ADDINCNKISM.UserStyle函數(shù)周期性及其應(yīng)用研究摘要：作為函數(shù)的基本性質(zhì)之一，函數(shù)周期性在高考中是比較?？嫉囊粋€(gè)考點(diǎn)，在自然科學(xué)方面也具有舉足輕重的作用.本文將圍繞以高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中所涉及到的函數(shù)周期性問(wèn)題為中心，從函數(shù)周期性定義開始研究，綜合與函數(shù)周期性的判別相關(guān)命題和定理，將函數(shù)周期性、圖像對(duì)稱性以及奇偶性相聯(lián)系，最后再將函數(shù)周期性加以應(yīng)用.關(guān)鍵詞：函數(shù)；周期性；判別引言在高考數(shù)學(xué)中，函數(shù)周期性更是每年必考的一個(gè)知識(shí)點(diǎn).本文將以中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及到的函數(shù)周期性問(wèn)題為中心來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)單探討.在本文中，受文獻(xiàn)[1]所給出的關(guān)于函數(shù)周期性定義以及利用簡(jiǎn)單方程對(duì)函數(shù)周期性進(jìn)行判別的啟發(fā)，得到了本文中判別函數(shù)周期性的方法之一，即利用簡(jiǎn)單方程來(lái)判別函數(shù)是否具有周期性.文獻(xiàn)[1]中關(guān)于函數(shù)周期性的定義太過(guò)生硬，在結(jié)合文獻(xiàn)[2]中函數(shù)周期性的一般定義之后，本文將函數(shù)周期性的定義進(jìn)行進(jìn)一步的一般化處理，讓讀者能夠更直觀的理解函數(shù)周期性及存在條件.為了有效減少解題所做的無(wú)用功，在引用文獻(xiàn)[3]中函數(shù)周期問(wèn)題說(shuō)明的情況下，本文提出解決函數(shù)周期問(wèn)題，只討論正周期這一說(shuō)法，將問(wèn)題簡(jiǎn)單化，以便對(duì)周期問(wèn)題進(jìn)行求解.在對(duì)函數(shù)周期性進(jìn)行判別時(shí)，除了文獻(xiàn)[1]外，文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]中的定理則對(duì)利用函數(shù)對(duì)稱性判別函數(shù)是否具有周期性和判別復(fù)合函數(shù)周期性上提供了非常重要的理論依據(jù).在對(duì)函數(shù)周期性進(jìn)行判別之后，文獻(xiàn)[6]中函數(shù)周期性、奇偶性以及圖像對(duì)稱性之間關(guān)系的探討，為本文探討函數(shù)周期性、奇偶性和圖像對(duì)稱性提供了許多事實(shí)和理論基礎(chǔ).基于文獻(xiàn)[7]中關(guān)于最小正周期這一定義的敘述，本文對(duì)最小正周期進(jìn)行更明了的理解.文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]中所提出的解題理論依據(jù)，即定義、圖像、性質(zhì)這三點(diǎn)，為得出函數(shù)周期求解方法提供了清晰的理論基礎(chǔ).文獻(xiàn)[10]中周期函數(shù)及其絕對(duì)值的關(guān)系，更是為本文中的例8提供了理論基礎(chǔ)，進(jìn)而得出直接推導(dǎo)法.文獻(xiàn)[11]-[15]中的解題方法、思維方式等為本文中函數(shù)周期性的應(yīng)用提供了可行的事實(shí)依據(jù).在上述大量的理論和事實(shí)的基礎(chǔ)上，下面就函數(shù)周期性及其應(yīng)用的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)單的討論.預(yù)備知識(shí)定義1如果存在一個(gè)常數(shù)()，對(duì)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，那么這個(gè)函數(shù)就是一個(gè)周期為的周期函數(shù).ADDINCNKISM.Ref.{1D9B8FB0036E49d6B9C64AC16AF125C4}[1]上述定義1是教材中所給的關(guān)于函數(shù)周期性的定義，而實(shí)際上比較常見的關(guān)于函數(shù)周期性的定義則是：定義2存在任意的常數(shù)，使得定義在某一定義域上的函數(shù)，具有如下性質(zhì)：(1)，；(2)，.則那么就稱為數(shù)集（定義域）上的周期函數(shù)，常數(shù)稱為的一個(gè)周期.ADDINCNKISM.Ref.{CDFE9C0407E645948936E84EC2EC732F}[2]從以上定義可以得知：如果函數(shù)具有周期性，那么它必定會(huì)存在一個(gè)常數(shù)()，并且在定義域內(nèi).除此之外，還要同時(shí)具備以下的兩個(gè)條件：1)，有；2)，有.