專項九二次函數(shù)綜合題(5年1考)類型一用二次函數(shù)解決線段(和)、周長及面積最值問題解題策略(1)求二次函數(shù)中線段(線段平行于y軸,且一端點在直線上,另一端點在拋物線上)長最值的方法:利用一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式分別表示出線段兩端點的縱坐標,兩點縱坐標的差的絕對值為線段的長度,然后求最值。周長、面積的最值問題往往需要轉化為線段的最值問題來求解;1.如圖所示,在平面直角坐標系中,拋物線y=x2-2x-3與直線y=-x-1交于點A(-1,0),B(m,-3),點P是線段AB上的動點.(1)m=

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2(2)過點P作直線l垂直于x軸,交拋物線y=x2-2x-3于點Q,求線段PQ最長時點P的坐標.2.如圖所示,拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C.點P為第四象限拋物線上一點.求當S△PBC值最大時,點P的坐標.類型二二次函數(shù)與圖形的存在性問題3.如圖所示,已知拋物線y=-x2+4x+5與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C.若M為拋物線對稱軸上一動點,使得△MBC為直角三角形,請求出點M的坐標.解:由拋物線的解析式y(tǒng)=-x2+4x+5可知A(-1,0),B(5,0),C(0,5).拋物線的對稱軸為直線x=2.如圖所示,設M(2,t),∴BC2=52+52=50,MC2=22+(t-5)2=t2-10t+29,MB2=(2-5)2+t2=t2+9.當BC2+MC2=MB2時,△BCM為直角三角形,∠BCM=90°,即50+t2-10t+29=t2+9,解得t=7,此時M點的坐標為(2,7);當BC2+MB2=MC2時,△BCM為直角三角形,∠CBM=90°,即50+t2+9=t2-10t+29,解得t=-3,此時M點的坐標為(2,-3);當MC2+MB2=BC2時,△BCM為直角三角形,∠CMB=90°,即t2-10t+29+t2+9=50,解得t1=6,t2=-1,此時M點的坐標為(2,6)或(2,-1).綜上所述,滿足條件的M點的坐標為(2,7),(2,-3),(2,6)或(2,-1).4.(2025廣州模擬)如圖所示,拋物線y=-x2+bx+c交直線y=-x+4于坐標軸上B,C兩點,交x軸于另一點A,連接AC.(1)求拋物線的解析式.(2)點D為線段BC上一點,過點D作直線l∥AC,交x軸于點E.①連接AD,求△ADE面積的最大值;解:(2)①如圖①所示,∵拋物線的解析式為y=-x2+3x+4.當y=0時,-x2+3x+4=0,解得x1=-1,x2=4,∴A(-1,0).∵C(0,4),∴yAC=4x+4.②若在直線l上存在點P,使得以點A,C,D,P為頂點的四邊形為菱形,求點P的坐標.類型三二次函數(shù)與相似三角形的綜合5.如圖所示,拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C.D為第二象限內(nèi)拋物線上一點,OD交AC于點E,若△AOE與△ABC相似,求點D的橫坐標.類型四二次函數(shù)與角度問題(3)在(2)的條件下,第二象限內(nèi)拋物線上是否存在點M,使得∠AEM=∠AFC?若存在,請求出點M的坐標;若不存在,