第一節(jié)功和動能一、力的功作用在物體上的力，使物體的運動狀態(tài)變化的程度除了取決于力的大小和方向外，還與力作用的時間或力作用下物體經(jīng)過的路程長短有關，沖量描述的是力對物體作用時間的累積效應，而功表示的是力在路程上對物體的累積效應。1．常力的功如圖12-1所示，設物體M在大小和方向都不變的力F作用下，向右做直線運動。經(jīng)過一段時間，物體由M1點運動到M2點，位移為s，如圖12-1所示。力F在位移s上所做的功定義為下一頁返回第一節(jié)功和動能即常力在直線路程上所做的功等于力矢與位移矢的標量積。式（12-1）也可寫成：式中：θ是力F與直線位移s方向之間的夾角。功是標量，它表示力在一段程上的累積作用效應，因此功為累積量。由式（12-2）可知：當θ＜90°，θ=90°，θ＞90°時，力做功分別為正值、零和負值。在國際單位制中，功的單位為焦耳（符號為J），1J等于1N的力在同方向1m路程上做的功，即。上一頁下一頁返回第一節(jié)功和動能2．變力的功設質(zhì)點M在變力F作用下沿曲線運動。經(jīng)過一段時間，質(zhì)點M沿曲線軌跡由M1

點運動到M2

點，如圖12-2所示。在無限小位移dr中，力F可視為常力，dr的大小可視為等于弧長ds，dr的方向可視為沿M點的切線方向。在一無限小位移dr中力F所做的功稱為元功，以δW表示，即在一般情況下，元功不表示某個坐標函數(shù)的全微分，所以元功用符號δW而不用dW。力在全路程M1M2

上的功為力在此路程上元功的總和，即上一頁下一頁返回第一節(jié)功和動能在直角坐標系中，沿坐標軸正向的單位矢量分別為i、j、k，則力F和位移dr的解析表達式為上一頁下一頁返回第一節(jié)功和動能即合力在任一路程中所做的功等于各分力在同一路程中所做功的代數(shù)和。3．幾種常見力的功1）重力的功質(zhì)量為m的質(zhì)點M在重力場中沿軌跡由M1

運動到M2

，如圖12-3所示。其重力P=mg在直角坐標軸上的投影為將上式代入式（12-6）整理得到重力的功為上一頁下一頁返回第一節(jié)功和動能可見，重力的功取決于重力的大小和質(zhì)點始末位置的高度差(z1-z2)，而與質(zhì)點運動軌跡的形狀無關。2）彈性力的功設物體M連接于彈簧的一端，彈簧另一端固定，如圖12-4所示。彈簧原長為l0，剛度系數(shù)為k。在彈簧的彈性極限內(nèi)，彈性力F的大小與彈簧的變形δ成正比，則F=kδ。3）定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功工程中大量用到齒輪、帶輪等轉(zhuǎn)動物體，其上作用有力或力偶。下面計算力和力偶在剛體轉(zhuǎn)動過程中的功。上一頁下一頁返回第一節(jié)功和動能4）平面運動剛體上作用力的功當剛體做平面運動時，設剛體上作用有多個力，任一力Fi作用點為Mi，如圖12-7所示。取剛體的質(zhì)心C為基點，當剛體有無限小位移時，任一力Fi作用點Mi的無限小位移dri可分解為隨質(zhì)心C的平動位移drC和繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動位移driC，則dri可寫為

上一頁下一頁返回第一節(jié)功和動能5）質(zhì)點系內(nèi)力的功設質(zhì)點系中任意兩質(zhì)點A、B之間有相互作用的內(nèi)力FA

和FB

，如圖12-8所示。A、B兩點對于固定點O的矢徑分別為rA

和rB

，由圖可知式中：

為質(zhì)點系內(nèi)A、B兩質(zhì)點間距離的變化量。上一頁下一頁返回第一節(jié)功和動能6）約束反力的功質(zhì)點系內(nèi)力的功之和一般不為零，因此在計算力的功時，將作用力分為外力和內(nèi)力并不方便。若將作用于質(zhì)點系中的力分為主動力和約束力，在許多情況下約束力的元功之和等于零，即

，這樣會使功的計算得到簡化，這種約束稱為理想約束。二、質(zhì)點和質(zhì)點系的動能1．質(zhì)點的動能動能是從運動的角度描述物體機械能的一種形式，也是物體做功能力的一種度量。質(zhì)點的動能定義為質(zhì)點質(zhì)量與速度平方乘積的一半。設質(zhì)點的質(zhì)量為m，運動速度為v，則質(zhì)點的動能T為上一頁下一頁返回第一節(jié)功和動能動能T恒為正值，動能的單位是kg·m2/s2