根據(jù)上述的定義，對(duì)于函數(shù)的周期性，要做出以下的4點(diǎn)說(shuō)明，即：1)如果函數(shù)的周期為，那么的周期也可以是.2)如果是函數(shù)的周期，那么的周期也可以是(且).因此，一個(gè)雙方都無(wú)界，并且對(duì)稱于數(shù)軸原點(diǎn)的無(wú)窮集合就是由函數(shù)所有的周期而構(gòu)成.所以說(shuō)，當(dāng)一個(gè)函數(shù)具有周期性，那么它的周期就具有無(wú)數(shù)個(gè)。故在討論函數(shù)周期性問(wèn)題時(shí)，主要討論其正周期即可.ADDINCNKISM.Ref.{4DA35CA9D1EB481eBC90BA0645411104}[3]3)當(dāng)函數(shù)的周期是常數(shù)時(shí)，如果常數(shù)存在，使得也作為函數(shù)的周期，那么也為函數(shù)的周期.4)在正周期中，如果函數(shù)存在一個(gè)最小的周期，那么函數(shù)最小正周期就是這個(gè)最小的周期.注意具有最小正周期的函數(shù)不一定就是周期函數(shù).ADDINCNKISM.Ref.{41D02FC3D81043a28BDE0F9E6BB5DB28}[3]就周期函數(shù)而言，來(lái)簡(jiǎn)單舉來(lái)幾個(gè)例子：例1若函數(shù)(為常數(shù))存在.顯然，該函數(shù)是一個(gè)常數(shù)函數(shù)，根據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)，該函數(shù)是一個(gè)任何非零實(shí)數(shù)都能成為它周期的一個(gè)定義域?yàn)榈闹芷诤瘮?shù)，所以說(shuō)，常數(shù)函數(shù)不存在最小正周期.例2狄利克雷函數(shù).顯然，任意的非零的有理數(shù)組成了該函數(shù)的周期，如果是有理數(shù)，由于與同為有理數(shù)或者同為無(wú)理數(shù).因此，使得成立，故任意非零有理數(shù)都可以作為該函數(shù)的一個(gè)周期，而正有理數(shù)是沒有最小的，這就說(shuō)明，狄利克雷函數(shù)并不存在最小正周期.如何判斷函數(shù)是否具有周期性從函數(shù)周期性的定義不難看出，周期性并不是每個(gè)函數(shù)都會(huì)具有的.如果在解題的時(shí)候，不對(duì)函數(shù)是否具有周期性加以判別，就很有可能會(huì)導(dǎo)致在函數(shù)問(wèn)題的求解過(guò)程中，解題思路就會(huì)發(fā)生偏差.因此，如何去判別一個(gè)函數(shù)周期性是否存在？就成了解決函數(shù)問(wèn)題的一個(gè)難點(diǎn).下面，就“如何判別函數(shù)是否具有周期性？”這個(gè)問(wèn)題而言，來(lái)簡(jiǎn)單的探討一下.利用函數(shù)周期性的定義判別判斷一個(gè)函數(shù)是否具有周期性最基本的方法就是定義法.從上述周期函數(shù)的定義中，可以得知，周期函數(shù)具有以下的特點(diǎn)：若為函數(shù)的周期，則在數(shù)集(定義域)內(nèi)都有：即或.ADDINCNKISM.Ref.{55DE9AF631DE4a5b9B6774B8EEC71836}[1]例3判別函數(shù)是否具有周期性.解,如果是函數(shù)的周期，那么就有(1)或(2)如果,那么,則.這就說(shuō)明是隨著的變化而變化的.同理，如果，這時(shí)也可用上述方法討論.綜上所述，函數(shù)并不是一個(gè)周期函數(shù).利用簡(jiǎn)單的函數(shù)方程判別命題1若函數(shù)滿足方程(是非零常數(shù))，必定是周期函數(shù)，并且周期為.ADDINCNKISM.Ref.{9BBD5680779E486099979D9CFCC848AD}[1]命題2若函數(shù)滿足方程(是非零常數(shù))，必定是周期函數(shù)，并且周期為.ADDINCNKISM.Ref.{9BBD5680779E486099979D9CFCC848AD}[1]命題3如果函數(shù)滿足方程或(是非零常數(shù))，必定是周期函數(shù)，并且周期為.ADDINCNKISM.Ref.{9BBD5680779E486099979D9CFCC848AD}[1]命題4定義在上的函數(shù)，對(duì)一切實(shí)數(shù)，滿足方程()，必定是周期函數(shù),并且周期為.ADDINCNKISM.Ref.{9BBD5680779E486099979D9CFCC848AD}[1]命題5若函數(shù)滿足方程(是非零常數(shù))，必定是周期函數(shù)，并且周期為.ADDINCNKISM.Ref.{9BBD5680779E486099979D9CFCC848AD}[1]利用函數(shù)對(duì)稱性判別定理1若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)都對(duì)稱，且定義在上.