/河南省百師聯(lián)盟2025?2026學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（A卷）一、單選題1．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則下列各數(shù)不是數(shù)列的項(xiàng)的是（）A．2 B．4 C．8 D．802．已知點(diǎn)，若直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）A．8 B．10 C．6 D．43．在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和．若，則（）A．205 B．410 C．230 D．4604．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若，則焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為．記以為直徑的圓與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．7．在空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面可以表示為集合．設(shè)，則,，所以平面的方程為．若點(diǎn)在方程為的平面內(nèi)，點(diǎn)在平面外，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為6，離心率為．過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，則（）A． B． C． D．二、多選題9．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其公差為，前項(xiàng)和為，則下列說法正確的有（）A．若，則B．若，則C．若，則當(dāng)時(shí)最小D．若，則10．已知公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為，，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列 D．11．已知菱形的邊長(zhǎng)為，沿對(duì)角線將折起，得到如圖所示的三棱錐．設(shè)，是棱上靠近的三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的有（）A．B．C．棱的長(zhǎng)為D．異面直線與所成角的余弦值為三、填空題12．在等比數(shù)列中，，則．13．已知點(diǎn)在雙曲線的一條漸近線上,則雙曲線的離心率為．14．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為．四、解答題15．已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．16．已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)．（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是曲線，求曲線的方程并指出曲線是什么曲線；（2）已知點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，是圓的直徑，求的取值范圍．17．已知數(shù)列滿足．設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和分別為．（1）證明：為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求和．18．已知圓的半徑為2，圓心在直線上，且圓被軸截得的弦長(zhǎng)為4，直線與圓交于兩點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）弦長(zhǎng)是否有最大值？何時(shí)弦長(zhǎng)最?。慨?dāng)弦長(zhǎng)最小時(shí)，求直線的方程及弦長(zhǎng)；（3）直線過點(diǎn)，且，直線與圓交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值．19．如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，，．平面平面為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合）．（1）求證：平面．（2）當(dāng)時(shí)，求證：平面．（3）是否存在點(diǎn)，使得平面和平面夾角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

答案1．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，所以．而，，所?不是數(shù)列的項(xiàng).故選B．2．【正確答案】C【詳解】依題意，直線的斜率，直線的斜率；因?yàn)椋裕?，解?故選C．3．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，由等差?shù)列的性質(zhì)得，所以．故選A．4．【正確答案】C【詳解】方法一：由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方．設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，則．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，作準(zhǔn)線于點(diǎn)，則四邊形是矩形.因?yàn)?，所以．在Rt中，因?yàn)?，所?所以．因?yàn)榻裹c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以焦點(diǎn)的坐標(biāo)為．方法二：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，在Rt中，因?yàn)椋裕?所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入拋物線方程得，整理得.因?yàn)椋?，所以焦點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選C．5．【正確答案】A【詳解】設(shè)，則，由橢圓的定義，得．因?yàn)橐詾橹睆降膱A與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，所以．在中，，即．所以離心率．故選A．6．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，記為圓．因?yàn)?，所以，圓的半徑．因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以直線與圓有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離，即，化簡(jiǎn)得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選B7．【正確答案】C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，所以，解得，所以平面,由題意得平面的一個(gè)法向量為．因?yàn)?，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故選C8．【正確答案】D【詳解】由題意得，所以，所以，所以雙曲線的方程為．因?yàn)?，直線過點(diǎn)且傾斜角為，所以直線的方程為．與雙曲線的方程聯(lián)立，消去，整理得．解得，所以．故選D．9．【正確答案】BCD【詳解】因?yàn)?，所以，解得，故A錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以，所以．故B正確．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)最?。蔆正確．由等差數(shù)列的性質(zhì)，得是公差為的等差數(shù)列，即是等差數(shù)列．因?yàn)?，所以成等差?shù)列，即，解得．故D正確．故選BCD．10．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于AB，由題意得且，，由得，由得，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍），將2代入，解得，故AB正確；對(duì)于C，由AB選項(xiàng)可知，，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，法一：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得，因?yàn)?，所以；法二：因?yàn)?，所以，所以；故D正確．故選ABD．11．【正確答案】ABD【詳解】因?yàn)槭抢馍峡拷娜确贮c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，故A正確．因?yàn)榱庑蔚倪呴L(zhǎng)為，所以．因?yàn)椋?，解得，故B正確．因?yàn)?，所以．在三棱錐的側(cè)面中，由余弦定理得，所以，故C錯(cuò)誤．因?yàn)椋?，所以異面直線與所成角的余弦值為，故D正確．故選ABD．12．【正確答案】729【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為．因?yàn)?，所以，所以．所?3．【正確答案】【詳解】因雙曲線的漸近線方程為，由點(diǎn)在漸近線上，即，所以，所以離心率．14．【正確答案】【詳解】因?yàn)椋?，所以?shù)列是常數(shù)列，因?yàn)?，所以，所以，故?shù)列為等差數(shù)列，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．15．【正確答案】（1）（2）見詳解【詳解】（1）由題意，得且，解得所以.（2）證明：由（1）得，因?yàn)?，所?則因?yàn)椋?，所?16．【正確答案】（1）曲線的方程為，曲線是橢圓.（2）.【詳解】（1）因?yàn)?，所以由題意得.兩邊平方并化簡(jiǎn)，得，所以.所以曲線的方程為，曲線是橢圓.（2）由圓的方程知，圓的圓心為，半徑為2.設(shè)，則，所以.因?yàn)槭菆A的直徑，所以，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，即的取值范圍?17．【正確答案】（1）見詳解，（2），【詳解】（1）由得，因?yàn)椋?，所?等式兩邊取倒數(shù)，整理得，所以，即.因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以，即，所以.（2）由（1）可知.所以，兩式作差，得.所以.18．【正確答案】（1）（2）沒有最大值；有最小值，直線軸時(shí)，弦長(zhǎng)最短，的方程為，最短弦長(zhǎng)為（3）7【詳解】（1）因?yàn)閳A的半徑，且被軸截得的弦長(zhǎng)為4，所以圓心在軸上，又因?yàn)閳A心在直線上，令，解得，所以圓心，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由直線的方程知，若直線的斜率存在，則；直線恒過定點(diǎn)，且此定點(diǎn)在圓內(nèi)，如圖所示，當(dāng)弦為圓的直徑時(shí)，弦最長(zhǎng)，即的值最大，此時(shí)直線為軸，斜率，又直線的斜率，所以弦長(zhǎng)沒有最大值；當(dāng)直線軸時(shí)，弦長(zhǎng)最短，此時(shí)直線的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為1，所以最短弦長(zhǎng)．（3）由（2）知，直線恒過點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，則直線的方程為，由（2）知，，弦是圓的直徑，所以，所以四邊形的面積；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以，同理得，所以四邊形的面積，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，由，解得，即；因?yàn)?，所以四邊形面積的最大值為7．19．【正確答案】（1）見詳解（2）見詳解（3）存在，或.【詳解】（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)，連接.因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以為的中點(diǎn)．又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以在中，.因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?（2）證