。在國際單位制中，與功的單位相同，常用單位也是焦耳（J）。2．質(zhì)點系的動能設質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，任一質(zhì)點Mi

的質(zhì)量為mi

，在某瞬時速度值為vi

，則質(zhì)點系內(nèi)所有質(zhì)點動能的總和定義為該瞬時質(zhì)點系的動能，即剛體是由無數(shù)質(zhì)點構(gòu)成的質(zhì)點系。剛體做不同的運動時，各質(zhì)點的速度分布不同。因此剛體動能計算公式還可根據(jù)剛體的運動形式寫成具體的表達式。上一頁返回第二節(jié)質(zhì)點和質(zhì)點系的動能定理動能定理建立了物體動能的變化與作用于物體上力的功之間的關系。動能定理從能量的角度建立了質(zhì)點或質(zhì)點系的運動變化和受力之間的關系。一、質(zhì)點的動能定理質(zhì)點的動能定理建立了質(zhì)點動能的變化與作用于質(zhì)點上力的功之間的關系。設質(zhì)量為m的質(zhì)點在力F作用下沿曲線從M1點運動到M2點，如圖12-16所示。在任一瞬時，速度為v，根據(jù)牛頓第二定律有下一頁返回第二節(jié)質(zhì)點和質(zhì)點系的動能定理上式兩邊點乘質(zhì)點的無限小位移dr，得式中：為質(zhì)點的動能，

為力的元功。式（12-20）表明：質(zhì)點動能的增量等于作用于質(zhì)點上力的元功，這是質(zhì)點動能定理的微分形式。上一頁下一頁返回第二節(jié)質(zhì)點和質(zhì)點系的動能定理設質(zhì)點在M1

點和M2

點的速度分別為v1

和v2

。將式（12-20）在有限路程M1

至M2

上積分，得式中：左邊是動能在有限路程上的改變量，右邊是力F在有限路程上的功，即式（12-21）表明：質(zhì)點動能的改變量等于作用于質(zhì)點上的力在有限路程上的功，這是質(zhì)點動能定理的積分形式。上一頁下一頁返回第二節(jié)質(zhì)點和質(zhì)點系的動能定理二、質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系動能定理建立了質(zhì)點系動能的變化與作用于質(zhì)點系上的力的功之間的關系。設質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，其中任意一質(zhì)點i的質(zhì)量為mi，速度為vi