那么該函數(shù)必然是以周期的周期函數(shù)，并且在直線上.ADDINCNKISM.Ref.{51BB5B0DEA3E4840B26A3FE56F39FD54}[4]定理2如果函數(shù)的圖像關(guān)于直線和直線都對(duì)稱，且定義在上，那么該函數(shù)必然是以周期的周期函數(shù)，并且在直線上.ADDINCNKISM.Ref.{51BB5B0DEA3E4840B26A3FE56F39FD54}[4]定理3如果函數(shù)的圖像關(guān)于直線和點(diǎn)都對(duì)稱，且定義在上，那么該函數(shù)必然是以周期的周期函數(shù)，并且在直線上.ADDINCNKISM.Ref.{51BB5B0DEA3E4840B26A3FE56F39FD54}[4]例4假設(shè)存在兩點(diǎn)(2,3)，(3,2)，當(dāng)函數(shù)的圖像關(guān)于這兩點(diǎn)都對(duì)稱時(shí)，試判別函數(shù)是否具有周期性，若是，請(qǐng)求出該函數(shù)的周期；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.解由上述定理1可知，該函數(shù)為直線上的一個(gè)周期函數(shù)，因此其周期.復(fù)合函數(shù)的周期性判別定理4設(shè)函數(shù)是由函數(shù)和復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù).如果是以為周期的周期函數(shù)，那么，也是復(fù)合函數(shù)的一個(gè)周期.ADDINCNKISM.Ref.{DB3FA28293D94610B6C077374AD0D49D}[5]定理5如果函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，周期為，若是一個(gè)一次函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)必然是一個(gè)周期函數(shù)，且周期為.ADDINCNKISM.Ref.{DB3FA28293D94610B6C077374AD0D49D}[5]定理6如果不是一次函數(shù)或周期函數(shù)，函數(shù)卻具有周期性(除常數(shù)函數(shù))，那么依然不是具有周期性.ADDINCNKISM.Ref.{DB3FA28293D94610B6C077374AD0D49D}[5]定理7如果函數(shù)函數(shù)不具有周期性，而也不具有周期性，函數(shù)也一定不具有周期性.ADDINCNKISM.Ref.{DB3FA28293D94610B6C077374AD0D49D}[5]注意由角的性質(zhì)可以知道，終邊相同的角的三角函數(shù)值是相同，滿足，因此三角函數(shù)始終是具有周期性的.函數(shù)周期性的簡(jiǎn)單求法從3中可以得知，“如何判斷一個(gè)函數(shù)是否具有周期性？”，對(duì)于一般的函數(shù)可以利用周期性的定義、簡(jiǎn)單的函數(shù)方程以及函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行判別，而對(duì)復(fù)合函數(shù)來(lái)說(shuō)，則可以通過(guò)上述定理4-7來(lái)對(duì)其是否具有周期性進(jìn)行判別.在解題過(guò)程中，當(dāng)判別出一個(gè)函數(shù)不具有周期性時(shí)，就可通過(guò)其它的思路來(lái)問(wèn)題進(jìn)行下一步求解.若判別出一個(gè)函數(shù)具有周期性時(shí)，在解題過(guò)程中，則要考慮到是否需要利用周期性來(lái)進(jìn)行求解，這時(shí)就會(huì)存在一個(gè)問(wèn)題，那就是如何來(lái)求函數(shù)的周期性呢？下面，通過(guò)幾個(gè)簡(jiǎn)單例題來(lái)討論一下關(guān)于函數(shù)周期性的求法.公式法(求三角函數(shù)周期)在三角函數(shù)中，若所求函數(shù)滿足,,的形式(其中均為常數(shù)，且)，則它們的周期分別為：.例5試求函數(shù)的周期.解由題可知,因此，周期.在例7中，顯然該函數(shù)是三角函數(shù)，則先考慮通過(guò)三角函數(shù)的化歸思想來(lái)對(duì)函數(shù)進(jìn)行化歸求解，但在本題中，該三角函數(shù)已經(jīng)是最簡(jiǎn)，則不需要進(jìn)行化歸，直接利用三角函數(shù)求周期的公式進(jìn)行求解即可，這種方法也就是常說(shuō)的公式法.直接推導(dǎo)法例6試求的周期.解由題中所給的條件可以知道,由于的最小正周期是，因此是一個(gè)周期函數(shù)，其最小正周期就為.在例8中，該函數(shù)是處于絕對(duì)值之下的，顯然不是最簡(jiǎn)，那么則需要對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，在對(duì)該函數(shù)進(jìn)行一系列簡(jiǎn)單化簡(jiǎn)之后，最終將絕對(duì)值形式化成了最簡(jiǎn)的形式，即就是.