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。2.簡(jiǎn)述留數(shù)定理的應(yīng)用條件。3.簡(jiǎn)述泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的條件。五、應(yīng)用題（每題9分，共18分）1.計(jì)算函數(shù)f(z)=1/(z2+1)在|z|=2上的積分值，并說(shuō)明計(jì)算方法。2.求函數(shù)f(z)=z/(z-1)2在z=1處的留數(shù)，并計(jì)算∮_Cf(z)dz，其中C為|z-1|=1。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√2.√3.√4.√5.×（需閉合曲線圍繞奇點(diǎn)）6.√7.√8.√9.√10.×（本性奇點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)不一定存在）解析：1.解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)處處可導(dǎo)。2.洛朗級(jí)數(shù)收斂于圓環(huán)。3.解析函數(shù)的實(shí)部是調(diào)和函數(shù)。5.留數(shù)定理需閉合曲線圍繞孤立奇點(diǎn)。10.本性奇點(diǎn)處函數(shù)行為復(fù)雜，導(dǎo)數(shù)不一定存在。二、單選題1.B2.D3.A4.A5.B6.A7.B8.A9.B10.A解析：1.泰勒級(jí)數(shù)收斂半徑為|z?-z?|，此處為|1-0|=2。2.洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式中-2z的系數(shù)為e^-1。3.留數(shù)計(jì)算為(1/(z-1)2)|_(z=2)=1/3。4.|z|=2上積分值為πi（由留數(shù)定理）。5.泰勒級(jí)數(shù)中z3系數(shù)為1/6。6.|z-1|=1上積分值為2πi（留數(shù)為1）。7.導(dǎo)數(shù)為2z|_(z=1)=2。8.留數(shù)計(jì)算為(1/(z+1))|_(z=i)=1/2i。9.泰勒級(jí)數(shù)中z2系數(shù)為1/2。10.|z|=1上積分值為πi（留數(shù)為1/2）。三、多選題1.A,C,D2.A,B,C,D3.A,C4.A,B,C5.A6.A,B7.B,C8.A,B,C9.A,C10.A,C,D解析：1.A,C,D在z=0處解析。2.A,B,C,D在z=1處有極點(diǎn)。3.A,C在|z|=1上積分值為0（由柯西定理）。4.A,B,C是整函數(shù)。5.A在z=0處有本性奇點(diǎn)。6.A,B在z=1處留數(shù)為1。7.B,C中z3系數(shù)不為0。8.A,B,C在|z|=2上積分值為2πi。9.A,C是調(diào)和函數(shù)。四、簡(jiǎn)答題1.解析函數(shù)的實(shí)部與虛部滿足柯西-黎曼方程，其偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，因此實(shí)部是調(diào)和函數(shù)。2.留數(shù)定理應(yīng)用條件：函數(shù)在閉合曲線內(nèi)除有限孤立奇點(diǎn)外解析，曲線正向。3.泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)條件：函數(shù)在z?的去心鄰域內(nèi)解析。五、應(yīng)用題1.解：∮_C1/(z2+1)dz=∮_C(1/(z-i)+1/(z+i))dz留數(shù)