，作用于該質(zhì)點上的力為Fi

。根據(jù)質(zhì)點動能定理的微分形式，即式（12-20），有上一頁下一頁返回第二節(jié)質(zhì)點和質(zhì)點系的動能定理式（12-22）表明：質(zhì)點系動能的增量等于作用于質(zhì)點系全部力所做的元功之和，這是質(zhì)點系動能定理的微分形式。上一頁下一頁返回第二節(jié)質(zhì)點和質(zhì)點系的動能定理如果質(zhì)點系從狀態(tài)1（初始狀態(tài)）經(jīng)過有限路程運動到狀態(tài)2（末狀態(tài)），則對式（12-22）積分得式中：T1和T2分別表示質(zhì)點系在初始狀態(tài)和末狀態(tài)的動能。式（12-23）表明：質(zhì)點系在有限路程中動能的改變量，等于作用于質(zhì)點系的全部力在這段路程中所做功的和，這是質(zhì)點系動能定理的積分形式。動能定理直接建立了速度、力和路程之間的關系，應用動能定理可以求解與這些量相關的動力學問題。由本章第一節(jié)可知，理想約束的約束力不做功，但質(zhì)點系的內(nèi)力做功之和并不一定為零。因此，在應用質(zhì)點系的動能定理時，要根據(jù)具體情況分析質(zhì)點系的所有作用力，以確定哪些力做功。上一頁返回第三節(jié)機械能守恒定律一、勢力場眾所周知，物體在地球表面的任何位置都受到一個確定的重力作用；物體在大氣層內(nèi)外附近的空間的任何位置都受到地心的引力作用，引力大小取決于物體相對于地心的距離；星球在太陽周圍的任何位置都受到太陽引力的作用，引力的大小和方向決定于此星球相對于太陽的位置；物體受到彈簧的彈性力大小和方向也取決于此物體所在的空間位置。因此，若質(zhì)點在某空間內(nèi)任一位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力的作用，則具有這種特性的空間稱為力場。例如，地球表面的空間為重力場，太陽周圍的空間稱太陽引力場，大氣層內(nèi)外附近的空間是地球引力場，彈簧端點可能達到的空間是彈性力場。下一頁返回第三節(jié)機械能守恒定律在計算某一力場中作用于質(zhì)點上的力做功時發(fā)現(xiàn)，力場中力的功只與作用點的初始和終了位置有關，而與質(zhì)點運動的路徑無關，這些力的大小和方向完全由受力質(zhì)點所在的空間位置確定，具有這種特性的力稱為有勢力或保守力（如重力、彈性力和萬有引力）。具有這種特性的空間稱為勢力場或保守力場。摩擦力沒有上述特征，它的功與路徑有關，因此它不是有勢力。二、勢能和勢能函數(shù)1．勢能在勢力場中，當質(zhì)點的位置改變時，有勢力就要做功，勢力場中每一確定的位置反映了有勢力具有的做功能力。上一頁下一頁返回第三節(jié)機械能守恒定律因此，在勢力場中把質(zhì)點從某一位置M運動至選定的參考點M0的過程中，有勢力所做的功定義為質(zhì)點在該位置所具有的勢能，以V來表示，即2．勢能函數(shù)因為質(zhì)點或質(zhì)點系的勢能僅與質(zhì)點或質(zhì)點系質(zhì)心的位置有關，在一般情形下，質(zhì)點或質(zhì)點系的勢能只是質(zhì)點或質(zhì)心坐標的單值連續(xù)函數(shù)，這個函數(shù)稱為勢能函數(shù)，可表示為V=V(x,y,z)（12-25）在勢力場中，所有勢能相等的點所組成的曲面稱為等勢面，表示為V=V(x,y,z)=C上一頁下一頁返回第三節(jié)機械能守恒定律3．幾種常見的勢能1）重力場中的勢能在重力場中，取M0(x0,y0,z0)為零勢能點。質(zhì)量為m的質(zhì)點在重力場中M點位置處，如圖12-21所示。其重力mg在直角坐標軸上的投影為將上式代入式（12-24）中整理得到M點的重力勢能為上一頁下一頁返回第三節(jié)機械能守恒定律若取Oxy平面上的點為零勢能點，因z0=0，則M點的重力勢能為V=mgz對于質(zhì)點系或剛體有V=mgzC式中：m是系統(tǒng)的總質(zhì)量，zC

是系統(tǒng)質(zhì)心的坐標。2）彈性力場中的勢能在彈性力場中，設彈簧的一端固定，另一端與物體連接，彈簧的剛度系數(shù)為k。如圖12-22所示。取點M0為零勢能點，則M點的勢能為上一頁下一頁返回第三節(jié)機械能守恒定律3）萬有引力場中的勢能設O點為固定中心，質(zhì)量為m2

的質(zhì)點M受到質(zhì)量為m1的質(zhì)點O的萬有引力為F，如圖12-23所示。根據(jù)萬有引力定律，引力F為式中：f為引力常數(shù)；質(zhì)點矢徑方向的單位矢量er=

r/r，其中r為質(zhì)點M對于點O的矢徑。由式（12-24）得引力F的元功為上一頁下一頁返回第三節(jié)機械能守恒定律三、機械能守恒定律的含義與應用具有理想約束，且所受的主動力皆為有勢力的質(zhì)點系稱為保守系統(tǒng)。設質(zhì)點在勢力場中運動，如圖12-26所示。上一頁下一頁返回第三節(jié)機械能守恒定律從位置M1至M2位置處，有勢力做功為W12；從位置M1至M0位置處，有勢力做功為W10，從位置M2至M0位置處，有勢力做功為W20。由于有勢力做功與路徑無關，因此有如果選取M0位置處為質(zhì)點勢能的零位置，位置M1和位置M2處勢能設為V1和V2，則由勢能的定義有上一頁下一頁返回第三節(jié)機械能守恒定律式（12-32）表明：質(zhì)點在勢力場中運動時，有勢力在有限路程中做的功等于各質(zhì)點在運動過程的始末位置的勢能差。設質(zhì)點始末位置的動能分別為T1和T2。根據(jù)動能定理得上一頁下一頁返回第三節(jié)機械能守恒定律式中：V1和V2分別為質(zhì)點系在位置M1時的勢能和在位置M2時的勢能，∑W12為所有有勢力從位置M1到位置M2過程中所做的功，即式中：T1+V1表示質(zhì)點系在位置M1時的機械能。T2+V2表示質(zhì)點系在位置M2時的機械能，即質(zhì)點系在某瞬時的動能與勢能的代數(shù)和稱為機械能。式（12-36）表明：質(zhì)點或質(zhì)點系在勢力場中運動時，其動能和勢能之和保持不變，稱此為機械能守恒定律，即保守系統(tǒng)在運動過程中，其機械能保持不變。質(zhì)點系的動能和勢能可以互相轉(zhuǎn)化，動能的增加（或減少），必然伴隨著勢能的減少（或增加），而且增加和減少的量相等，即總的機械能保持不變。這樣的系統(tǒng)稱為保守系統(tǒng)。上一頁下一頁返回第三節(jié)機械能守恒定律質(zhì)點系在非保守力作用下運動時機械能不守恒。例如，由于摩擦力做功會使機械能減少，但是減少的能量并未消失，而是轉(zhuǎn)化為另一形式的能量（熱能），因此總的能量（即機械能與其他形式的能量之和）仍然是守恒的。這就是說能量不能消失，也不能創(chuàng)造，它只能從一種形式轉(zhuǎn)換成另一種形式，稱為能量守恒定律，機械能守恒定律只是它的特殊形式。上一頁返回第四節(jié)功率和功率方程一、功率在工程中，不僅要計算力的功，而且要知道力做功的快慢程度。功率用于衡量機器做功的快慢程度，是衡量機器性能的一項重要指標。把力在單位時間內(nèi)所做的功稱為功率，以P表示，即式中：v是力F作用點的速度。下一頁返回第四節(jié)功率和功率方程式（12-38a）表明：力的功率等于切向力（力在速度方向上的投影）與速度的乘積。機床在切削工件時，由于功率是一定的，因此要獲得大的切削力，就應該降低切削速度；車輛在爬坡時，需要大的牽引力，就應該降低行駛速度。因為作用于轉(zhuǎn)動剛體上力F的元功為