此時(shí)顯然可知的是是周期函數(shù)，它的最小正周期就是，進(jìn)一步根據(jù)函數(shù)特征進(jìn)行分析就可以得到該函數(shù)也屬于周期函數(shù)，并且它的最小正周期與的最小正周期是一致的，即也為.類似這樣的方法就稱作直接推導(dǎo)法.代入特值法例7試求的最小正周期.解令為函數(shù)的最小正周期，顯然，，都恒成立.令，此時(shí)有，即.因此，，所以就是的最小正周期.例8定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是周期函數(shù)，，，且有成立，試求出函數(shù)的周期.解令，此時(shí)有(1)又令，由(1)得(2)由(1)(2)可知(3)令，由(3)可知,故周期函數(shù)的周期為4.在例9中，在該函數(shù)的最小正周期并不知道是多少的情況下，題中先令該函數(shù)的最小正周期就為，根據(jù)函數(shù)周期性的定義得到，此時(shí)再進(jìn)一步代入特殊值，然后利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式得到，顯然，.在例10中，方法與例9一致，代入特殊值進(jìn)行論證求解，形如這樣的方法就稱作代入特值法.遞情分析法例9在周期函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，有，求的周期.解由題得,因此有,故周期函數(shù)的周期為12.在例11中，根據(jù)題中所給出的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)一步推演得出新的函數(shù)函數(shù)關(guān)系，即，此時(shí)，再利用該關(guān)系進(jìn)行類似的推演，最終演化出函數(shù)的周期.類似這樣的方法，就被稱為遞情分析法.函數(shù)的周期性、奇偶性和圖像對(duì)稱性之間的關(guān)系函數(shù)的奇偶性與圖像對(duì)稱性函數(shù)奇偶性若函數(shù)在定義域內(nèi)的任意，關(guān)于軸(原點(diǎn))對(duì)稱，且有()都成立，那么函數(shù)就是偶(奇)函數(shù).ADDINCNKISM.Ref.{7A2B481AB2E14cde9CD4DE8AE5261B72}[6]圖像對(duì)稱性函數(shù)對(duì)稱分為軸對(duì)稱和中心對(duì)稱兩種.假如函數(shù)滿足，的圖像就是關(guān)于對(duì)稱的,這種對(duì)稱的方式就是軸對(duì)稱；假如函數(shù)滿足，的圖像就是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的，這種對(duì)稱方式就是中心對(duì)稱.ADDINCNKISM.Ref.{285406EBEFB248c78D112CE0881A967A}[6]函數(shù)圖像對(duì)稱性和函數(shù)周期性、奇偶性之間的聯(lián)系利用函數(shù)奇偶性和圖像對(duì)稱性可以推導(dǎo)出函數(shù)的周期性ADDINCNKISM.Ref.{1A1EF5C7543C4f0fAEC1085F09E0A1B4}[6]如果函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，且該函數(shù)是奇函數(shù)，那么則是周期的周期函數(shù).利用函數(shù)周期性和圖像對(duì)稱性可以推導(dǎo)出函數(shù)的對(duì)稱性和奇偶性ADDINCNKISM.Ref.{1A1EF5C7543C4f0fAEC1085F09E0A1B4}[6]若函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，且是一個(gè)周期的周期函數(shù)，那么圖像就關(guān)于對(duì)稱.若函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱，且是一個(gè)周期的周期函數(shù)，那么就是一個(gè)偶函數(shù).通過(guò)函數(shù)周期性和奇偶性推導(dǎo)函數(shù)圖像的對(duì)稱性ADDINCNKISM.Ref.{1A1EF5C7543C4f0fAEC1085F09E0A1B4}[6]若函數(shù)是一個(gè)周期的周期函數(shù)，且該函數(shù)又為偶函數(shù)，那么周期函數(shù)則關(guān)于對(duì)稱.函數(shù)周期性的應(yīng)用簡(jiǎn)單舉例有了上述知識(shí)的積累，在解題過(guò)程中，就能夠通過(guò)上述3的定理清晰的判別出一個(gè)函數(shù)是否具有周期性，若具有周期性，則可進(jìn)一步利用上述4所給出的幾種方法對(duì)周期性進(jìn)行求解.若題中涉及到函數(shù)周期性、奇偶性以及圖像對(duì)稱性，那么則可根據(jù)上述5的幾種關(guān)系來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解.下面，就上述知識(shí)內(nèi)容而言，來(lái)對(duì)函數(shù)周期性進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.例10已知定義域?yàn)楹瘮?shù)滿足，并且是奇函數(shù)，試求的值.解由題可以看出是定義在上的奇函數(shù)，,因此有,即函數(shù)的周期為4,故.顯然，在本題中，根據(jù)函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析可知，本題中的函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，利用遞情分析法，就可對(duì)本題進(jìn)行簡(jiǎn)單求解.例11滿足的奇函數(shù)定義域?yàn)?，?dāng)函數(shù)區(qū)間為時(shí)，該函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，請(qǐng)將按從小到大排序.解由題設(shè)可知滿足,這時(shí)有，因此是一個(gè)周期函數(shù)，且周期為8.所以有.由于在定義域上是奇函數(shù),,因?yàn)闈M足,這時(shí)可以得到.又當(dāng)區(qū)間為上時(shí)，在是增函數(shù),因此,所以,故.本題是利用遞情分析法求解函數(shù)周期性，并進(jìn)行進(jìn)一步運(yùn)用解題的典型.題中給出函數(shù)是奇函數(shù)，并且，又告知了該函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的單調(diào)性.因此，在本題的解答過(guò)程中，可利用遞情分析法，解出函數(shù)的周期，并進(jìn)一步進(jìn)行推演，將進(jìn)行最簡(jiǎn)化推演，最后再利用增減單調(diào)性進(jìn)行判斷.無(wú)論是解題思路，還是過(guò)程方法而言，都是一道比較經(jīng)典的利用遞情分析法求解的例題.例12已知定義在上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．(1)求證：是周期為4的周期函數(shù)；(2)若，求時(shí)，函數(shù)的解析式．解(1)由題知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,因此有，即.又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),所以,,因此,即是周期為4的周期函數(shù)．(2)由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),不難看出.當(dāng)時(shí)，,,因此，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，,由此可知,故當(dāng)時(shí)，函數(shù).本題是函數(shù)周期性圖像對(duì)稱性關(guān)系的題型，看似題中(1)題和(2)題并沒有什么聯(lián)系，但在考試中，由于試卷篇幅有限，且考試是為了檢驗(yàn)知識(shí)的掌握情況，因此往往出現(xiàn)在同一道題中幾個(gè)小題都是相互之間具有聯(lián)系的.例如在本題中，第(2)題在利用函數(shù)奇偶性解出“當(dāng)時(shí)，”這步時(shí)，就利用了第(1)題中所證的條件.如果不對(duì)第(1)題進(jìn)行求證，就沒辦法對(duì)第(1)題的條件進(jìn)行運(yùn)用.因此在遇到類似問(wèn)題求解的過(guò)程中，切記不能忽略題中所給的條件以及相互之間的聯(lián)系.結(jié)語(yǔ)在高中階段數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，函數(shù)的周期性這個(gè)知識(shí)點(diǎn)涉及到許多的函數(shù)問(wèn)題和數(shù)列問(wèn)題.由于本文篇幅較短，就僅結(jié)合了函數(shù)周期性在函數(shù)中的各種情況來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)單的討論.實(shí)際上，函數(shù)的周期性在數(shù)列問(wèn)題和在函數(shù)問(wèn)題上都是大同小異的，因此，在本文中就再不一一列舉出來(lái).函數(shù)周期性作為高考的一個(gè)考點(diǎn)，能夠很好的考驗(yàn)學(xué)生的功底夠不夠扎實(shí)和靈活，它的題目是說(shuō)不清道不盡的，思路都是如此，但要結(jié)合實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行實(shí)際分析.函數(shù)雖然抽象，但是正因?yàn)樗某橄笮裕抛屓擞懈嗟陌l(fā)揮空間.ADDINCNKISM.Bib參考文獻(xiàn)[1]劉濤洪.周期函數(shù)的周期性的幾種判別法[J].楚雄師專學(xué)報(bào),1989(3):