，因此力的功率也可表示為式中：Mz是力F對轉(zhuǎn)軸z的矩，ω是剛體轉(zhuǎn)動的角速度。式（12-38b）表明：作用于轉(zhuǎn)動剛體上力的功率等于力對轉(zhuǎn)軸的矩與物體轉(zhuǎn)動角速度的乘積。上一頁下一頁返回第四節(jié)功率和功率方程在國際單位制中，功率的單位是為瓦（W）。1瓦表示每秒做1焦耳的功，即1W=1J/s=1Nm/s。二、功率方程為了研究質(zhì)點或質(zhì)點系的動能變化與其作用力的功率之間的關系，將質(zhì)點系動能定理的微分形式兩端除以dt，即將式（12-22）兩端除以dt，得式（12-39）稱為功率方程，它表示質(zhì)點系動能對時間的一階導數(shù)，等于作用于質(zhì)點上的所有力的功率的代數(shù)和。上一頁下一頁返回第四節(jié)功率和功率方程功率方程可以用來研究機器的能量變化、能量轉(zhuǎn)化問題。機器工作時需要輸入一定的功率，用于克服阻力或輸出功率，以及使機器加速運轉(zhuǎn)等。任何機器工作時必須輸入一定的功率，如機床在接通電源后，電磁力使轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動，則電能轉(zhuǎn)化為動能，電磁力功率稱為輸入功率，用P輸入表示；機器運轉(zhuǎn)存在摩擦，摩擦力做負功，使一部分動能轉(zhuǎn)化為熱能而損失部分功率，這部分功率稱為無用功率，用P

無用表示；機床加工工件時也需要消耗能量，這部分功率稱為有用功率或輸出功率，用P有用表示，則上一頁下一頁返回第四節(jié)功率和功率方程式（12-40a）功率方程表示任一機器輸入功率等于有用功率、無用功率和系統(tǒng)動能變化率的和。輸入功率：屬于輸入功率的驅(qū)動力、力矩有各種表現(xiàn)形式，如液壓傳動中液體的壓力、驅(qū)動電動機的轉(zhuǎn)矩、內(nèi)燃機氣缸中的燃氣壓力等。有用功率：在生產(chǎn)過程中會遇到各種阻力，如車刀切削時工件的切削阻力、沖床加工時工件的沖壓阻力、起重機的載荷重力、壓縮機壓縮氣體時的氣體壓力等。無用功率（損耗功率）：在機械傳動部件之間，如傳動帶和帶輪、齒輪與齒輪、軸與軸承之間有摩擦，摩擦消耗能量，傳動系統(tǒng)的相互碰撞也要損失一些能量。上一頁下一頁返回第四節(jié)功率和功率方程三、機械效率任何機器都要由外界提供能量，即由外部輸入功率；機器工作時要輸出功率，機器的輸出功率分為有用輸出功率（有效功率）和無用輸出功率（無效功率）兩部分。工程上把機器的有效功率與輸入功率之比稱為機械效率，用η表示，即由式（12-41）可知，一般情